Ana sayfa 87. Sayı Matematiksel Semboller

Matematiksel Semboller

Matematik Sohbetleri

3236
PAYLAŞ

Ali Törün

1995’te Cahit Arf’ın 85. doğum yıldönümü onuruna düzenlenen bir sempozyuma katılmıştım. Toplantı salonunun lobisinde matematikçilerle söyleşen Cahit Arf’ın şu sözlerini anımsıyorum: “Yaşar Kemal’in İnce Memed’i çok güzel; eğer edebi bir metin değil de, matematiksel bir metin olarak yazılabilseydi, ben onu matematik diliyle iki sayfada yazmak isterdim.” Bu fantastik espri matematik dilinin ekonomik niteliğine vurgu yapıyordu. Ama o gün, o ayaküstü sohbette bu esprinin gerçekleşmesi kurgusu üzerine de konuşulmuştu. Hiçbir çeviriye gerek kalmadan her ülkede, matematiği bilen herkesin İnce Memed’i okuyabileceği şakası yapılmıştı. Kuşkusuz bu şaka matematik dilinin evrenselliğinden kaynaklanıyordu.

Matematiğin dili dünyanın ortak dilidir. Bir logaritmik denklemin çözümünü, bir eğrinin çizimini yapan her kişi dünyanın neresinde olursa olsun aynı matematiksel sembolleri kullanacaktır. Matematiğin 5000 yıllık yazılı tarihinde zenginleşerek birçok değişikliğe uğrayan bu semboller matematiksel anlatımın yapıtaşlarıdır.

Günümüz matematik notasyonu 500 yüzyıllık bir geçmişe sahiptir ve önemli bir bölümü son 250 yıl içinde ortaya çıkmıştır. Ama matematiksel sembollerin kullanımı 5000 yıldan da öncesine dayanır. Babillerin ve muhtemelen onlardan önce Sümerlerin sayılarla ilgili bazı sembolleri kullandıklarını biliyoruz. Çoğunlukla sayıları 60 tabanında yazmışlar. Kullandıkları bu sayı tabanının etkisini günümüzde de görmek mümkün. Dakika, saat, yıl gibi zaman ölçü birimlerini, çemberin çevresinin 360 dereceye bölünmesini 60’ın katı sayılarla ifade ediyoruz. Bugün de binlerce yıl önce sembolize edilmiş bu sayılarla birlikte yaşıyoruz.

Babillerden çok önce de sayıların gösterimi için bazı semboller kullanılmıştır mutlaka. Bulunan ilk gösterim 37000 yıl öncesine ait olduğu bilinen bir hayvan kemiği parçası üzerindeki 29 adet çentiktir. Birli sistemde çalışmışlar, örneğin 5 sayısını göstermek için beş çentik atmak gibi. Tabii ki bu bulgunun sayıların ilk gösterimi olup olmadığı kesin değil. Uzak tarihe ait gösterimleri tam olarak bilmemiz olanaksız.

Matematiğin tarihine daha yakından bakarsak günümüz matematik dilinin ortaya çıkışının 15. yüzyılın sonuna karşılık geldiğini görürüz. 16. yüzyılda cebir alanında yapılan çalışmalar matematik notasyonunun doğmasına yol açmıştır. Bugün cebirde kullanılan birçok sembol bu dönemde oluşmuştur.  Bilinmeyen çoklukların harflerle gösterilmesi, dört işlem için sembollerin kullanılması problemlerin çözümünde büyük kolaylıklar getirmiştir. İlkel bir cebirden sembolik cebire geçiş süreci, birkaç yüzyıllık bir zaman diliminde gerçekleşmiştir. Daha sonrasında, matematik dilinde birlik sağlama 19. yüzyılın sonlarına doğru daha çok ihtiyaç haline gelmiştir.

Matematiksel gelişmeye koşut olarak ortaya çıkan ve yüzyıllar öncesinden günümüze dek gelen matematiksel semboller neyi amaçlar? Bir matematiksel sembol, temsil ettiği

 

matematiksel nesneyi açık ve kesin olarak ifade edebilmelidir. Ayrıca kullanım kolaylığı olmalı, yaygın bir şekilde kabul görmelidir. Aslında matematiksel gösterimlerin başat amacı kısaltmadır. Kısaltma olmaksızın matematik yapmak adeta olanaksızlaşır. Bunun en güzel ve basit örneği sayıların gösteriminde karşımıza çıkar. Günlük dilde bir tane kelime “on” için, bir başka kelime “yüz” için ve bir başkası “bin” için vardır ve dahası… Ama biz biliyoruz ki “on”’u “bir ve sıfır” (10), yüzü “bir, sıfır, sıfır” (100), bini “bir, sıfır, sıfır, sıfır” (1000) olarak gösteriyor ve bir rakamı farklı konumlarda tekrar kullanarak farklı anlamlar çıkarabiliyoruz. Bu pratik ve ekonomik gösterimin keşfi insanlığın binlerce yılını almıştır.

Matematik tarihinde sadece birkaç matematikçi evrensel olarak kabul edilen sembollerden iki veya üçten fazlasını icat edebilmiştir. Gottfried Leibniz (1646–1716), Leonhard Euler (1707–1783), Giuseppe Peano (1858–1932) mükemmel semboller yaratmışlardır. Leibniz, diferansiyel ve integral hesapta, Peano matematiksel mantıkta günümüzde de kullandığımız gösterimleri ifade etmişlerdir. Euler ise matematiğin farklı alanlarına ait notasyon yaratmakta çok başarılı olmuştur. Sayılardaki e ve i simgeleri,ile gösterilen toplam sembolü, f = f(x) fonksiyon sembolü, trigonometrideki sinx, cosx, logaritmadaki logx sembolleri, üçgenin kenar uzunluklarının a, b, c gibi küçük, köşelerinin A, B, C gibi büyük harflerle gösterilmesi, r iç teğet çemberin, R çevrel çemberin yarıçapları, S çevrenin yarısı olmak üzere bir üçgenin temel altı uzunluğu arasındaki ilişkiyi sergileyen 4Rrs = abc eşitliği Euler’e aittir.

Nitelikli bir matematiksel notasyon nasıl tanımlanır? Bu soruyu Amerikalı matematikçi Alferd North Whitehead (1861–1947) şöyle yanıtlar: “İyi bir notasyon, beyni bütün gereksiz işlerden kurtarmakla daha ileri problemler üzerinde yoğunlaşması için özgür bırakır ve sonuçta insanın zihinsel gücünü geliştirir.” Bu tanıma uygun en güzel örnekleri Leibniz vermiştir; kullandığı gösterim sistemi açık, kesin ve zariftir. Bugün diferansiyel ve integral hesapta kullanılan teknik dil büyük ölçüde Leibniz’e aittir. Onun bulduğu sembolleri matematikçiler, daha ileriki kuramsal çalışmalarda kolaylıkla kullanabilmiştir. Notasyon yazımında Leibniz’i diğer matematikçilerden ayıran en belirgin yan, sembolleri öngörüyle yaratmasıdır. Örneğin Newton, bir f fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerini önce  olarak göstermiş ardından f’nin üstündeki noktanın kâğıttaki başka bir noktayla veya bir lekeyle karıştırılabileceği itirazı üzerine  ve  olarak değiştirmiştir. Leibniz ise ,  sembollerini kullanmıştır.  Bu iki gösterim arasında diferansiyel hesap kuramına uygunluk bakımından önemli farklar vardır. yazılımı yanıltıcı olabilir; çünkü f’ nin türevinin hangi değişkene (z, t olabilir) göre alındığı belirsizdir. Leibniz bu sorunu görebildiğinden kullanmıştır. Ayrıcagösterimi, n pozitif tamsayıyken ardışık türevlerin sayısını ifade eder, bu da bize n’nin negatif veya rasyonel sayı değerleri için  yazılımına göre yorum yapma olanağı sağlar.

Günümüz matematik dilinde kullandığımız gibi bazı semboller İtalyan matematikçi Giuseppe Peano’ya aittir. Kurucusu olduğu matematik dergilerinde yayımladığı makalelerde matematik notasyonunda çığır açmıştır. Daha önce Leibniz’in de hayali olan, öğrenilmesi kolay uluslararası bir dil yaratmaya çalışmış ama yaygınlaşmasını sağlayamamıştır.

Bertnard Russell, (1872–1970) 1900’deki ünlü Paris Konferansı’nda Peano’yla karşılaşmasını entelektüel hayatının dönüm noktası olarak görmüştür. Russell, Peano’nun matematiksel mantık ve dil üzerine yaptığı çalışmalara olan hayranlığını şu sözlerle ifade etmiştir: “Onun yarattığı matematiksel notasyonu  inceledikçe, anlatmak istediği şeyi azaltmadan, ona zarar vermeden, kullandığı sembollerin ortaya koyulan matematiksel düşünceyi nasıl güçlendirdiğini gördüm, yıllardır aradığım şey buydu ve yeni bir teknik kazanmış oldum.”

Matematiksel semboller, matematik dilinin sözcükleri gibidir. Nasıl ki bir düşünceyi doğru ve güzel bir biçimde aktarabilmek için özenle seçilmiş uygun sözcüklere gerek varsa, matematik yapmak için de güçlü, nitelikli sembollere gerek vardır. Matematik tarihine bakıldığında birçok matematikçinin daha mükemmel semboller yaratma çabası içinde olduğu görülür. Belki de Cahit Arf, İnce Memed’i iki sayfaya indirgemeyi hayal ederken bu mükemmel sembollerin gücüne güveniyordu! Haklıydı, semboller olmasaydı Cahit Arf ismi matematik tarihine yazılamayacaktı ve yeryüzünde tek bir kişi bile onun matematiksel keşiflerini ifade edemeyecekti. Oysa bugün, matematik literatüründeki Arf(x), Arf(y) kısaltmalarıyla matematik yapan matematikçiler var.

Kuşkusuz, matematik sembolleri matematik yapan herkes için gerekli. Onlar olmasaydı matematiğin büyülü dünyasındaki o güzel yolculuklara çıkamayacaktık. Galile’nin “evrenin dili” dediği matematik, dünyanın her yerinde ırk, din, dil farkı gözetmeksizin tüm insanların ortak dili olamayacaktı.

Bazı matematiksel gösterimlerin kısa tarihçesi

 (Dört işlem işaretleri): Onbeş ve onyedinci yüzyıllar arasında ortaya çıkan bu semboller, Alman ve İngiliz matematikçiler tarafından ifade edilmiştir. ( + ) ve ( işaretlerini ilk kez Jean Viedman 1489’da yayımlanan Pratik Matematik isimli kitabında kullanmıştır. Toplama işareti, Latincede “ve” anlamına gelen ve ön ek olarak kullanılan “et” sözcüğünün ikinci harfi olan “t” den türetilmiştir. Bölme sembolü olan () işaretine ilk kez 12. yüzyılda yazılan Arapça eserlerde rastlanmıştır ve bu işaret söz konusu eserlerde kesirli değerleri göstermek amacıyla kullanılmıştır; Avrupalılar ise önceleri bu sembolü çıkarma işlemini tanımlayan bir sembol olarak kullanmışlar, daha sonra çıkarma işareti  olarak bu gösterim günümüze dek gelmiştir. Çarpma işareti ilk kez 1631’de William Oughtred tarafından olarak kullanılmıştır. Leibniz, John Bernoulli’ye gönderdiği mektupta işaretinin yazılışının pratik olmadığını ve bilinmeyen için kullanılan x harfiyle karışabileceğini öne sürerek, (a∙b) biçimindeki noktayla olan gösterimi kullandığını yazmıştır.

 (Eşitlik işareti): 1557 yılında Galli matematikçi Robert Recorde, çalışırken “eşittir” sözcüğünü bıktırıcı bir biçimde tekrar tekrar yazmanın zorluğunu belirtmiş, “Paralel iki çizgi koydum,  çünkü paralel iki çizgiden daha eşit bir şey olamaz.” diyerek bu sembolü kullanan ilk kişi olmuştur.

 (Karekök sembolü): Bu sembol ilk kez 1525’te Kristof Rudolff tarafından kullanmıştır.  Matematik tarihçilerinden bazıları Rudolff’un bu sembolü İngilizcede “kök” anlamına gelen “radix” sözcüğünün ilk harfi olan küçük “r” den türettiğini varsaymışlardır.

(Faktöryel sembolü): Bu sembolü ardışık pozitif tamsayıların çarpımının gösterimindeki zorluğu aşmak için ilk kez 1808’de Christian Kramp kullanmıştır. Sayının sağına ünlem işaretinin koyulma nedeni sayı büyüdükçe çarpımdaki büyümeye dikkat çekmek olarak yorumlanmıştır.

(Niceleyici sembolleri): sembolünü ilk kez, 1897’de Giuseppe Peano Matematik Formülleri ismiyle yayınladığı kitabında kullanmıştır.sembolü ise Gerhard Gentzen tarafından sembolünün ortaya çıkışından 38 yıl sonra 1935’te yaratılmıştır. Günümüz matematiğinde birbirinin tamamlayıcısı olan bu sembollerin 38 yıl arayla ifade edilmiş olması matematik notasyonunun gelişimini çok iyi anlatır.

(Boş küme sembolü): Norveç alfabesinde bir harf olan bu sembol ilk kez N. Bourbaki grubunun 1939’da yayımlanan Elemanter Matematik isimli kitabında kullanılmıştır. Bourbaki grubunun üyesi Fransız matematikçi André Weil bir yazısında, kızının okulda “boş kümeyi” kendilerinin önerdiği bu sembolle öğreniyor olmasından gururlandığını ifade etmiştir.

(Sonsuz sembolü): Bu sembol ilk kez 1665’te İngiliz matematikçi John Wallis’in yayımladığı bir kitapta yer almıştır. Wallis bu sembolü Yunan alfabesinin son harfi olan ’dan (omega)  esinlenerek “sonsuz, son sayı olsaydı son harfle gösterilirdi” düşüncesiyle türetmiştir.

(İntegral sembolü): Bu sembolün yaratıcısı Leibniz’dir. Eğri altında kalan alanı “sonsuz küçük alanların” toplamı olarak ifade ettiğinden Latincede toplama anlamına gelen SUMMA sözcüğünün ilk harfi olan S’nin uzatılmış şeklini integral sembolü olarak kullanmıştır.

0 (Sıfır): Sıfır kavramının ilk olarak hangi medeniyet içerisinde ve kim tarafından kullanıldığı belirsizdir ama sıfır sayı işareti olarak ilk kez milattan sonra 5. yüzyılda yazılı Hint eserleri içinde görülmüştür. Hint Dünyası’nın ünlü matematikçi ve astronomu Brahmaqupta 632 yılında yazdığı Siddihanta isimli eserinde dokuz ayrı sayı işaretinin yanında sıfırı da kullanarak hesaplamalar yapmıştır. Hint bilginleri, dokuz ayrı rakamın bazı sayıları ifade etmekte yetersiz kaldığını görmüşler, eksik kalan basamağı önce boş bırakmışlar sonra “.” (nokta)  koymuşlar, sonrasında da “0” (sıfır) işaretini kullanılmışlardır.  Bugünkü basamak sistemiyle örneklersek, beş yüz yedi sayısı önce “5 7”, sonra “5. 7” ve sıfır işaretini kullanarak “507” olarak yazılır. Hint bilginleri çember şeklinde gösterdikleri sıfır için bir şeyin hiçliği ve boşluğu anlamına gelen sunya sözcüğünü kullanmışlar.

(Pi sembolü): Dairenin çevresinin çapına oranından elde edilen sayıyı gösteren , Yunanca çevre ya da çevre uzunluğu anlamına gelen περίμετρον( perifereia) sözcüğünün ilk harfidir. Bu sembolü ilk kez William Jones 1706’da yayımlanan Yeni Matematiğe Giriş isimli kitabında kullanmıştır. Ama daha sonra Euler’in analiz kitaplarında’yi kullanmasıyla bu sembol evrensel olarak kabul edilmiştir.

(Doğal logaritma tabanının simgesi): e simgesi ilk kez Euler tarafından 1728’de yayımlanan bir makalede kullanıldığında, Euler henüz 21 yaşındaydı. Euler’in doğal logaritmanın tabanı olan sayıyı “e” harfiyle göstermiş olması birkaç nedene bağlanmıştır. Adının ilk harfini kullanmış olabilir, ama Euler’in alçakgönüllü kişiliği düşünüldüğünde bu seçeneğin küçük bir olasılığa sahip olduğu söylenebilir. Euler’in e’yi sembol olarak seçmesindeki asıl neden, Latince kökenli “exponential” (üs alma) sözcüğünün ilk harfini kullanması olabilir ki, bu açıklama e sayısının ortaya çıkışı incelendiğinde oldukça gerçekçi görünüyor.

i( Sanal birim simgesi ): İlk kez 1777 Euler tarafından yayımlanan bir makalede kullanılmıştır. Euler’in bu simgeyi Latince imāginārius sözcüğünün ilk harfi olan i’yi ’in sanal bir sayı olduğunu belirtmek için kullandığı düşünülmektedir.

 

KAYNAKLAR

1- Florian Cajori, (1929). A History of Mathematical Notations, Dover Publications, 1993.

2- Davis Philip J.,ReubenHersh, (2005) Matematiğin Seyir Defteri, Çev. Abadoğlu E, Doruk Yayımcılık