Ana sayfa 148. Sayı Arşimet, Ron Graham, Persi Diaconis ve bir oyun

Arşimet, Ron Graham, Persi Diaconis ve bir oyun

552
PAYLAŞ

Ali Törün

Antik çağın en bilinen isimlerinden birisini günümüz dünyasından iki isimle aynı başlıkta buluşturan şey tabii ki matematik. Matematiğin böyle bir gücü var. Zaman ve mekân tanımadan binlerce yıl sonrasına taşınabilir oluşu ve evrenselliği…

Arşimet’in elyazmasından bir sayfanın okunur hale getirildikten sonrası ve öncesi.

Persi Diaconis, Fun Chungand ve Ron Graham’ın Arşimet’i “oyun oynarken” yakalamalarının hikâyesi, New York’taki bir müzayede salonunda başlar. 29 Ekim 1998. Hazine değerindeki tıp ve bilim kitapları açık artırmadadır. Sabah oturumunda, Marie Curie’nin atomun nükleer yapısını keşfeden Ernest Rutherford için imzaladığı doktora tezi, Darwin’in Türlerin Çeşitliliği Üzerine adlı eserinin ilk baskılarından biri, Öklid-dışı geometrinin ilk kitabı olarak kabul edilen Nicolai Lobachevskii’nin Geometrinin Prensipleri adlı eseri satışa çıkarılır. Öğleden önceki son oturumda tek bir kitap, daha doğrusu bir el yazması için tek oturumluk bir açık artırmaya gidilir. Bazı bölümleri yanmış, küflenmiş, neredeyse okunmaz haldeki bu el yazmasına 800.000 dolarlık bir başlangıç fiyatı belirlenir. Müzayede evinin yöneticisi bu eserin en az başlangıç fiyatı üzerinden alıcı bulacağından emindir; çünkü bu el yazması fazlasıyla hırpalanmış, silinip üzerine başka şeyler yazılmış olsa da büyük bir matematikçiye, Siraküzalı Arşimet’e ait mevcut ilk kitaptır. Bu el yazmasında, Arşimet’in ünlü eserleri Yüzen Cisimler Üzerine ve Yöntem Üzerine’nin yanı sıra bir de Arşimet yapbozu olarak bilinen Stomachion adlı oyun vardır.

Müzayede evinin arka koltukları el yazmasını almaya gücü yetmeyen, Arşimet’in çalışmalarını tutkuyla takip eden matematikçi ve bilim insanları tarafından tamamen doldurulmuş, fakat asıl alıcıların beklendiği ön sıralar boş görünüyordur.

Yunan Kültür Bakanlığı kitabı satın alabilmek için müzayedeye New York başkonsolosunu göndermiş ve basın açıklamasında Yunanistan’ın bilimsel tarihi için bu el yazmasına sahip olma yükümlülüklerinin bulunduğunu belirtmiştir. Ayrıca, Londra’nın ünlü sahaflarından Simon Finch de salondadır. Kitabı bir müşterisi adına satın almak için gelmiştir, ama müşterisinin kim olduğu ve ne kadar ödeyeceği bilinmiyordur.

Ve “düello” başlar… Başlangıç fiyatı olan 800.000 dolar hızla aşılarak kısa sürede 1 milyon dolara ulaşılır. Yunanlılar telefonla aldıkları talimatlar doğrultusunda fiyatı artırırlar ama her defasında Finch karşılık verir. Başkonsolos 1.900.000 dolarlık fiyatı onayladığında Finch hemen 2 milyon dolara çıkmıştır. Yunanlılar kaybeder, kitap 2 milyon dolara Finch’in meçhul müşterisine satılır. Salonda şaşkınlık ve öfke hakimdir, çünkü herkes kitabın geleceğinden endişe duymaktadır.  2300 yıl öncesinden gelen ve bir dehanın en önemli çalışmalarının bulunduğu el yazması bir eser, ulusal bir hükümet yerine, kim olduğu bilinmeyen bir kişinin eline geçmiştir.

Ünlü sahaf Simon Finch, kitabı satın alan şahsın ismini açıklayamayacağını, ama bu kişinin Bill Gates olmadığını belirtir.

Gelişmelerin bundan sonrası daha ilginçtir… O gün müzayede salonunda bulunan sanat müzesi küratörü William Noel, çalıştığı müzede kitabın sergilenmesinin mümkün olup olmadığını sahaf Finch’e bir e-postayla sorar. Yanıt olumludur. Noel, bir kaç ay sonra kimliğini açıklamayan, kendini Bay B.  olarak tanıtan kitabın sahibiyle bir öğle yemeğinde buluşur. Noel, 2300 yıl önce bir dâhinin kaleme aldığı bir esere ulaşacak olmanın heyecanıyla oturmuştur yemek masasına. Bay B. yemekte, kitabı Noel’in müzedeki çalışma odasına bıraktığını açıkladığında Noel yerinde duramaz olmuştur. Bu görüşmeden birkaç ay sonra Bay B. Noel’e yüklü miktardaki paranın karşılığı olan bir çek gönderir. Bu çek, kitabın okunur hale getirilebilmesi için yapılacak teknik çalışmalardaki harcamaların karşılığıdır.

William Noel ve Arşimet üzerine önemli bir otorite olan Reviel Netz, el yazmasının okunup, çözümlenmesi için yıllarca sürecek hummalı bir çalışma içine girerler. Kitap çıplak gözle okunamayacak kadar yıpranmıştır, üstelik ortaçağda sayfaları üzerine Arşimet’in el yazmaları silinerek dualar yazılmıştır. Bu duaların altında yer alan Arşimet’in el yazmalarına dijital ortamda çoklu dalga boyunun kullanıldığı özel görüntüleme teknikleriyle ulaşılır. Bilim ve matematik tarihi için çok önemli, hatta sarsıcı bulgulara rastlanır.

Arşimet’in el yazmasından bir sayfanın okunur hale getirildikten sonrası ve öncesi.

Başlangıçta, bu kitabı Bay B’nin kişisel mülkiyetine alması üzerine oluşan tepkilerin yersizliği anlaşılır, bilim tarihçileri Bay B’ye defalarca teşekkür ederler.

Arşimet, kitabın son sayfalarında Antik çağda Stomachion olarak adlandırılan bir oyunla uğraşmıştır. Klasik metinlerde geçen bu Yunanca kelimenin hem bu oyunu hem de karın ağrısını ifade etmek üzere kullanıldığı belirtilmektedir. Oyun adını karın ağrısına neden olacak kadar zor olmasından almıştır. Oyunun amacı 14 ayrı parçanın bir kare oluşturacak şekilde bir araya getirilmesidir. Aşağıda bu 14 parçadan oluşan bir kare görülmektedir.

Bu oyunun bir yapboz olarak ele alınmasının ötesinde her matematikseverin hemen aklına gelecek bir soru vardır:  Bu parçaların tümünü kullanarak kaç farklı şekilde kare elde edilebilir?  Bu yapbozun başka bir versiyonu aşağıdaki şekilde görülmektedir.

Bu 14 parça kullanılarak yukarıdaki gibi kaç farklı şekilde kare oluşturulabilir? Matematiğin kombinatorik alanında karşılığı olan bu soruyu yanıtlamak hiç de kolay değil. Ne yazık ki el yazmalarının son üç yaprağı yüzyıllar önce koparıldığından Arşimet’in bu soruyu nasıl yanıtladığını bilemiyoruz. Çünkü Stomachion’la ilgili sadece bir yaprak kalmış. El yazmalarının tamamen gün ışığına çıkarıldığı 2003 yılına kadar Arşimet’in bu oyunu sadece bir yapboz olarak ele aldığı düşünülmüştür. Oysa ki Reviel Netz tam olarak okunamayan elindeki o tek yapraktaki bazı ifadelere bakarak, bir oyun olarak ilgilenmenin ötesinde Arşimet’in Stomachion’a matematiksel bir yaklaşım getirmiş olabileceğini düşünmektedir.

Netz, Stanford Üniversitesi Matematik Bölümü’ndeki meslektaşı Persi Diaconis’e ve matematikçi arkadaşlarına problemin çözümünü sorar: Stomachion karesini yerleştirmenin kaç yolu var? Günümüz matematik dünyasının önemli kombinatorikçilerinden olan Diaconis problemi öğrencileriyle de paylaşır, ama bir haftadan fazla bir süre geçmesine karşın matematikçilerden herhangi bir yanıt gelmez. Şöyle bir düşünenler vardır: Eğer günümüz matematikçileri bu problemi anında çözemiyorsa Arşimet çözmüş olamaz. Ama bu sonuca ulaşanlar, Arşimet’in binlerce yıl sonrasına ışık tutan çalışmalarını ve dehasını hesaba katmadıklarından yanılmış olabilirlerdi. Nitekim Netz, aylarca süren uğraş sonunda elindeki metni ileri görüntüleme teknikleriyle okunur hale getirdiğinde Arşimet’in Stomachion’u bir matematiksel oyun olarak çözümlemiş olabileceği sonucuna ulaşmıştır.

Problemle uğraşmayı sürdüren Diaconis, çözüm uğraşına ünlü kombinatorik çiftini, UC San Diego’dan Ron Graham ve Fun Chungand’ı da dahil eder. Bu arada akademik çevrelerde oldukça yaygınlaşan problemi bilgisayar uzmanı Bill Cutler bilgisayar algoritmaları yardımıyla çözer (!). Cutler 536 temel çözüm üretmiştir. Daha sonra her bir çözüm için 32 döndürme yapılarak 536 x 32 =17.152 sonucu elde edilir. Bu çözümden kısa bir süre sonra Ron Graham ve Fan Chungand problemin matematiksel çözümünü yaptıklarını duyururlar, sonuç 17.152’dir.

2300 yıl önce bir dâhinin uğraştığını bildiğimiz ama çözüme ulaşıp ulaşmadığından emin olamadığımız bu problem günümüz matematikçileri tarafından çözülmüştür. Müzayedede ortaya çıkan el yazmasıyla Arşimet adeta kendisinin binlerce yıl önce kombinatorik hesaplarını yapabildiği mesajını göndermiştir. Antikçağda bir kombinatorik problemiyle uğraşan ilk kişinin Hipparchus olduğu sanılırken, William Noel ve Reviel Netz, bu alanda çalışan ilk matematikçinin Arşimet olduğunu göstermiştir.

Arşimet’in parşömene kamış kalem kullanarak yazdığı çözümü Graham ve Chungand kâğıt, kalemle yapmıştır. Bilimlerin en hızlı gelişeni ve aynı zamanda binlerce yıllık kuramları koruyan tek bilim dalıdır matematik. Parşömen kâğıda dönüşüyor, ama zamanın fırtınası günümüz matematikçilerinin bir problemde Arşimet’le buluşmasını engelleyemiyor.

Stomachion’un çözüm yöntemi

Birbirinden farklı Stomachion kareleri elde etmenin en kolay yolu döndürme ve parçaların yerlerinin değiştirilmesidir. Graham ve Chungand, bazı parçaların “birbirlerine yapıştırılmış” gibi hareket ettiklerini gözlemleyip, bu parçaların hiç bir yer değiştirme ya da döndürme işlemiyle birbirlerinden ayrılmayacağının geometrik kanıtını yaparlar. Aşağıdaki şekilde birbirlerinden ayrılamayacak olan parçalar içlerine nokta koyularak gösterilmiştir. Böylece önemli bir sadeleşme elde ederek, şekli 14 parça değil, 11 parça olarak düzenleyebilir.

Graham ve Chungand, dahice bir hesaplamayla içinde sadece döndürme veya sadece simetriyi kullanarak 268 temel çözümü içeren bir liste hazırlarlar. Daha sonra bu temel çözümlerin her birine farklı döndürmeler ve simetriler uygulayarak 64 çözüm üretilir. Böylece tüm çözümlerin sayısı 268 x 64 =17.152 olur. Bu eşitlikteki  sayısı 4 x 2 x 8 olarak yazılırsa,  çarpanı yukarıdaki şeklin alt yarısının sağ üst köşesindeki üçgenlerin ve üst yarısının sol alt köşesindeki üçgenlerin ikizliğinden gelir.  çarpanı üst yarının sağ köşesindeki üçgenlerle alt yarının sağ alt köşesindeki üçgenin yer değiştirmesinden dolayı belirir.  çarpanı ise simetri ve döndürmelerden elde edilir.

Okurun çözüm hakkında fikir edinebilmesi için verdiğimiz bu kısa bilgilerden daha fazlası ve çözüm için Kaynak 2’ye başvurulabilir. Bu kaynakta, bir çözümden farklı bir çözüme çizgeler kuramının yöntemleriyle geçildiği, ayrıca tüm çözümler arasında Hamilton yoluyla dolaşılabileceği açıklanıyor.

Kaynaklar

1) Netz, R, Noel, W, Arşimet’in Elyazmaları, Çev. Zennur Anbarcıoğlu, Alfa yayıncılık, 2012.

2) http://www.math.ucsd.edu/~fan/stomach/tour/sym.html