Ana sayfa 130. sayı Farkların toplamındaki sihirbazlık!

Farkların toplamındaki sihirbazlık!

98
PAYLAŞ

Bu yazıda matematiksel bir gösteri formuna dönüştürdüğümüz ilginç bir özdeşliği ve ardındaki matematiği inceleyeceğiz.

Karşınızdaki kişiden çift sayıda ve istediği kadar ardışık tamsayıyı sizden gizleyerek bir kağıda yazmasını isteyin. (Örneğin karşınızdaki kişi kağıda -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 gibi sekiz (çift sayıda) tane ardışık sayıyı yazabilir.) “Biraz sonra, kaç tane ardışık tamsayı yazdığını sana söyleyeceğim” diyebilirsiniz.

Sonrasında, işlemlerin sonuçlarını yine sizden gizlemesi koşuluyla aşağıdaki adımları atmasını isteyin.

Kağıttaki tüm sayılardan dilediğince, eleman sayıları eşit iki küme oluştursun.

Kümeleri A ve B olarak isimlendirirsek, A kümesinin en büyük elemanından B kümesinin en küçük elemanını çıkararak sonucun pozitif işaretlisini (mutlak değerini) kâğıda not etsin, aynı şekilde A’daki en büyük ikinci sayıdan B’deki en küçük ikinci sayıyı çıkarıp yine pozitif işaretlisini kâğıda ikinci sayı olarak yazsın. Bu işlemi bu şekilde her iki kümedeki diğer sayılar ( eğer varsa üçüncü, dördüncü ve diğerleri) için de uygulasın.

Farkların pozitif işaretlerini alarak elde ettiği tüm sayıları toplayıp sonucu size söylesin.

Bu toplamın karekökünün iki katı başlangıçta kağıda yazılan ardışık sayı adedini verir.

Şimdi, bu adımları yukarıda kâğıda yazıldığını varsaydığımız -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 sekiz tane ardışık sayı için uygulayalım, bakalım verilen kural doğru mu, sonuç sekiz çıkacak mı?

Bu sayıları gelişi güzel bir şekilde eleman sayıları eşit iki kümeye ayıralım:

A = {-1, 0, 3, 4}, B = {-2, 1, 2, 5}.

A kümesinin en büyük elemanını B’nin en küçük elemanından çıkarıp sonucun pozitif işaretlisini yazalım ve bu işlemi sırasıyla kalan diğer sayılar için de yaparak elde ettiğimiz sayıları toplayalım:

|4–(–2)|+|3–1|+|0–2|+|–1–5| = 16.

16’nın karekökünün 2 katı 8. Kural doğrulandı, ama bu ilginç özdeşlik keyfi olarak seçeceğimiz tüm çift sayıdaki ardışık sayılar için de geçerli mi acaba? Yanıt olumlu, istediğiniz kadar çift sayıda ardışık sayıyı dilediğiniz gibi seçin, yukarıdaki adımların ardından elde edeceğiniz toplamın karekökünün iki katı başlangıçta seçtiğiniz ardışık sayıların sayısını veriyor. Kuşkusuz, böylesi ilginç bir sonuçla karşılaşan her matematiksever bu özdeşliğin ardındaki matematiği merak ederek kanıt yolculuğuna çıkmak isteyecektir.

1985 Sovyet Matematik Olimpiyatları’nda sorulan ve matematikçi Vyacheslav Proizvolov tarafından keşfedilen bu önerme Proizvolov Özdeşliği olarak biliniyor. Proizvolov’un sadece pozitif tamsayılar için tanımladığı özdeşlik, tamsayılar kümesinin tümünde geçerli, çünkü ardışık sayılarla çalıştığımızdan seçilen sayıların negatif ya da bir bölümünün negatif bir bölümünün pozitif olması sonucu değiştirmiyor. Bu durumu yazının ikinci bölümünde ele alacağız.

Akıl dolu bir kanıt

Seçtiğimiz ardışık sayılar 2N tane olsun. Bu sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayarak aşağıdaki gibi gösterelim:

A1, A2, A3, …, AN, AN+1, AN+2, … , A2N.

Şimdi, bu dizinin içinden keyfi olarak N tane sayıyı seçelim ve küçükten büyüğe doğru sıralayalım:

B1 < B2 < … < BN.

Seçmediğimiz geriye kalan N tane sayıyı da büyükten küçüğe doğru sıralayalım:

C1 > C2 > … > CN.

Bu durumda kanıtlamamız gereken özdeşlik aşağıdaki gibi yazılır:

| B1– C1| +| B2– C2| +…+| BNCN| = N2.

Bu özdeşliğin tamsayılar kümesinin tüm elemanları için sağlanıyor olması şu önermeye dayanıyor.

Teorem. Farkları alınan BK, CK çiftindeki sayılarından biri X = {A1, A2, A3, …, AN} kümesinin elemanı, diğeri de Y = {AN+1, AN+2, …, A2N} kümesinin elemanı olmak zorundadır.

Kanıt. Teoremin olumsuzunun doğru olduğunu varsayalım, yani BK ve CK sayılarının her ikisi de X ya da Y’nin elemanı olsun.

BK ve CK sayılarının her ikisi de X kümesinin elmanı ise BK < AN ve CK < AN olur. Bu durumda BK < AN olduğundan en az K tane sayı N’den küçük ya da eşittir. Öte yandan CK < AN olduğu için en az NK+1 tane sayı yine N’den küçük ya da eşit olacaktır. Böylece toplam olarak en az N+1 tane sayı N’den küçük ya da eşit olur ki bu da bir çelişkidir.

BK ve CK sayılarının her ikisinin de Y kümesinin elmanı olduğunu varsayarsak yukarıdakine benzer bir yolla yine çelişkili bir sonuca ulaşırız.

O halde BK ve CK’dan biri X’in diğeri de Y’nin elemanı olmak zorundadır. Teorem kanıtlanmıştır.

Şimdi artık, | B1– C1| +| B2– C2| +…+| BNCN| toplamının N2’ye eşit olduğunu gösterebiliriz.

Hemen belirtelim, (daha önce sözünü etmiştik) başlangıçta seçilen A1, A2, A3, …, AN, AN+1, AN+2, … , A2N. sayılarının (2N tane) hangi aralıkta olduğunun hiç bir önemi yok, çünkü seçilen sayılar ardışık olduğundan farkların toplamı değişmiyor. Örneğin, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 sayılarını seçmekle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayılarını seçmek arasında fark yok.Farkları alınan sayılardanbiri ilk dört sayı arasından alınırken, diğeri kalan dört sayı arasından alındığından farkların birindeki eksilme diğerinde artışa neden oluyor. Örneğin, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayılarını keyfi olarak K = {2, 3, 6, 8}, L = {1, 4, 5, 7}. gibi iki kümeye ayıralım ve Proizvolov Özdeşliği’ni yazalım:

|8–1|+|6–4|+|3–5|+|2–7| = 16.

Burada farkların mutlak değerini alarak elde ettiğimiz 7, 2, 2, 5 sayılarını, yazının başında seçtiğimiz sayılardan oluşan (A ve B kümelerinden seçilen) farkların mutlak değeri olan 6, 2, 2, 6 sayılarıyla karşılaştırırsak, 7 ile 6 arasındaki 1 kadar eksilme 5 ile 6 arasındaki 1 artışa neden oluyor. Bu yüzden ardışık tamsayıların seçildiği aralığın önemi yok. Örnekle gösterdiğimiz bu sonucu meraklı okur değişken kullanarak kolayca kanıtlayabilir.

Şimdi artık, A1, A2, A3, …, AN, AN+1, AN+2, … , A2N. sayıları yerine 1, 2, 3, … N, N+1, N+2, … 2N sayılarını alabiliriz.

Kanıtladığımız teorem gereği BK, CK çiftindeki sayılardan birinin ilk N tamsayı arasından, diğerinin de sonraki ilk N tamsayı arasından olduğunu bildiğimizden | B1– C1| +| B2– C2| +…+| BNCN| toplamını hesaplayabiliriz.

Bu toplam, (N+1)+(N+2)+…+2N ile 1+2+3+…+N arasındaki farka eşittir. Buradan N tane N’nin toplamı bulunur ki, aradığımız sonuç N2’dir. Böylece Proizvolov Özdeşliği’nin doğru olduğunu çift sayıdaki ardışık tüm tam sayılar için kanıtlamış olduk.