Ana sayfa 47. Sayı Ünlü matematikçilerin çocukluğu veya çocuk matematikçiler

Ünlü matematikçilerin çocukluğu veya çocuk matematikçiler

378
PAYLAŞ
Matematik
Ünlü matematikçi Kolmogorov öğrencileriyle.

Doç Dr. İsmihan Yusubov

Kolmogorov’a göre, asıl matematik yeteneği öylesine bir şey ki, bir defa seni sahiplendi mi, öteki yeteneklerin aşağı yukarı hepsi üzerinde dominant olarak, tıpkı nohutlarda sarı renk yeşili bastırdığı gibi onları bastırır. Bu açıdan bakıldığında Kolmogorov’a göre onun 13, sayılar teorisinde dünyaca ünlü keşiflere imza atmış ve 92 yaşında ölene kadar Sovyetlerin “Bilim Olimpi”ndeki konumunu korumayı başarmış Vinogradov’un ise sadece 9 (?!) yaşı varmış. İşte “çocuk matematikçiler”!

Aslında bu yazıda ele alınan konuları yıllar yılı içimde taşımışımdır ve yeri geldikçe küçük dostlarıma, öğrencilerime ve arkadaşlarıma bunlardan bahsetmişim ki, küçükler için öğüt alma, büyükler içinse esasen öğüt verebilme için malzeme olsunlar. Buna göre yazının muhataplarını tespit etmek o kadar da zor olmasa gerek; bunlar gençler, evladına maddiyatın dışında bir şey vermek isteyen veliler ve nihayet eğitim sektöründe çalışanlardır elbette.

Eğer yazıya başlamanın net bir nedeni var mıdır diye sorarsak, cevabı evet olacak. Ve bu neden, geçen eğitim yılında Gebze Mutlukent İlköğretim Okulu 5A sınıfından olan Halil Temurtaş adlı bir öğrencinin, sınıf öğretmenleri Nuray Elifoğlu başkanlığında takım olarak çıkarmak istedikleri Matematik Dergisi için benimle yaptığı röportaj olmuştur diyebilirim. Eski Sovyet döneminde esasen liselilere yönelik, fizik matematik içerikli çok meşhur ve geniş yayın alanına sahip bir dergi vardı: Kvant (Quantum)! Bu dergide standart olmayan, ilginç konuların yanı sıra, ünlü matematikçi ve fizikçilerle yapılan samimi röportajlara da zaman zaman yer verilirdi. İşte benimle yapılan röportaj sırasında, daha geniş bir toplum için bu ünlülerle “gıyabında röportaj yapma” isteği kafamda ve gönlümde iyice yer etmişti.

Yazının adına geldiğimizde, onda iki şeyin saklı olduğunu söylemem lazım. Birincisi ünlü bilim adamlarının, o sıradan ünlü matematikçilerin çocukluk yılları genelde ilginç hikayelerle zengin olur. Gerçi bunların bazıları onlar meşhur olduktan sonra uydurulmuş latifeler olabilir. Ama olsun, Sadi Şirazi’nin uydurduğu latifeler dünya çapında bir didaktik eğitim aracı olabiliyorsa, öteki iyi latifeler (edebi örnekler) neden bu hakka sahip olmasın? Öte yandan geçen asrın nerdeyse en ünlü matematikçilerinden olan Kolmogorov’un düşüncesine göre, asıl matematik yeteneği öylesine bir şey ki, bir defa seni sahiplendi mi, öteki yeteneklerin aşağı yukarı hepsi üzerinde dominant olarak, tıpkı nohutlarda sarı renk yeşili bastırdığı gibi onları bastırır. Bu açıdan bakıldığında Kolmogorov’a göre onun 13, sayılar teorisinde dünyaca ünlü keşiflere imza atmış ve 92 yaşında ölene kadar Sovyetlerin “Bilim Olimpi”ndeki konumunu korumayı başarmış Vinogradov’un ise sadece 9 (?!) yaşı varmış. İşte “çocuk matematikçiler”!

Bu bölümde son olarak, ele alınan konuyla ilişkisi açısından yararlı olur diye, benimle olan röportajdan iki sorunun yanıtını veriyorum.

1) Küçükken en sevdiğiniz ders ne idi? Samimi olarak söylüyorum ki, küçükken tüm dersleri aynı derecede “severdim” ve ders öğretmenlerimin bu alanda, iyi veya kötü yönde bir katkı sağladığını hatırlamıyorum. Öğretmenim nasıl davranırsa davransın, ben derslerimi aynı derecede “merak ediyordum”, tıpkı tutucu bir film seyredercesine. İlave edeyim ki, bu merakın hem de bir yarışma, sportif yönü vardı bana göre ve bu yarışmada en fazla başarıyı matematikte sağlardım genellikle.

2) En beğendiğiniz matematik bilgini kimdir? Maddi âlemde insan çok fazla şeyi sahiplenemiyor ve sahiplenebilse bile onun taşınması zor olurdu herhalde. Manevi âlemde böyle bir problem yok ve tüm büyük matematikçileri, “matematikçilerden oluşan sıra dağlarının zirveleri”nin tümünü beğenmenin bir sakıncası olmasa gerek ve ben de onların hepsini aynı derecede beğeniyorum. Şunu belirtmeliyim ki, bu “zirve”lerin sayısı hiç de sanıldığı kadar çok değildir. İsim söylemek gerekirse, Ruslardan Kolmogorov ve Vinogradov, Almanlardan Gauss ve Hilbert, İngilizlerden Newton ve Hardy, Fransızlardan Cauchy ve Poincare, İtalyanlardan Volterra, Hintlilerden Ramanujan, Polonya’dan Banach ve Türkiye’den Cahit Arf’ın isimlerini zikir edebiliriz. Tabii ki, 6. sınıfta her iki gözünü kaybetmesine rağmen, dünya matematiğinde bir zirve konumuna yükselmeyi başarmış Lev Semyonoviç Pontryagin’i de hatırlarsak, ruhu şad olurdu herhalde.

Çocuk çocukluğundan… ve onun gelişmesinde ailenin rolü

Her alanda olduğu gibi, matematik eğitiminde de iyi bir sonuç elde etmenin yolu, doğasında uygun yeteneklerin olduğu tespit edilen çocukların doğru yönlendirilmesidir. Burada aile, okul ve devlet üçgenine düşen görev, gerçekten gayret gösteren öğrenciyi her türlü korumak ve kollamaktır. Bildiğim kadarıyla Osmanlı döneminde “devşirme” denilen yöntem, esasen harp alanında bu amaçla kullanılmıştır. Kanuni Sultan Süleyman’ın büyük veziri ve damadı olmanın yanı sıra, İvo Andriç’in Nobel ödülüne layık görülmüş ünlü kitabına konu olan Drina Köprüsü’nün de kurucusu olarak adı tarihe geçen Sokullu Mehmet Paşa bu devşirmelerin en ünlülerindendi.

Eski Sovyetler Birliği’nde nerdeyse ilkokuldan başlayarak, her düzeyde sürekli yapılan matematik olimpiyatları da devşirmenin bir başka türü idi. Bu olimpiyatlarda belli düzeye yükselebilen öğrenciler, sınav yapılmaksızın uygun üniversitelerin matematik bölümlerine alınırlardı. Bunların en parlak örneklerinden bir tanesi, son zamanlar ismi flaş haberler listesinde yer almış Saint Petersburg’lu Grigori Perelman’dır ki, henüz 16 yaşındayken Macaristan’da yapılan Dünya Matematik Olimpiyatı’nın altın madalyasını, hem de en yüksek puanla kazanmayı başarmış ve bunun sonucunda Petersburg Üniversitesi’nin matematik bölümüne sınav yapılmadan alınmıştır. Son zamanlar onu meşhur eden olay ise, yüz yıllık tarihi olan Poincare Problemi’ne çözüm bulması olmuştur ki, bu nedenle Madrid’de yapılan Dünya Matematik Kongresi’nde ona, prestijine göre “Matematiğin Nobeli” diye de tanınan Filds Ödülü ve Madalyası verilmiştir. Bunun dışında, çözülen problem 1 milyon dolarlık fiyat biçilmiş meşhur “Millenium” problemlerinden olduğu için daha bazı ödüllere de aday olacak gibi gözüküyor. Meselenin ilginç yanı ise şu ki, tüm bu ödüller, manşetler ve benzerleri sanki adamın ilgisini çekmiyor, tam tersine nerdeyse hasta ediyormuş. İşte, çocuk matematikçi örneklerinden son bir tanesi. İlave edelim ki, Perelman üniversitede her zaman düzenli çalışmış, notları sürekli pekiyi olmuş ve kendisini geçindirecek düzeyde özel burs almıştır.

Elbette her alanda olduğu gibi, bu alanda da standartlara ters düşen örnekler yok değildiler ve bunların belki de en parlak örneği, 20. yüzyıl başlarında İngiltere’nin sömürgesi konumunda olan Hindistan’da yetişmiş dahi matematikçi Sirinivasa Ramanujan’dır hiç şüphesiz. Üniversitenin 1. sınıfında bırakılmasına rağmen, kendi gayretleri ve matematiğe olan aşırı tutkusu sayesinde henüz 30 yaşını doldurmadan Cambridge Üniversitesi’nin profesörü ve Londra Kraliyet Camiasının üyeliği gibi şerefli unvanlara talip olmuştur. Ekleyelim ki, o dönemin üst düzey matematikçilerinden olan Harold Hardy ile karşılaşması açısından, Ramanujan’ın şansı da yaver gitmiştir denilebilir. Maalesef, bu başarılarından sonra kendi vatanında da değer kazanan ve Madras Üniversitesi’nde profesör kürsüsüne atanan ünlü matematikçi, görevine başlamadan yaşama veda etmiştir.

Benzer bir olayı da Sovyetler Birliği’nden aktaralım ki, manzara tam olsun. 20. yüzyılın büyük matematikçilerinden sayılan İ. M. Gelfand 1930 yılında, henüz 16 yaşında, lise diplomasız ve parasız, bin bir zorluklarla yüzleşerek, Karadeniz kıyısındaki Odessa’dan Moskova’ya uzak akrabalarından birinin yanına gelmiştir. Geçimini sağlamak üzere her türlü işlerde çalışan geleceğin meşhur matematikçisi, kendini yetiştirmek amacıyla zamanının çoğunu merkezi Lenin kütüphanesinde geçirmiş, hatta bir süre orada gece bekçisi olarak da çalışmıştır. Bu sırada Moskova Üniversitesi öğrencileriyle tanışlık onu önce üniversitedeki matematik seminerlerine, daha sonra ise göstermiş olduğu yeteneklerinden dolayı, ünlü Kolmogorov’un doktora öğrenciliğine kadar götürmüştür. Aşağıda bu olaya yeniden döneriz belki, ama şimdilik ekleyelim ki, 94 yaşlı gerçek matematikçi halen ABD üniversitelerinden birinde çalışmalarını eski azim ve aşkla sürdürmektedir.

1980 yıllarında Moskova Üniversitesi’nde staj yaparken, kimi zamanlar Gelfand’ın haftada bir defa, pazartesi akşamları yapılan ve yeterince meşhur olan seminerine katılmışımdır. Seminerde esasen Gelfand’ın öğrencileri olmuş profesörler ve misafir yabancı bilim adamları ilk saflarda yer alıyorlardı. Genç bilim adamları ve öğrenciler (2. sınıftan başlayarak) arka safları dolduruyorlardı. Bu seminer aslında bir tiyatro oyununu, Gelfand’ın kendisi ise Nejat Uygur’u anımsatıyordu şimdi anladığım kadarıyla. Yani insanlar bu seminerde hem bilgi, hem keyif, hem de ve en esası, gelecek çalışmaları için enerji, motivasyon buluyorlardı. Burası hem seni anlayabilecek kişilerle bir buluşma mekânıydı diyebilirim. Seminer her zaman 1 saat geç başlardı ve bu saat içerisinde katılımcılar hem kendi aralarında, hem de Gelfand’la serbest konuşma ve tartışma fırsatı buluyorlardı. İlave edelim ki, üniversitede yapılan seminerlerin nerdeyse hepsinde geleneksel olarak bu tarz hükmünü sürdürmekteydi.

Kendi memleketinde Bilim Akademisinin asıl üyesi olmadığı halde, Fransa Akademisine asıl üye seçilmişti ve bununla çok gururluydu, onların gönderdikleri dergileri kimi zamanlar seminer sırasında koltuğunda taşırdı hatta. Sürekli tekrarladığı iki şey vardı: seminerde konuşma yapanın yüce sesle konuşmasını isterdi. Neden olarak, yüceden anlaklı şekilde konuşan birisini bir “akıllı” adamın duyması ve onun yanlışlarını düzeltebilmesi ihtimalinin hayli büyük olmasını ileri sürerdi. Soru soran bir öğrenciye ise geleneksel olarak, “Şimdi bunu sana bir daha öylesine anlatırım ki, hatta sayın profesörler de anlamış olacaklar nerdeyse” derdi. Sanırım Gelfand seminerlerini tatlı tuzlu eden nedenlerden bir tanesi de katılımcılara, makamına bakmaksızın yapılan bu tür yaklaşımlardı hem de.

Matematik bir bilim dalı olarak yapısı itibariyle esasen gençlerin bilimidir diyebiliriz. Bundan dolayıdır ki, büyük matematikçiler en parlak keşiflerini esasen genç yaşlarında yapmış olurlar. “Matematikçilerin kralı” gibi şerefli bir lakaba mahzar olmuş Alman Gauss’un matematiği meslek olarak seçmesine neden olan şey, onun henüz 19 yaşında varmış olduğu bir gerçekti: Kenar sayıları asal olan düzgün çokgenin cetvel ve pergel yardımıyla çizilmesi için bu sayının Fermat’ın asal sayısı olması gerekmekteydi. Kendisi bu teoremin ispatında bulduğu yöntemi kullanarak düzgün 17-geni çizmiş ve bu çizime o kadar önem vermiştir ki, vasiyetine göre mezar üstü abidesinin temeline düzgün 17-gen çizilmiştir.

Yine Rus matematikçisi A. N. Tikhonov, kendi ismini taşıyan ve kartezyen çarpımı ile kıyaslanan meşhur çarpımını henüz üniversitenin 2. sınıfındayken 19 yaşında bulmuştur. Norveçli Abel ve Fransız Galois’da, 5 ve daha yüksek dereceden cebri denklemlerin genelde radikallerde çözülemeyeceği hakkındaki keşiflerini çok genç yaşlarında ortaya koymuşlardı. Bundan dolayıdır ki, hakkında yukarıda da değindiğimiz Filds ödülü ve madalyası 40 yaşını aşmayan matematikçilere verilir yalnızca. Belki işte bu nedenlerden dolayıdır ki, matematik yetenekleri olan çocukların gelişmesinde ailenin çabaları daha fazla önem taşımaktadır.

Bu düşünceyi kuvvetle destekleyen iki parlak örnekten bir tanesi, Rusya’da topolojinin ve dünyada “boyut teorisi”nin temellerini atmayı başarmış P. S. Urıson olabilir bence. Henüz, çok küçük yaşlarında kitapla dostlaşsın diye, ailesi ona Fransa’dan nefis tertiplenmiş cazip kitaplar getirtmiştir. Evin, kimya laboratuarına dönüştürülmüş bodrum katındaki korkunç patlayıştan sonra, onun için gelecek çalışma alanı olarak, sağlık açısından daha güvenli matematik seçilmiştir. Genç Urıson Moskova Üniversitesi’ni kazandıkta ise, aile ona destek olmak amacıyla Karadeniz kıyısındaki doğma Odessa kentini terk ederek Moskova’ya yerleşmiştir. İşte destek.

Aynı nedenlerden dolayı, Moskova matematik ekolünün gelecek kurucusu N. N. Luzin’in ailesi, o, henüz 11 yaşında iken, biricik oğullarına iyi bir eğitim vermek amacıyla, doğma yurda elveda ederek, Baykal gölünün güney batısındaki İrkutsk kentinden kuzey batı yönünde yola çıkmış ve binlerle kilometre yol kat ederek, bir az daha gelişmiş, üniversiteye sahip Tomsk kentine yerleşmişlerdi. İşte burada ona antrenör olarak alınan genç bir üniversite öğrencisi, onun üst düzeyde matematik mantık sahibi olduğunu “keşfetmiştir”. Ve bu keşif sonucunda, önceleri matematikten zayıf alan küçük Nikolay lise sonrası Moskova Üniversitesi’nin matematik bölümünü kazanırken, ailesi onu yine yalnız bırakmamış ve onu takiben Moskova’ya yerleşmiştir. İşte çocuğunun geleceği için ailesinin yapmış olduğu bir fedakârlık örneği.

Göründüğü üzere çocuğun sorumluluk ve disiplin düzeyi genelde ailenin onun için katlanmış olduğu fedâkarlık düzeyi ile doğru orantılıdır ve bu olay küçümsenmeyecek derecede önemli. Çocuk, aile için onun ne kadar önem taşıdığını yaşamının her döneminde, her anında duyarsa, bu onu hem gururlu yapar, hem de başarıdan başarıya koşmaya motive eder. O, görmeli, tüm varlığıyla duymalıdır ki, başarıları ailesini mutlu ettiği gibi, eksiklikleri onlara acı ve üzüntü yaşatmaktadır. Ve bunlar onun geleceği açısından çok önemli. Bu arada, çocuğun fiziğinin ve zihinsel yapısının matematiğe uygun olmasının tespiti de çok önemli. Bu uygunluk olmadan yapılan tüm çabalar fazla anlam taşımaz elbette. Nasıl derler: “Ekmeği ver ekmekçiye ve ek olarak da fazladan bir tanesini”.

Ünlü çocuklar

Her meşhur bilim adamının çocukluk hatıralarında, onların bilim adamı olmasında temel rol oynamış birkaç olaydan bahsedilir esasen. Tabi zamanla onlara bazı “zaruri” ilaveler olunmakla, bu hatıratlar nerdeyse birer efsaneye dönüştürülüyor. Yukarıda bunların bazılarına değinmiştik. Yine de iyi bir örnek olsun diye bir kaçını daha ele alalım. Ekleyelim ki, Kolmogorov’a göre bu ilginç yetenekler esas itibariyle çocuk 12-13 yaşlarındayken kendini göstermektedir.

Misal için, ismi diferansiyel denklemler teorisinde Poisson Denklemi, teorik ve matematik fizikte Poisson Parantezleri, olasılık teorisinde Poisson Dağılımı ve taksim problemlerinde Poisson Problemi ile bağıntılı olarak anılan Fransız Simeon Poisson çocukluğunda onun ilgisini çeken şöyle bir problemle karşılaşmış ve onu çözmeyi başarmıştır: “12 litrelik sütü 8 ve 5 litrelik kapları kullanarak yarı yarıya bölmek gerekmektedir.” Kendi deyimine göre bu problemi çözebilmesi onun geleceğini belirlemiştir. “Ben kesinlikle matematikçi olacağıma karar verdim” diye sonralar, o, hatırlamıştır. İlave edelim ki, bu taksim probleminin daha basitleri olan (10, 7, 3) ve (8, 5, 3) üçlükleri ile bağıntılı problemler daha yaygındır.

Yeri gelmişken, çağdaş matematik dünyasının saygınlarından olan, Moskova ve Paris’te seminerleri faaliyet gösteren, Kolmogorov’un öğrencisi olmuş Arnold’un da benzer hatırası var ve onu da burada ele alalım. Daha ilkokulda iken ev ödevi olarak verilen bir problemi sınıfta sadece o çözebilmiştir ki, bu da onun gelecekte matematikçi olacağına karar vermesine neden olmuştur. Problem şudur: “İki ihtiyar aynı zamanda komşu kasabalardan karşı karşıya olmakla yola koyulur. Onlar öğlen saat 12’de karşılaşıyorlar ve bundan sonra bunlardan biri karşı kasabaya yetişmeye 4, diğeri ise 9 saat zaman sarf etmiştir. İhtiyarlar kendi kasabalarını saat kaçta terk etmişlerdi?”

Yukarıda ismi zikrolunan Gelfand’a göre problemi çözmek işin bir yarısıdır sadece, işin ikinci yarısı, belki de adamın gelecekte matematikçi olacağından haber veren yarısı, problemi ve onun çözümünü enine boyuna evirip çevirmektir. Bu arada cevap belli ise ona bakmakta utanç getirici bir şey yok, çünkü asıl matematik problemlerle uğraşa girenlerin kafalarında bulmak istedikleri cevap (tahmin) genelde hazır bulunuyor. Mesela Pisagor teoremi ile tanışlık zamanı kenarları doğal sayılarla ifade olunan (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) vs üçgenleri onun ilgisini çekmiş ve o, “kenar uzunlukları doğal sayılarla ifade olunan Pisagor üçgenleri için genel bir formül çıkarmıştır”. Veya bir arkadaşının ona teklif ettiği, “Bir dairenin kendi teğeti etrafında dönmesinden oluşan figürün hacmi nedir?” problemini kendine has yöntemlerle çözdükten sonra, bunu “evirip çevirmiş” ve “r yarıçaplı dairenin, daire düzleminde onun merkezinden R > r mesafede olan doğru etrafında dönmesinden oluşan ‘simidin’ hacmi nedir?” problemi için 2(πr)2R  formülünü bulmuştur. Daha sonra bu sonucu da (2πR)(πr2) şeklinde yazarak yeterince meşhur bir sonuca ulaşmıştır: “Düzlemsel bir figürün, onun düzleminde olmakla figür dışında yerleşen bir doğru etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi, figürün alanıyla, onun ağırlık merkezinin dönme zamanı çizmiş olduğu çember uzunluğunun çarpımına eşittir”.

Rahmetli Cahit Arf’ı da matematiğe götüren, kendi değimiyle, “İlk okulda rahatlıkla çözümlediği ve bundan çok mutlu olduğu, 4, 5, 6 sorulu aritmetik problemler olmuştur”. Einstein’ı bilime götüren ise, yine kendi değimine göre “henüz çocukken karşılaştığı pusula ve Öklit geometrisi olmuştur”. Onlardan birincisi küçük Albert’in kalbinde doğadaki esrarengiz kuvvetlerle bağıntılı merak ve korku oluşturduysa da, ikincisi onda bu kuvvetlerin belirli prensiplere uymak zorunda olmasından kaynaklanan bir eminlik yaratmıştı. Maxwell’i bilime götüren buluş ise, o, henüz 13 yaşındayken yapılmıştır. Bu buluş, “iki çiviye bağlı ipi geren kalemin, düzlem üzerinde hareketi zamanı, odak noktaları bu çiviler olan elips çizmesi” ile bağıntılıydı. 1960-70 yıllarında nerdeyse bir numara matematikçi gibi değerlendirilen Rus Kolmogorov’un henüz okula başlamadan yapmış olduğu keşif “ilk n tane doğal sayının toplamının n2-ye eşit olması” hakkındaki teorem idi. Bu dönemlerde, o, kendisi gibi çocuklar için, “4 delikli düğme kaç değişik biçimde çömleğin yakasına berkitilebilir?” şeklinde bir problem de koyabilmiştir. Ekleyelim ki, ortaya değerli bir problem atmak, onu çözmek kadar, belki de fazlasıyla önem taşımaktadır. 20. yüzyılda matematiğin yönünü belirleyen meşhur Hilbert problemlerini hatırlatmak yeter bence.

Nerdeyse 350 yıllık tarihe sahip meşhur Fermat problemini çözmeyi başarmış İngiliz Andrew Wiles’ın yapmış olduğu iş tam da Sezar’ın ünlü “Geldim, gördüm, kazandım!” deyimi ile karakterize olunabilir. 1953 doğumlu Andrew bu problemle 1963’te, henüz 10 yaşında tanıştıktan sonra, onu sürekli olarak içinde taşıdı ve 31 sene sonra 1994’te bu problemi çözerek “kazandı”. Böylece yeni deyim, “Doğdum, gördüm, kazandım!” şeklinde söylenebilir. İlave edelim ki, bu ispatıyla matematik camiasının ön saflarında yer alarak, layık olduğu üne kavuşmuş genç matematikçi, ömrünün ispat öncesi tam 8 yılını inzivaya çekilerek sadece bu çocukluk tutkusu ile uğraşmıştır. Problemin koyuluşu ise çok sadedir: “n > 3 olduğunda xn + yn = zn denkleminin tam sayılar kümesinde çözümü yoktur”.

Elbette bu örneklerin listesini daha da uzatabiliriz, ama sanırım bu kadar yeterlidir.

Arnold’un matematik problemleri

Rus matematikçisi Arnold’un ne kadar saygın bir matematikçi olduğuna yukarıda yeterince değinmiştik. Bu problemler onun tarafından 2004 yılında, Paris’te yaşayan Rus muhacirlerinin ricası üzerine, onların çocukları için kaleme alınmıştır. Kitabın önsöz kısmında şöyle denilir: “Paris’te yaşayan Ruslar benden, onların çocuklarına Rusya için geleneksel, fakat tüm Batı düşünce kültürünü aşan bir düşünce tarzını yakalama noktasında yardımcı olmamı istemişlerdi. Benim tam olan inancıma göre bu kültür, aşağıda verilmiş sade, ama kolay olmayan problemler üzerinde erken yaşlardan başlayarak serbest şekilde düşünmekle edinilebilir”. Aşağıda bu problemlerden bazılarını Bilim ve Gelecek dergisinin saygıdeğer okuyucularının dikkatine sunmak istiyorum.

1) Fiyatı kuruşsuz YTL ile ifade olunan bir kitabı almak için Mehmet’in 7, Ahmet’in ise 1 YTL’si yetmiyor. Onlar kitabı ortaklaşa almak için paralarını topladıkta da para yeterli olmadı. Kitabın fiyatı kaçtı?

2) Tuğlanın ağırlığı yarım tuğla ve 1 kilogram çeki taşının toplam ağırlığına eşittir. Tuğlanın ağırlığı kaç kilogramdır?

3) Dolu olmayan bir kâse sütten, dolu olmayan bir bardak çaya bir kaşık süt aktardıktan sonara, bardaktaki çay iyice karıştırılır ve yine ayni kaşıkla bir kaşık sütlü çay süt kâsesine aktarılır. Hangisi fazladır: bardaktaki süt mü, yoksa kâsedeki çay mı?

4) Uğur’un kız kardeşlerinin sayısı erkek kardeşlerinin sayısından 2 fazladır. Uğur’un ailesinde kızların sayısı oğlanların sayısından ne kadar fazladır?

5) Köylü aç köpek, aç keçi ve kocaman bir lahanayı tekne ile nehirden geçirmelidir. Fakat tekne küçük olduğundan, o, bu üçünden yalnızca birini alabilir her defasında. Şimdi vatandaş nasıl yapsın ki, köpek keçi ile ve de keçi lahana ile birlikte kıyıda bakımsız kalmasın?

6) Gölün yüzeyinde oluşan ender bir çiçek süratle büyüyerek her sonraki gün, göl yüzeyinin bir önceki gündekinden iki defa fazla olan alanını kapsıyor ve 30 günde gölün yüzeyi tümüyle örtülmüş oluyor. Kaçıncı gün bu çiçek göl yüzeyinin yarısını kaplamış oluyor?

7) Salyangoz yüksekliği 10 metre olan bir sütuna tırmanıyor. Şöyle ki, gündüzleri 3 cm tırmanan salyangoz, gece uykusu zamanı her defasında 2 cm kadar aşağı kayıyor. Bu gidişatla bu “asta gel” salyangoz sütunun tepesine kaçıncı gün ulaşır?

8) Avcı, çadırından dışarı fırlayıp 10 km kadar doğru güneye taraf gittikten sonra, doğuya taraf döndü ve bu yönde daha 10 km ilerleyip karşısına çıkan ayıyı avladı ve bu sefer de kuzeye taraf dönüp, o yönde yine 10 km yol kat ettikte çadırına varmış oldu. Ayının rengi neydi ve çadır neredeydi acaba?

9) Reşat Nuri Güntekin’in iki ciltlik kitabı rafta yan yana koyulmuştur. Ciltlerin her birinde içeriğin kalınlığı 2 cm, kapakların kalınlığı ise 2 mm’dir. Nerdense peyda olan yaramaz bir kitap kurdu birinci cildin ilk sayfasından başlayarak, ikinci cildin son sayfasına kadar kağıdı acımasızcasına yiyerek doğrusal bir tünel açtı. Tünelin uzunluğu ne kadardır? (cevap: 4 mm ?!)

Hepsi Arnold’dan olmaz ki, bir tanesi de bizden olsun: Üç erkek kendi eşleriyle seyahat sırasında bir nehirden geçmeli olurlar. Yalnız iki kişi alabilen bir tekneyle bunların öyle geçmesi lazım ki, erkeği ile beraber olmayan kadının yanında başka bir erkek bulunmasın. Bunu başarabilir miyiz?

Eklememiz gerekir ki, bu tür problemler çok eski zamanlardan oluşturulmuş ve her vakit çocuklarda yüksek düşünme kültürünün gelişmesine hizmet etmiştir. Maalesef son zamanlar belli nedenlerden dolayı, küresel olarak başka bir kültüre -düşünebilmeme ve böyle bir istekte de bulunmama kültürüne önem verilmektedir. Bu ise artık başka bir makalenin konusu olmaya aday. Bu tür problemler aynı zamanda “yapay zekâ” denilen yapıların başlangıç gelişmesinde bir mihenk taşı, bir test olarak kullanılmıştır.

 

KAYNAKÇA

1) Akademik İ. M. Gelfand ile söyleşi, Kvant, 1, Moskova, 1989.

2) V. İ. Arnold, 5’ ten 15 yaşına çocuklar için problemler, MTNMO, Moskova, 2004.

3) V. D. Çistyakov, Matematikçiler hakkında öyküler, Minsk, 1963.

4) S. Singh, Fermatın büyük teoremi, MTNMO, Moskova, 2000.

5) İ. M. Yusubov, Hayranlık duyduğumuz bir matematikçi: Ramanujan, Bilim ve Ütopya, 108, Haziran, 2003.

6) İ. M. Yusubov, Sovyet matematiği ve matematikçileri hakkında-2: Luzitaniya, Bilim ve Gelecek, 11, Ocak 2005.