20. yüzyıl, matematiğin binlerce yıllık tarihinde akla dahi gelmemiş bakış açılarının doğduğu, eski problemlere yeni çözümlerin ve ispatların bulunduğu, yeni problemlerin ortaya sürüldüğü, yeni kuramlarla yeni çığırların açıldığı, yeni ufukların belirdiği bir dönem oldu. Bu parlak döneme damgasını vuranlar, Hardy, Ramanujan, Russell, Hilbert, Gödel, Turing, Weil, Cohen gibi dahi matematikçilerdi.
20. yüzyıl, matematikte genelleme ve soyutlamanın yükselişi yönündeki 19. yüzyıl trendini devam ettirdi. “Kanıt gerektirmeyip kendiliğinden apaçık olan doğrular” olarak aksiyom kavramının, “tutarlılık” ve “tamlık” gibi mantıksal kavramların vurgulanması lehine büyük ölçüde terk edilmesi yönündeki eğilim sürdü.
Ayrıca bu yüzyıl, matematiğin her yıl binlerce yeni doktora derecesiyle ve hem endüstri hem eğitimde birçok yeni iş alanıyla temel bir meslek haline gelişine sahne oldu. Grup teorisi, düğüm teorisi, demet teorisi, topoloji, graf teorisi, fonksiyonel analiz, tekillik teorisi, katastrof teorisi, kaos teorisi, model teorisi, kategori teorisi, oyun teorisi, karmaşıklık teorisi ve daha birçokları gibi yüzlerce özel çalışma alanının gelişimine tanıklık etti.
Aykırı Britanyalı matematikçi G. H. Hardy ve hamiliğini yaptığı genç Hintli Srinivasa Ramanujan, 20. yüzyılın başlarında Riemann hipotezi gibi önceki yüzyıldan kalma problemleri samimiyetle çözmeye kendini adamış büyük matematikçilerden sadece ikisiydi. Yaklaşsalar da, problemlerin bu en zorlusu karşısında onlar da yenildiler. Ancak Hardy o dönemde dibe vurmuş Britanya matematiğini düze çıkaran adam olma ününü kazandı. Ramanujan ise disiplinsiz ve istikrarsız olsa da yüzyılın en parlak zihinlerinden birisi olduğunu ispatladı.
Mazisi bin yıllık ama 20. yüzyılın karmaşıklık seviyesine uyarlanmış teknikleri kullanan matematikçiler de vardı. 1904’te Johann Gustav Hermes, Öklid’den de beklenebilecek bir şey yaptı, 10 yıldan fazla zamanını almış olsa da, bir pergel ve cetvel kullanarak 65537 (216+1) kenarlı bir düzgün çokgenin inşasını tamamladı.
20. yüzyılın başları ayrıca, Gottlob Frege’nin daha önce kaydettiği ilerlemelerin üzerine inşa edilen matematiksel mantığın yükselişinin başlangıcını da şahit oldu. Bu alan ilk meyvelerini Guiseppe Peano, L. E. J. Brouwer, David Hilbert ve özellikle ortak anıtsal çalışmaları Principia Mathematica’yla matematiksel ve felsefi mantık üzerinde çok etkili olan Bertrand Russell ve A.N Whitehead ile vermeye başladı.
Çözülebilir, çözülemez ve çözülüp çözülemeyeceği söylenemez problemler
1900 yazında Paris’te Sorbonne’da, genç Alman matematikçi David Hilbert’in o dönemde matematiğin çözülmemiş en büyük 23 problemi olarak gördüğü problemleri ortaya koyduğu konferansla hatırlanan tarihi toplantı, yüzyılın başlangıcı sayılabilir. “Hilbert problemleri”, gelecek matematikçi nesillere bir meydan okuma olarak 20. yüzyıl matematiğinin ajandasını etkili bir şekilde tayin etti. Şimdiye dek bu özgün 23 problemin 10’u çözüldü, yedi tanesi kısmen çözülmüş durumda, iki tanesi ise hâlâ çözülmüş değil (Riemann hipotezi ve Kronecker-Weber teoremi). Esnek biçimde formüle edildiklerinden, geri kalan dördünün çözülüp çözülmediklerini saptamak ise mümkün değil.
Hilbert’in kendisi parlak bir matematikçiydi, birçok teoremde ve bütünüyle yeni bir matematiksel konseptte imzası vardı, bunların yanı sıra tamamen yeni bir soyut matematiksel düşünme tarzının gelişimine önayak olmuştu. Hilbert’in yaklaşımı, aksiyomların kendiliklerinden apaçık doğrular olarak görülmediği modern aksiyomatik metoda geçişin işareti oldu. Matematiğin geleceği hakkında 1930’da bir radyo programında, “Bilmek zorundayız. Bileceğiz!” diyecek kadar sarsılmaz bir iyimserdi ve yüzyılın ilk bölümünde matematik camiasının çok sevilen lideriydi.
Gel gör ki Avusturyalı Kurt Gödel kısa bir süre sonra neyin çözülebilir neyin çözülemez olduğuna keskin sınırlar koydu ve o güne dek akla bile gelmeyen bir şeyi, matematiksel problemlerin doğru ama hiçbir zaman ispatlanamayacak çözümleri olabileceğini ispatlayan o meşhur eksiklik teoremiyle matematiği baş aşağı çevirdi.
Matematikten bilgisayara
Belki de en çok savaş sırasında Almanların Enigma kodunu çözmesiyle tanınan Alan Turing, savaştan önceki yıllarını Gödel’in bu oldukça soyut ispatını açıklığa kavuşturmak ve basitleştirmek için harcadı. Metotları, hangi problemlerin kanıtlanabilir veya kanıtlanamaz olduğunu peşinen söylemenin mümkün olmadığı düşüncesi de dahil olmak üzere, Gödel’inkilerden daha yıkıcı bazı sonuçlara götürdü. Bununla birlikte çalışmaları, bir yan ürün olarak bilgisayarların ve yapay zekâ gibi kavramlara dair ilk düşüncelerin gelişiminin de yolunu açtı.
Avusturya ve Almanya’daki matematik topluluğunun 1930 ve 1940’lardaki anti-yahudi rejim tarafından hızlı ve kasten yok edilişinin ardından, matematiğin odağı Amerika’ya, özellikle de eski Avrupa üniversitelerinin akademik yaşamını New Jersey kırsalında tekrar oluşturmayı deneyen Princeton’daki İleri Araştırmalar Enstitüsü’ne kaydı. Hermann Weyl, John von Neumann, Kurt Gödel ve Albert Einstein’ın da içinde bulunduğu en parlak Avrupalı matematikçiler Nazilerden kaçarak bu güvenli cennete sığındılar.
Çok geniş bir alanda temel katkılar sağlayan bir diğer “dâhi çocuk” John von Neumann da modern dönemin önde gelen matematikçilerinden biri sayılır. Kuantum teorisi üzerine çalışmalarına, Manhattan projesindeki rolüne ve nükleer fiziğin ve hidrojen bombasının geliştirilmesine yaptığı katkılara ek olarak, özellikle oyun teorisinin öncüsü olarak ve daha özelde, çoğu elektronik bilgisayarın bugün hâlâ sürdürdüğü mimariyi, yani bir işlemci ve hem komutları hem bilgiyi saklayan ayrı bir bellek kullanan dijital bilgisayarı tasarlamasıyla hatırlanır.
Andre Weil ise birkaç defa ölüme çok yaklaşarak Avrupa’daki savaştan kaçan diğer bir mülteciydi. Sayılar teorisi, cebir, geometri ve topoloji arasında bağların kurulmasını sağlayan teoremleri modern matematiğin en büyük başarılarından biri olarak sayılır. Ayrıca gizemli Nicolas Bourbaki müstear ismiyle 20. yüzyılın birçok etkileyici matematik kitabının yazarı olan Fransız matematikçi grubunun oluşumunun da sorumlusudur.
Belki de Weil’in en büyük mirasçısı, 20. yüzyıl matematiğinin sevilen ve karizmatik figürü Alexander Grothendieck’tir. Groethendieck, matematiğin tümünün altında yatan saklı yapılarla ilgilenen bir yapısalcıydı ve 1950’lerde matematiksel yapıların yeni bir yoldan görülmesini sağlayan, böylece sayı teorisinde, geometride ve hatta temel fizikte yeni çözümlerin önünü açan güçlü yeni bir dil yarattı. Onun “şemalar teorisi” Weil’in sayılar teorisi varsayımlarının bazılarının çözülmesine yol açtı. Onun “topos teorisi” ise matematiksel mantıkla yakından ilintiliydi. Bunlara ek olarak Riemann-Roch teoremine cebirsel bir kanıt getirmiş ve bir eğrinin temel grubuna dair cebirsel bir tanım sağlamıştı. 1960’lardan sonra radikal politika uğruna matematiği terk etmiş olsa da cebirsel geometrideki başarıları matematiğin görünümünü muhtemelen en az Cantor, Gödel ve Hilbert kadar temelden dönüştürmüştü. Kimileri onu tüm 20. yüzyıl matematiğinin en baskın figürlerinden birisi olarak değerlendirmektedir.
Paul Erdös 20. yüzyıl matematiğinin bir diğer ilham kaynağı ama belirgin bir şekilde sıra dışı figürlerinden biriydi. Bu son derece üretken ve ilginç Macar matematikçi, matematiğin kombinatorik, graf teorisi, sayı teorisi, klasik analiz, yaklaşıklık teorisi, küme teorisi ve olasılık teorisi gibi konular üzerine yüzlerce farklı meslektaşıyla birlikte çalıştı. Öyle ki şakayla karışık, matematikçilere onla çalışma yakınlığına göre bir “Erdös sayısı” verilirdi. Ayrıca çeşitli çözülememiş problemlere (aritmetikteki Erdös kestirimi gibi) bazıları ölümünden sonra şimdi bile geçerli olan küçük ödüller teklif etmesiyle biliniyordu.
Bilgisayardan matematiğe
Fonksiyonların karmaşık sayılar düzlemindeki iterasyonuyla tanımlanan kompleks dinamik alanı, 20. yüzyılın başında iki Fransız, Pierre Fatou ve Gaston Julia tarafından geliştirildi. Ancak gerçekten ilgi görmesi 1970’lerde ve 1980’lerde, Julia kümelerinin ve özellikle adını bir başka Fransız matematikçiden, Benoit Mandelbrot’tan alan Mandelbrot kümelerinin nefis bilgisayar çizimleriyle oldu. Julia ve Mandelbrot Fraktalların en ünlü örneği olan Manderbrot kümes
fraktalları yakından bağlantılıydı ve fraktal terimini icat eden Mandelbrot, fraktal geometrinin babası olarak bilinmeye başladı.
Mandelbrot kümesi zn+1 = zn2+c (z, x+iy karmaşık düzleminde bir sayıdır) biçimindeki karmaşık ikinci dereceden denklemlerin tekrar eden iterasyonlarını içeriyordu. İterasyonlar özyineleme (rekürsiyon) üzerine kurulu bir çeşit geri besleme biçimi üretiyordu. Daha küçük parçalar bütünün küçük ölçekli kopyalarıydı ve sonsuza kadar karmaşıktı, yani ne kadar yakınlaşılırsa o kadar karmaşıklık elde ediliyordu.
Paul Cohen şöhret ve başarı adına Amerikan rüyasının peşinden giden ikinci nesil Yahudi göçmenlerinin bir örneğidir. 1960’larda, Cantor’un sonsuz kümelerin olası boyutları üzerine süreklilik hipotezinin (Hilbert’in özgün 23 probleminden biri) hem doğru hem yanlış olabileceğini ve süreklilik hipotezinin birinde doğru, diğerinde yanlış olduğu tamamen birbirinden ayrı ama geçerli iki farklı matematik dünyasının varlığını ispatlayarak matematik dünyasını salladı. Bu sonuçtan bu yana bütün çağdaş matematiksel ispatlar sonuçlarının süreklilik hipotezine uygun olup olmadığıyla ilgili bir beyanda bulunmak zorundadır.
Hilbert’in bir diğer problemi, genç Rus Yuri Matiyasevich’in polinom eşitliklerin bütün sayılar için bir çözümü olup olmadığını belirleyecek bir genel yöntemin imkânsız olduğunu ispatlayarak Hilbert’in onuncu probleminin imkânsız olduğunu göstermesiyle, nihayet 1970’lerde çözülmüş oldu. Matisayevich bu sonucu, Soğuk Savaş’ın ortasında büyük bir enternasyonalizm gösterisi yaparak Amerikalı matematikçi Julia Robinson’un on yıllar süren çalışmalarının üzerine inşa etti.
Kompleks dinamiğin yanı sıra, elektronik bilgisayarların ortaya çıkışından, -özellikle de elle uygulanması zor olan basit matematiksel formüllerin çok büyük sayıdaki tekrar eden iterasyonlarını hesaplama becerisi nedeniyle- çok büyük fayda sağlayan diğer bir alan, kaos teorisi oldu. Kaos teorisi bize, bazı sistemlerin hiç de rastlantısal olmadıkları halde rastlantısal görüntü sergileyebileceğini ve tersine, detayında temel olarak tahmin edilemez bazı sistemlerin ise kabaca tahmin edilebilir olabileceğini söyler. Kaotik bir sistemin olası davranışlarının da haritası çizilebilir ve “tuhaf çekiciler” adı verilen bu haritaların doğalarında fraktal oldukları keşfedilmiştir (bütün desen aynı kalmakla birlikte ne kadar yaklaşılırsa o kadar fazla detay görülebilir).
Kaos teorisinin erken bir öncüsü, kaosa olan ilgisi hava tahmini üzerine yaptığı çalışmalar sırasında rastlantısal olarak ortaya çıkan Edward Lorenz’dir. Lorenz’in keşfi 1961’de, kullandığı bir bilgisayar modelinin, kendisinin çalıştığı 6 basamaklı sayılar yerine 3 basamaklı sayıları kaydetmesiyle ve bu küçük yuvarlama hatasının önemli ölçüde farklı sonuçlar üretmesiyle geldi. Başlangıç koşullarındaki ufak değişimlerin uzun erimli sonuçlarda büyük değişimler üretebileceğini keşfetti ve bu fenomeni “kelebek etkisi” olarak tanımladı. Bunu, kendi Lorenz osilatörünün (kaotik bir akış gösteren üç boyutlu dinamik bir sistem) davranışına karşılık gelen bir fraktal yapıyla, “Lorenz çekicisi”yle gösterdi.
1976 yılı, Kenneth Appel ve Wolfgang Haken tarafından dört renk teoreminin ispatlanışına tanık oldu. Bu, bilgisayar kullanılarak ispatlanan ilk büyük teoremdi. Dört renk varsayımı ilk olarak 1852’de Francis Guthrie tarafından (Augustus De Morgan’ın öğrencisi) öne sürülmüştü ve birbirine komşu bölümlere ayrılmış herhangi bir düzlemin (“harita”), komşu bölümlerin hiçbirinin aynı renge sahip olmadığı bir şekilde en az dört renkle boyanabileceğini savunuyordu. Bir ispat 1879’da Alfred Kempe tarafından yapıldı ama doğru olmadığı Percy Heawood tarafından beş renk teoreminin ispatında gösterildi. Yalnızca dört rengin yeterli olabildiğini gösteren nihai ispatın yapılması önemli ölçüde zor oldu. Appel ve Haken’ın çözümü, bilgisayarın 1500 kadar farklı konfigürasyonu incelemesi için geçen 1200 saati gerektirdi.
Origami matematiğin hizmetinde
Ayrıca 1970’lerde origami, bazı durumlarda Öklid geometrisinden bile daha güçlü, ciddi bir matematiksel metot olarak kabul edilmeye başlandı. 1936’da Margherita Piazzola Beloch bir parça kâğıdın kendi küp kökü uzunluğunda nasıl katlanabileceğini gösterdi ancak 1980’e kadar, Yunan geometricileri alt ederek “küpü ikiye katlama” problemini çözen origami metodu kullanılmadı. Aynı oranda zor “bir açıyı üçe bölme” problemi için “origami kanıtı” 1986’da ortaya çıktı. Japon origami uzmanı Kazuo Haga’nın adıyla en az üç matematik teoremi bulunmaktadır ve onun alışılmamış katlama teknikleri birçok umulmadık geometrik sonuçlara neden olmuştur.
Britanyalı matematikçi Andrew Wiles, Fermat’nın son teoremini 1995’te Fermat’nın ilk kez ortaya koyuşundan 350 yıl sonra, bütün sayılar için nihayet ispatladı. Bu, Wiles’ın yaşamı boyunca ulaşmaya çalıştığı bir başarıydı ve bunun için yıllarca inatçı bir ısrar göstermişti. Bununla birlikte gerçekte, Wiles’ın bağlantıları kurduğu ve nihai sentezi gerçekleştirdiği, özellikle yarı-kararlı eliptik eğriler için Taniyama-Shimura varsayımının nihai ispatını yaptığı, ama aralarında Goro Shimura, Yutaka Taniyama, Gerhard Frey, Jean Pierre Serre ve Ken Ribet’nin de olduğu birçok matematikçinin yıllar boyunca süren birleşik çabasının ürünüydü. İspatın kendisi 100 sayfadan daha uzundu.
İspatlanmayı bekleyen büyük varsayımlardan biri de Poincaré varsayımıydı, 2002’de aykırı ve yalnız matematikçi Grigori Perelman tarafından çözüldü. St. Petersburg’un bir banliyösünde annesiyle birlikte sade bir hayat yaşayan Perelman, “eğer kanıt doğruysa başka bir onaya ihtiyaç yok” diyerek, bir milyon dolarlık ödülü reddetti. Varsayım -bugün artık teorem- şunu iddia ediyor: eğer tıkız (ucu bucağı olan) ama kenarsız bir üç boyutlu uzayda bir halka, iki boyutlu uzayda çizilen bir halka gibi bir noktaya sıkıştırabiliyorsa, bu uzay üç boyutlu bir küredir. Perelman 3 boyutlu cisimlerin daha yüksek boyutlarda bile nasıl “paketleneceğini” gösteren seçkin ama oldukça karmaşık bir çözüm sağladı. Perelman bunun yanı sıra, Riemann geometrisine ve geometrik topolojiye anıtsal katkılarda bulundu.
Paranoid şizofreniye karşı mücadelesi Hollywood tarafından “Akıl Oyunları” filmiyle popülerleştirilen Amerikalı ekonomist ve matematikçi John Nash oyun teorisinde, diferansiyel geometride ve pazar ekonomisi, bilgisayım, yapay zekâ, muhasebe ve askeri teori gibi günlük yaşamdaki karmaşık sistemlerde şansı ve olayları yöneten güçlere yönelik kavrayış sağlayan kısmi diferansiyel eşitliklerde önemli çalışmalar yaptı.
İngiliz John Horton Conway, bilgisayar bilimcileri arasında oldukça popülerleşen, hücre gruplarının bir ağ içerisinde evrimleşip büyüdüğü erken bir “hücresel otomat”ın, “Yaşam Oyunu”nun kurallarını ortaya koydu. Saf matematiğin oyun teorisi, grup teorisi, sayı teorisi ve geometri gibi birçok dalına katkıda bulundu ve sürreel sayılar, büyük antiprizma, canavarsı ayışığı gibi kulağa harika gelen kavramların yanı sıra “Sprouts, Filozof Futbolu, Soma Kübü” gibi matematiksel oyunlar geliştirdi.
Rubik Küp (1974) ve Sudoku (1980) gibi matematik temelli diğer eğlenceli bulmacalar kamuoyunda popüler hale geldi, daha önce sadece 19. yüzyılın modaları Tangram (1817) ve 15 Bulmaca’da (1879) görülmüş çapta bir çılgınlığa dönüştüler. Bu arada birçok ciddi matematikçide bu oyunların teorik sınırlarına ve temellerine dair bir ilgi de uyanmadı değil.
Bilgisayarlar, Marsenne asal sayıları (ikinin herhangi bir katından bir eksik olan asal sayı) benzeri fenomenlerin açığa çıkarılmasına yardım etmeye devam ettiler. 1952’de SWAC isimli ilk bilgisayarlardan biri, 2257-1 sayısını 13. Mersenne asal sayısı olarak tanımladı. Bu önceki 75 yıl içinde bulunan ilk yeni sayıydı, daha sonra daha büyük birkaç tane daha bulundu.
İnternetin 1990’larda ortaya çıkışıyla birlikte, gönüllü katılımcıların Mersenne asallarını bulmak için ücretsiz bilgisayar yazılımı kullandıkları bir proje, Büyük Mersenne Asal Sayısı Araştırması, keşif hızında yeni bir atılıma neden oldu. Şimdilerde bilinen en büyük 13 Mersenne asal sayısı bu şekilde keşfedildi. En büyüğü olan 45. Mersenne asal sayısı aynı zamanda bilinen her türden en büyük asal sayıdır. 2009’da keşfedildi ve 13 milyona yakın basamaktan oluşuyordu. Bu araştırma, irrasyonel pi sayısı için en kesin yaklaşıklığa ulaşmak adına devam ediyor. Şanda ulaşılan rakam 5 trilyondan fazla basamağa sahip.
1971’de Amerikalı-Kanadalı Stephen Cook tarafından ortaya atılan P’ye karşı NP problemi, bilgisayar bilimlerinde ve hızla büyüyen karmaşıklık teorisinde çözülmemiş büyük problemlerden birisidir ve Clay Matematik Enstitüsü’nün milyon dolarlık Milenyum Ödüllerinden birisi bu problem için ayrılmıştır. En basit ifadeyle soru, çözümü bilgisayarca yeterli bir şekilde kontrol edilebilecek her problemin bilgisayarca yeterli şekilde çözülüp çözülemeyeceğidir. Ya da başka bir şekilde koyarsak, cevabı hızlıca kontrol edilebilecek ama herhangi bir dolaysız izlekle çözülmesi imkânsız derecede uzun bir zaman gerektiren problemler var mıdır? Genellikle “Cook Teoremi” ya da “Cook Levin Teoremi” olarak bilinen bu problemin çözümü, 40 yıldır matematik ve bilgisayar bilimcilerin ellerinden kaçmaktadır. Vinay Deolalikar tarafından 2010 yılında ortaya atılan, P’nin NP’ye eşit olmadığını ispatladığını (ve dolayısıyla çözülemez ama kolayca kontrol edilebilir problemlerin var olduğunu) iddia eden muhtemel bir çözüm dikkatleri üzerine çekmiş ama henüz bilgisayar bilimleri camiası tarafından tamamen kabul edilmemiştir.
HARDY VE RAMANUJAN
Aykırı Britanyalı matematikçi G.H.Hardy, sayı teorisindeki ve matematiksel analiz konularındaki başarılarıyla tanınır. Ama muhtemelen esas ününü kendi kendini eğitmiş Hintli matematik dehası Srinivasa Ramanujan’ı himayesine alıp akıl hocalığı yapmasıyla kazanmıştır.
Hardy’nin kendisi genç yaştan itibaren bir “çocuk deha” idi. İki yaşındayken milyonlara kadar sayıları nasıl yazabildiği ve kilisede ilahilerin numaralarını çarpanlarına ayırarak kendi kendini nasıl eğlendirdiğiyle ilgili hikâyeler anlatılır. Cambridge Üniversitesi’nden onur derecesiyle mezun olmuştur ve akademik yaşamının geri kalan kısmının çoğunu orada geçirmiştir.
Hardy 20. yüzyılın başlarında, hayranlık duyduğu Fransız, İsviçre ve Alman matematiğinin karakteristiği olan kıtasal kesinlik ve titizliği getirerek İngiliz matematiğini reforme etmiş kişi olarak da bilinir. Newton’un gölgesindeki İngilizlerin en güçlü olduğu uygulamalı matematik geleneğine karşıt olarak Britanya’ya yeni pür (saf) matematik geleneğini tanıtmıştır ve gururla, yaptığı hiçbir şeyin ne ticari ne askeri bir faydası olduğunu ilan etmiştir.
Birinci Dünya Savaşı’ndan hemen önce Hardy, Riemann Hipotezi’ni ispatladığını iddia ettiğinde matematik manşetlerinde yer almıştı. Aslında kritik çizgide sonsuz sayıda sıfır olduğunu ispatlamayı başarmış olsa da, çizgi üzerinde olmayan başka sıfırların bulunmadığını (ya da sonsuzluğun doğası gereği çizginin dışında da sonsuz sayıda olduğunu) ispatlamayı başaramamıştı.
Hardy’nin matematiğe büyük katkısı
O sırada 1913’te Hindistan Madras’tan 23 yaşında bir nakliye şirketi kâtibi, Hardy’ye (ve Cambridge’teki diğer akademisyenlere) diğer iddialarının arasında, yüz milyonlara kadar asal sayıları hatasız hesaplayan bir formül geliştirdiğini yazmıştı. Kendi kendini eğiten, saplantılı Ramanujan, Riemann’ın bütün çözümlerini ve daha fazlasını, batıdaki gelişmelerin tamamından habersiz ve hiçbir formel eğitim almadan ispatlamayı başarmıştı. Düşüncelerinin çoğunun ona rüyalarında geldiğini iddia ediyordu.
Ramanujan’ın dehasını sadece Hardy fark etti. Onu Cambridge Üniversitesi’ne getirdi ve yıllarca arkadaşlık ve akıl hocalığı yaptı. İkili birçok matematik problemi için işbirliği yaptı, yine de Riemann hipotezi birleşik çabalarına direnmeye devam etti.
Bu dönemde Hardy’nin, Ramanujan’ın evine 1729 plakalı bir taksiyle gelişiyle ilgili yaygın bir anekdot vardır. Bunun tamamen sıradan bir sayı olduğunu düşünen Hardy’nin aksine, Ramanujan anında bunun iki değişik şekilde iki farklı sayının küpleri toplamı olan matematiksel olarak çok sıra dışı bir sayı olduğunu söylemiştir. Böyle sayılar bazen “taksi plakaları” olarak adlandırılır.
Ramanujan’ın 3000’den fazla teoremi, özdeşliği ve eşitliği ispatladığı veya varsayım olarak ortaya attığı tahmin edilmektedir. Bunların arasında yüksek derecede kompozit sayıların özellikleri, bölüşüm fonksiyonu ve asimptotları ve teta fonksiyonlarının benzerleri yer alır. Ayrıca gamma fonksiyonları, modüler formlar, uzaksayan seriler, hipergeometrik seriler ve asal sayı teorisinde önemli araştırmalar yürütmüştür.
Diğer başarılarının arasında Ramanujan, π sayısının değerinin hesaplanması için etkili ve hızlı yakınsayan sonsuz seriler tanımlamıştır. Bu serilerin bazıları, her bir elemanı ile π’nin ek 8 ondalık basamağını hesaplayabilmektedir. Bu seriler (ve çeşitlemeleri) modern bilgisayarlar tarafından π sayısının giderek daha kesinleşen (bugünlerde 5 trilyon ondalık basamak) hesaplamaları için kullanılan en hızlı algoritmaların temelini oluşturmuştur.
Ama sonunda, boşluğa düşmüş Ramanujan depresyona ve hastalığa tutulmuş ve hatta bir keresinde intihara bile kalkışmıştır. Bir süre sanatoryumda kaldıktan ve Hindistan’a, ailesinin yanına döndükten sonra 1920 yılında 32 gibi trajik bir yaşta ölmüştür. Hayli özgün ve aykırı buluşlarından bazıları, örneğin Ramanujan asalı ya da Ramanujan teta fonksiyonu, çok fazla araştırmaya ilham kaynağı olmuş ve kristalografi ve sicim teorisi gibi uzak alanlarda bile uygulama alanı bulmuştur.
Hardy, Ramanujan’ın ölümünden sonra 27 yıl daha, 70 yaşına kadar yaşamıştır. Bir söyleşide kendisine “matematiğe yaptığı en büyük katkı” sorulduğunda duraksamadan “Ramanujan’ın keşfi” diyebilmiştir ve işbirliklerini “hayatımdaki tek romantik olay” olarak tanımlayabilmiştir. Her nasılsa Hardy de hayatının bir noktasında aşırı depresifleşmiş ve aşırı doz denemesiyle intihara kalkışmıştır. Bazıları Ramanujan ve Hardy’nin dengesizliklerini Riemann Hipotezi’ne bağlamış ve hipotez bir çeşit “lanetli” şöhret yüklenmiştir.
BERTRAND RUSSELL ve ALFRED NORTH WHİTEHEAD
Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead erken 20. yüzyılda kıta Avrupa’sının idealizmine karşı isyanın öncülüğünü yapan Britanyalı matematikçiler, mantıkçılar ve filozoflardı ve matematiksel mantık ve küme teorisine önemli katkılarda bulundular.
Whitehad daha yaşlıydı ve saf matematik temeli daha fazlaydı. 1890’larda Cambridge’teki Trinity Kolej’de Russell’ın öğretmeni oldu ve sonra 20. yüzyılın ilk yarısında, kendisinden daha ünlü eski öğrencisiyle birlikte, anıtsal eserleri Principia Mathematica üzerine çalıştı. Russell’ın pasifist eylemlerinden dolayı çoğunluğunu cezaevinde geçirdiği Birinci Dünya Savaşı’ndan sonraki dönemde işbirlikleri azaldı ve Whitehead’in akademik kariyeri, ışıltılı Russell’ın gölgesi altında kaldı. 1920’lerde Birleşik Devletler’e göç etti ve hayatının geri kalanını orada geçirdi.
Russell İngiliz aristokrasinin varlıklı ama o dönem için fazla liberal ve radikal bir ailesinde doğdu. Anne babası daha küçükken öldü ve katı (yine de oldukça ilerici) bir Viktoryan kadını olan anneannesi tarafından büyütüldü. Ergenliği oldukça yalnızdı, depresyon nöbetlerinden çok çekti. Daha sonraları onu intihar etmekten alıkoyan tek şeyin matematik aşkı olduğunu iddia etmiştir. Cambridge Üniversitesi’nde G. E. Moore ve A. N. Whitehead’in yanında matematik ve felsefe eğitimi aldı ve burada yaratıcı bir filozof, birçok konuda üretken bir yazar, kararlı bir ateist ve ilham verici bir matematikçi ve mantıkçıya dönüştü. Bugün analitik felsefenin kurucularından birisi olarak değerlendirilmektedir ancak felsefenin neredeyse her alanında, özellikle metafizik, etik, epistemoloji, matematik felsefesi ve dil felsefesi alanlarında yazmıştır.
Russell uzun yaşamı boyunca her zaman adanmış ve yüksek profilli bir siyasi aktivist oldu. İki dünya savaşı sırasında da önemli bir savaş karşıtı eylemciydi, serbest ticareti ve antiemperyalizmi savundu, daha sonra nükleer silahsızlanmanın ve sosyalizmin üst perdeden bir savunucusu oldu ve sonra Adolf Hitler’e, Sovyet totaliterliğine ve Amerika’nın Vietnam Savaşı’na karşı çıktı.
Russell’ın matematiği, küme teorisinden ve Cantor’un kümeler üzerine çığır açıcı erken dönem çalışmalarının izini takip eden Gottlob Frege’nin geliştirdiği mantıkçılıktan büyük oranda etkilenmiştir. Buna karşın 1903 tarihli eseri Matematiğin Prensipleri’nde, Frege’nin naif küme teorisinin çelişkilere sebep olduğunu gösteren, sonradan Russell Paradoksu olarak anılacak paradoksu (kendi kendisinin elemanı olmayan kümeler içeren küme) ortaya attı. Paradoks bazen şu basitleştirici örnekle tasvir edilir: “bir berber bir köyde kendi kendini traş etmeyen bütün erkekleri traş ettiğinde, kendi kendini traş eder mi?”
Paradoks matematiğin tümünün temellerine daha fazla güvenilemeyeceği ve matematikte bile gerçeğin kesinlikle bilinemeyeceği sonucunu doğuruyor gibi görünüyordu (Gödel ve Turing’in daha sonraki çalışmaları durumu sadece daha da vahim hale getirdi). Russell’ın eleştirileri, Frege’nin mantıkçılığın yekpare mabedine olan güvenini sarsmak için yeterliydi ve o da bunu hızla yazdığı “Aritmetiğin Temel Yasaları”nın ikinci cildinin ekinde açıkça itiraf edecek kadar alçakgönüllüydü.
Matematiğin Prensipleri
Ancak Russell’ın “magnum opus”u üç cilt halinde 1910, 1912 ve 1913’te yayınlanan Principia Mathematica idi. İlk cilt Whitehead ile birlikte yazılmıştı, sonraki ikisi ise neredeyse tamamen Russell’ındı. Bu iddialı yapıtın amacı, bütün matematiği saf mantıksal aksiyomlardan türetmekti, tabi Frege’nin küme teorisi üzerine yaptığı erken dönem çalışmalarının düştüğü paradoks ve çelişkilerden kaçınarak. Russell bunu bir “tipler” sistemi veya teorisi uygulayarak başardı. Burada her matematiksel eleman, tipler hiyerarşisindeki bir tipe karşılık geliyor ve böylelikle bir tipteki nesneler, döngüleri de engelleyecek biçimde, yalnızca kendilerini önceleyen, hiyerarşide daha düşük tiplerden türüyordu. Bu durumda her küme, kendi elemanlarının tipinden farklı bir tiptedir ve böylece hiç kimse, paradokslara sebep olan “bütün kümelerin kümesi” veya benzer yapılardan söz edemez.
Ancak Principia, tip teorisinin temel aksiyomlarının yanı sıra mantığın diğer sade meseleleri kadar basit görünmeyen, daha ileri üç aksiyoma ihtiyaç duyuyordu; “sonsuzluk aksiyomu” (en az bir sonsuz küme, yani bütün doğal sayılar kümesi vardır), “seçim aksiyomu” (her biri en az bir nesne barındıran verili bir “hazne”ler kümesinde, sonsuz sayıda çok hazne olsa ve hangi nesnenin seçileceğine dair bir kural olmasa da, her hazneden kesinlikle bir nesne seçimi yapma olasılığı vardır) ve Russell’ın kendi “indirgenebilirlik aksiyomu” (her önermesel doğruluk fonksiyonu biçimsel olarak eşdeğer bir onaylayıcı doğruluk fonksiyonuyla ifade edilebilir).
Russell kendi temel önermelerinin dayanaklarını yeniden düşündükçe, Whitehead’le birlikte Principia üzerinde çalıştıkları yaklaşık 10 yıl boyunca yazılan ve çöpü boylayan taslaklar birbirini izledi. Russell ve eşi Alys, işi hızlandırmak adına Whitehead’lere bile taşındı. Whitehead’in genç eşi Evelyn, Russell’ın aklını başından alınca evlilikleri biraz sarsılsa da, bu bir süre devam etti. Sonuç olarak tamamlanmamış (belki de hiçbir zaman tamamlanamayacak) olsa da ve hiçbir ticari yayıncı yanaşmayacağı için masraflarını kendileri karşılamak zorunda kalmalarına rağmen, Whitehead çalışmalarının yayımlanması için ısrar etti.
Principia’nın kapsamı ve derinliğini anlamak adına 1+1=2’nin kesin olarak ispatının eserde 360 sayfadan fazla aldığı söylemek yeterlidir. Bugün genel olarak mantıkta Aristoteles’in Organon’undan sonra en önemli ve çığır açıcı çalışmalardan biri olarak kabul edilir. Eser, iddialı amaçları karşısında oldukça başarılı ve dayanıklı görünür, Russell ve Whitehead’e de dünya çapında şöhret getirmiştir. Gerçekten de sonuçta ancak Gödel’in 1931’deki “eksiklik teoremi” Principia’nın aynı anda hem tamamlanmış hem de tutarlı olamayacağını göstermiştir.
Russell 1949’da “Onur Madalyası”yla ve takip eden yılda Nobel Edebiyat Ödülü ile ödüllendirildi. Şöhreti, akademik çevrelerin dışında da büyümeye devam etti ve çoğunlukla felsefedeki katkıları ve uzun yaşamının sonuna kadar devam eden politik ve sosyal aktivizmi nedeniyle çok tanınır bir düşünür haline geldi. Çok sevgili Galler’inde, 97 yaşında, gripten öldü.
DAVID HILBERT
David Hilbert erken 20. yüzyılda matematik disiplininin büyük bir lideri ve sözcüsüydü. Kendisi de başlı başına son derece önemli ve saygı duyulan bir matematikçiydi.
Kendinden önceki birçok büyük Alman matematikçi gibi Hilbert de, o dönemde dünyanın matematik merkezi Göttingen Üniversitesi’nden ürünüydü ve çalışma yaşamının çoğunu orada geçirdi. Öğrenim dönemi ise matematikçi arkadaşları Hermann Minkowski ve Adolf Hurwitz ile yoğun ve üretken bir paylaşım sağladığı Königsberg Üniversitesi’nde geçmişti.
Arkadaş canlısı, demokrat, hem öğrenci hem öğretmen olarak sevilen ve Alman matematiğinin formel ve elitist sistemine direnen biri olarak görüldü. Hilbert uzayı (sonsuz boyutlu bir Öklit uzayı), Hilbert eğrileri, Hilbert sınıflandırması, Hilbert eşitsizliği gibi kendi adıyla anılan birçok matematiksel terim ve aynı şekilde teorem vardır ve adım adım döneminin en ünlü matematikçisi haline gelmiştir.
Hilbert problemleri
Sorbonne’daki Uluslararası Matematikçiler Konferansı’nda sıraladığı Matematiğin 23 en önemli çözülememiş problemi, 20. yüzyıl matematiğinin neredeyse tümüyle belirleyicisi olmuştur. Bu problemlerin bazılarının ayrıntıları son derece teknikti; bazıları kesinken bazıları oldukça belirsiz ve yoruma açıktı. Bazı problemler şimdiye dek çözüldü veya kısmen çözüldü, bazılarıysa söylendiği kadarıyla belki de sonsuza kadar çözümsüz kalacak. Bazıları matematiksel düşüncenin anlaşılması zor durgun sularından, bazılarıysa Riemann hipotezi, süreklilik hipotezi, grup teorisi, ikinci dereceden formlar, reel cebirsel eğriler gibi daha bilindik ve ana akım konularla ilgili.
Genç bir adam olarak Hilbert sonradan tamamen alan değiştirip o dönemin uygulamalarında devrim yapacağı integral eşitliklerin peşine düşmeden önce, sayı kuramı ve soyut cebir gibi alanlarla uğraştı. 1890’ların başında Guiseppe Peano’nun erken bir çalışmasının üzerine inşa ettiği, çoklu boyutlarda sürekli uzayı dolduran fraktal eğrileri geliştirdi. Henüz 1899 yılında geleneksel Öklit aksiyomları yerine koymak üzere Hilbert aksiyomları kümesini ortaya atmıştı.
Ama belki de en büyük mirası “sonluluk teorisi” olarak bilinen, eşitlikler üzerine yaptığı çalışmadır. Sonsuz sayıda olası eşitlik olsa da, yine de bunların daha sonra diğer bütün eşitlikleri üretmek üzere, neredeyse bir bloklar kümesi inşa eder gibi, sonlu sayıda eşitlik tipine bölünebileceğini gösterdi.
İlginç bir şekilde, yine de Hilbert gerçekte bu sonlu eşitlikler kümesini inşa edemedi, sadece bunların olması gerektiğini ispatladı (bu durum yapıcı ispat değil varlık ispatı olarak adlandırılır). O dönemde bazı eleştirmenler bunu yalnızca bir çeşit teoloji ya da göz boyama sayıp görmezden gelseler de, soyut matematikte tamamen yeni bir tarzın başlangıcını işaret ediyordu.
Yapıcı ispatın değil varlık ispatının kullanılması, 20. yüzyılın ilk 10 yılında üzerine çalıştığı “Hilbert uzayı” olarak bilinen matematiksel kavramın geliştirilmesinde de örtülü bir şekilde vardır. Hilbert uzayı, Öklit uzayı kavramının bir genelleştirilmesiydi, vektör cebri ve kalkülüs yöntemlerinin sonlu veya sonsuz uzaylara genişletilmesiydi. Hilbert uzayı sonraki on yıllar boyunca fizikteki matematiğe yapılan önemli katkıların temelini oluşturuyordu ve belki de hâlâ kuantum mekaniği için en iyi matematik formülasyonlardan birini sağlamakta.
Hilbert matematiğin geleceğiyle ilgili kesin bir iyimserdi, 23 problemin yakında çözüleceğinden hiç şüphe etmedi. Gerçekte kesinlikle çözümsüz bir problemin olmadığını iddia edecek kadar ileriye gitti. 1930 yılında söylediği ve bugün mezar taşında yazan ünlü sözünde, “Bilmek zorundayız! Bileceğiz!” demişti. Bütün matematiğin sarsılmaz mantıksal temellere oturabileceğine ve nihayetinde oturacağına inanmıştı. Savunuculuğunu yaptığı bir diğer anlayış, bilimsel bilginin sınırları üzerine geleneksel pozisyona referansla “matematikte ignorabimus (bilemeyeceğiz) yoktur”du.
Russell’dan farklı olarak, Hilbert’in formalizminin dayanağı, matematiğin nihai temelinde mantığın kendisinin değil, diziler veya önermeler halinde bir araya getirilebilecek daha basit mantık öncesi semboller sisteminin olduğu ve bunların “çıkarsama kuralları” kümesi oluşturulacak şekilde manipüle edilebileceği düşüncesiydi. Matematiğin tamamı için bir bütün ve geçerli aksiyomlar kümesi oluşturma yönündeki iddialı programı (Hilbert’in programı olarak anıldı), Kurt Gödel’in 1930’ların başlarındaki eksiklik teoremlerinden dolayı ciddi bir gerileme yaşadı. Yine de Hilbert’in çalışması mantığın açıklığa kavuşması sürecini başlattı ve sonra Gödel’in çalışmalarının anlaşılması ihtiyacı rekürsiyon teorisi ve matematiksel mantığın 1930’larda otonom bir disiplin olarak gelişmesine yol açtı, daha sonra da teorik bilgisayar bilimlerinin temelini sağladı.
Bir süre boyunca Hilbert, 1930’ların ortasında, Almanya ve Avusturya’daki Yahudi matematikçi arkadaşlarına yönelik Nazi baskısına karşı cesurca sesini yükseltti. Büyük kitlesel sürgünlerden, cinayetlerden, toplama kamplarındaki ölümlerden ve hatta suikastlardan sonra sonunda o da sessizliğe gömüldü ve tüm zamanların en büyük matematik topluluklarından birinin sistematik olarak yok edilmesini sadece izleyebildi. 1943’teki ölümü sırasında Göttingen’de bu büyük matematik topluluğundan geriye çok az şey kalmıştı ve Hilbert cenazesine katılan bir düzineden az insanla, basında çok az yer bularak sessizce defnedildi.
KURT GÖDEL
Kurt Gödel, Viyana’da, oldukça garip, hastalıklı bir çocuk olarak büyüdü. Doymak bilmeyen merakı yüzünden ailesi tarafından küçük yaştan itibaren “Herr Warum” “Bay Neden?” olarak tanımlanmıştı. Viyana Üniversitesi’de kısa bir süre sayı teorisi okudu ama kısa bir süre sonra ilgisini hayatının geri kalanını tüketecek olan matematiksel mantığa çevirdi. Genç bir adam olarak, Hilbert gibi iyimserdi ve matematiğin tekrar bir bütün olabileceğine, Cantor ve Riemann’ın çalışmalarıyla ortaya çıkan belirsizliklerden kurtulabileceğine yürekten inanıyordu.
İki savaş arasında, metafiziği anlamsız bularak reddeden ve bütün bilinenleri tek bir standart bilim diliyle birleştirmeyi amaçlayan mantıksal pozitivistler Moritz Schlick, Hans Hahn ve Rudolf Carnap’ın da aralarında bulunduğu “Viyana çevresi” olarak bilinen entelektüel ve filozoflar grubunun kafe tartışmalarına katılmıştı.
Viyana çevresinin felsefi görüşlerini paylaşmasa da, Gödel, Hilbert’in 23 probleminin belki de en kapsayıcı olanını, bütün matematik için mantıksal bir temel arayan ikincisini çözme hayalinin peşinde koşabileceği ortamı burada buldu. Ulaştığı yeni fikirler matematikte devrim yapacaktı; matematiksel ve felsefi olarak güçlü bir şekilde ispatladığı gibi, Hilbert’in (ve kendisinin de) iyimserliği dayanaksızdı ve böyle bir temelin kurulması imkânsızdı.
İlk başarısı, Frege’nin “birinci dereceden mantığı”nın geçerli bütün ifadelerinin bir grup basit aksiyomla ispatlanabildiğini gösteren “eksiksizlik (tamlık) teoremi”ydi ve bunla fiilen Hilbert’in programının geliştirilmesine hizmet etmişti. Ancak daha sonra dikkatini, aritmetik ve daha karmaşık matematiksel teorileri desteklemeye yetecek güçte “ikinci dereceden mantık”a çevirdi.
Gödel’in 1931’deki “eksiklik teoremi” (teknik olarak “eksiklik teoremleri”; genellikle birlikte anılmalarına rağmen birbirinden ayrı iki teorem olduğu için çoğul), matematiğin herhangi bir mantıksal sistemi içerisinde (ya da en azından doğal sayılarda aritmetiği açıklayabilecek kadar güçlü ve karmaşık bir sistemde), sayılar hakkında doğru ama hiçbir zaman ispatlanamayacak bazı ifadeler olduğunu göstermiştir. Bu kadarı bile, John von Neumann’ın “her şey bitti” yorumunu yapması için yeterli olmuştur.
Yaklaşımı, antik dönemin “yalancı paradoksu”nun bir versiyonu olan ve bizzat kendisinin doğru ya da yanlış olması gereken düz bir dilsel çıkarımla başlar: “bu ifade ispatlanamaz”. Eğer ifade yanlışsa, bu, ifadenin ispatlanabileceğini gösterir ki bu gerçekte ifadenin doğru olduğu anlamına gelir, bu bir çelişki yaratır. Bunun matematikte bazı sonuçları olabilmesi için Gödel ifadeyi bir “biçimsel dil”e çevirmek zorundadır. Bunu asal sayıları temel alan, asal dizilerinin doğal sayılar, operatörler, dilbilgisi kuralları ve biçimsel bir dilin diğer gereksinimleri rolünü oynadığı, zekice bir kod kullanarak yapmıştır. Sonuç olarak ortaya çıkan matematiksel ifade, doğal dildeki dengi gibi, doğru ama ispatlanamaz ve bu yüzden kararsız olarak kalmak zorunda gibi görünüyordu.
Çıldırtan matematik
“Eksiklik Teoremi” şüphesiz ki bir matematikçinin en kötü kâbusuydu ve matematik camiasında bir krize neden oldu. Matematiğin iki bin yıldan uzun tarihi boyunca akla dahi gelmemiş, doğru gibi görünen ama kanıtlanamaz bir problem heyulası yarattı. Gödel, Bertrand Russell ve David Hilbert gibi matematiğin bütünü için bir mantık veya sayısal sistem arayan matematikçilerin hırslarına etkili bir şekilde darbe vurdu. Matematikçilerin ulaştığı herhangi bir mantık ve sayılar sisteminin, her zaman için en azından birkaç ispatlanamayan varsayıma dayanacağını ispatladı. Ayrıca vardığı sonuçlar, matematik problemlerinin tümünün hesaplanabilir bile olmadığını, bir insan zihninin yapabildiği her şeyi yapabilecek bir makine veya bilgisayar yaratmanın prensipte bile imkânsız olduğunu gösterdi.
Maalesef teoremleri Gödel’in kişisel bir kriz yaşamasına da neden oldu. 1930’ların ortasında ağır bir sinirsel çöküntü yaşayıp uzun bir süre sanatoryumda yattı. Ama yine de önceki yüzyılda Georg Cantor’un zihinsel sağlığını harap eden “süreklilik hipotezi”ne dalmaktan geri duramadı. Öyle ki, bu kötü şöhretli zor problemin çözümünde, seçim aksiyomunun sonlu tip teorisinden bağımsız olduğunu kanıtlayarak, muhtemelen onsuz Paul Cohen’in açıklayıcı çözüme asla ulaşamayacağı önemli bir adım attı. Cantor ve ondan sonra gelenler gibi, Gödel’in de zihinsel ve fiziksel sağlığı giderek kötüleşti.
Onu her zaman destekleyen tek kişi, hayatının aşkı Adele Numbursky’ydi. Beraberce Alman ve Avusturya matematik topluluğunun Nazi rejimi altında yok oluşuna şahit oldular. Nihayet diğer önemli Avrupalı matematikçi ve bilim insanları gibi, Einstein’la yakın arkadaş olacağı ve genel göreliliğin alan eşitliklerinin paradoksal çözümlerinin bazı gösterimlerine katkı sağlayacağı Amerika’daki Princeton’ın güvenli ortamına sığındı.
Ancak Amerika’da bile kendi şeytanlarından kaçamadı ve depresyon ve paranoya tarafından kovalanarak birkaç sinirsel çöküntü daha yaşadı. Sonunda sadece eşi Adele’in test ettiği yemekleri yemeye başladı ve Adele’in kendisi de 1977’de hastaneye kaldırıldığında, yemeyi reddederek kendini açlıktan ölüme mahkûm etti.
Gödel’in mirası çelişkilidir. Tüm zamanların en büyük mantıkçılarından biri olarak kabul edilse de, birçokları, vardığı kanaatlerin nihilist sonuçlarını ve matematiğin geleneksel biçimci görüşlerine karşı gelmesini kabul etmeye hazır değildi. Ama onlar için esas kötü haberler, matematik camiasının Alan Turing de dahil bazı üyelerinin, Gödel’in bulgularıyla ilgilenmeye başlamasıyla gelecekti.
ALAN TURING
İngiliz matematikçi Alan Turing belki de en çok savaş dönemindeki şifre çözme merkezi Bletchley Park’taki çalışmasıyla tanınır. Bu çalışma Alman Enigma şifresinin çözümüne ve bazılarına göre 2. Dünya Savaşı’nın bir hamlede kısalmasına ve potansiyel olarak binlerce hayatın kurtulmasına yol açmıştır. Ancak aynı zamanda Gödel’in yıkıcı “eksiklik teoremi”ni daha da kasvetli ve cesaret kırıcı hale getirmekten sorumludur ve Turing’in matematiksel mirası esas olarak buna –ve bu çalışma sayesinde bilgisayar biliminin gelişimine- dayanır.
Bilim yerine klasiklere ağırlık veren bir özel okula gitmesine rağmen, Turing daha sonra ünlenecek dehasının ilk işaretlerini, ergenlik döneminde temel düzeyde bir analiz dersi bile görmeden yüksek düzeyli problemler çözerek ve Albert Einstein’ın çalışmasının karmaşık matematiğine dalarak göstermişti. Yakın arkadaşı ve meslektaşı Cambridge öğrencisi Cristopher Morcom’un ölümüyle ateist oldu. Aynı zamanda hayatı boyunca başarılı ve kararlı bir uzun mesafe koşucusuydu.
Bilgisayarın temeli
Gödel’in eksiklik teoreminin yayınlanışını izleyen yıllarda, Turing umutsuzca Gödel’in bu anlaşılması zor ve oldukça soyut teoremini açıklığa kavuşturmak ve basitleştirmek için çalıştı. Ancak 1936’da yayınlanan çözümü, modern dünyanın tamamını şekillendiren bir şeyin icadına yol açtı: bilgisayar.
1930’lar boyunca Turing eksiklik teoremini bilgisayarlara (ya da daha spesifik olarak, Turing makinesi olarak bilinen, sembolleri kullanan bir teorik aygıta) göre yeniden oluşturdu; Gödel’in evrensel aritmetik temelli biçimsel dilinin yerine kendi basit aygıtını geçirdi. Önce böyle bir makinenin algoritmayla ifade edilebilen herhangi bir matematiksel hesaplamayı yapabileceğini ispatladı. Daha sonrasında aritmetikle işleyen böyle bir mantıksal makine için bile hiçbir zaman çözülemeyecek problemler olduğunu ve böyle bir problem verilen makinenin çözmeyi denemeyi asla durduramayacağını (“durma problemi” olarak bilinir) ama hiçbir zaman başarılı olamayacağını göstererek devam etti.
Çalışma sırasında ayrıca hangi problemlerin ispatlanamaz olduğuna dair peşin bir yargıda bulunmanın hiçbir yolunun olmadığını kanıtladı ve böylelikle David Hilbert tarafından 1928’de ortaya konmuş “karar verme problemi”ne (Entscheidungsproblem) tersinden bir kanıt sağlamış oldu. Bu, Gödel’in eksiklik teoreminin şokundan henüz kurtulamamış matematik camiasının yüzüne inen yeni bir tokattı.
Savaştan sonra Turing başladığı işe devam etti ve ACE (Otomatik Hesaplama Makinesi) ve Manchester Mark1 gibi erken bilgisayarların geliştirilmesi için çalıştı. Geliştirdiği bilgisayar modern standartlarda çok basit ve sınırlı bir makine olsa da, Turing ondaki potansiyeli açıkça gördü ve bilgisayarların bir gün düşünebileceğinin, öğrenebileceğinin, iletişim kurabileceğinin ve “bir makineden fazlası” haline gelebileceğinin hayalini kurdu. Satranç oynayan bilgisayar için ilk kez düşünceler geliştiren kişi oydu ve bu oyundaki ustalığı, akıllı makine tasarımcılarının üzerinde çalışması gereken hedeflerden biri olarak görüyordu.
Gerçekten de “yapay zekâ” problemini ilk ortaya atan kişiydi ve bir makinenin “akıllı” olarak tanımlanıp tanımlanamayacağıyla ilgili bir standart tanımlama denemesi olarak “Turing Testi” olarak bilinen bir deney önermişti. Bu teste göre bir bilgisayar, ancak bir insan sorgucuyu diyalogun bir insanla olduğuna ikna edebiliyorsa “düşünebiliyor” olarak tanımlanabilirdi. Bu, internetin icadından çok önce, bilgisayarların bir oda boyutunda olduğu ama modern bir cep hesap makinesinden bile daha az güçlü olduğu bir dönemde gösterilmiş önemli bir ileri görüşlülüktü.
Turing’in kişisel felsefesi ikiyüzlülükten, tavizden ve aldatmadan uzaktı. Homoseksüeldi ve bunun yasadışı ve daha ötesi tehlikeli olduğu bir dönemde yaşamış olsa da, bunu ne sakladı ne de mesele yaptı. Sezginin gücüne ve insan zihninin, kendi tanımladığı sistemlerin sınırlılıklarının ötesine geçebileceğine inanan Gödel’in aksine, Turing bilgisayarlara açık bir yakınlık hissediyordu ve bir yere kadar onları yalan ve ikiyüzlülüklerden arınmışlığın hayranlık uyandırıcı vücut buluşu olarak görüyordu.
Savaştan sonra potansiyel bir güvenlik riski olarak gözetim altında tutuldu ve nihayet 1952’de homoseksüel ilişkide bulunmaktan yakalandı, suçlandı ve suçlu bulundu. Sonucunda kadın östrojen hormonu kullanılarak kimyasal olarak hadım edildi, bu, göğüslerinin büyümesine neden olurken zihnini de etkiledi. 1954’te siyanürle kendini zehirlemiş bir şekilde, ölü bulundu.
ANDRÉ WEIL
20. yüzyıl ortalarında, André Weil çok etkileyici bir Fransız matematikçiydi. Varlıklı Yahudi bir ailede doğdu, ünlü felsefeci ve yazar Simone Weil’in kardeşiydi ve her ikisi de çocuk dehaydı. Daha on yaşındayken matematiğe tutkulu bir şekilde bağlıydı ama ayrıca seyahat etmeyi ve dil öğrenmeyi de çok seviyordu (16 yaşındayken “Bhagavad Gita”yı özgün Sanskritçe’den okumuştu).
Paris’te, Roma’da, Göttingen’de ve hayat boyu ilgi alanını oluşturacak Hinduizm ve Sanskrit edebiyatını daha derinlemesine keşfettiği Hindistan’daki Aligarh Müslüman Üniversitesi gibi başka yerlerde okudu ve öğretmenlik yaptı.
Weil genç bir delikanlıyken bile matematiğin birçok alanına değerli katkılarda bulundu. Özellikle cebirsel geometri ile sayı teorisi arasında güçlü bağlar keşfetme fikrinden heyecanlanıyordu. Diofant denklemlerine olan hayranlığı cebirsel eğri teorisine dair ilk önemli matematiksel araştırmasını yapmasına neden oldu. 1930’lar boyunca, rasyonel sayılar alanında inşa edilen, cebirsel sayı teorisi ve topolojik cebirdeki topolojik bir halkayı, “adele halkası”nı ortaya attı.
Fransız matematikçilerin “Bourbaki grubu”nun kurucu üyesi ve fiilen ilk lideri olduğu dönem de bu zamanlardı. Bu etkileyici grup küme teorisi üzerine kurulan bütün matematiğe birleşik bir tanımlama yapmak amacıyla, Nicolas Bourbaki takma adıyla, 20. yüzyıl ileri matematiği üzerine birçok kitap yayınladı. Bourbaki Fransız Matematik Topluluğunun üyesi olsa da, “var olmaması” nedeniyle Amerika Matematik Topluluğu’na kabul edilmemişti.
İkinci Dünya Savaşı patladığında Weil kararlı bir muhalif olarak Finlandiya’ya kaçtı ama yanlışlıkla ajanlık iddiasıyla tutuklandı. Fransa’ya geri döndüğünde askerlik görevini reddetmekten gene yakalanıp hapsedildi. Duruşmasında tavrını göstermek adına Bhagavad Gita’dan alıntı yaparak, gerçek “dharma”sının, amacı ne olursa olsun savaşa destek olmak değil matematiğin yolundan gitmek olduğunu ileri sürdü. Hapishanede 5 yıl ile bir Fransız muharebe birliğine katılmak arasında tercih yapmaya zorlandığında ikincisini seçti, hapishanenin kısa bir süre sonra havaya uçtuğu düşünülürse şanslı bir tercihti.
Weil, Rouen yakınlarında gene bir cezaevinde gerçek şöhretine sebep olan çalışmasını yaptığında, sene 1940’tı (gerçi ispatların tamamını yapması 1948’i bulmuştu, hatta daha kesin ispatlar Pierre Delign tarafından 1973’te yapıldı). Hemşerisi Evariste Galois’nın bir önceki yüzyıldaki çalışmasını temel alarak denklemleri analiz etmede geometriyi kullanma fikrini geliştirdi ve denklemlerin çözümünü anlamak için yeni ve bütünsel bir dil olan cebirsel geometriyi geliştirdi.
Lokal zeta fonksiyonları üzerine Weil varsayımları, sonlu alanlar üzerindeki cebirsel çeşitlilikler üzerindeki noktaların sayısını hesaplayarak, sonlu alanlar üzerindeki eğriler için Riemann hipotezini yeterli derecede kanıtladı. Çalışma sırasında soyut cebirsel çeşitlilik kavramını ilk kez ortaya attı ve bu sayede soyut cebirsel geometrinin, modern abelyen çeşitlilikler teorisinin, aynı zamanda modüler formlar, otomorfik fonksiyonlar ve otomorfik gösterimler teorilerinin temellerini attı. Cebirsel eğriler üzerine yaptığı çalışmalar, aralarında temel parçacık fiziği ve sicim teorisinin de olduğu bazıları matematiğin dışında olan çok çeşitli alanları etkiledi.
1941’de Weil ve eşi savaşın ve yaşamlarının kalan kısmını geçirecekleri Birleşik Devletler’e taşınma fırsatını yakaladı. 1950’lerin sonunda Weil, bu sefer Tamagawa sayıları üzerine, 1989’a kadar ispatlanamayacak olan bir başka önemli varsayımı formüle etti. Fermat’nın son teoreminin ispatı için Andrew Wiles’ın kullandığı eliptik eğriler üzerine Shimura-Taniyama-Weil adıyla bilinen varsayımın formülasyonuna katıldı. Aynı zamanda ikinci dereceden denklemlerin anlaşılmasına dair klasik teoriye çağdaş bir çerçeve kazandıran teta fonksiyonlarının sonsuz boyutlu lineer gösterimini, Weil gösterimini, geliştirdi.
Yaşamı boyunca Weil, Londra Matematik Topluluğu, Londra Kraliyet Cemiyeti, Fransız Bilimler Akademisi ve Amerika Ulusal Bilimler Akademisi gibi birçok gruba fahri üyelik aldı. Ölümünden birkaç yıl öncesine kadar Princeton’daki Amerikan Ulusal Bilimler Akademisi’ndeki fahri profesör olarak aktif görev yaptı.
PAUL COHEN
Paul Cohen, savaş yılları boyunca Avrupalı sürgün akınından ilham alan yeni nesil Amerikalı matematikçilerden biriydi. Kendisi bir ikinci kuşak Yahudi göçmeniydi, göz korkutucu derecede zeki ve olağanüstü hırslıydı. Bu katıksız zekâ ve isteğin gücüyle şöhret, zenginlik ve en büyük matematik ödüllerini toplamayı başardı.
Stanford Üniversitesi’nde profesörlüğe başlamadan önce Brooklyn, New York’ta ve Şikago Üniversitesi’nde eğitim gördü. Matematikte saygın Fields Madalyası’nı, aynı şekilde matematiksel analizde Bocher Ödülü’nü ve Ulusal Bilim Madalyası’nı aldı. Matematikteki ilgi alanları, matematiksel analiz ve diferansiyel denklemlerden matematiksel mantık ve sayı teorisine uzanacak kadar genişti.
1960’ların başında, kendisini tümüyle Hilbert’in 23 açık probleminden ilki olan, bütün doğal (ya da tam) sayılar kümesinden daha büyük ama reel (ya da ondalık) sayılar kümesinden daha küçük sayıların oluşturduğu bir sayılar kümesinin olup olmadığıyla ilgili Cantor’un süreklilik hipotezine verdi. Cantor böyle bir kümenin olmadığına ikna olmuştu ama bunu tatmin edici bir şekilde ispatlayamadı. Daha sonra kendisini bu probleme adayan başkaları da bunu yapabilmiş değildi.
Ancak Cantor’dan bu yana bazı gelişmeler kaydedilmişti. 1908 ile 1922 arasında Ernst Zermelo ve Abraham Fraenkel aksiyomatik küme teorisinin standart biçimini geliştirmişti. Zermelo-Fraenkel küme teorisi (ZF ya da Seçim Aksiyomu ile düzeltilmiş haliyle ZFC) olarak bilinen bu teori matematiğin en genel temeli haline gelmişti.
Kurt Gödel 1940’ta süreklilik hipotezinin ZF ile tutarlı olduğunu ve süreklilik hipotezinin seçim aksiyomu benimsense bile Zermelo-Fraenkel küme teorisi ile çürütülemeyeceğini göstermişti. Bu durumda Cohen’e kalan, süreklilik hipotezinin ZFC’den bağımsız olup olmadığını ve özel olarak da seçim aksiyomunun bağımsızlığını kanıtlamaktı.
Cohen’in kendi geliştirdiği ve “zorlama” adıyla bilinen yeni bir tekniği kullanarak vardığı sıra dışı ve cüretkar sonuç, her iki cevabın da doğru olabileceği, yani süreklilik hipotezi ile seçim aksiyomunun ZF küme teorisinden tamamen bağımsız olduğuydu. Öyleyse kendi içerisinde tutarlı iki farklı matematik olabiliyordu: Biri süreklilik hipotezinin doğru olduğu ve sayılar kümesi diye bir şeyin olmadığı; diğeri hipotezin yanlış ve sayılar kümesinin var olduğu… Kanıt doğru gibi gözüküyordu ama Cohen’in metotları, özellikle yeni “zorlama” tekniği, 1963’te Gödel kabul mührünü vurana dek, kimsenin emin olamayacağı kadar “yeni”ydi.
Bulguları Gödel’inkiler kadar devrimciydi. O günden bu yana matematikçiler, süreklilik hipotezinin geçerli olduğu ve olmadığı iki farklı matematiksel dünya inşa ettiler ve modern matematiksel ispatlar, sonucun süreklilik hipotezine bağımlı olup olmadığıyla ilgili bir ifadeyi içermek zorunda.
Cohen’in paradigma değiştiren kanıtı ona şöhret, zenginlik ve ödüller getirdi, Stanford ve Princeton’ın üst düzey profesörü oldu. Başarısının heyecanı içinde, modern matematiğin “Kutsal Kase”si sayılan Hilbert’in sekizinci problemiyle, Riemann hipoteziyle uğraşmaya karar verdi. Ancak yaklaşımı sonrakilere umut aşılamış olsa da, 2007 yılında ölene dek bu uğraşla geçirdiği yaşamının son 40 yılında çözümü bulamadı.
ROBINSON VE MATIYASEVICH
Neredeyse tamamen erkeklerin egemen olduğu bir alanda Julia Robinson, matematiğe ciddi bir etki yapmış çok az kadından birisidir –anılmayı hak eden diğerleri 19. yüzyılda Sophie Germain ve Sofia Kovaleskaya ve 20. yüzyılda Alicia Stout ve Emmy Noether’dir- ve Amerikan Matematik Topluluğu’nun seçilmiş ilk kadın başkanıdır.
Robinson, Arizona çöllerinde büyümüş utangaç ve hastalıklı bir çocuktu ama erken yaştan itibaren sayılara karşı içten bir ilgisi ve yeteneği vardı. Birçok zorluğu yenmek ve matematik öğrenmeye devam etmek için savaşmak zorundaydı ama pes etmedi, doktorasını Berkeley’de aldı ve Berkeley’deki profesörüyle, matematikçi Raphael Robinson ile evlendi.
Kariyerinin çoğunu hesaplanabilirliğin ve “karar verme problemleri”nin peşinde, girilen parametrelerinin değerlerine bağımlı olarak “evet” ya da “hayır” cevaplı biçimsel sistemlerdeki sorularla geçirdi. Özel tutkusu Hilbert’in onuncu problemiydi ve kendini saplantılı bir şekilde bu işe adadı. Problem, herhangi bir Diofant denkleminin (değişkenleri sadece tam sayılar olabilen çokterimli denklem) tam sayılı çözümleri olup olmadığını söylemenin bir yolu olup olmadığını kesinleştirmekti. Böyle evrensel bir çözümün mümkün olmadığı yönündeki inanç artıyordu, ama böyle bir yöntemin hiçbir zaman bulunamayacağını ispatlamak oldukça zor görünüyordu.
1950’ler ve 1960’lar boyunca Robinson, meslektaşları Martin Davis ve Hilary Putnam ile birlikte ısrarla problemi kovaladı ve nihayetinde “Robinson hipotezi” olarak bilinen, böyle bir metodun olmadığını göstermek için gerekli olanın, çözümü üssel olarak büyüyen bir sayılar kümesi olan çok özel bir eşitlik inşa etmek olduğu sonucunu geliştirdi.
Problem 20 yıldan fazla süreyle Robinson için öyle büyük bir saplantı haline dönüştü ki, kim bunu başarırsa başarsın, ölmeden çözümünü görmek için umutsuz bir istek duyduğunu itiraf etti. Daha ileriye gidebilmek için genç Rus matematikçi Yuri Matisayevich’ten gelen katkıya ihtiyaç duyacaktı.
Leningrad’da doğmuş ve büyümüş bir matematikçi olarak Matisayevich çocukken bir matematik dâhisi olarak kendisini göstermişti ve matematikte birçok ödül kazanmıştı. Leningrad Devlet Üniversitesi’ndeki doktorası için Hilbert’in 10. problemine yöneldi ve Robinson’la kat ettiği ilerleme üzerine ve bir yol bulmak için yazışmaya başladı.
1960’ların sonuna kadar problemin çözümünü kovaladıktan sonra Matisayevich, nihayet 1970’te bulmacanın eksik parçasını, henüz sadece 22 yaşındayken buldu. Hilbert’in onuncu probleminin merkezindeki eşitlikleri kullanarak meşhur Fibonacci sayılarını nasıl yakalayabileceğini gördü ve böylelikle Robinson’un erken dönem çalışmalarına dayanarak, sınırlı sayıdaki işlemlerle Diofant denklemlerinin rasyonel tam sayılar için çözülebilir olup olmadığını göstermenin imkânsız olduğunu kanıtladı.
Soğuk Savaş’ın ortasında matematiksel enternasyonalizmin etkileyici bir örneği olarak Matisayevich, Robinson’un çalışmasına olan borcunu gönülden kabul etti ve ikili, Robinson’un 1984’teki ölümüne kadar diğer problemler üzerinde birlikte çalışmaya devam etti.
Diğer birçok başarısının arasında Matisayevich ve çalışma arkadaşı Boris Stechkin ayrıca bütün kompozit sayıları eleyen ve sadece asalları bırakan, asal sayılar için ilginç bir “görsel kevgir” geliştirdiler. Yinelemeli sıralanabilir kümeler üzerine kendi adıyla anılan bir teoremi vardır. Rus Bilimler Akademisi Steklov Matematik Enstitüsü St. Petersburg Departmanı’ndaki Matematiksel Mantık Laboratuarının başındadır ve birçok matematik topluluğunun üyesidir.
Kaynaklar
1) http://www.storyofmathematics.com/20th.html
