Ana sayfa 121. Sayı Ünlü matematik problemine Kazakistan’dan yanıt

Ünlü matematik problemine Kazakistan’dan yanıt

174
PAYLAŞ

Çeviren: Şule Dede

Mukhtarbay Otelbayev, Kazakistan’ın Astana kentinde bulunan Avrasya Ulusal Üniversitesi’nde matematikçi. Otelbayev, günümüzde mühendislikten meteorolojiye kadar pek çok alanda akışkanları modellemek için kullanılan Navier-Stokes problemini çözdüğünü iddia ediyor.

Navier-Stokes problemi, aslında bildiğimiz anlamda bir “problem” değil; Navier ve Stokes’un yaklaşık iki yüz yıl önce ortaya koyduğu denklemler, aslında işe yarıyor; fakat denklemlerin olası her durumda çalıştığına ilişkin kanıt yok. Başka bir deyişle bu denklemlerin duvara tosladığı ya da gerçekçi sonuçlar üretmediği durumların olup olmadığı bilinmiyor.

2000’de Clay Matematik Enstitüsü, yeni milenyumda matematiği kutlamak için Yedi Milenyum Problemi belirlemiş ve problemlerin her birinin çözümü için birer milyon dolarlık ödül konmuştu. Navier-Stokes problemi de bunlardan biri…

Otelbayev, Kazakistan’da yayımlanan Mathematical Journal dergisindeki makalesinde bir milyon dolarlık bu problemin çözümünü yayımladı. Kazak matematikçi, problem üzerinde kesintili olarak 30 yıl boyunca uğraştığını belirtiyor.

Anlaşmak için matematik yetmez

Fakat ortada bir sorun var: Her ne kadar matematik, sembollerden oluşan evrensel bir dilse de, aynı zamanda büyük ölçüde açıklayıcı metinler de içeriyor. Ne var ki,  Otelbayev, İngilizce bilmiyor. Ünlü problemi çözdüğü metin Rusça ve henüz çevrilmiş değil. Bu nedenle uluslararası matematik camiasının metni değerlendirmesi şimdilik zor.

Clay Matematik enstitüsü için problemin resmi formülasyonunu yazan Princeton Üniversitesi’nden Charles Fefferman yıllardır problemi çözdüğü iddia edilen makalelerin yanlış çıktığını hatırlatıyor; fakat henüz makale çevrilmediği için daha fazlasını söyleyemeyeceğini belirtiyor.

Tahmin edileceği üzere, milenyum problemlerinin çözümüne yönelik, internet üzerinden düzenli olarak gönderilen amatör uğraşlar mevcut. Bu çalışmalar genelde pek yankı uyandırmıyor. Fakat Otelbayev’in bir profesyonel olması, matematikçilerin bu makaleye diğerlerinden daha fazla ilgi göstermesine neden oluyor.

Elbette bunlardan bazıları Rusça makaleyi anlama olanağı olan matematikçiler. Örneğin Rus meslektaşları ile birlikte çalışan Missouri Üniversitesi’nden Stephen Montgomery-Smith makalenin umut vaat ettiğini, şimdiye dek okuduğu kadarının değerli olduğunu fakat henüz kanıtın kalbine ulaşmış gibi hissetmediğini söylüyor. Otelbayev ise, Kazakistan’dan üç ve Rusya’dan bir meslektaşının kanıtın doğruluğu konusunda hemfikir olduklarını söylüyor.

Kanıtlama yükümlülüğü

Bir milyon dolarlık ödül göz önüne alınırsa, problem çözümüne dair sıkı bir kanıtın istenmesi oldukça doğal. Clay Matematik Enstitüsü’nün kurallarına göre ödülün verilmesi için, çözüm dünya çapında itibar sahibi bir dergide yayımlanacak ve iki yıl boyunca “tartışmasız doğru” kalacak.

Otelbayev makalenin öğrencileri tarafından çevrilmekte olduğunu, İngilizce çevirisinin çok yakında önce bir Kazak dergisinde ve belki daha sonra yurtdışındaki bir dergide yeniden yayımlanacağını söylüyor.

İşin zorluğunu göstermesi açısından, bugüne kadar resmi olarak yalnızca bir milenyum probleminin çözülebildiğini hatırlatalım. 2003’te Grigori Perelman, Poincaré Varsayımı’nı kanıtlamış fakat sonra matematik camiasından uzaklaşarak ödül olan bir milyon doları reddetmişti.

Ayrıca “P=NP” olarak bilinen başka bir probleme 2010’da gelen olası bir çözüm matematikçilerin ilgisini çekmiş, ne var ki hatalı olduğu bulunmuştu. Otelbayev’in çözümünün de aynı kaderi paylaşıp paylaşmayacağı ise yakında görülecek.

Milenyumun matematik problemleri

Clay Matematik Enstitüsü’nün 2000 yılında, her birinin çözümü için bir milyon dolarlık ödül koyduğu Navier-Stokes probleminin dışındaki altı milenyum problemi şunlar:

Yang-Mills teorisi

Deneyler ve bilgisayar simülasyonları Yang-Mill denklemlerinin kuantum versiyonlarında “kütle aralığı”nın varlığını öne sürer; fakat bu özelliğin bulunduğuna ilişkin herhangi bir kanıt yoktur.

Riemann hipotezi

Asal sayı teorisi asal sayıların ortalama dağılımını belirler. Riemann hipotezi ise ortalamadan deviasyonu (sapma) verir. Riemann’ın 1859 yılında yazdığı makalesinde formüle edilmiş bu hipotez, ζ(s) = 0 denkleminin tüm kompleks çözümlerinin reel kısımlarının 1/2 olduğunu öne sürer.

P=NP problemi

Eğer bir problemin çözümünün doğru olduğu kolayca kontrol edilabiliyorsa, problemi çözmek de kolaydır, değil mi? Bu soru, P=NP probleminin temeli. NP problemlerinin tipik bir örneği Hamilton yolu problemidir: N şehir verilidir, bir kişi bir şehre iki defa gitmeden nasıl şehirlerin tamamına gidebilir? Eğer bana bir çözüm sunarsanız, kolayca doğru olduğunu ispatlarım. Fakat yanıtı o kadar kolay bulamam.

Poincaré varsayımı

1904’te Fransız matematikçi Henri Poincaré, üç boyutlu bir küreyi basit bileşmiş üç manifold olarak karakterize edebilir miyiz? sorusunu sordu. Bu soru, Thurston’ın varsayımının özel bir durumuna ilişkindi. Rus matematikçi Grigori Perelman, önce Thurston varsayımını daha sonra Poincaré varsayımını kanıtladı.

Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı

Oldukça deneysel bir kanıtla desteklenen bu varsayım, yalnızca belirli bir değerde L-fonksiyonunun sıfır olması halinde bir eğri üzerinde sonsuz sayıda rasyonel nokta bulunacağını iddia eder.

Uçak yapımından çevre kirliliği analizine… Navier-Stokes denklemleri

Fransız fizikçi ve mühendis Claude-Louis Navier ile İrlandalı matematikçi ve fizikçi George Gabriel Stokes tarafından 19. yüzyılda oluşturulan denklemler, akışkan hareketlerini tanımlar. Navier-Stokes denklemleri Newton’un ikinci yasasının akışkan hareketlerine uygulanmasıyla oluşturulur. Denklemler, akışkan içindeki birim kütleye düşen momentumun, viskoz kuvvetlerin toplamına eşit olduğu varsayımında bulunur.

Bütünlüklü ve basit formlarıyla Navier-Stokes denklemleri, çok çeşitli alanlarda biliminsanlarına yardımcı olur. Uçak ve otomobil yapımında, kan akışını inceleyen çalışmalarda, hava durumu tahminlerinde, güç istasyonlarının tasarımında, çevre kirliliğinin analizinde vs. kullanılabilir. Ayrıca Maxwell’in denklemleri ile birlikte manyetohidrodinamik alanında yapılan çalışma ve modellemelerde kullanılır. New Statesman dergisinden Micheal Brooks, bu denklemler sayesinde Ocak ayında Kuzey Amerika’da dondurucu soğuklara neden olan “kutbi girdap” adı verilen meteorolojik olayı anlayabildiğimizi ya da okyanuslardaki karbondioksit derişiminin artmasının nelere sebep olabileceğini bildiğimizi belirtiyor. Brooks hava yolculuğu sırasında farklı hava katmanlarının etkileşimiyle gerçekleşen açık hava türbülansında karbondioksit emiliminin etkisini örnekleyerek devam ediyor: “Bu, karbondioksit konsantrasyonun artırır. Çözümü hakkında Navier-Stokes denklemleri bize türbülansın yüksek enlemlere doğru hareket ettiğini söyler. Denklemlerin çözümü, transatlantik uçuşlarda izlenecek rotayı doğrudan belirler.”

Dolayısıyla denklemlerin her koşulda doğruluğunun kanıtlanması ya da bu denklemlere ne kadar güvenebileceğimizin ortaya konması, sadece akademik değil, pratiği de etkileyen bir başarı.

Kaynak

1) Jacob Aron, Katia Moskvitch, “Kazakh mathematician may have solved $1 million puzzle” New Scientist