Ana sayfa 125. Sayı Mantıklı düşünebiliyor musunuz?

Mantıklı düşünebiliyor musunuz?

Matematik Sohbetleri

156
PAYLAŞ

Ali Törün

Oldukça belirsiz, hatta komik sayılabilecek bu soruya verilecek esprili yanıt çoğu kişi için “Ne demek istiyorsunuz, tabii ki mantıklı düşünüyorum”olabilir.

İngiliz psikolog P.C Wason “Tabii ki mantıklı düşünüyorum.” sözünden “kuşku duymuş” olmalı ki sonuçları oldukça şaşırtıcı ve üzücü olan basit bir test hazırlamış. Genel başarı oranı % 3 ile % 5 arasında değişen, uygulayanların çoğunda hayal kırıklığı yaratan bu testte Wason, deneklerin önüne aşağıdaki gibi dört kart koyuyor. Her kartın bir yüzüne bir harf diğer yüzüne ise bir sayı yazılmış. Şu önermenin doğru olup olmadığını belirlememiz isteniyor:

Eğer kartın bir yüzünde sesli harf varsa diğer yüzünde çift bir sayı vardır.

Bu önerme hangi kartlar için doğru ya da yanlış olabilir? Bunu anlayabilmek için hangi kartı veya kartları çevirmeliyiz?

Testi bilmeyen ve uygulamak isteyecek okurların da olabileceğini düşünerek doğru yanıtı hemen yazmıyorum. Sadece,şu an düşünmekte olan okurlara yukarıdaki kuralda özellikle  “varsa” sözcüğüne dikkat etmelerini öneriyorum.

Wason testi, 1966’dan bu yana birçok denek grubu üzerinde uygulanmış, ama maalesef yukarıda da belirttiğimiz gibi başarı oranı oldukça düşük: Üniversite mezunu kişiler arasında % 10’u bile bulmuyor. En başarılı olanlar temel bilimlerde eğitim alanlar. İkinci sıradaysa mühendislik öğrencileri yer alıyor. [2]

Deneklerin çoğunluğu “A” ve “2” kartlarının diğer yüzüne bakılması gerektiği sonucuna varırken, ikinci sırada en çok verilen yanlış yanıt ise sadece “A” kartı çevrilmeli seçimi olmuş.

Doğru yanıt: “A” ve “3” kartları olmalıydı. Aslında doğru yanıta ulaşmak için lisede de okutulan ve matematikte önermeler mantığında yer alan “ise” bağlacını bilmek yeterli, ama biz önce her bir kartı tek tek inceleyerek testin bizden istediği akıl yürütmeyle sonuca ulaşmaya çalışalım.

Verilen önermedeki cümlenin ilk yarısı çok önemli: Eğer kartın bir yüzünde sesli harf varsa… Bu bölümü atladığımızda doğru sonuca ulaşmamız imkânsız; çünkü önermedeki kural bize, kartların bir yüzünde sesli harf olması koşuluyla hareket etmemizi istiyor, yani önce sesli harfin olup olmadığını belirlemeliyiz. Bu yüzden “A” kartının arka yüzüne bakmalıyız, çünkü arkasında çift sayı olabilir, ki bu durumda önereme doğrudur, aksi halde yanlıştır.

“2” kartı: Deneklerin en çok takıldığı bu kartı çevirmemize gerek yok! Herhalde çoğu kişi (soruyu tam anlamadan yanıtlayan bu satırların yazarı da dahil) bu kartın bir yüzünde çift sayı olduğu için diğer yüzüne de bakılması gerektiğini düşünüyor. Oysa ki kural bize,“Eğer kartın bir yüzünde sesli harf varsa diğer yüzünde çift bir sayı vardır”diyor, yani ancak kartın bir yüzünde sesli harf varsa bir başka gerçekten söz edebiliriz. “2” kartının diğer yüzünde sesli bir harf olsa dahi, verilen önermenin doğru olduğunu söyleyemeyiz, çünkü bu durumda,“Eğer kartın bir yüzünde çift sayı varsa diğer yüzünde sesli harf vardır”önermesi doğrulanmış olur ki, bu önerme bize verilen önermenin karşıtıdır. Bu yüzden bu kartı çevirmemiz gerekmiyor.

“3” kartı:Belki de en çok kafa karıştıran bu kartı da kontrol etmemiz gerekiyor, çünkü eğer, diğer yüzünde sesli bir harf varsa kural ihlal edilmiş demektir, yani bu kart için önermenin yanlış olduğunu söyleriz. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, bu kartı çevirmekteki amacımızın verilen önermeyi doğrulamak değil, yanlış olup olmadığını anlamak. “2” kartıyla “3” kartı bu bakımdan çok farklı. “2” kartının diğer yüzünde sesli veya sessiz harf olması bize verilen “Eğer kartın bir yüzünde sesli harf varsa”koşulu yüzünden önemsizleşiyor, ama “3” kartının diğer yüzünde sesli harf olması halinde önermemizin yanlış olduğu sonucuna ulaşıyoruz.

Herhalde, hiç düşünmeden “çevirmeye gerek yok” diyeceğimiz kart “B” dir, çünkü önermenin sesli harf koşuluna daha baştan uymuyor.

Sonuç olarak, verilen önermenin doğruluğunu kontrol etmemiz için görünen yüzünde harf olan kartlardan sesli harf olanları ve çift sayı olmayanları çevirmeliyiz.

Somut olan çok daha kolay

Soyut bir problemi anlamak, çözüm için hangi bilgilerin gerektiğine karar vererek doğru sonuca ulaşmak kolay olmuyor.Wason testinin “üzücü” sonuçları üzerine çalışan psikologlar farklı testler hazırlayarak verilen önermeyi günlük hayatın içinden bir soruya dönüştürdüklerinde başarı oranının en eğitimsiz deneklerde bile % 90’lara ulaştığını gözlemlemişler. Bu çalışmalardan biri de 1966’da uygulanan ilkWason testinden on altı yıl sonra 1982’de Richard A. GriggsveJames R. Coxtarafından oluşturulan testtir. Bu testin başarı oranı % 100’e ulaşıyor.

Aşağıdaki kartların bir yüzünde kişilerin ne içtikleri, diğer yüzünde ise yaşları yazıyor. Bu kartların hangilerindeaşağıdaki önerme doğru ya da yanlış olabilir? Bunubelirleyebilmek içinhangi kart veya kartları çevirmeliyiz?

Eğer kişilerden biri bira içiyorsa 18 yaşından büyük olmalıdır.

Önceki sorudan tek farkı günlük hayata uyarlanarak somutlaştırılan bu soruyu yanıtlamak çok kolay: Sadece “bira” ve “16 yaş” kartlarının diğer yüzlerine bakmalıyız.“Eğer kartın bir yüzünde sesli harf varsa diğer yüzünde çift bir sayı vardır.” önermesindeki kartları dikkate alırsak; “A”, “B”,“2” ve “3” kartları sırasıyla buradaki,“bira”, “21 yaş”, “soda” ve “16 yaş” kartlarına karşılık geliyor. Nasıl ki “21 yaş” ve “soda” kartlarını çevirmemizin gereksizliği açıkça görülüyorsa, diğer önermede de “B” ve “2” kartlarını çevirmemiz gereksiz, ama soyutlayarak akıl yürütmede zorlanıyoruz. Beynimiz pratik hayatla ilişkili olaylarda daha iyi çalışıyor. Günlük hayattaki problem çözme yetilerimiz soyut mantıkta yetersiz kalabiliyor. Elbette, böylesi bir çıkarım olayın sadece bir boyutu;eğitim, sosyal ve kültürel koşullar gibi daha birçok faktörün dikkate alındığıWason testinin benzeri araştırmalar oldukça ilginç sonuçlara sahip.

“İse” bağlacı ve Wasontesti

Önermeler mantığında yer alan “ise” bağlacıylaWason testinde doğru sonuca ulaşmak çok kolay. Aslında yukarıda kullandığımız mantık,“ise” bağlacının bir sonucu.Wason testindeki önermeyi “ise” bağlacıyla ifade edeceğiz, ama önce kısaca bu bağlaçtan söz edelim.

“İse” bağlacının kullanıldığı önermelere koşullu önerme adını verelim. “İse” sözcüğünü de “→”olarak simgeleyelim.

p → q koşullu önermesinde p koşulun belirtildiği ön bileşen, q koşula bağlı olarak ifade edilen ard bileşendir. Bir koşullu önermenin doğru olması için eğer ön bileşen doğruysa ard bileşenin de doğru olması gerekir. Ama ön bileşen yanlışsa ard bileşen doğru da olsa şartlı önerme doğrudur.Söylediklerimizi tabloda gösterelim.

pq
yanlışyanlışdoğru
yanlışdoğrudoğru
doğruyanlışyanlış
doğrudoğrudoğru

Bu doğruluk tablosundaki bazı sonuçlar sezgilerimizle çelişiyormuş gibi gelebilir. Tablodaki her bir satırı basit örneklerle açıklayalım. Daha ayrıntılı bilgi için Kaynak 3’ü öneririm.

Tablonun ilk satırı, “yanlış ise yanlış” önermesinin doğruluk değerinin “doğru” olduğunu söylüyor, yani yanlış bir önermeden yanlış bir önermenin çıkarılacağını ifade ediyor. Örneğin 2 < 1 yanlış önermesindeki eşitsizliğin her iki tarafına 1 eklersek, 3 < 2 yanlış önermesini elde ederiz ki, bu da bize tablonun ilk satırının son sütununa “doğru” yazılabileceğini gösterir.

İkinci satır, yanlış bir önermeden doğru bir önerme çıkarılabileceğini ifade ediliyor. Örneğin 2 = 1 yanlış önermesinden hareketle doğru bir önermeye ulaşabilir miyiz? Bu konuda Bertrand Russell’ın hoş bir anekdotu vardır:

Russell’a yanlış bir önermeden doğru bir önermenin nasıl çıkarılacağı şöyle bir soruyla sorulur: Eğer 1 = 2 ise Papa olduğunuzu kanıtlayabilir misiniz? Russell, “Bundan kolay ne var.” karşılığını vererek sözlerini şöyle sürdürür: Papa’yla beni boş bir odaya koyarsanız odada kaç kişi olur? Soruyu soran, “İki kişi elbette!” diye yanıtlar. Russell: Ama iki bire eşit. O halde odada bir kişi var. Papa’yla ben, çünkü ben Papa’yım!

Bu anekdot, sadece günlük hayatın içinden düşünerek soyut mantığın kurallarının açıklanamayacağının güzel bir örneği.

Tabloda üçüncü satır, doğru bir önermeden yanlış bir önerme çıkarmanın yanlış olduğunu söylüyor. Örneğin 2 < 3 doğru önermesinden 2 < 1 yanlış önermesini çıkarmanın yanlış olması gibi.

Herhalde en açık bölüm dördüncü satırdaki ifade; çünkü doğru bir önermeden doğru bir önerme çıkarmanın doğru olduğu ifade ediliyor. Örneklemeye gerek yok sanırım.

Şimdi, tekrar Wason testine dönelim ve “Eğer kartın bir yüzünde sesli harf varsa diğer yüzünde çift bir sayı vardır.”p ve q simgelerini kullanarak iki ayrı önermeye ayıralım: p, “kartın bir yüzünde sesli harf var” önermesini; q, “kartın diğer yüzünde çift sayı var” önermesini simgelesin. “Varsa” sözcüğünde yer alan “ise” ekini de “→” olarak simgeleyelim. O zaman önermemiz p → q olarak yazılır.

Doğruluk tablosuna bakarsak, p’nin yanlış olduğu durumlarda p → q önermesi doğru ve ayrıca q’nun doğru olduğu durumlarda da p → q yine doğru. O halde Wason testinde verilen önermenin doğruluğunu kontrol etmemiz için p’nin doğru, q’nun yanlış olduğu durumlara bakmak gerekir, yani kartların görünen yüzünde sesli harf olanları ve çift olmayanları çevirmemiz gerekir. Bu yüzden doğru yanıt: “A” ve “3”.

Kaynaklar

1) http://fitelson.org/confirmation/notes_13.pdf.

2) Duran S, Gereklilik Ağıdı- I, Matematik Dünyası, 2014-I.

3) Nesin, A, Önermeler Mantığı, Nesin Yayınları, 2009.