Ünlü İngiliz matematikçi G. Hardy bir gün Cambridge’de anlatacaklarını kavrayabilecek bir avuç öğrencinin önünde ders vermektedir. Tahtaya “kesinliği su götürmez” dediği karmaşık bir eşitlik yazar ve aniden konuşmasını keser.Yolunda gitmeyen bir şeylerin olduğunu fark eder, yazdıklarından emin değildir. Zihninin kendisine bir oyun oynadığını düşünür. Sessizce, derin derin düşünmeye başlar. Bir süre sonra dersi yarıda bırakarak odasınagider. Bir ileri bir geri dalgın dalgın volta atmaya başlar. Yarım saat sonra sınıfa geri döndüğünde tahtadaki formüle bakıp şu sözü söyler: “Evet, evet kesinliği hiç su götürmez.”
Kahramanların adları değiştirilerek de anlatılanbu hikâye büyük bir olasılıkla uydurmadır. Ama matematik yapan, matematik dersi veren hemen herkesin çok sık karşılaştığı bir durumdur. Dersin bir yerinde aniden bir sessizlik olur, sanki dersi anlatan bir yerde takılmıştır. O an, atlaması gereken bir eşik vardır. O eşiği geçmeden ilerlemek mümkün değildir. “Kesinliği su götürmez” diyerek ilerlerse yaptıklarının hiçbir matematiksel değeri olmaz. İşte, o eşiği geçebilmenin matematikteki karşılığı kanıttır. İkna değil, kanıt gerekir.
Matematik gemisi kanıt olmadan yüzemez. Matematik Köyü’ndeki derslerde Köy muhtarının sık sık söylediği bir sözdür: Şeytan doldurur, kanıtlamadan asla!
Denizin morluğunu belirtmek için
Deniz mordur demek yetmiyor
O morun gerekçesini de belirtmeli
Denizle olan ilişiğini de
Ondan sonra deniz mor
Metin Eloğlu
Deniz neden mor?2+2,2×2’ye neden eşit? “Neden?” sorusuna verdiğimiz matematiksel yanıtın adıdır kanıt. Bu yüzden matematikçiler bir önermenin doğru ya da yanlış olmasından çok, neden doğru veya neden yanlış olduğuyla ilgilenirler. Kanıt, matematiği diğer bilimlerden ayıran en önemli özelliktir, onu özel kılan bir araçtır. Matematiğin tutarlılığı, kesinliği, zaman aşımından bağımsız olması kanıt kavramıyla ilgilidir. Örneğin çok bilinen, “Sonsuz sayıda asal sayı vardır.” teoremi çoğu insana sezgisel olarak doğru gelebilir, ama asal sayıların sonsuz sayıda olduğu hiç de belirgin değildir. Bugünün güçlübilgisayarları sayesinde çok büyük asal sayılar bulabiliriz, fakat sonsuz sayıda asal sayı olduğunu söyleyemeyiz. Bunun için bilgisayarlar yetersiz kalır. Bu teoremin doğruluğunu kesin olarak bilmemizin nedeni 2300 yıl önce Öklid tarafından matematiksel olarak kanıtlanmış olmasıdır. Bu yüzden Öklid’in 2300 yıl önce inşa ettiği matematiğe bugün de güvenebiliyoruz. Böylesine bir kesinlik matematik dışındaki hiçbir insan aktivitesi için geçerli değildir.
Matematiksel kanıt nedir?
Genel olarak kanıtı, içinde “Neden?” sorusunun yanıtını barındıran bir cihaz olarak düşünülebiliriz. Bu cihaz matematiksel bir ifadenin gerçek ve geçerli olduğunu göstermekte kullanılır. Peki, bu cihaz nasıl çalışır? Bir önermenin doğru olduğunu kanıtlamak için doğru olduğunu kabul ettiğimiz başka bir önermeye başvururuz. Diğer bir deyişle, doğru olduğunu kabul ettiğimiz bir önermeden yeni bir önerme elde ederiz. Tabii ki bu iş için iki önerme (eski ve yeni) arasında bir bağ kurmamız gerekir. Matematikçiler, eski önermelerden yeni bir önerme elde etme yöntemine çıkarım kuralı adını vermişler.Matematikte çıkarım kuralları olmasaydı, doğru olduğunu kabul ettiğimiz önermelerden öteye gidemezdik, yani matematik olmazdı.
Çok sayıda çıkarım kuralı olsa da matematiğin tümü modusponens adı verilen tek bir çıkarım kuralına indirgenebiliyor. Modusponens Latince kökenli bir şart kipini ifade eder. Modus, yöntem; ponens ise doğrulama anlamındadır. Türkçeye Doğrulama Yöntemi olarak çevirebiliriz. Modusponens’i kısaca şöyle açıklayabiliriz: “Eğer P doğru ikenQ doğruysa ve ayrıcaPde doğruysa,o zaman Qda doğrudur.” Örneğin,
Ahmet Matematik Köyü’nün öğrencisi ise matematiksel kanıtın ne olduğunu öğrenmiştir.(P⇒Q)
Ahmet Matematik Köyü’nün öğrencisidir.(P)
Ahmet matematiksel kanıtın ne olduğunu öğrenmiştir.(Q)
Yukarıdaki ilk iki önermeden
Ahmet matematiksel kanıtın ne olduğunu öğrenmiştir.
Önermesini modusponens sayesinde çıkarabiliriz.
Modusponens,“PiseQ”ve “P”önermelerinden yeni bir önerme olan “Q” önermesini çıkarmamızı sağlar.
Matematiksel kanıtı tanımlamadan önce, matematikte doğru kabul edilen önermelere aksiyom denildiğini hatırlatalım. Aksiyomlar soyut matematiğin öncül önermeleridir. Kanıtlanması gereken önermeler olan teoremler aksiyomlardan elde edilir. Aksiyom kendi içinde o kadar açık ve kabul edilebilirdir ki, kanıtlanmasına gerek yoktur. Eğer bir aksiyomu kanıtlamak istersek, o kanıt tek adımdan oluşur, o adım da aksiyomun kendisidir. Örneğin Öklid geometrisinin bir aksiyomu olan
Bütün, parçadan büyüktür önermesi kanıtlamadan kabul edilmiştir, ama matematiksel kanıtın tanımını verince bu önermenin kanıtının kendisi olduğunu göreceğiz.
Şimdi, kanıtın tanımını yapmaya çalışalım. Matematiksel kanıt, bir önermeler listesidir. Sonlu sayıdaki önermeden oluşan bu listede her önerme bir önceki önermeden çıkarım kuralıyla (modusponens) elde edilir. Elbette önermelerden oluşan her listeye kanıt adını veremeyiz. Örneğin
P_1,P_2…P_n
listesininkanıt olması için,1≤i≤n koşuluyla,P_i’nin ya bir aksiyom olması ya da listede P_i’lerden önce yer alan önermelerden bir çıkarım kuralıyla elde edilmiş olması gerekir.
Listenin son önermesi olan P_n bir teoremdir ve yukarıdaki liste ise P_n önermesinin kanıtıdır. Artık kimse P_n’e karşı bir örnek bulamaz, onunla çelişen bir matematiksel gerçekten söz edemez. P_nönermesi bulunduğu aksiyom sistemi içinde çürütülemez.
Dikkat ederseniz, kanıtla ilgili yaptığımız açıklamalardan her aksiyomun aynı zamanda bir teorem olduğu sonucu ortaya çıkıyor; çünkü çıkarım kuralı, tek satırlık listeler için degeçerli. Örneğin P aksiyomunun tek satırlık kanıtı: P olur.
Aksiyomu,doğru kabul ettiğimiz önerme olarak tanımlamıştık. Şimdi ise her aksiyomun bir teorem olduğunu ve kanıtının da aksiyomun kendisi olduğunu söylüyoruz; çünkü matematiksel kanıtın tanımı bizi bu sonuca götürüyor.
Matematikte, doğrudan kanıt, çelişki yoluyla kanıt, tümevarımla kanıt gibi birçok kanıtlama yöntemi vardır. Aşağıdaki teorem doğrudan kanıtlama yöntemiyle kanıtlanmıştır.Bu yöntemde, kanıtlamaya doğru olduğu bilinen bir önermeyle başlanır ve bir dizi modusponens uygulamasıyla yeni önermeler elde edilerek kanıtlanacak önermeye ulaşılır. Örneğin aşağıdaki kanıt, √(x ) √y=√xy eşitliği gibi yeni önermeler kullanılarak yapılmıştır.
Teorem.xvey pozitif gerçel sayılar ise √xy≤(x+y)/2 olur.
Kanıt.(√x-√y)^2≥0olduğunu biliyoruz. Bu önermeyi P ile gösterelim.
(√x-√y)^2=x+y-2√x √y≥0
yazabiliriz. Bu eşitsizliği düzenlersek
x+y≥2√x √y
√xy≤(x+y)/2
elde edilir ve teorem kanıtlanmıştır. Bu kanıtın bütününü de bir modusponensuygulaması olarak görebiliriz, şöyle ki:
√xy≤(x+y)/2
önermesini Q ile gösterirsek, yukarıdaki adımlar modusponens’in P⇒Q aşaması olur. Böylece, P doğru ikenQ doğru ve P de doğru ise modusponens sayesinde Q’nun doğru olduğunu kanıtlamış oluruz.
Matematiksel kanıt neden önemlidir?
Matematiksel bir iddianın gerekçelendirilmesine ne zaman ihtiyaç duyulduğu tam olarak bilinmiyor. Belki de ilk matematiksel kanıt Babiller zamanında yapılmıştır; çünkü onlar Pisagor Teoremini Çinlilerle birlikte Pisagor’dan önce biliyorlardı. Bulunan tabletlerde Pisagor Teoremi’nin neden doğru olduğunun açıklamasına rastlanmıştır. Ama Babillerin bu tabletlerde yaptığı modern standartlara göre kanıtdeğildi. Onlar matematiksel bir gerçeği mantıksal bir gerekçeye dayandırmaya çalıştılar.
Bazı matematik tarihçileri matematik tarihindeki ilk kanıtın Milet’li Tales (MÖ 600) tarafından yapıldığını kabul ederler. Tales, çapın çemberi iki eşit parçaya ayırdığını kanıtlamıştır. Ama matematiği tanım, aksiyom ve teoremlerle aksiyomatik bir yapıya kavuşturan ilk insan Öklid’dir (MÖ 300).
Matematiksel kanıtın bileşenleri olarak kabul edebileceğimiz tanım, aksiyom, teorem, çıkarsama ve soyutlama gibi kavramlar ilk kez Öklid tarafından yazılan Elementler kitabında sistematik olarak ele alınmıştır. Elementler, soyut matematiğin başlangıcı olarak kabul edilir. Kanıt kavramı da bugünkü niteliğine çok yakın bir şekilde ilk kez bu kitapla ortaya çıkmıştır. Daha sonraki dönmelerde soyut matematiğin gelişmesine koşut olarak kanıtın önemi daha iyi anlaşılmıştır.
Artık günümüzde, dünyanın dört bir yanında çalışan on binlerce matematikçi, matematiği matematik yapanın kanıt kavramı olduğunu çok iyi biliyor. Kanıt matematiğin kalbidir. Eser besteleyecek bir müzisyen için notalar, bir ressam için renkler, bir yazar için sözcükler, cümleler neyse bir matematikçi için de kanıt aynı şeydir. Matematikçi olmanın kilit noktasıdır.
Matematik, yeni fikirlerin çıkması ve bu fikirlerin kanıtlama yoluyla doğrulanmasından oluşur. Matematiğin zamandan bağımsız olmasındaki özgünlük onun metodolojisinden kaynaklanır. Bu metodoloji de kanıttır. Matematikte kanıt, neyin doğru ya da yanlış olduğunu anlamanın, sırtımızı nereye dayayacağımızın biricik yöntemidir.
Matematiksel kanıtın bir diğer önemi ise kanıt sürecindeki kazanımlardır. Geçerli bir kanıt yapabiliyor olmak, üzerinde çalıştığınız problemi tamamıyla anladığınızın göstergesidir. Dahası, bir varsayımı kanıtlamak için verilen çaba, çoğu zaman üzerinde durduğunuz teorem hakkında daha da derine inmenizi gerektirir. Bir matematikçi bir varsayımı kanıtlayamasa bile, kanıtlama uğraşı boyunca büyük bir birikime sahip olur. Matematik tarihi, başarısızlıklarla sonuçlanmış, ama çok parlak sonuçları olan kanıtlama mücadeleleriyle doludur. Matematikçilerin yüzyıllarca Öklid’in Paralellik Aksiyomunu kanıtlamaya çalışmaları Öklid-dışı geometrilerin keşfine yol açarak muhteşem sonuçlar doğurmuştur.
Matematiksel kanıtın bilimsel değerini çok iyi anlatan bir örnek de Cebirin Temel Teoremi’dir. Bu teoremi birçok matematikçi kanıtlama girişiminde bulunmuş, ilk kanıt büyük Alman matematikçi C. F. Gauss tarafından 1729’da yapılmıştır. Bu kanıttaki açık, topolojik bir yaklaşımla 1920’de Rus matematikçi A. N. Ostrovsky tarafından kapatılmıştır. Gauss, ilk kanıtından 50 yıl sonra iki kanıt daha yayımlamıştır. Bu teoremin günümüze kadar onlarca değişik kanıtı yayımlanmıştır. Tamamen farklı bakış açılarına ve matematik bilgisine sahip olan bu kanıtlar, cebir, topoloji, olasılık kuramı gibi matematiğin değişik dalları arasında analojik bağların kurulmasını sağlamıştır.
Matematiksel kanıtın çığır açıcı sonuçlarına verilebilecek en çarpıcı örneklerden biri de Poincaré sanısının kanıtıdır. Altı yıl önce Rus matematikçi Perelman tarafından yapılan bu kanıt, matematiksel değerinin ötesinde kimya ve fiziği de içine alan zengin bir yapıya sahiptir. Evrenin biçimi hakkında önemli ipuçları taşımakla birlikte; birçok bilim insanın görüşü bu kanıtın Kuramsal Fizik’te, Görelilik kuramında önemli gelişmelere yol açacağı doğrultusundadır.
Kanıtsız matematik!
Matematik öğretiminden kanıtı çıkarırsanız geriye ne kalır? Belki çok iyi denklem çözebilirsiniz, parabol çizebilirsiniz, zor bir trigonometri sorusunu da çözebilirsiniz, bir fonksiyonun minimum değerini de hesaplayabilirsiniz, çok iyi limit alabilirsiniz, çok iyi türev de alabilirsiniz ama yaptığınız işin adı matematik değildir ve matematik öğrendiğinizi zannedersiniz. Bugün ülkemizde çok yaygın olarak yapılan bu işin matematiğin özü ve matematik öğretiminin amacıyla hiçbir ilgisi yoktur; çünkü matematik öğretiminin öncelikli amacı insanların soyut düşünebilme yeteneğinin geliştirilmesidir. Matematiği kanıtsız öğrenmeye çalışan birisi, doğuştan var olan soyutlama ve muhakeme gücünü gittikçe kaybeder. Neden sonuç ilişkisini kuramaz. Verili bilgiyi sorgulama ihtiyacı duymaz, her karşılaştığı bilgiyi ezberlemeye çalışır.
Yıllardır karşılaştığım bir sorudur: Neden kanıtlanmış teoremleri bir kez daha kanıtlıyoruz? Bu soruyu bir espri değil, ciddi olarak soran çok öğrenci var. Öğrenciler, kanıt olmadan da matematik yapılabileceğini düşünüyorlar; çünkü daha ilköğretimde dairenin alanını, silindirin hacmini veren formüllerle karşılaşıyorlar. Bu formülleri ezberlemek zorunda bırakılıyorlar, nasıl çıktığını keşfetmeden, “öğretmen söylediyse doğrudur” diyerek. Aslında yeni bir şeyi öğrenen herkes, bir önermenin doğruluğunu nedenleriyle öğrenmek ister.
Ama ilk ve orta öğretimdeki programlar ve uygulamaları her insanda var olan nedenleriyle öğrenme isteğini, yaratıcılığı yok ediyor. Örneğin liselerde kanıt kavramı, 9. sınıfta Mantık konusunun içinde yüzeysel bir biçimde ele alınır ve doğru düzgün işlenmeden geçiştirilir ve sonraki bölümlerde neredeyse hiçbir önermenin kanıtı yapılmaz. Oysa konuların birçoğu kolaylıkla kanıtlanabilecek önermeler yazılarak öğrencilerde kanıtlama gücü ve sezgisi geliştirilebilir. Elbette, böylesi bir matematik öğretimi için liselerdeki öğretim programlarında köklü değişiklikler yapmak gerekir. Ama yapılmıyor. Neden?
Kuşkusuz, matematik öğretimi, sadece ülkemizde değil, bütün dünyada içinde önemli zorlukları barındıran bir etkinlik. Ayrıca matematiksel kanıtın amacına ulaşabilmesinin öğrencilerin düzeylerine de bağlı olduğu biliniyor, ama asıl acı gerçek şu ki, matematiği tepeden inme bir biçimde, belleyerek öğrenmek zorunda kalan öğrenciler bir süre sonra ya matematikten kopuyorlar ya da hızla işlem yapan, beş seçenekten birini işaretlemeyi öğrenen robotlara dönüşüyorlar. Oysaki gerçek matematik öğretimi “kesinliği su götürmez” sözünden kuşku duyma alışkanlığını kazandırmayı amaçlamalıdır.
KAYNAKÇA
1)Nesin, A, Önermeler Mantığı, Nesin Yayıncılık, 2009.
2)www.math.wustl.edu, Krantz, S. G, The History and Concept of Mathematical Proof, 2007.
