Aşağıdaki diyalog, öğrenciyle öğretmeni arasında geçmektedir. Umarım matematiksel kanıtın anlam ve önemini anlatıyordur.
– Geçenlerde Aritmetiğin Temel Teoremi diye bir teoreme rastladım: 1’den büyük her pozitif tamsayı sonlu sayıda asal sayının çarpımıdır ve bu çarpım tek şekilde yazılır. Çok belirgin bir önerme. Birileri bu denli açık şeyleri kanıtlamak için neden uğraşıp duruyor? Kanıtlamaya gerek var mı?
– Elbette gerek var, matematiği matematik yapan böylesi teoremler. Öklid’in önermelerinin sonucu olan bu teoremle Euler, Legendre gibi birçok ünlü matematikçi ilgilenmiş, ilk ve net kanıt Gauss tarafından verilmiş. Bence her matematiksever lise öğrencisi böylesi basit teoremler üzerine kafa yormalı, bir önermenin doğruluğunu nedenleriyle birlikte öğrenmeli.
– Bir önermenin doğruluğunu nedenleriyle birlikte öğrenmek… Ben ve çoğu öğrenci arkadaşım “nedenleri” merak etmiyoruz.
– Haklısın, maalesef ülkemiz eğitim sisteminde öğrenciler matematiği tepeden inme bir biçimde belleyerek öğrenmek zorunda kalıyor, bir süre sonra ya matematikten kopuyor ya da hızla işlem yapan, beş seçenekten birini işaretlemeyi öğrenen robotlara dönüşüyor.
– İlkokula başladığım yıllarda merak etme duygumun ne denli güçlü olduğunu çok iyi anımsıyorum. Sonrasında çoktan seçmeli sınavlara hazırlandım, bir soruyu bir dakikada çözmeyi başarı olarak gördüm.
– Kurallar nedenleri olmaksızın verildiğinde hızla unutulan, kolayca özümsenemeyen bilgi yığınına dönüşüyor. Bir otomobili motorunun nasıl çalıştığını bilmeden kullanabilirsin, ama matematikte koyulan kuralların nedenlerini bilmeden matematik yapamazsın.
– Evet, bu sözler üzerine düşündüğümde verili bilgiyi sorgulama ihtiyacı hissetmediğimi anlıyorum, “kanıtsız matematik” yapmaya alıştım. Aldığım eğitimin merak etme, sorgulama isteğimi körelttiğini düşünüyorum. Belki de bu yüzden Aritmetiğin Temel Teoremi’ne şaşırıyor ve kanıtlamaya gerek var mı diye soruyorum.
– Teoremlerin kanıtlarını yapmadan veya anlamadan geçen bir öğrencinin matematiği sevmesi olanaksızdır. Kanıtlamazsan sevemezsin!
– Aritmetiğin Temel Teoremi için ben şöyle düşünmüştüm: Hangi pozitif tamsayıyı alırsak alalım sonlu sayıda asalın çarpımıdır, örneğin 15 = 3×5, 36 = 2×2×3×3. O halde bütün sayılar sonlu asalın çarpımı olarak yazılabilir, kanıtlanacak bir şey yok.
– Evet ama, sezgilerimizle ve deneysel olarak ulaştığımız bir sonuç matematik için yeterli değildir. Matematik bizden bu önermenin neden doğru olduğunu tüm sayılar için göstermemizi ister.
– Peki, şimdi matematiğin sesine kulak verelim ve Aritmetiğin Temel Teoremi’ni birlikte kanıtlayalım. Geçen gün elime geçen o matematik kitabında teoremin kanıtını çelişme yöntemiyle yapmış, yani teoremin doğru olmadığını varsayıp bir çelişki elde ederek teoremi kanıtlamış. Varsayalım ki sonlu sayıda asalın çarpımı olmayan pozitif tamsayılar var. Bu sayıların oluşturduğu kümeye A ve bu kümenin en küçük elemanına n diyelim. – Bir dakika… Bu kümenin en küçük elemanı olduğunu nereden biliyoruz? Belki böyle bir sayı yok.
– Yok artık, bundan da mı kuşku duyacağız? Elbette kuşkulanacağız, çünkü bu adımı atlayarak yarattığımız boşluk yapacağımız kanıtın çökmesine neden olacak. Hiçbir açık, hiçbir belirsizlik olmamalı. Kümeler kuramında İyi Sıralama İlkesi olarak bilinen bir önerme var: Boşküme olmayan her doğal sayı kümesinin en küçük elemanı vardır. Bu önerme kümeler kuramının bazı modellerinde bir teorem, yani kanıtlanabiliyor, bazılarındaysa aksiyom olarak yer alıyor. Biz bu ilkeyi doğal sayılar kümesine uyguladığımızdan teorem olarak ele almalıyız, yani burada bizim için yardımcı teorem olmalı. Bu teoremin kanıtı konumuz dışında, sonraya bırakalım. Hadi şimdi kaldığımız yerden devam edelim.
– Hijyen! Matematiksel kanıtın bu denli özen ve titizlik içinde yapılacağını hiç düşünmemiştim. Peki, devam ediyorum. Artık sözünü ettiğim o kümenin en küçük elemanın olduğunu biliyoruz ve bu elemana n demiştik. n sayısı bir asal sayıya bölünür. Bu kez yaş tahtaya basmıyorum, çünkü 1 dışında her tamsayı bir asala bölünür önermesinin de bir teorem olduğunu ve kanıtının yine çelişme yöntemiyle yapıldığını biliyorum.
– Bravo! Ne güzel, matematiksel kanıtın gereklerini yerine getirerek ilerliyorsun.
– n sayısını bölen asala p diyelim. Böylece bir m doğal sayısı için
n = pm
olur. Bu eşitlikte m sıfıra eşit olamaz, çünkü bu durumda n de sıfır olur. Eğer m = 1 ise n = p olur ki, bu durumdan sayısı tek bir asalın yani p’nin çarpımı olarak yazılır.
Eğer m ≥ 2 ise n = pm eşitliğinden dolayı m < n olur. Bu durumda n, A’nın (sonlu sayıda asalın çarpımı olmayan pozitif tamsayıların tümünü eleman kabul eden kümenin) en küçük elemanı olduğundan m, A’nın elemanı olamaz. O halde m sonlu sayıda asalın çarpımı olarak yazılır. Öte yandan n=pm olduğundan n’nin de asalların çarpımı olarak yazılabileceği sonucuna ulaşırız ki, bu da bir çelişkidir. Demek ki A boş kümeymiş. Böylece teorem kanıtlanmış olur.
– Güzel, tebrikler. Tabii burada teoremin “bu çarpım tek şekilde yazılır” bölümünü henüz kanıtlamadık.
– Evet ayrıca, attığımız adımlar arasında kanıtını vermeden geçtiğimiz iki yardımcı teorem daha var. Ama matematiksel kanıtın titiz mantık yürütme anlayışının ne olduğunu ve gerekliliğini çok iyi anlamış bulunuyorum. Teşekkürler. Yaşasın matematiksel kanıt!
