Ana sayfa 137. Sayı Ünlü matematikçi John Nash öldü: ‘Akıl oyuncusu’ trafik kazasını hesap edemedi

Ünlü matematikçi John Nash öldü: ‘Akıl oyuncusu’ trafik kazasını hesap edemedi

318
PAYLAŞ

Yaşamını anlatan Akıl Oyunları adlı sinema filmiyle dünya çapında tanınan matematikçi John F. Nash,  23 Mayıs 2015’te bir trafik kazası sonucunda eşi ile birlikte hayata veda etti. Nash, oyun teorisi alanında yaptığı çalışmalarla 1994 Nobel Ekonomi Ödülü’nü de almıştı. John Nash yaşamı boyunca şizofreniyle boğuşmuştu.

Yazarlar: J. J. O’Connor / E. F. Robertson

John Forbes Nash, babasıyla aynı adı taşımaktadır. 1892 yılında doğan baba Nash, mutsuz bir çocukluk dönemi sonrasında Teksas Tarım ve Makine Okulu’nda elektrik mühendisliği eğitimi aldı. 1. Dünya Savaşı’nda Fransa’da görev yapan baba, savaş sonrasında ise Teksas Üniversitesi’nde 1 yıl kadar elektrik mühendisliği derslerine girdi ve daha sonra Appalachian Power Company’de çalışmaya başladı. John F. Nash’in annesi Margaret Virginia Martin ise Martha Washington Koleji ve Batı Virginia Üniversitesi’nde dil eğitimi aldı ve yaklaşık 10 sene öğretmenlik yaptı. Virginia ile Nash 6 Ekim 1924 yılında evlendi.

‘Garip’ bir çocuk

Bluefied Sağlıkevi’nde dünyaya gelen Johnny Nash (ailesi öyle çağırıyordu), sevgi dolu ve ilgili bir ailede yetişmesine rağmen oldukça kendi halinde, içe kapanık bir çocuktu. Sürekli kitaplarla ilgilenen Nash, diğer çocuklarla oynamazdı. Kendisinden birkaç yaş küçük kız kardeşi Matha, kuzenleri ile birlikte saklambaç, futbol vb. oyunlar oynarken, Nash oyuncak uçaklar ve kibrit kutusundan arabalarla tek başına oynuyordu.

John, kendi halinde, içe kapanık bir çocuktu.

Okuldaki başarısını ve ilgi alanlarını gözlemleyen ebeveynler, Johnny’nin eğitimi için ekstra çaba gösteriyordu: Annesi, Johnny’ye bizzat ders verirken babası da ona bir yetişkin gibi davranıyordu. Yaşıtları boyama kitaplarıyla ilgilenirken; Nash, babasının aldığı bilim kitaplarını okuyordu.

Daima arka planda olan ve sosyal becerilerden yoksun Nash’in zekâsı öğretmenleri tarafından fark edilemedi. 12 yaşına geldiğinde odasında deney düzenekleri kurup kendi başına çalışan Nash, şüphesiz ki okulda öğrendiğinden çok daha fazlasını evde kendi başına öğrendi.

Kız kardeşi Johnny için şöyle yazmıştı: (2)

“Johnny daima farklıydı. Ailem de farklı ve zeki olduğunu biliyordu. Annem onu arkadaş çevreme sokmamı ve biraz olsun sosyalleşmesine katkı sağlamamı istese de ‘garip’ kardeşimi arkadaşlarıma tanıtmak konusunda pek hevesli değildim.”

Nash, ailesinin sosyal aktivitelere katılma ısrarını reddetmese de akraba ziyaretleri, dans, spor gibi sosyalleşme araçları ona daima dikkat dağıtıcı, kitaplarından ve deneylerinden uzaklaştırıcı, gereksiz unsurlar olarak geliyordu.

Nash’in matematiğe olan ilgisi 14 yaşında başladı. E. T. Bell’in Man of Mathematics adlı kitabından ilham aldı. Kitapta bahsedilen Fermat’nın sonuçlarını ispatlamayı başardı. Okulda gördüğü matematiğin onu başarısızlığa iten sıkıcılığının aksine burada farklı bir heyecan hissetmişti.

1941 yılında Bluefield Koleji’ne giren Nash, bilim derslerinin yanı sıra matematik dersleri de aldı. Özellikle matematik alanında üstün yetenek sergilerken sosyal alandaki beceriksizliği ve garip davranışları ise artarak devam ediyordu. Matematik, o zamanlarda sıra dışı bir çalışma alanı olarak görüldüğünden, Nash kariyerine matematikte devam etmek niyetinde değildi. Babasının yolunu takip edip elektrik mühendisi olmak istiyor ve kendi kendine kimya deneyleri yapıyordu. Patlayıcı yapmaya çalıştığı deneylerden birinde gerçekleşen patlama, sınıf arkadaşlarından birinin ölümüne yol açtı.

Can sıkıntısı ve ergenliğin getirdiği agresiflik, Nash’i kötü sonuçlar doğurabilecek şakalar yapmaya itiyordu. Arkadaşlarının garip karikatürlerini çizerek onlarla alay ediyor, hayvanlara işkence yapmaktan zevk alıyordu. Bir keresinde kız kardeşini sandalyeye oturtup ucuna pil bağladığı kablolarla etrafını sarmıştı.

Olağanüstü matematik yeteneği

Nash, George Westinghouse Yarışması’nda burs kazanarak bugünkü adı Carnegie-Mellon Üniversitesi olan Carnegie Teknoloji Enstitüsü’ne 1945 yılında kimya mühendisliğine kabul edildi. Ancak matematiğe artan ilgisi onu tensör cebri ve görelilik derslerini de almaya itti. Görelilik derslerini veren Matematik Bölüm Başkanı John Synge ve diğer matematik profesörleri Nash’in matematiğe olan olağanüstü yeteneğini kısa zamanda fark ederek onu matematik alanında uzmanlaşmaya ikna ettiler.

John Nash 1950 yılında doktora derecesini “İşbirliksiz Oyunlar” başlıklı teziyle Princeton Üniversitesi’nden aldı.

William Lowell Putnam Matematik Yarışması’na iki defa katılmasına rağmen ilk beşe giremeyen Nash, bunu kendisi için başarısızlık olarak gördü. Yarışma dışında Nash’in hayatında kötü giden başka şeyler de vardı: Her ne kadar matematik profesörleri üzerine düşse de akran öğrencileri onu oldukça garip biri olarak addediyordu. Yapılı biri olduğundan fiziksel tacizlere karşı kendini koruyabilse de narin kişiliğinden dolayı akranları onunla alay ediyordu. Nash ile aynı dönemde öğrencilik yapan biri şöyle diyor:

“Bizim standartlarımıza göre bile toy sayılabilecek, taşra çocuğuydu. Piyanonun başına oturup aynı akoru defalarca çalıyor, erimekte olan dondurmayı hırpani kıyafetlerinin üzerine bırakıyor, uyuyan oda arkadaşının üzerine basarak ışığı kapamaya gidiyordu…”

Başka birine göre, “son derece yalnız biriydi”.

Yine başka biri: “Zavallı John’a kötü davrandık. Ona karşı oldukça kabaydık. Aklında bir sorun olduğunu düşünürdük.”

Eşcinsel eğilimler gösteren Nash, erkeklere ilgi duymasından dolayı alay eden ve onu aşağılayan diğer çocuklara matematik problemleri ile meydan okuyor, birçok öğrencinin matematik ödevlerini yapıyordu.

1948 yılında lisans ve master derecelerini alan Nash, Harvard, Princiton, Chicago ve Michigan üniversitelerinin matematik programlarına kabul aldı. Öncül bir üniversite olmasından dolayı ilk tercihi Harvard’dan yanaydı fakat Princeton’un sunduğu olanaklar daha cömertti. Harvard’ın Princeton ayarında teklif yapmamasının nedenini ise Putnam Matematik Yarışması’ndaki başarısızlığına bağlıyordu. Synge ve diğer profesörlerinin cesaretlendirmesi ve Lefschetz’in sunduğu eşsiz burs teklifi karşısında sonunda Princeton’da karar kıldı.

Oyun Teorisi

Eylül 1948’de Princeton’a girdikten sonra topoloji, cebirsel geometri, oyun teorisi, mantık gibi saf matematiğin alanlarına ilgi duymaya başladı. Ancak dersleri takip etmiyordu. Dersleri takip etmemek şöyle dursun, kitaptan çalışmak da Nash için uygun değildi. İkinci elden öğrenilmiş bir matematik yerine konulara bizzat katkı yapacağı bir çalışma yöntemini benimsemişti. Bu yöntem, problemlere getirdiği özgün bir bakış açısı ile modern çağın en önemli matematikçilerinden birinin doğumuna yol açtı.

1949 yılında doktora çalışmalarını yürütürken oyun teorisinin matematiksel temellerini kurarak 45 sene sonra ekonomi alanında Nobel ödülü getirecek bir çalışma ortaya koydu. P. Ordeshook bunu şöyle izah ediyor:

“n-değişken gruplu Nash dengesi, işbirliksiz oyun teorisinin belki de en önemli fikridir… Adayların seçim stratejilerinden, çıkar gruplarının eylemlerine; yasal manipülasyonlardan savaş sebeplerine kadar geniş yelpazedeki insan davranışları denge stratejileri üzerinde konumlanır.”

Aynı dönemden Milnor, Nash’in Princeton yıllarını şöyle anlatıyor (6):

“Kafasında daima matematiksel fikirler gezerdi. Sadece oyun teorisi değil, geometri ve topoloji de dahil… Ancak o zamanlardan aklımda kalan en net görüntü ortak alanlarda oynanan oyunlardı. Go, Kriegspiel ve mucidi John olduğundan Nash adını verdiğimiz topolojik bir zekâ oyunu ile orada tanıştım.”

Aslına bakılırsa Nash oyunu, Piet Hein tarafından bağımsız olarak icat edilen Hex ile neredeyse aynıdır. Aşağıda John Nash hakkında akranları tarafından yapılmış yorumlar bulunuyor:

“Nash normalin dışında biriydi. 20 kişinin bulunduğu odaya birini getirip ona garip olan kişiyi bulmasını isteseydiniz kesinlikle Nash’i seçerdi. Ancak Nash bunu bilinçli yapmıyordu; yalnızlığı katlanmak zorunda olduğu bir yüktü.”

“Nash çok ürkütücüydü. Yüzümüze bakmazdı. Sorulara uzun süreler boyunca cevap verir ancak aptalca sorular sorulduğunda cevap bile vermezdi. Kibir ve başka bir şeyin karışımı dışında pek duygusu yok gibiydi. Son derece izole bir hayatı vardı fakat tüm bunların altında sıcaklık ve minnettarlık yatıyor gibiydi.”

“Birçoğumuz Nash’in dediklerini kayda değer bulmazdık. Onu dinlemek istemezdim; yanındayken daima huzursuz hissederdim.”

Fikirleri vardı ve şüphesiz önemli fikirlerdi. Princeton’a geldikten kısa bir süre sonra Einstein’e kütleçekimi hakkındaki karmaşık matematik fikirlerini yaklaşık bir saat boyunca anlattı. Einstein her ne kadar Nash’e biraz fizik öğrenmesini tavsiye etse de benzer bir çalışma bir fizikçi tarafından daha sonra yayımlandı.

1950 yılında doktora derecesini “İşbirliksiz Oyunlar” başlıklı teziyle Princeton Üniversitesi’nden aldı ve aynı yılın yazında RAND firmasında çalışmaya başladı. Burada oyun teorisini kullanarak soğuk savaş stratejileri üzerine araştırmalar yapıyordu. Nash, firmanın oyun teorisini askeri ve diplomatik stratejiler üzerine uygulamaya çalıştığı birkaç yıl boyunca RAND’de zaman zaman çalıştı. 1950 sonbaharında Princeton’a dönerek saf matematik alanına çekildi ve ciddi problemler üzerine yoğunlaştı. İleride Nobel kazanacak bir çalışmanın sahibinin akademik alanda yayın çıkarması her ne kadar bir sıkıntı olarak gözükmese de Nash’in teorisinin önemi o zamanlarda yeterince anlaşılamamıştı. Nash de bu yüzden başka alanlara yönelmeye başladı.

‘Madem bu kadar zekisin, manifoldlar için gömme problemini çöz de görelim’

Aslına bakılırsa Nash kendini her daim saf matematikçi olarak tanımladığından çalışmalarında keskin bir değişiklik söz konusu olmadı. Oyun teorisi tezini yazmadan önce de manifoldlar (her nokta etrafında Öklidyen uzaya karşı gelen topolojik uzay) ve cebirsel değişkenler konusunda sonuçlar elde etmekteydi. Hatta herhangi bir gerçel kompakt manifoldun, gerçel bir cebirsel değişkenin bileşenine göre difeomorfik (düzgün manifoldun izomorfik halleri) olduğunu öne süren meşhur teoremini, oyun teorisi doktora tezinin reddine karşı kenarda tutuyordu. Bir röportajında şöyle diyordu:

“Saf matematik alanında epey güzel bir fikir geliştirmiştim. Daha önceden de basabilirdim fakat acele getirmeye gerek yoktu; tam hale getirmek biraz zaman aldı. Bana bazıları dahi, bazıları ise kafadan çatlak diyordu. Çünkü kafamdaki fikirler biraz çatlakçaydı ve kulağa da hoş gelmiyordu.”

Alicia Larde ve John Nash 1958 yılında evlendiler.

1952 yılında “Gerçel Cebirsel Manifoldlar” adlı makalesini Annals of Mathematics’te yayımlandı. Bu yayın, iki gerçel cebirsel manifoldun ancak ve ancak analitik olarak homeomorfik olduklarında denk olduklarını savlıyordu. Çalışma her ne kadar matematik alanında kendini kanıtlamasına olanak verse de Princeton’daki herkes, Nash’i fakülte çatısı altında görmeye istekli değildi. İsteksizliğin sebebi ise Nash’in akademik anlamdaki başarısı değil, birlikte çalışmayı olanaksız kılacak derecede sinirli kişiliğiydi.

Paul Richard Halmos’a ulaşan bir mektupta, Nash’ten şöyle söz ediliyordu: (2)

“Buralar bildiğin gibi, pek bir değişiklik yok. Bu arada Martin, John Nash (hani şu Princeton’da olan) ile asistan profesörlük için görüşüyor. Bu konu epey canımı sıktı; Nash, özgün şeyler ortaya kurmaya çabalayan zeki fakat toy bir çocuk. Zekâsının aksine de kendini çeşitli yollardan aptal konumuna düşürüyor. Yakın zamanda henüz çözülememiş, Riemann manifoldu izometrik biçimde Öklidyen uzaya yerleştirme konusunu duymuştu ve çalışmaya değecek bir konu olduğunu düşünüyordu. Şimdiden matematik camiasındaki herkese problemi çözdüğünü söyleyip Mackey’e Harvard’da onun için konuşma ayarlamasını istemiş. Bir yandan da Levinson’a giderek bir diferansiyel denklem hakkında soru sormuş. Levinson da o denklemin kısmi türevli bir diferansiyel denklem olduğunu ve eğer denklemin basit diferansiyel denklem şeklindeki bir temsilinin bulunacak olursa şahane bir yayın ortaya çıkacağını söylemiş. Nash’in fikirleri ise oldukça bulanık; sonuç elde edecek gibi durmuyor. Nash, zeki fakat burnu Kaf dağında, Wiener kadar çocuk, X ve Y keyfi sabitler olmak üzere X kadar tezcanlı Y kadar da yaygaracı.”

Mektubun yazarı Ambrose ve Nash birbirlerine bir süre boyunca hep ters gittiler. Ambrose başkalarının alıştığının aksine Nash’in alaycı tavırlarına karşılık verip şöyle demişti:

“Madem bu kadar zekisin, manifoldlar için gömme problemini (embedding theorem) çöz de görelim.”

1952’den itibaren Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde (MIT) sıra dışı ve öğrencilerin pek de katılım göstermediği dersler vermeye başlayan Nash, akademik alanda ise gerçel cebirsel değişkenler, Riemann geometrisi, parabolik ve eliptik denklemler gibi konuların gelişimine büyük katkı sağladı. “C1 izometrik gömmeler (C1 isometric imbeddings )” adlı çalışmasını 1954 yılında yayımladı. Çalışmalarına 1956 yılında yayımladığı “Riemann manifoldları için gömme problemi (The imbedding problem for Riemannian manifolds)” makalesiyle devam eden Nash, 1958 yılında “Parabolik ve eliptik denklemlerin çözümlerinin sürekliliği” adlı çalışmayı ortaya koydu. Ancak E. de Giorgi’nin de benzer sonuçları farklı yollardan elde ettiğini öğrenmesi canını sıkmıştı.

Son yıllarda elde ettiği olağanüstü sonuçlar neticesinde 1958 Fields Madalyası’na aday olan Nash, -belki de eliptik denklemlerle ilgili makalesi henüz yetişmediğinden- komite tarafından seçilmedi. Bir sonraki madalya için en güçlü aday John Nash olarak görülse de Nash’in sağlık durumu tüm kariyer planlarını alt üst edecekti.

‘Küçük kusursuz dünyam mahvoldu’

Nash, kendisi gibi sosyal yanları zayıf olan Eleanor Stier ile tanıştı ve 1953 yılında John David Stier adında çocukları oldu. Her ne kadar Eleanor evlenmek için Nash’i ikna etmeye çalışsa da Nash evliliğe yanaşmıyordu. 1954 yılının yazında RAND için çalıştığı sıralar eşcinsel olduğu gerekçesiyle tutuklanan Nash, RAND’den de atıldı.

“Her yerde kripto-komünistler karşıma çıkıyordu…”

MIT’teki öğrencilerinden Alicia Larde, Nash’e arkadaşça davranmaya başladı ve 1955 yazından sonra da birbirlerini sık sık görmeye başladılar. Nash’in aynı zamanda Jack Bricker adlı lisansüstü bir öğrenciyle de özel bir arkadaşlığı vardı. 1956 sonbaharında Nash’i ziyarete giden Eleanor, Alicia ve Nash’i yatakta gördü. Bu olay üzerine Nash bir arkadaşına şöyle diyordu:

“Küçük kusursuz dünyam mahvoldu, küçük kusursuz dünyam mahvoldu.”

1958 yılında Alicia ile evlenen Nash’in akıl sağlığındaki bozukluk, Alicia’nın hamile olduğu sıralarda rahatsız edici boyutlara ulaşmıştı. Yeni yıl partisine üzerinde sadece çocuk bezi ve “1959” yazan bir kuşak giyerek katılan Nash, gecenin büyük çoğunluğunu eşinin kucağında bir bebek gibi geçirdi. 4 Ocak’ta ise üniversitede oyun teorisi derslerine başlamıştı. Dersin açılış cümlesi şöyle başlıyordu:

“Sormadan edemeyeceğim; neden buradasınız?”

Şizofreni

Bir süre sonra Nash, lisansüstü bir öğrenciye dersini devralmasını söyleyerek birkaç hafta ortadan kayboldu. Döndüğünde ise elinde New York Times gazetesi vardı ve gazetede sadece kendisinin çözebileceği Dünya dışı bir mesaj olduğunu iddia ediyordu. İnsanlar ilk önce bunu Nash’in her zamanki tatsız şakalarından biri sanmışlardı.

Nash’in medikal derecede kişilik problemleri sergilediğini ilk önce Norbert Wiener farketti Aylar süren garip davranışlar neticesinde gönülsüz olarak eşi tarafından hastaneye yatırıldı. Çıktıktan bir süre sonra da ansızın MIT’den istifa ederek emeklilik parasını çekip Avrupa’ya gitti ve orada Amerikan vatandaşlığından çıkma girişimlerinde bulundu. Eşi Alicia yeni doğmuş çocuğunu annesine bırakarak derhal Nash’in peşinden gidip Amerika’ya birlikte geri dönmeye Nash’i ikna etti.

Döndükten sonra çift Princeton’a yerleşti. Nash zamanının çoğunu Princeton kampusunda geçiriyor ve Johann von Nassau isimli bir üçüncü kişi olarak kendi kendine konuşuyordu. Anlamsız kartpostallar yazıyor, eski iş arkadaşlarını telefonla arayarak numeroloji ve politika arasındaki ilişkiden söz ediyordu. Eşinin gittikçe kötüleşen hastalığı Alicia’yı da depresyona sokmuştu.

1961 yılında ümidini yitiren Alicia, Nash’in annesi ve kız kardeşi ile birlikte ortak bir karar alarak, Nash’i New Jersey’deki Trenton Devlet Hastanesi’ne yatırdılar. Burada bir buçuk ay boyunca haftada beş gün yoğun ve riskli bir tedavi görecekti. Artık Nash için periyodik tedavilerin, geçici iyileşmelerin ve daha ileri tedavilerin olduğu dönem başlamıştı. 1962 yılında Alicia ile Nash boşandılar. Nash, bir süre Eleanor ve oğlu John David ile birlikte yaşadı. Sosyal hayattan artık tamamen soyutlanmış olan Nash, zamanının büyük çoğunluğunu Princeton Matematik Bölümü’nde geçiriyordu.

Zaman ilerledikçe Nash de iyileşmeye başladı. 1996 yılında Dünya Psikiyatri Kongresi’ne hastalığını tarif eden bir makale gönderdi. (3)

1958 yılında “gelecek vaat eden genç matematikçi” olarak görülen Nash, hastalığı ile ilgili sanrıları şöyle anlatıyor:

“…üniversitedeki görevliler, MIT ve daha sonra tüm Boston bana garip davranmaya başlamıştı. Her yerde kripto-komünistler karşıma çıkıyordu… Kendimi ruhani anlamda çok önemli bir kişi olarak görüyor ve telefon konuşmalarındaki gibi kafamda bana karşıt fikirler sunan sesler duyuyordum. Hezeyanlarım, uyanmanın imkânsız olduğu bir rüya gibiydi.”

Mental rahatsızlığına karşın, matematiksel çalışmalarında herhangi bir değişiklik olmayan Nash, “matematik ve delilik arasında doğrudan bir ilişki olduğunu söylemeye cüret edemem fakat şüphesiz ki büyük matematikçiler şizofreni semptomları ve sanrılardan muzdariptir.” demiştir.

Abel Ödülü’nden birkaç gün sonra…

1990 yılında şizofreni tedavisinde iyileşme kaydeden Nash’in matematikteki üstün yeteneği hiçbir zaman kaybolmadı. İyileşme konusunda şöyle bir düşüncesi vardı:

“Eğer işimde güzel şeyler üretemeseydim kendimi iyileşmiş olarak görmezdim.”

John Nash, anlaşmaların yapılabildiği işbirlikli oyunlar ile anlaşmaların olmadığı işbirliksiz oyunlar arasındaki ayrımı yapıp, işbirliksiz oyunlar için şu anda Nash dengesi olarak bilinen denge biçimini ortaya koyduğu oyun teorisi alanındaki çalışmasıyla 1994 yılında Nobel Ekonomi Ödülü’ne layık görüldü.

1999 yılında Amerikan Matematik Topluluğu’nun değerlendirmesiyle de Leroy P. Steele Ödülü’ne sahip oldu.

2015 yılında Louis Nirenberg ile birlikte “lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler ve geometrik analize uygulamalarında ufuk açan araştırmalar”dan dolayı Abel Ödülü’nü kazanan Nash, ödülü aldıktan birkaç gün sonra Alicia ile birlikte yolculuk ettiği taksinin kaza yapması sonucunda eşi ile birlikte hayata veda etti.

Kaynaklar

1) Biography in Encyclopaedia Britannica.
http://www.britannica.com/eb/article-9001531/John-F-Nash-Jr

2) S. Nasar, A beautiful mind, London-New York, 1998.

3) H.W. Kuhn, Introduction: Dedication to John F. Nash, Jr., A celebration of John F Nash, Jr., Duke Math. J. 81 (1) (1995), i-v.

4) H. W. Kuhn, J. C. Harsanyi, R. Selten, J. W. Weibull, E van Damme, J. F. Nash Jr. and P. Hammerstein; The work of John F. Nash, Jr. in game theory, A celebration of John F. Nash, Jr., Duke Math. J. 81 (1) (1995), 1-29.

5) Madness and mathematics, The Times London, 28 Aug, 1996.

6) J. Milnor, A Nobel prize for John Nash, The Mathematical Intelligencer 17 (3) (1995), 11-17.

7) John F Nash: 1999 Steele prizes, Notices Amer. Math. Soc. 46 (4) (1999), 457-462.
http://www.ams.org/notices/199904/comm-steele-prz.pdf

8) The work of John Nash in game theory: Nobel Seminar, December 8, 1994, J. Econom. Theory 69(1) (1996), 153-185.

9) G. Umbhauer, John Nash, un visionnaire de l’économie, Gaz. Math. 65 (1995), 47-69.

10) E. van Damme, On the contributions of John C. Harsanyi, John F. Nash and Reinhard Selten, Internat. J. Game Theory 24 (1) (1995), 3-11.