Ana sayfa 150. Sayı  Matematiğin cesur ve güzeli

 Matematiğin cesur ve güzeli

276
PAYLAŞ

Zafer Ercan’a

On yedisinde verdiği kararın gerekçesi hayatının sonrası için ipucu gibidir. Çok istemesine karşın fizik okumaktan vazgeçip matematik eğitimi almayı tercih eder. Nedeniyse, Hiroşima ve Nagasaki’ye atılan atom bombalarından sonra ümitsizce, fiziğin tehlikeli olduğunu düşünmesidir. Bu adımı attığında, atom bombası yapımında doğrudan bir katkısı olmayan Albert Einstein’ın “Böyle olacağını bilseydim bir ayakkabı tamircisi olurdum.” sözünü henüz duymamıştır.

Her büyük matematikçi gibi matematiği, kitaplarda yazılanlardan bağımsız kendi başına yaratırcasına keşfederek öğrenir, sadece birkaç kitapla çok çalışır.

Doktorada hocası Laurent Schwartz’ın, J. Dieudonné’la birlikte listeledikleri ve o güne kadar çözülememiş olan on dört problem kendisine verildiğinde, henüz yirmi üç yaşındadır. İki aydan kısa bir sürede problemlerin tümünü çözer. O tarihte hocası Schwartz matematiğin Nobel’i olarak görülen Fields Madalyasına sahip, zirvede olan ünlü bir matematikçidir.

Henüz kariyerinin ilk yıllarındadır, akademik hayata hapsolmuş bir matematikçi olmayacağının ilk işaretini verir… Fransa’nın Cezayir’i işgalini şiddetle protesto ederek, sessiz kalan Schwartz, Chevalley, Samuel, Cartier gibi meslektaşlarına tepki gösterir. Bu konuyu Fransa’yı terk edecek kadar ciddiye alır.

Otuz sekizinde, bu kez Fields Madalyası O’na verilir, ama ödülünü almak için Moskova’daki törene gitmeyip Sovyet militarizmini protesto eder.

Alexander Grothendieck…

Yirminci Yüzyılın ikinci yarısının en büyük matematikçisi olarak kabul edilir. Alışılmadık yaratıcılığı, kendini yüzlerce sayfalık matematik literatürü olarak ortaya koyar. Cebirsel geometri alanında akademik statükonun belirlediği çerçeve ve yöntemleri reddederek devrim niteliğinde çalışmalara imza atar.

Öte yandan “militan bir aktivist”tir. 1960’larda NATO, NASA ve benzeri savunma temelli kuruluşların desteklediği konferanslara katılmayı reddeder. Böylesi durumlarda, Grothendieck’in katılımını sağlayabilmek için, konferansı düzenleyenlerin farklı kuruluşlardan kaynak arayışına gittikleri bilinmektedir.

Otuz dokuzunda kendini vatansız bir dünya vatandaşı ilan eder. 1967’nin Aralık ayında Amerikan bombardımanı altındaki Vietnam’a gider. Bir orman sığınağında Hanoi Üniversitesi matematik bölümünden 30-40 kadar dinleyiciye yaklaşık iki hafta boyunca homolojik cebir üzerine dersler verir.

En yaratıcı olduğu dönem Fransız İleri Bilimsel Araştırmaları Enstitüsü’nde (IHÉS) geçirdiği on iki yıldır. Enstitü, onun karizması ve liderliğiyle yepyeni bir matematik okuluna dönüşür, dünya çapında bir cebirsel geometri merkezi haline gelir.

IHÉS’in gelirlerinin yüzde beşinin Fransız Savunma Bakanlığı tarafından karşılandığını öğrendiğinde enstitü kurucularıyla yaşadığı şiddetli tartışmalar sonunda istifa eder; bir ay sonra, 1970 Haziran’ında Paris Üniversitesi’nde çok çarpıcı bir konuşma yapar. Yüzlerce dinleyicinin önünde nükleer silahların yaygınlığı, silahlanma yarışı, teknolojik gelişmenin insanlık için oluşturduğu tehdit gibi kendisinin çok önem verdiği konuları ele alır. Daha da ileri giderek, teknolojik gelişmelerin bir parçası olmasından dolayı matematiksel araştırmalardan uzak durulması gerektiğinden söz eder. Sonradan bu konferansın içeriği “Günümüz Dünyasında Bilim İnsanlarının Sorumluluğu: Militer Yapılanma ve Bilim İnsanı” başlıklı bir broşür olarak yayımlanır.

IHÉS’ten ayrıldıktan sonra, iyi üniversite ya da enstitülerde iki nedenden dolayı, çalışma olanağı bulamaz. Yetkililer ya onun koşulllarına uygun ortamı sağlayamazlar; ya da “ateşli itibarı” karşısında çekingen kalırlar.

1970’lerin başında Survivre et Vivre isimli savaş ve emperyalizm karşıtı çevreci bir hareket başlatır, fakat bu hareket kitleselleşmeyi başaramaz.

Kendi belirlediği ilkeler doğrultusunda sol ve anarşist bir çizgide mücadele verir. Haksızlıklara, bilimin kirletilmesine başkaldırır. Güç ve iktidara karşı hep savunmasızların yanındadır.

Konforlu yerlerde mutsuz; yoksulların arasında kendini iyi hissettiğini söyler. Evi sokaktakilere, dışlanmışlara daima açıktır. Matematikçi arkadaşı Barry Mazur, Grothendieck’in otobüs durağında karşılaştığı ve kalacak yere ihtiyacı olan bir aileyi evine davet ederek iş kurmalarına yardımcı olduğunu yazmıştır. Mazur, O’nun bir alışveriş merkeziyle karşılaştığında hep “kaçalım buradan” dediğini de belirtir.

1973’te akademik kariyerini ani bir kararla sona erdirerek küçük bir kasabada inzivaya çekilir. Neden böylesi bir karara vardığı, sonrasında yaratıcı ve durmak bilmeyen ruhunun neyle meşgul olduğu gibi sorular hiçbir zaman tam olarak yanıtlanamamıştır.

1980’ler boyunca matematiksel olan ve olmayan binlerce sayfa eser bırakır. Bunların içinde, karşıtlarına yönelik kaleme aldığı felsefi sövgüler, matematik dünyası hakkındaki hoşnutsuzluklarından söz ettiği yazıları, otobiyografik eseri olan Récoltes et Semailles gibi çok farklı alanlara ait metinler vardır. Öte yandan “anabelian geometri” olarak bilinen yeni bir alanın temel çalışmalarını yaptığı La Clef des Songes eseri de bu dönemin ürünüdür. Birçok alanda hiç yayın yapmamasına karşın fikirleri başka matematikçilere ilham kaynağı olur ve böylece yeni teoriler doğar.

1988’de İsveç Akademisi tarafından Crafoord ödülü ile mükâfatlandırılır. Bu ödül, Alfred Nobel’in matematik alanında bir ödül belirlememiş olmasını telafi etmek için düşünülmüştür ve 160.000 Dolar değerindedir. Ödülü reddederek matematik dünyasını şaşkınlığa uğratır. Le Monde’ a gönderdiği mektupta, ödülü reddetme gerekçesini açıklarken, bilimsel ve politik dünyanın kirliliğinden, yozlaşmışlığından ve dürüst olmayışından söz eder.

Altmışlı yaşları boyunca ciddi derecede psikolojik sorunlar yaşar. 1991’de, çalışmalarının yer aldığı binlerce sayfa metni bir arkadaşının evinin bahçesinde yaktıktan sonra, tamamen ortalıktan kaybolur. Arkadaşları, ailesi ve meslektaşlarıyla olan bağlarını koparır, tüm sosyal ilişkilerini sonlandırır.

Sonraki yıllarda hakkında birçok söylenti ortaya çıkar. Bazıları Budist olduğunu, bazıları keçilere çobanlık yaptığını ve radikal ekolojik teorilerle uğraştığını söylerler. Başka bir söylenti ise “özgür iradenin fiziksel yapısı” gibi birçok felsefi konuyu içeren elli ciltlik bir eser üzerine çalıştığıdır.

2010’da öğrencilerinden birine yazdığı mektupta tüm çalışmalarının kütüphanelerden kaldırılmasını ve yeni basımlarının yapılmamasını ister.

2014’te, seksen altı yaşındayken güneybatı Fransa’daki bir hastanede hayata gözlerini yumar.

Atom bombası yüzünden fizik eğitimi almaktan vazgeçecek kadar derin bir duyarlılıkla başlayan, “kötüye ve kötülüklere” meydan okuyarak devam eden bir yolculuk… Bir büyük matematikçi, itiraz ve başkaldırı… Cesur ve güzel…

Kaynaklar

1) W. Scharlau, Notices, V.55, N.8.

2) B. Mazur, Thinking about Grothendieck. www.math.harvard.edu

3)http://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/Alexander-Grothendieck-obituary.html

Geçen sayıdaki problemlerin çözümü

Çapkın yazar. Aşkların mektuplarla ilan edildiği zamanlarda çapkınlığıyla ünlü bir yazar beş sevgilisine göndereceği mektupları gözlerini kapatarak beş ayrı zarfa gelişi güzel koyup, postalamış. Mektupların beşinin de yanlış adreslere gitmesi olasılığı kaçtır?

Çözüm. Mektupları M1, M2, M3, M4, M5 , sevgilileri de S1, S2, S3, S4, S5  ile gösterelim. Mektupların rastgele gönderilmesi halinde 5!=120  farklı durum vardır.

Mektupların beşinin de farklı adreslere gönderildiği durumların sayısı S(5) olsun.  M1’in S2’ye gittiğini varsayalım. Bu durumda M2’nin  S1’e gittiği ve gitmediği iki seçeneği inceleyelim. M2’nin  S1’e gittiği seçenekte mektupların farklı adreslere gittiği durumların sayısı S(3), diğer seçenekte ise istenen durumların sayısı S(4)olur. Böylece  M 1’in S1’e değil  S2’ye gittiğinde diğer mektupların tümünü farklı adreslere gönderen eşlemelerin sayısı
S(3)+S(4) olur. M1’in gideceği  adres olduğuna göre
S(4)=[S(3)+S(4)] olur. Benzer bir akıl yürütmeyle
S(4)=3[S(2)+S(3)], S(2)=1, S(3)=2 olduğu kolaylıkla bulunabilir. Buradan S(4)=9 ve S(5)=44.

İstenen olasılık, 44/120=11/30 olur. (Genel çözüm için A. Törün, Matematiğin (M)izahı’na bakınız.)

Yolcu otobüsü. 40 kişilik bir yolcu otobüsüne sırada bekleyen 40 yolcunun teker teker binmesi ve her yolcunun elindeki bilette yazılı numaralı koltuğa oturması gerekiyor. Ama ilk yolcu elindeki bilete bakmaksızın tamamen rastlantısal bir koltuğa oturuyor. Sonraki yolcularsa biletlerinde yazan koltuğa oturuyorlar, tabii o yer boşsa. Eğer doluysa onlar da boş koltuklar arasında rastgele bir koltuğa oturuyor. Otobüse son binen yolcunun kendi yerine oturma olasılığı kaçtır?

Çözüm. Son yolcunun otobüse binmeden önceki durumu düşünelim. 2’den 39’a kadar numaralı 38 koltuğun tümü dolu olmak zorunda, çünkü bu yerlere ya sahibi ya da başkası tarafından oturulmuş. O halde ya 1 ya da 40 numaralı koltuklar boş. İstenen olasılık 1/2.

Sevgililerin buluşması. İki sevgili telefon görüşmesinde bir pastanede buluşmayı kararlaştırıyorlar. Sevgililerin her biri o pastaneye en az 10, en çok 30 dakikada gidebiliyor. Görüşmenin hemen ardından yola çıkan sevgililerin en çok 20 dakika sonra buluşma olasılığı kaçtır?

Çözüm. Sayı doğrusunda 0’ın sağında 10, 20 ve sayılarını gösterelim. Buluşma, 10 ile 30’uncu dakikalar arasında olacağından sevgililerden birinin bu aralığın içinde bulunma olasılığı 10/20, aynı şekilde diğerinin de bulunma olasılığı 10/20. Böylece istenen olasılık
10/20×10/20=1/4 olur.

Yüzücüler. Denizin ortasında, kıyıya uzaklığı 2 kilometreden fazla olan bir duba var. Dubaya uzaklığı 1 kilometre olan herhangi bir noktaya A yüzücüsü, A’dan 1 kilometre uzakta herhangi bir noktaya da B yüzücüsü bırakılıyor. Hızları eşit olan bu yüzücüler en kısa yoldan dubaya doğru yüzerlerse, B’nin dubaya A ile aynı anda ya da daha önce ulaşma olasılığı kaçtır?

Çözüm. Verilenlere uygun 1 birim yarıçaplı iki eş çember çizilirse kesişim bölgesindeki yayların ölçülerinin 120’şer derece olduğu görülür. İstenen olasılık 120/360 = 1/3.

Hedef tahtası. ABC üçgensel hedef tahtasında AB=4, AC=6 birimdir. Atılan okun tahtaya vurduğu biliniyorsa [AB]’ye göre [AB]’ye daha yakın bir noktaya vurma olasılığı kaçtır?

Çözüm. A açısının açıortayı [BC]’yi N noktasında kessin. Ok, ANC üçgensel bölgesine isabet ederse [AB]’ye göre [AC]’ye daha yakın bir noktaya vurmuş olur. Ve ABC üçgenlerinin alanlarının ölçülerinin oranından istenen olasılık 3/5 olarak bulunur.

Sinema salonu. Koltukların numaralı olduğu bir sinema salonunda 8 sıra ve her sırada 10 koltuk bulunmaktadır. Birbirlerinden habersiz bilet alan iki arkadaşın yan yana oturma olasılığı kaçtır?

Çözüm. İki arkadaşın kenardaki koltuklara ya da kenarlara oturmadıklarını düşünerek hesaplanan iki ayrı olasılığın toplamı sorunun yanıtıdır: 16/80×1/79+64/80×2/79 = 9/395

Anahtarlık. Bir kapıyı, içinde 6 anahtar bulunan bir anahtarlıktan sadece 2 tanesi açmaktadır. Bu kapıyı açmayı deneyen birinin en çok üçüncü denemede kapıyı açma olasılığı kaçtır?

Çözüm. Kapının ilk denemede açılma olasılığı 2/6. İkinci denemeye geçildiyse bir anahtar

elenir ve kapının açılma olasılığı 4/6×2/5=4/15 olur. Benzer yolla kapının üçüncü denemede açılma olasılığı 1/5 olacaktır. Bu üç olasılığın toplamı sorunun yanıtıdır: 4/5.

Üçgen. Birim uzunluktaki (1 metre olabilir) bir ipin iki yerden kesilmesiyle elde edilen parçaların üçgen olma olasılığı kaçtır?

Çözüm. İp üzerinde x ≤ y koşulunu sağlayan rastgele iki nokta alalım ve ipi bu noktalardan keselim. (x, y) noktaları [0,1]x[0,1]  karesinin içinde ve köşegeninin (soldan sağa çizilen) üst tarafında bulunur. Parçaların uzunlukları x, y-x ve 1-y olur. Üçgen eşitsizliği yazılırsa x≤1/2, y≥1/2 ve y≤x+1/2 eşitsizlikleri elde edilir. Bu eşitsizliklerin sağlandığı bölgenin alanın ölçüsünü karenin köşegeninin üstündeki alanın ölçüsüne bölersek istenen olasılık ¼ olur.

Sayı tutma. İki kişi 1’den 80’e kadar (1 ve 80 dahil) doğal sayılar arasından birer sayı tutuyorlar. Birinin tutuğu sayının diğerinin tuttuğu sayının 2 katı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm. Mümkün hallerin sayısı 80×80, uygun hallerin sayısı İstenen olasılık 1/80.

Zar oyunu. A ve B gibi iki oyuncu zar atıyorlar ve ilk 6 atan oyunu kazanıyor. Zarı önce A atıyor, sonra B, daha sonra A ve sonra tekrar B. Oyun bu şekilde ilk 6 gelene kadar devam ediyor. A ve B’nin oyunu kazanma olasılıkları kaçtır?

Çözüm. A’nın oyunu kazanma olasılığı 6p iken B’ninki 5p’dir. Örnek uzayın olasılığı 1 olduğundan 6p + 5p = 1 ve p = 1/11 olur. İstenen olasılıklar 6/11 ve 5/11.

Not: Yukarıdaki soruları yanıtlayan, ödül olarak Matematikçi Portreleri isimli kitabı almaya hak kazanan Mustafa Berke Yelten ve Sevgi Ufaker’i tebrik ediyoruz.