Ana sayfa 88. Sayı Matematik denizinin incileri ve yaratıcıları

Matematik denizinin incileri ve yaratıcıları

305
PAYLAŞ

Doç Dr. İsmihan Yusubov

Bilindiği üzere midye ve istiridye gibi yumuşakçalar türünden olan deniz canlısının kabuğunun içerisine yabancı bir cisim, örneğin bir kum tanesi düştüğü andan itibaren, canlı onu sedef katları ile tamamen kapatana kadar rahata ermiyor ve bu sürekli çalışmaların sonucu olarak da göz okşayan inci oluşuyor. Matematikçinin başına gelen olaylar da genelde bu şekilde cereyan ediyor. İşte matematik denizinden bazı inci örnekleri ve nasıl oluşturuldukları.

Aslında yazının başlığında “Matematik dünyasının incileri” yazılsaydı daha doğru olurdu diye düşünüyorum. Sadece inci ve deniz arasında olan bağlantı burada etkili olmuştur. Elbette matematik dünyasında dağ, dere, orman, deniz ve adaların, şehir ve köylerin, onları birleştiren yolların, bunların yanı sıra altın, gümüş, pırlanta gibi süs eşyalarının da benzerleri yok değildir. Fakat bu süs eşyaları içerisinde inci, oluşumu açısından matematiğe en yakın olanıdır. Bilindiği üzere midye ve istiridye gibi yumuşakçalar türünden olan deniz canlısının kabuğunun içerisine yabancı bir cisim, örneğin bir kum tanesi düştüğü andan itibaren, canlı onu sedef katları ile tamamen kapatana kadar rahata ermiyor ve bu sürekli çalışmaların sonucu olarak da göz okşayan inci oluşuyor. Matematikçinin başına gelen olaylar da genelde bu şekilde cereyan ediyor. Sadece bir farkla: İstiridye onu rahatsız eden kum tanesinin üzerini önce ince bir sedef katıyla kaplayıp, daha sonra bu katların sayısını duruma bağlı olarak artırmakla, küre biçiminde güzel bir inci (beyaz, pembe veya siyah) meydana getirir. Matematikte ise bu iş dışarıdan başlıyor. Önce onu rahatsız eden “kum tanesi” -problem- sağlam bir “sedef katı” ile ablukaya alınıyor ve yeni yeni iç katlar oluşturmakla git gide bu “kum tanesinin” bir soru olarak yaşam alanı daraltılıyor, eninde sonunda esir alınıyor ve maskesi çıkartılıyor. İşte matematik incilerden etrafa yayılan ısı ve ışığın kaynağı da maskesi yırtılmış bu soru -“kum tanesi”- olsa gerek.

Bu açıdan baktığımızda matematikçinin işini bir kaleyi fethetmek isteyen komutanın işine benzetebiliriz belki. Bazen gerçekten de böyle oluyor; yani belli bir problemin çözümü üzerinde kocaman bir kolektif “komutan”ları başkanlığında uzunca bir süre uğraş veriyor. Bunun parlak örneği olarak, atom çekirdeğindeki enerjiyi (nükleer) ortaya çıkarabilmek üzere ABD ve eski Sovyetler Birliği’nde verilen muazzam mücadeleyi gösterebiliriz. Tabii orada kocaman matematikçiler ve fizikçiler ordusu da çalışmış ve hak ettikleri ödülleri de almışlardı (ABD’de J. Neumann, E. Fermi, R. Feynman, Sovyetler’de ise İ. M. Gelfand, M. V. Keldısh ve Zeldovich vb.). Ama matematikte bu işler genel olarak, Köroğlu’nun “Yiğit gerek yar sevmeye, kendi tek gide, tek gide” sloganı altında yapılmış ve yapılmaktadır.

Fields madalyasından ve Millenium Problemleri’nin çözümü için ayrılmış bir milyon dolardan imtina eden Grigori Perelman’ın soyadı “İnci Adam” anlamına geliyor.

Bazen sedef oluşturmaya (maske yırtmaya) ömür yetmeyebilir; yani sen sorunu değil, soru seni bitirebilir. Paralellik aksiyomu çok kişinin hayatını kararttı, hatta son verdi. İşin yarım kalmasının bir nedeni de, bir sürü yeni kum tanesinin -maskeli soruların- ortaya çıkması ve yeni soruların daha büyük önem taşıması da olabilir. Bir zamanlar Japonya’da çalışmış olan Ovchinnikov “Sakura (Vişne) dalı” adlı meşhur kitabında inci yetiştirilmesi meselesinden de söz etmiştir. Orada istiridyelerin kabuğunu küçük bir ameliyatla açıp içerisine bir cisim (bazen hatta küçük Buda, horoz, yıldız vs.) koyduktan sonra, su içerisinde olan özel ağ kutulara yerleştiriliyor ve böylece inci oluşumu süreci başlatılıyordu. Bu işlemlerde oldukça hassas olmak gerekiyordu, şöyle ki, bir yanlış davranış sonucunda ya istiridye ölür veya sakatlanır ve dolayısıyla inci olmaz, ikinci halde ise ortaya beş kuruş etmez “sakat inci” çıkar. Ovchinnikov’a verilen 100 istiridyeden sadece 3’ü sağ kalmış ki, onlardan çıkan inciler de sakat olmuş. Meselenin ilginç yanı şu ki, matematikçiler arasındaki ilişkiler de tıpkı insanla istiridye arasındaki ilişkilerin aynısıdır diyebiliriz. Yani ya “kum tanesi – sorunun” doğal olarak (kendiliğinden) uygun bir ortama isabet etmesi lazım, ya da hassas bir şekilde, manevi yara açılmasına neden olmadan dışarıdan yerleştirilmesi şart. Aksi halde iyi sonuç beklenemez. Aynı zamanda inci yapan hayvanların genelde hermafrodit (eşeyli, honsa) olması da dikkat çekici. Yani onlar uygun bir yere yumurtaları bırakır ve daha sonra kendi spermleri ile de onları mayalandırırlar. Tıpkı bir bilim insanının zihinsel bir ürünü ortaya koymak istediği zaman davrandığı gibi.

Bu arada kaydetmemiz gerekiyor ki, zikir olunan matematik denizi ve de onun ait olduğu matematik dünyası yalnızca beşer evladının kolektif şuurunda mevcuttur. Ve Cahit Arf hakkında “matematik denizinin dalgıcı” tabirini kullandığımızda da bu denizi kastediyoruz. Sir Isaac Newton kendisini mütevazı olarak, sadece “gerçekler denizi” kıyısında koşuşturan ve dalgaların sahile attığı ilginç bir balık kulağı bulunca sevinen çocuğa benzetirken de aynı denizi kastediyordu herhalde. Ama sanırım Newton sahilde koşuşturmakla kalmamış, zaman zaman bu denizin derinliklerine de başvurmuş, orada yeterince uğraşarak, Fuzuli’nin tabirince söylersek “sultanlara layık” incisini yapmış ve diğer insanların da seyretmesi için oradan gün ışığına çıkartmıştır.

Birkaç kelime de sedef için sarf edelim. Organik ve anorganik maddelerden oluşan parlak gümüşî, sert bir oluşumdur. İnci yapan deniz hayvanlarının kabuklarının içi de bu oluşumla kaplıdır. Adı Alman dilinde “perlmutter” (Rus dilinde Perlamutr) gibi geçiyor ve bu “inci annesi” anlamına gelmekle sedefi dolu düzgün karakterize ediyor diyebiliriz. Bir zamanlar, matematikçiler için Nobel ödülü gibi de nitelendirilen Fields madalyasından (2006) ve daha sonra Millenium Problemleri’nin çözümü için ayrılmış bir milyon dolardan da imtina eden (2010) Grigori Perelman hakkındaki yazımızda, onun soyadının “İnci Adam” anlamına geldiğini ve buna göre de soyadını doğrularcasına kendi sedef kabuğunda saklanmasının doğal karşılanması gerektiğini vurgulamıştık. Büyük Türk şairi Muhammed Fuzuli ise meşhur “Söz” gazelinde, sözü sedefe, onun içindeki kıymetli fikri ise inciye benzeterek şöyle demiştir: “Olmayan gavvasi bahri – marifet arif değil; Çün sedef terkibi tendir lölöü – şahvar  söz”. (Marifet denizinin dalgıcı olmayan arif değil; çünkü şahlara layık inciler sedefin içinde bulunur yalnızca). Yine meşhur Türk-Azeri şairi Molla Panah Vagif ise dudağı yakuta, dişleri inciye, ağzı sedefe, oradan çıkan sözleri ise değişik hazinelerden gelen değerli taşlara benzetmiştir: “Sevgilim leblerin yakuta benzer; Sera-ser dişlerin dür-tanedendir; Sedef dehanızdan çıkan sözlerin; Her biri bir gayrı hazinedendir”. Sedef genelde bezek malzemesi olarak, örneğin değişik musiki aletlerinin (tar, bağlama, kemanca) üzerindeki süslemeler için de kullanılır.

 

Bu yazının ele alınmasının nedenleri

Her zaman olduğu gibi, geleneksel olarak birkaç kelime de yazının ele alınmasının nedenlerine değinelim. Bir zamanlar Sakarya Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Felsefe Bölümünün Kulüp Toplantısında verdiğim konferansın sonucu olarak, “Matematik ispatın felsefesi” konulu bir yazı yazmıştım. Bu yazının da yazılmasında esasen üniversitenin Eğitim Fakültesinde ve Fen Edebiyat Fakültesinin Matematik bölümünde son aylarda vermiş olduğum konferanslar etkili olmuştur diyebilirim. Fakat esas dürtü ve neden olarak Çin asıllı, Avustralya doğumlu (1975), ABD matematikçisi Terence Tao’nun, İngiliz matematikçisi Ben J. Green’le (1977) birlikte, asal sayılar dünyasında yapmış oldukları muhteşem “inci-teorem” ve Tao’nun “Analysis II” kitabı ile tanışlığım olmuştur dersem, gerçeğe daha yakın olurum. Vatandaş yazımıza neden olduğundan, birkaç kelime de onun için sarf etmemiz doğal olacaktır bence, hem o da Perelman türünden bir “inci adam” sayılabilir. Gerçi psikolojileri ve yaşam tarzları açısından çok, ama çok farklılar.

Terence Avustralya’nın Adelaida kentinde matematik öğretmeni bir anne ve çocuk doktoru olan bir babanın ilk evladı olarak 1975’te doğdu. Saymayı ve okumayı henüz 2 yaşındayken televizyon çocuk programından (Sesame Street – Sezam Sokağı) öğrenmişti. 11, 12, 13 yaşlarında Dünya Matematik Olimpiyatlarında sırasıyla bronz, gümüş ve altın madalya almıştı. 14 yaşında Avustralya’da kazanmış olduğu üniversitede mastır derecesini aldıktan sonra, Fulbright (Fulbrayt) bursunu kazanarak, doktora yapmak üzere ABD’ye gitti ve 1996 yılında 20 yaşındayken doktorasını tamamladı. Aynı yıl California Üniversitesi’nde akademik yaşamına başladı. Merak alanları matematiğin armonik analiz, kısmı türevli diferansiyel denklemler teorisi, kombinasyon hesabı, sayıların analitik teorisi ve temsil teorisi gibi önemli bölümleridir.

Bu alanlardaki çalışmaları sonucunda sırasıyla aşağıdaki, sayısı ve önemlerine göre şaşırtıcı (“akıllara durgunluk verecek”) ödülleri kazanmıştır: Salem Ödülü (2000), Bocher Anıt Ödülü (2002), Clay Araştırma Ödülü (2003), Avustralya Matematik Kurumu Madalyası (2005), Ostrowski Ödülü (2005), SASTRA Ramanujan Ödülü (2006), Fields Madalyası ve Ödülü (2006) (Perelman’ın geri çevirdiği), MacArthur Ödülü (2007), Londra Kral Cemiyeti Üyeliği (2007), Alan T. Waterman Ödülü (2008), Onsager Madalyası (2008), Uluslararası Kral Faysal Ödülü (2010), Matematikte Nemmers Ödülü (2010) ve Polya Ödülü (2010). Sanırım şaşırmak için bu kadar yeter, fazla kalır bile.

Çin asıllı, Avustralya doğumlu (1975), ABD matematikçisi Terence Tao.
e, ve 1 sayıları sırasıyla analiz, geometri, cebir ve aritmetiğin temsilcileri olarak bir araya gelmiş ve de Euler’in adına yakışır bir inci oluşturmuşlar.

Bu ödüllerin bazıları maddi açıdan da bir hayli değerli. Örneğin Kral Faysal ödülü 200 gramlık altın madalya ve 200 bin ABD dolarından oluşmakta. Nemmers Ödülü 150 bin ABD doları, Alan T. Waterman Ödülü ise 500 bin ABD doları düzeyinde. Eğer Grişa Perelman Fields Madalyası ve Millenium Probleminin çözümü için ona verilen 1 milyon dolardan imtina etmeseydi, hiç kuşkusuz, daha bir sürü ödül ve adlara mazhar olacaktı. İşte Perelman ve Tao’nun en büyük farkı burada. Ama her ikisinin annesi matematik öğretmeni olmuşlar. Bu da benzer yanları. Perelman’dan farklı olarak Tao insanlarla rahatlıkla bağlantı kuruyor ve genelde takım halinde çalışmayı tercih ediyor. 80 makalesi olan Tao’nun makale ortaklarının sayısı 50’dir. Bu da onları farklı kılan yönlerden bir tanesi. Nihayet Tao evli ve bir çocuk babasıdır. Bu da farklılıkları farklı kılan bir olay.

 

Bazı inci örnekleri

Bazı inci örnekleri değişik tanım, kavram, lemma ve teoremler arkasında, tıpkı bir “soğan cücüğü” gibi öylesine saklı ki, ona ulaşana, temas edip anlayana kadar “adamın anasından emdiği burnundan gelir”, keşke bu işe girmeseydim der ve bazen de yolun yarısından geri döner. Bu açıdan sayılar teorisinin incileri nerdeyse yalıngözle görünecek kadar herkese açık. Bu ve benzer nedenlerden dolayı, ben esasen bu alandaki bazı incilerden söz etmeyi, onların anlaşılarak beğeni kazanmasını sağlamayı amaçlıyorum. Ama bu arada başka bilim alanlarında olan muhteşem incilerden kısa da olsa söz etmekten kendimi alıkoyamam. Tabii bizim inci listemiz tamlık ve mükemmellikten çok uzak olmakla, esas itibariyle ancak kendi zevk ve seviyemizi kısmen yansıtır yalnızca.

Bana göre bir numaralı inci olmaya aday, eski Yunan bilgini Demokritos’un uydurduğu atom kavramı olsa gerek. E. Rutherford’un, N. Bohr’un ve diğer kuantum fizikçilerinin atom modellerinin hepsi, ilk atom kavramının temel özelliğinin, etrafımızda olup biten olaylara bir yorum getirebilme gücünden yararlanmış ve bu nedenle de ayakta kalmışlardı.

Fizikte mevcut olan “Korunma Yasaları”nın her biri bana göre birer inci tanesi. Bunlar enerjinin, momentumun, çiftliliğin, kütlenin vs. korunma yasalarıdır ki, bunlar da kendi sırasında mekânın (uzayın) izotopluğu (nokta farksızlığı) ve izotropluğunun (yön farksızlığı) bir sonucu olarak ortaya çıkmışlardı.

  1. Fermat’ın “en kısa zaman” ve W. Hamilton’un “en küçük mukavemet” prensipleri de bu türden kavramlar ve onları temel alarak bir sürü yasa çıkartabiliriz rahatlıkla. Tabii daha sonra bu yasalarımızı deneylerle kontrol ediyoruz her ihtimale karşın. Bu arada ikisi arasında da bir bağıntı mevcuttur hiç kuşkusuz. Fermat prensibine göre ışık bir noktadan diğerine ulaşırken hep en kısa zaman gerektiren yolu tercih ediyor. İşte bu prensipten deneyle kontrol olunabilen ışığın yansıma ve kırılma yasaları teorik olarak çıkarılabiliyor. En küçük mukavemet prensibine göre ise, fiziksel bir sistem durumunu değiştirdiği sürece ancak en küçük dirençle karşılaştığı yönde hareketi tercih ediyor. Çok ihtimal ki, bu zaman da A durumundan B durumuna geçmesi için gereken zaman en kısa olur.
“Elementler” adlı eserin yazarı eski Yunan matematikçisi Euclid’in (Öklid) İngiltere’deki heykeli.

Sanırım buna en parlak örnek olarak, varyasyon hesabının temel problemlerinden biri olan “brachistochrone” (en hızlı zaman) meselesini gösterebiliriz. Dünyaya göre dikey bir düzlemde aynı dikey doğru üzerinde olmayan ve farklı yükseklikte yerleşen A (üst) ve B (alt) noktalarını alalım. Sorulan soru şu: küre biçiminde bir cisim, sürtünmesiz yuvarlanarak A’dan B’ye en kısa zamanda yetişebilmesi için, yol olarak düzlemde A ve B’yi birleştiren hangi eğriyi tercih etmelidir? İlk akla gelen yol bu noktaları birleştiren doğru parçası oluyor tabii, en kısa yol olduğundan. Fakat araştırmalar gösterdi ki (J. Bernoulli), bu yol yatay doğru üzerinde sürtünmesiz dönerek ilerleyen bir dairenin (tekerlek) her çember noktasının dikey düzlemde sürekli olarak çizmekte olduğu eğridir ve bu eğrinin adına tsikloid (cickloid) denilir.

Hiç kuşkusuz fiziğin en can alıcı ve göz okşayan incilerinden bir tanesi de, belki de birincisi, A. Einstein’ın meşhur E = mc2 formülüdür ve buna göre kütlesi m olan maddede saklı olan E enerjisi, bu kütlenin ışığın vakumdaki c hızının karesiyle çarpımına eşittir. İşte maddede, aslında ise onu teşkil eden atomların çekirdeğinde saklı olan muazzam enerjinin varlığı bu formülle tespit edilmiş ve daha sonra da kullanılmıştır. Bunun yanı sıra, kuantum mekaniğinin temellerini atan W. Heisenberg’in “Belirsizlik” ve N. Bohr’un “Tümleme” prensipleri de değerli ve göz okşayan inciler olarak nitelendirilebilirler.

Sanırım değişik inciler hakkında sohbetimize fizikten başlamamız anlayışla karşılanmalı, şöyle ki, fizik sözü köken olarak eski Yunanca doğa anlamına gelen “füzis” sözünden türemiştir. Doğaya yakınlığı ile matematik dalları arasında seçilen geometriden de birkaç inci örneği verelim ki, taşlar bir miktar yerine otursun. Aslında 20. yüzyılın en büyük matematikçilerinden olan Alman D. Hilbert’e göre, geometri fiziğin bir dalıymış yalnızca. Ama çok soyut bir matematikçi olan Fransız J. P. Serre’e göre ise, matematikle fiziğin hiçbir ortak yanı yok. Eğer bunların her ikisini de kabullenirsek, sonuç olarak, “geometri ile matematik arasında ortak bir şey yok” demek zorunda kalırız (Türkiye okullarında yaygın olarak yapılan bir şey). Bize göre geometri matematiğin bir dalı olmakla, hem de onun önemli, olmazsa olmaz temellerinden biridir. Bu arada matematiğin “kesin bilgi” anlamına geldiğini unutmayalım. Okullarda bunun dallarını Aritmetik, Cebir, Düzlem ve Uzay Geometrileri, Trigonometri gibi dallara ayırabiliriz, kullandıkları ortak yöntemlere göre.

Geometride ilk göz okşayan inci olarak aklıma Arşimet’den bize gelip yetişen şu bağlantıyı alabiliriz bence: “Yarıçapı ve yüksekliği R olan koninin hacmi ile yarıçapı R olan yarım kürenin hacmini toplarsak, yarıçapı ve de yüksekliği yine R olan silindirin hacmini buluruz”.

İkinci inci olarak eski Yunanların 2300 yıl önce bulmuş oldukları irrasyonel sayıları gösterebiliriz ki, bu da karenin kenarı ile köşegeninin ortak ölçeğinin olmaması tezine dayanıyordu. Bilindiği üzere reel eksen üzerinde herhangi bir A noktasına karşın o zaman m/n rasyonel (kesir) sayısını koyabiliriz ki, OB birim parçasının 1/n kısmı OA parçası üzerinde tam m defa yerleşsin. Bu zaman onların ortak ölçeği var diyoruz. Eğer OA parçası ile OB birim parçasının ortak ölçeği olmazsa,  A noktasına karşın hiçbir rasyonel sayı koyamıyoruz. İşte tam da bu sırada bir “acil yardım” olarak irrasyonel sayılar imdadımıza yetişiyor ve işler devam ediyor. Bu mülahazaların temelinde ise Pisagor ve “karesi 2 olan rasyonel sayı yoktur” teoremleri durmaktalar.

Eski Yunanlardan bir inci tanesini daha hatırlatalım. Onlar anlamışlar ki, çember “uzunluğunun kendi çap uzunluğuna olan oranı tüm çemberler için aynı oluyor”. İşte tüm çemberler için ortak olan bu sayı takdim etmek istediğimiz incidir ki, ona π adı (Pisagor’dan herhalde) takmışlar. Bilindiği üzere bunun yaklaşık değeri (net değerini kimse bilmiyor, irrasyonellik ve transandantlık işte bu) 3,14’tür ve bunun yardımı ile yarıçapı R olan çemberin L uzunluğu için L = 2πR formülü yazılır. İlave edelim ki, çemberle bağıntılı olan trigonometrik fonksiyonlar teorisinde π sayısı olmadan geçinmek çok zor olurdu herhalde.

π sayısına değinip de e sayısına (Euler’den) değinmezsek, sadece e’ye karşı değil, ilgili herkese karşı haksızlık yapmış olurduk herhalde. Bu sayı da tıpkı öteki gibi çok zor anlaşılan, ama buna rağmen çok kullanılan ve çok meşhur bir sayı. Bunun meşhur olmasının temel nedeni ise bence, tabanı e olan üstel fonksiyonun türevinin kendisine eşit olmasıdır. Başka böyle fonksiyon yok bir defa (tabii türevi sıfır olan sabit toplanan farkıyla). Bu sayı mürekkep faizlerin hesaplanması zamanı doğal olarak meydana çıkıyor. Şöyle ki, basit hesaplama gösteriyor ki, eğer bir milyar parayı n yıllığına, her sene sonunda sene başında olan paranın 1/n kısmı kadar kâr getirmesi koşulu ile bankaya yatırırsak, n. senenin sonunda paramızın miktarı Pn = (1 + 1/n)n olacaktır. O da belli oluyor ki, n arttıkça bu formülle hesaplanan Pn belli bir sınıra “çok” yaklaşıyor, ama onu aşamıyor. İşte bu sınır e = 2,718281728…milyardır.

Zor problemlere getirdiği kolay çözümlerle meşhur olan Norveçli matematikçi A. Selberg (1917-2007).

Şimdi bunları bir araya getirip, yeni bir inci oluşturmanın tam zamanı: eπi + 1 = 0. Bu inci Euler’e mahsus ve bu inci Baha Okar tarafından benim “Matematik Güzeldir” kitabımın “Matematik” bölümünün başına bir “süs eşyası” olarak konulmuştur zamanında. Gör nerelerden nerelere geldik. Burada e,  π, i ve 1 sayıları sırasıyla analiz, geometri, cebir ve aritmetiğin temsilcileri olarak bir araya gelmiş ve de Euler’in adına yakışır bir inci oluşturmuşlar. Yeri gelmişken e ve π sayılarını bir araya getirebilmiş bir başka matematik dehası vardır ki, o da “hayranlık duyduğumuz bir matematikçi” Ramanujan’dır. Onun “inci” formülerinden birinde, bir sonsuz zincir kesirle bir sonsuz serinin toplamının  ’ye eşit olduğu gözükmektedir!

İlave etmem gerekiyor ki, şuraya kadar yaptıklarımız bir ısınma hareketleriydi yalnızca. Şimdi bu yazının yazılmasına neden olmuş sayılar teorisindeki bazı incilere de göz atıp, son olarak da Gren-Tao’ya mahsus inciyi sunarak yazımıza son vermek istiyoruz.

 

Doğal sayılar âlemindeki bazı inciler hakkında

Doğal sayılar kümesi olan N  “sonsuzluklar âleminin” en basit ve en “zayıf” elemanı olarak nitelendirilebilir. Bu küme hatta o kadar zayıf ki, ona bazen sonsuzluklar âleminin “sıfırı” bile denilir. Şu manada ki, bu kümenin başka bir sonsuz kümeye eklenmesi onun gücünü – “eleman sayısını” değiştirmiyor. Tabii bu sonsuzluklar ve “ölümsüzlükler” âlemi için geçerlidir, bizim “sonlu ve bir ucu ölümlü” dünyamız için ise doğal sayılar kümesi sırlı gerçeklerle dopdolu bir okyanusun ötesinde bir şey olsa gerek. En azından okyanuslardaki tüm canlıların, cansızların ve de zerreciklerin sayısı sonlu olduğu halde, N kümesinde bu sayı sonsuzdur. Göreceli, pratik değil mutlak manada sonsuzdur. Neler yok burada, neler? Tekler, çiftler, kareler, küpler, 6 ve 28 gibi çarpanlarının toplamına eşit olan mükemmeller, 1729 ve 4104 gibi iki sayının küplerinin toplamı olarak, iki farklı şekilde gösterilebilen meşhur Ramanujan sayıları, üstel sayılar, faktöriyeller vs. Lakin bu “aileler” içerisinde dikkatleri üzerine en çok çeken, hiç kuşkusuz asal sayılar ailesidir ve sayılar teorisinin en mükemmel incileri de işte bu aile ile bağıntılı olarak meydana çıkmıştır. Böylece konumuz belirlenmiş oldu nihayet.

 

Asal sayılar nedir, ne işe yarar, ne kadar var?

Yalnızca 1’e ve kendine bölünen sayılara asal sayılar denilir. Zaten tüm sayılar için de 1 ve kendisi bölendir, ama asal olmayanların başka bölenleri de mevcut. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…ve bu gibi sayılar ilk asallardır. 2 sayısı asal olan tek çift sayıdır. 1 sayısının tanımı sağlamasına rağmen asal sayılmamasının nedeni ise, asal çarpanlara ayırma hakkında teoremin “düzgün olmasını” sağlamaktır. Malumdur ki, her sayı ancak bir biçimde (sıra farkı olabilir) asal çarpanlara ayrılır. Bu teorem sayılar teorisinde temel teorem olarak geçiyor. Şimdi 1’i asal hesap etsek, örneğin 15 sayısı için 15 = 3*5 = 1*3*5 gibi iki farklı ayrılış buluruz ki, burada da 1’lerin sayısı artırılarak, yeni ayrılışlar da yazabiliriz. Demek ki, asal sayılar, bir nevi öteki sayıları oluşturmak için birer atomdurlar denilebilir. Ve doğal olarak bu atom-tuğlaların sayısı merak edilir. Bu merak 2300 yıl önce Öklid’in meşhur “Elementler” kitabında giderilmiştir. Buyurun siz de bakın:

Teorem: Asal sayılar kümesi sonlu değildir. İspat: Diyelim ki, sonludur ve sonuncu asal sayı p’dir. Bakalım bundan ne çıkar. q = 2.3.5.7…p +1 sayısına göz atalım. Yani tüm asalların çarpımına (sayısını sonlu hesap ettik ya) 1 sayısını ekledik. Göründüğü üzere bu sayı bizim asallardan hiç birine bölünmüyor (kalan hep 1). O halde iki seçenek var, ya bu sayı kendisi asaldır veya bizim bildiğimiz asalların dışında olan başka bir asala bölünür. Her iki halde sonlu asal sayılar kümemiz genişlemeye mecbur ve böylece sürekli genişlemeye maruz kalarak durmadan çoğalıyor. Durmadan çoğalmak ise burada sonlu olmamak anlamına geliyor. Normalde lafı böyle bitiriyorlar: gelinen sonuç ters faraziyemize (asal sayılar sonludurlar) ters düştüğünden, faraziyemiz yanlış, teoremin hükmü ise doğrudur. Artık bir incimiz var!

Asal sayıların sonsuz olması önemli bir mesele olduğundan bu konuda bir teorem daha verelim. Teorem: n! + 1 sayısının en küçük böleni n’den büyük olan asal sayıdır. İspat: Eğer bu sayının böleni yoksa, yani kendisi asal ise, ispat biter, çünkü onun n’den büyük olması açık. Eğer çarpanları varsa ve onların en küçüğü p ise, p’nin n’den büyük olacağı açık.  Gösterelim ki, p asal olmak zorunda. Aksi halde, eğer a < b olmakla p = ab olsaydı, bizim n! + 1 sayımız p’den küçük olan a’ya da bölünürdü ki, bu da p’nin en küçük bölen olması faraziyemize ters düşüyor. Demek p asaldır.

Sonuç olarak diyebiliriz ki, [n, n! + 1] aralığında en azı bir asal sayı vardır. Şimdi eğer reel ekseni 2, 2! + 1, (2! + 1)! + 1, ((2! + 1)! + 1)! + 1,… gibi noktalarla sonsuz sayıda aralıklara ayırsak, her aralıkta en az bir asal sayı olduğundan, asal sayıların da sonsuz olduğu sonucuna ulaşırız. Asal sayıların sonsuz sayıda olmasının bir kanıtı da ispatsız vereceğimiz aşağıdaki teoremde saklıdır. Teorem: Keyfi n doğal sayısı için [n, 2n] aralığında en az bir tane asal sayı vardır. Buna göre [2, 4], [4, 8], [8, 16], [16, 32] gibi sonsuz sayıda aralıkların her birinde en az bir asal sayı olduğundan, yine asalların sonlu olmayacağını kanıtlamış oluruz.

 

Asal sayı barındırmayan aralık var mı reel eksende?

Bu sorunun pozitif yanıtı şimdi ispat edeceğimiz teoremde saklıdır. Teorem: Doğal sayılar dizisinde asal sayı içermeyen istenilen uzunlukta dizi parçası mevcuttur. İspat: M istenilen doğal sayı olsun. O halde (M + 1)! + 2, (M + 1)! + 3, (M + 1)! + 4,…, (M + 1)! + (M + 1) sayılarından oluşan ve uzunluğu M olan dizinin birinci terimi 2’ye, 2. terimi 3’e, 3. terimi 4’e vs. M’ci terimi  (M + 1)’e bölünmekle hiçbiri asal değildir. Teorem ispat olundu. Meselenin ilginç yanı şu ki, eski Yunanlar bu konuya hiç değinmemişler. Belki de onlar var olan şeylerle uğraşmış, yokluktan kaçınmışlar. Ama aslında bu teorem de varlıkla bağıntılıdır, asal sayı içermeyen keyfi uzunlukta doğal sayılar dizisi parçasının varlığıyla.

 

Aritmetik diziler ve asal sayı bağlantısı

İspat edelim ki, 3’e bölünende 2 kalanı olan doğal sayıların aritmetik dizisi (dizi farkı 3) bünyesinde sonsuz sayıda asal sayı barındırıyor. Teorem: {3k + 2} aritmetik dizisinde barınan asal sayıların sayısı sonlu değildir. İspat: Öklid’in yöntemini uygulayalım. Farz edelim ki, bu dizideki asalların sayısı sonludur ve onların sonuncusu da p’dir (Sonuncu Mohikan). M = 2.3.5. … p – 1 sayısını alalım. Bu sayı 3’e bölündüğünde kalan 2 olduğundan bizim diziye mahsus olarak,  p’ye kadar olan asallardan hiçbirine bölünmüyor. Demek ki, bunun asal çarpanları p’den büyüktür. Şimdi gösterelim ki, bu asal çarpanlardan en az bir tanesi (3k + 2) biçimindedir, yani bizim dizidendir.

(3a + 1) ( 3b+1) = 9ab + 3a + 3b+1 = 3(3ab+ a+ b) +1 = 3k + 1 olduğuna göre, eğer M’in tüm çarpanları (3k + 1) biçiminde olsaydı M de bu biçimde olmak zorunda kalırdı, oysa M yukarıda belirttiğimiz gibi bizim dizidendir. Bu çelişkiden dolayı M’in bir asal çarpanı bizim diziden olmakla, sonuncu dediğimiz p asalından da büyüktür. Yani faraziyemiz yanlış, teoremin hükmü doğru oldu.

Alıştırma: {4k + 3} ve { 6k + 5} aritmetik dizilerindeki asalların sayısı da sonlu değildir hükmünü yukarıdaki mülahazalara benzer biçimde ispatlayınız.

“Matematikçiler kralı” unvanlı Alman K. Gauss.

Elbette bu örneklerin sayısını artırmak mümkün, fakat buna gerek yok. Çünkü Fransız matematikçisi A. M. Legendre 1788’de bu örneklerin hepsini içeren bir varsayım ileri sürdü. Bu varsayıma göre birinci terimi (a) ile dizi farkı (d) aralarında asal olan tüm aritmetik diziler sonsuz sayıda asal sayı barındırıyor: a, a + d, a + 2d, … , a + nd, … dizisindeki asal sayısı sonsuzdur. Bu varsayım 1837 yılında yine Fransız matematikçisi L. Dirichlet tarafından yüksek matematik kullanılmakla ispatlanmıştı. Varsayımın basit, elemanter ispatı ise yalnızca 1949 yılında, varsayımdan tam 161 yıl sonra, zor problemlere getirdiği kolay çözümlerle meşhur olan Norveçli matematikçi A. Selberg tarafından verilmiştir. Bu ispat da matematik incilerden biriydi ve bu çalışmalarıyla A. Selberg (1917-2007) haklı olarak 1950 yılında Fields Madalyasının sahibi oldu.

Acaba tüm elemanları asal olan aritmetik dizi var mı? Bu sorunun cevabının negatif olduğu şimdi vereceğimiz teoremden belli oluyor. Teorem: Tüm terimleri asal olan aritmetik dizi mevcut değil. İspat: d > 2, (a,d) = 1 koşulunda a, a + d, a + 2d, …, a + (n-1)d + … aritmetik dizisini alalım. Onun genel terimi olan an = a + (n – 1)d ’yi an = (a + n) + n(d – 1) şeklinde yazarsak görürüz ki, n’in belli bir değerinde (a + n) sayısı (d – 1)’e bölüneceğinden, uygun an’de (d – 1)’e bölünüyor ve an asal olmuyor. Teorem ispat olundu.

 

Doğal sayıların asallık kontrolü

Bir doğal sayının asal olduğunu nasıl bilebiliriz? Henüz 500 sene önce Rönesans döneminin İtalyan asıllı meşhur matematikçisi L. Fibonacci fark etmiştir ki, bunun için bu M sayısının kök M den büyük olmayan asal sayılardan hiçbirine bölünmediğini tespit etmek yeterli olacaktır. Gerçekten kolayca görebiliriz ki, eğer M = ab ise, min {a.b} ≤ kök M oluyor. Örneğin KÖK 91 < 10 olduğundan, 91’in 2, 3, 5 ve 7 asal sayılarına bölünüp bölünmediğini test etmek yeterli olacaktır. Sonuç olarak 91 = 7.13 olduğunu, yani 91’in asal olmadığını tespit etmiş oluruz. Aynı şekilde KÖK 1987 < 45olduğundan ve 1987 sayısı 2, 3, 5, 7, 11, … , 43 asal sayılarından hiçbirine bölünmediğinden, onun asal olduğu hükmüne varırız.

Hint asıllı matematikçi Ramanujan.

Bu konuda matematiğin her alanında söz sahibi olan L. Euler’in de iki kontrol testi vardır. Teorem (Test 1): Eğer M doğal sayısı iki sayının kareleri farkı olarak, iki farklı şekilde gösterilebilirse, o, asal değildir. Aksi halde asaldır. İspat: Farz edelim ki, M tam kare değildir, o zaman asal olmadığı açık olurdu. Şimdi eğer M = m2 – n2 = (m – n) (m + ) ise, iki durum söz konusu olur. 1) M asaldır. O halde m – n = 1 ve  M = m + n olmak zorunda ve buradan da bu sayılar m = (M +1) / 2 ve n = ( M – 1) / 2  olarak bulunur ve ikinci bir ayrılış yok. 2) M asal değildir. O halde, o, tam kare olmadığından a > b > 1 koşulunda M = ab olur. Şimdi eğer  x = (a + b) / 2 ve y = ( a – b) / 2 olarak kabul edersek ( a + b ve a – b sayıları çift sayılardır),

x + y = a  ve x – y = b olduğundan, M = ab = x2 – y2 olmakla, M için karelerin farkı olarak ikinci bir ayrılış buluruz. Teorem ispat olundu.

Şimdi bu teoremin bir uygulamasını verelim: 3551 sayısına tam kare olan 49’u eklersek, yine tam kare olan 3600 sayısını buluruz. Buna göre 3551 = 3600 – 49 = (60 – 7)(60 + 7) = 53.67 olarak buluruz, yani 3551 asal değildir. Euler’in bir teoremini daha ispatsız verelim.

Teorem (Test 2): Eğer M doğal sayısı iki sayının karelerinin toplamı olarak iki farklı şekilde gösterilebilirse, o, asal değildir. Ancak sadece bir biçimde gösterilebiliyorsa asaldır.

Birkaç örnek verelim 13 = 9 + 4, 17 = 16 + 1, 29 = 25 + 4. Dikkat edersek bu asal sayıların hepsi 4’e bölündüğünde kalan 1 olur. Bu genel bir teoremin sonucudur, şöyle ki, iki sayının karelerinin toplamı biçiminde gösterilebilen asal sayılar 4k + 1 biçiminde olmak zorundalar. Buradan sonuç olarak 4k + 3 biçimindeki asal sayılar için böyle bir gösterişin olmadığını söyleyebiliriz. Örneğin 11, 31, 43 ve bu gibi asalları iki karenin toplamı biçiminde gösteremeyiz.

Teorem (S. Jarmen): n > 1 durumunda M = n4 + 4 sayısı asal değildir.

İspat: M = n4 + 4 = (n2 – 2)2 + (2n)2 olduğundan, iki sayının karelerinin toplamı olarak iki farklı şekilde gösterilmiş oldu. Euler’in 2. Testine göre bu sayı asal olamaz. Örnek olarak
629 = 625 + 4 = 54 + 4 olduğundan, bu sayı asal değil, 629 = 17×37 olarak çarpanlara ayrılır.

Diğer bir test Mersenne ve mükemmel sayılarla bağıntılı verilebilir. Hatırlatalım ki, Mersenne sayıları 2k + 1, 2k – 1 biçimindeki sayılara, mükemmel sayılar ise çarpanlarının toplamına eşit olan sayılara denir. Teorem (Euler): Eğer k > 1 olmakla M(k) = 2 k – 1 sayısı asal ise 2 k-1 (üstte) M(k) sayısı mükemmeldir. Böylece ikinci sayının mükemmel olduğunu kontrol etmekle Mersenne sayısının asal olmasını saptayabiliriz. Birkaç örnekte bu savı kontrol edelim. k = 2 olduğunda, M(2) = 3 asal ve buna göre 2 1 M(3) = 2.3 = 6 = 1 + 2+ 3 sayısı mükemmel oldu. k = 3 için M(3) = 7 asal ve sonuç olarak
2 2 M(3) = 4.7= 28 = 1+ 2+ 4+ 7+ 14 sayısı mükemmel. Son olarak k = 5 alalım. Bu durumda M(5) = 31 sayısı asal olduğuna göre
2 4 M(5) = 16.31 = 296 = 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 31+ 62+ 124+ 248 olmakla mükemmel sayıdır. Ekleyelim ki, M(11) = 2 11 – 1 = 2047 = 23.89 asal olmadığından uygun 210 M(11) sayısının mükemmel olduğunu hükmedemeyiz.

 

Asal sayılar doğurabilen fonksiyonlar

Asal sayılarla ilgilenen herkes böyle bir fonksiyonun varlığını hayal ediyor tabii. Doğal sayılar kümesinde tanımlanmış böyle bir fonksiyonun varlığı aynı zamanda asal sayıların sonsuzluğunun hem bir kanıtı, hem de yapıcı bir kanıtı olurdu. Maalesef, örneğin bir değişkenli böyle bir fonksiyon mevcut değil. Bu konuda ilk sözü sayılar teorisinin temellerini atmış olan Fransız F. Fermat’ya verelim.

Adam demiş ki, bence F(n) = 2 (2 üzeri n) + 1 sayısı tüm doğal n’ler için asal olacak. Gerçekten de n’in 1, 2, 3 ve de 4 değerleri için hesaplandığında, uygun olarak 5, 17, 257 ve 65537 sayıları bulunur ve bunlar hepsi asal. Fakat 1732 yılında, zamanının meşhur hesaplayıcısı L. Euler gösterdi ki, F(5) = 2 (2 üzeri 5) + 1 = 641. 6700417 olmakla çarpanlara ayrılır, yani asal değil. Ama bunun bir sonucu oldu ki, bu biçimde asal sayılara Fermat’ın asal sayıları denildi ve matematikçiler kralı, Alman K. Gauss ispat etti ki, kenar sayısı asal olan düzgün çokgeni cetvel ve pergel yardımıyla yalnız o zaman çizebiliriz ki, bu sayı Fermat’ın asal sayısı olsun.

Bir diğer basit doğuran fonksiyon olarak Euler’in bulduğu P(n) = n 2 + n + 41 fonksiyonunu alalım. Hesaplar gösteriyor ki, bu fonksiyonun değerleri argümanın 1’den 39’a kadar olan tüm kıymetlerinde sırasıyla 43, 47, 53, … ,1601 oluyor ve bunlar asal sayılar. Fakat n’in 40 değerinde P(40) = 40 2 + 40 + 41 = 40 2 + 2.40 + 1 = 412 olmakla artık asal olmuyor. Aynı sözler, bize göre A. Kolmogorov’a mahsus
P(n) = n 2 – n + 41 ve Kurant’a addedeceğimiz  P(n) = n 2 – 79n + 1601 fonksiyonları için de söylenebilir. Birinci fonksiyonun asal sayı üretmesi n = 41 değerinde, ikincininki ise n = 80 değerinde tökezliyor.

 

Baş incimiz: Asal sayıların aritmetik dizileri

Birinci terimi ile dizi farkı aralarında asal olan keyfi aritmetik dizinin (Azeri Türkçesinde buna Arapça zincir anlamına gelen “silsile” denir) sonsuz sayıda asal sayı barındırdığını daha önce söylemiştik. Şimdi şöyle bir soru atılıyor ortaya: tüm terimleri asal olan keyfi sonlu uzunlukta aritmetik dizi var mı? 1975 yılında Macar âlimi ispatladı ki, eğer N doğal sayıların A sonsuz alt kümesi N’de göreceli yoğun ise, bu kümede aritmetik dizi mevcut. Göreceli yoğun ne demek peki? Eğer A kümesinin n’den büyük olmayan eleman sayısını An’le işaret etsek, o zaman A’nın N’de göreceli yoğun olması, An /n oranının n sonsuz büyüdüğü sürece sıfırdan “uzak durması” demektir. n’den büyük olmayan asal sayılar için An yaklaşık olarak ln(n) olduğundan, uygun oran için sıfırdan “uzak durma” koşulu sağlanamıyor, çünkü ln(n)/n oranının limiti (hedefi) zaten sıfırdır. Buna göre asal sayılar kümesi için Macar âliminin teoremi geçerli değil.

Tüm bu olumsuzluklara rağmen 2004 senesinde İngiliz asıllı Green ve Çin asıllı Tao, olasılık teorisinin sonuçlarından da büyük ölçüde yararlanarak, ispat ettiler ki, doğal sayılar kümesinde elemanları asal sayılar olan keyfi uzunlukta (elemanlarının sayısı) aritmetik dizi var. Size sunmak istediğimiz asıl inci işte bu. İlave edelim ki, şu an asal sayıların 2010 yılında bulunan en uzun aritmetik dizisinin uzunluğu sadece 26’dır ve bu dizi çok büyük zahmet hesabına, en modern kuantum bilgisayarların kullanımı ile bulunabilmiştir. Bu dizinin ilk terimi 17 basamaklı 43 142 746 595 714 191 (43 katrilyon…) sayısı, dizi farkı ise 16 basamaklı 5 283 234 035 979 900 (5 katrilyon…) sayısıdır. Tabii bu sayıları arayıp bulmak her bilgisayarın ve bilgisayar mühendisinin haddi değil. Ama adamlar akıl almaz zekâlarıyla asal sayıların sosuz kümesini, “tarayıp, elekten geçirerek” burada keyfi uzunlukta aritmetik dizi olduğu gerçeğini, o paha biçilmez inciyi karanlıktan gün ışığına çıkartıp, insanların seyrine sundular. Ahsen! Aferin!

Asal sayılar dizisinin uzunluğu ile bağıntılı bir teorem daha verelim. Teorem: p > 2 asal sayı ve d (denktir işareti) 1(mod p) ise dizi farkı d olan asal sayıların aritmetik dizisinin uzunluğu p’den fazla olamaz. İspat: Gerçekten, eğer aritmetik dizinin ilk terimi a için a (denktir işareti) m(mod p) ise, bu dizinin terimleri p modülüne göre m, m +1 , m + 2, …, m + (p – 1), … gibi ardışık sayılardan oluşacaktır. p tane ardışık sayıdan bir tanesi p’ye bölünmek zorunda olduğundan, o sayı asal olmaktan çıkar. Sadece p’nin kendisi bu dizinin elemanı olduğu durumda uygun asal sayılar dizisinin uzunluğu p olabilir. Teorem ispat olundu.

Asal sayıların birkaç basit, 3, 4, 5 terimli aritmetik dizisini de biz gösterelim son olarak. 3 elemanlı “asal” aritmetik dizi: 3, 5, 7; a = 3, d = 2; 3 elemanlıya daha bir örnek: 3, 7, 11; a = 3, d = 4; 4 elemanlı: 251, 257, 263, 269; a = 251, d = 6; ve nihayet 5 elemanlı “asal” aritmetik dizi örneği: 5, 11, 17, 23, 29; a = 5, d = 6. Göründüğü gibi dizi farkı 6 olarak iki yerde kullanılmıştır ve bu tesadüfi değildir. Biz kendi kısıtlı imkânlarımızla 10 000’e kadar doğal sayılar içerisindeki asal sayıları, farkları 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 olmak üzere çiftlere ayırdık (Sakarya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümünden Doç. Dr. Ali Gülbağ’la). Benim tahminim en fazla çiftin 6’ya mutabık olacağı yönündeydi ve sonuçlar beklentilerin çok üzerinde oldu. Şöyle ki, 2, 4, 6, 8 dizi farkları arasında 6 farkı ötekilerin nerdeyse iki katına ulaşarak onlara “fark attı”. Net olarak söylemek gerekiyorsa, 2’ye uyan 205, 4’e uyan 203, 8’e uyan 208, 6’ya uyan tam 421 asal sayı çifti vardı. Geriye kalan farklarda ise 30 farkı ötekilere büyük fark attı. Ona uyan tam 536 çift vardı. Kaydedelim ki, farkın basamak sayısı, uyan çiftlerin sayısının belirlenmesinde etkili oluyor, basamak sayısı arttıkça uyan çift sayısı da artıyor.

Söylemem gerekiyor ki, 6 farkına önem vermemin nedeni onun mükemmel olmasına bağlı idi. Fakat iki basamaklılar arasında 28 sayısının mükemmel olmasına rağmen 30 farkı öne çıktığında anladım ki, bu faraziye işe yaramadı. O zaman başka kriterlere bakmak gerekti ve belli oldu ki, burada etkili olay, sayıda olan farklı çarpanların sayısıdır. Gerçekten 2, 4, 8 sayıları sadece 2’nin dereceleri (farklı çarpan sayısı 1) olduğu halde, 6 sayısının 2 farklı çarpanı vardır. Aynı şekilde 30’a kadar (kontrol ettiğimiz) çift sayılar içerisinde hepsinin iki farklı çarpanı olduğu halde, 30 sayısının 2, 3 ve 5 gibi üç farklı çarpanı vardır. Bu arada kaydedelim ki, farkları 6 olan asal sayılar çiftine, 6’nın İngilizcesinden (six) yola çıkarak “seksüel çift” adı takılmıştır. Gözüken o ki, üremesi de adına uymuştur.

 

Birkaç alıştırma problemi

Son olarak çözümünü yüzyıllardır bekleyen ve bazıları meşhur “Millennium Problemleri”nin listesini süsleyen meşhur problemlere hiç değinmeden, birkaç soru sunmak istiyorum değerli okurlara. Yazının içerisinde bir yerde iki problem verilmişti zaten.

1) Eğer p asal ise (p – 1)! + 1 sayısı p’ye bölünür.

2) Eğer p > 3 asal ise p2 = 12k + 1 (karesini 12’ye bölsek kalan 1 olur).

3) Eğer p, p2 + 2 asal ise, p3 + 2 sayısı da asal olmak zorunda.

4) İki doğal sayının küplerinin toplamı asal sayı olabilir mi?

5) n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13, n + 15 sayıları asal ise, n’in değeri kaçtır?

 

Teşekkürler: Dikkatimi Terence Tao’nun son çalışmalarına çeken Bilkent Üniversitesi’nden Prof. Dr. Farhad Hüsseinov’a, değişik farklara uygun asal sayı çiftlerinin oluşturulmasında yardımlarından dolayı da Sakarya Üniversitesi’nden Yrd. Doç. Dr. Ali Gülbağ’a teşekkür ediyorum.

 

KAYNAKLAR

1) R. Courant, H. Robbins; Matematik nedir?, Moskova, 1967 (Rusça).

2) G. A. Galperin, Asal sayılar hakkında basitçe, Kuantum, 4, 1987 (Rusça).

3) M. Y. Vigodskiy, Temel matematikten soru kitabı, Moskova, 1958 (Rusça).

4) http//ru.wikipedia.ru (Asal sayılar – Rusça)