Cahit Arf Matematik Günleri 2004

İkinci Gün / 21 Nisan 2004
İstanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü

Problem 1. Düzlemdeki ℤxℤ ızgarasında (yandaki şekil) (0, 0) noktasından herhangi bir (k, n) noktasına hep kuzeye ve doğuya gitmek koşuluyla ve ızgarayı takip ederek kaç değişik biçimde gidilir?

Problem 2. n ve k birer doğal sayı olsunlar.

A(n, k) = {(a₀, …, a_k-1) : a_j Î ℕ ve a₀ + a₁ + … + a_k-1 = n}

kümesinin eleman sayısını bulun.

Problem 3. n elma, adları A₀, …, A_k-1 olan k kişi arasında kaç türlü dağıtılır? (Dikkat: Kişiler arasında ayrım yapıyoruz, ama elmalar arasında yapmıyoruz.)

Problem 4. n ³ 1 ve k ³ 1 birer doğal sayı olsunlar.

B(n, k) = {(b₁, …, b_n) : b_i Î ℕ ve 0 £ b₁ £ b₂ £ … £ b_n £ k – 1}

kümesinin eleman sayısını bulun.

Problem 5. Birbirinden ayırt edilemeyen n top ve bu topları boyayabileceğimiz k değişik renkte boyamız var. Bu n topu bu k değişik renge kaç türlü boyayabiliriz? Dikkat: Toplar ayırt edilmiyor ama renkler ayırt ediliyor. Örnek: Üç top ve kırmızı ve mavi olmak üzere iki rengimiz varsa (üçü mavi), (iki mavi, bir kırmızı), (bir mavi, iki kırmızı), (üçü kırmızı) olmak üzere dört türlü boyayabiliriz. Eğer üç top ve üç rengimiz varsa boyamayı 10 türlü yapabiliriz.

Problem 6. n ³ 1 bir doğal sayı olsun. n’yi kaç değişik biçimde pozitif doğal sayıların toplamı olarak yazabiliriz? (Değişik sıralamalar ayrı ayrı sayılacak, örneğin, n = 14 ise, 1 + 3 + 5 + 5 ve 5 + 3 + 5 + 1 toplamları ayrı ayrı sayılacak.)

Problem 7. 1 + t – 2t² + 6t³ – 3t⁶ + … gibi sonsuza dek uzayabilen (polinoma benzeyen ancak sonsuza dek uzayabildiklerinden illa polinom olmayan) terimlere güç serisi adı verilir. Dikkat: Buradaki t bir sayı değildir, değişken adı verilen bir “şey”dir. Güç serileri de aynen polinomlar gibi toplanıp çarpılabilirler:

(a₀ + a₁t + a₂t² + … )(b₀ + b₁t + b₂t² + … ) =

a₀b₀ + (a₀b₁+a₁b₀)t + (a₀b₂+a₁b₁+a₂b₀)t² + (a₀b₃+a₁b₂+a₂b₁+a₃b₀)t³ + …

Bir güç serisi kısaca biçiminde yazılabilir. Burada, a_m katsayılarını gerçel sayılar olarak alacağız. Eğer a_m katsayıları belli bir aşamadan sonra hep 0’sa, o zaman güç serisi bir polinomdur, yoksa değildir. Eğer tüm a_m’ler 0’sa o zaman güç serisi de 0’dır.

Kolayca görüleceği üzere güç serilerini toplama ve çarpma kuralları şöyledir:

7.1.i. (1 – t)(1+ t + t² + t³ + t⁴ + … ) = 1 eşitliğini gösterin. (Not: Her polinom gibi, 1-t polinomu da bir güç serisidir.)
7.2.ii. (1 + t)g(t) = 1 eşitliğini sağlayan bir g(t) güç serisi bulun.
7.2.iii. (1 – 2t)g(t) = 1 eşitliğini sağlayan bir g(t) güç serisi bulun.
7.3.  eşitliğini gösterin.
7.4. İki güç serisini çarpabildiğimiz gibi, üç güç serisini de çarpabiliriz:

Anlaşılacağı üzere sonlu tane güç serisini çarpabiliriz.
eşitliğini gösterin.

7.5. Aşağıdaki çarpımları bulun:
(1+t)(1+t²)
(1+t)(1+t²)(1+t⁴)
(1+t)(1+t²)(1+t⁴)(1+t⁸)
(1+t)(1+t²)(1+t⁴)(1+t⁸)(1+t¹⁶)
Bundan kimi zaman sonsuz tane güç serisini çarpabildiğimiz çıkar.

çarpımının ne olması gerektiğini söyleyin.
7.6. (1 + t)(1 + t)(1 + t)(1 + t)(1 + t) …. sonsuz çarpımı bir güç serisi olarak yazılamaz. Neden?

Problem 8. Aşağıdaki çarpımları bulun:
(1+t)(1+t²)
(1+t)(1+t²)(1+t³)
(1+t)(1+t²)(1+t³)(1+t⁴)
(1+t)(1+t²)(1+t³)(1+t⁴)(1+t⁵)
Bundan,

sonsuz çarpımının var olduğu anlaşılmalı.
Eğer n pozitif bir tamsayıysa, q(n), n’yi birbirinden değişik pozitif tamsayıların toplamı olarak yazma biçimi olsun, yani q(n),
A(n) = {(a₁, …, a_k) : k Î ℕ, k ³ 1, a₁, …, a_k Î ℕ, 1 £ a₁ < … < a_k  ve a₁ + a₂ + … + a_k = n}
kümesinin eleman sayısı olsun. Ayrıca q(0) = 1 olsun. Örneğin q(0) = 1, q(1) = 1, q(2) = 1, q(3) = 2, q(4) = 2, q(5) = 3, q(6) = 4, q(7) = 5, q(8) = 6.

eşitliğini kanıtlayın.
Problem 9.  sonsuz çarpımı, yani,

ya da
(1 + t + t² + t³ + … )(1 + t² + t⁴ + t⁶ + … )(1 + t³ + t⁶ + t⁹ + … )(1 + t⁴ + t⁸ + t¹² + … )…
sonsuz çarpımı bir güç serisidir. Bu sonsuz çarpımı

olarak yazalım. Buradaki p(n) sayılarının matematiğin daha güncel ve daha anlaşılır bir dilinde (yukardaki sorulardan esinlenerek belki) neyi ifade ettiğini bulun.