Nedir bu “modern” matematik?

Matematik bir oyun olarak tanımlanabilir. Bu oyunun kuralları esnek olabilir. “Modern matematik” ise tümüyle kurallaşmış (aksiyomatikleşmiş) matematiktir. Matematiğin aksiyomatikleştirilmesinin kabul edilebilir gerekçelerinden biri, “çelişkilerden” kurtulmaktır. Bu yönlü ilk çelişki, 1901 yılında Bertrand Russell tarafından ortaya konan “Russell Paradoksu” olarak bilinir.

20. yüzyılın ortalarında okullarda okutulan matematik ile şu anda okutulan matemati­ğin birbirlerinden çok farklı olduğu sıklıkla gündeme getirilir. Bu konudaki farklılığın anahtar kelimesi “küme”dir. En genel anlamda küme ise bir oyunun oyuncularının genel adıdır. Bu oyuncular yemez, içmez ve gezmezler. Onları evrenin hiçbir yerinde göremezsiniz. O nedenle onları tarif etmek çok güçtür. Onlar sadece ve sadece “zihin” içerisindedirler.⁽¹⁾ “Bu oyuncu­lar hangi oyunun oyuncularıdır?” sorusunun yanıtı ise matematiktir. Oyuncuları zihinlerde olan matematik oyununun ne olduğunu anlatmanın kendine has sorunları olabilecektir. Ama zihni olan herkesin kendine özgü bir biçimde bu oyunu bir şekilde anlayabileceği varsayılma­lıdır. Bu anlama farklılıklar içerebilecektir ki bu da zihinlerin farklı olması nedeniyle son derece doğaldır ve saygı duyulmalıdır. Bu oyun birçok şeye benzetilebilir ya da önem atfedi­lebilir; matematik dildir, sanattır, bilimlerin anasıdır gibi. Ama şuydu, buydu, oydu diyerek süslemeler yapma yerine oyun demek çok daha sade bir tanımlamadır.

Matematik bir oyun olarak tanımlanabilir. Bu oyunun kuralları esnek olabilir. “Modern matematik” ise tümüyle kurallaşmış (aksiyomatikleşmiş) matematiktir. Matematiğin aksiyomatikleştirilmesinin kabul edilebilir gerekçelerinden biri, “çelişkilerden” kurtulmaktır. Bu yönlü ilk çelişki, 1901 yılında Bertrand Russell tarafından ortaya konan “Russell Paradoksu (Russell’s Paradox)” olarak bilinir. Russell, paradoksu Grundgesetze der Arithmetik adlı kitabın ikinci cildini hazırlamakta olan Frege’ye yazdığı mektupla ulaştırdığı ana kadar Frege, aritmetiği bu eserinde sarsılmaz biçimde inşa ettiğini sanıyordu, ama yanılmıştı.⁽²⁾ Russell Paradoksu’na daha sonra detaylı olarak bakacağız. Ancak ne olduğunu anlamak için bir örnek verelim. Bir kasabada şöyle bir berber olsun: Bu berber kendi sakalını tıraş etmeyen herkesin sakalını tıraş etsin. Bu kasabada herkesin sakalı tıraşlı olsun. Berber kendi sakalını tıraş eder mi? Tanım gereği eğer kendisini tıraş etmiyorsa kendisi sakalını tıraş etmeli çünkü berber kendisini tıraş etmeyen herkesin sakalını tıraş ediyor. Ama kendi tıraş oluyorsa bu sefer de kendisini tanım gereği tıraş etmemeli. Her iki durumda da çelişki elde ediyoruz.⁽³⁾

Son yüzyılda matematiği sarsacak bir çelişki henüz ortaya çıkmamıştır. Bu durum çıkma­yacak anlamını taşımasa da, olası çıkabilecek çelişkileri bertaraf edecek kurallar geliştirebil­meyi matematikçiler öğrenmiş durumdalar.

Genel olarak halk modern matematikle ilgilenmez, çok az bir topluluk ilgilenir. Okuyucu kitlesi dikkate alınarak bu yazıda kullanılacak anlatım dili tam biçimsel bir dil olmayacaktır, ama ona yakın olacaktır. Anlatım dilinde doğallık yakalama ve çarpıcı olma amacıyla yaka­lanan ilk fırsatta doğal sayılar, örneğin bir (1), iki (2), üç (3) tanımlanmaya çalışılacaktır.

Bu yazının son bölümüne kadar olan kısmı özellikle bakış muhafazakarlığını bir kenara koyabilen ilgili herkesçe takip edilebilir. Son bölümün anlaşılmasının biraz daha zor olabileceğini ifade edelim.

1) Matematik ne üzerine inşa edilir?

Matematiğin beş temel kavram üzerine inşa edildiğini söyleyebiliriz.

1) Önermeler mantığı.

2) Alfabe.

3) Küme.

4) Eleman.

5) Matematiksel tümce.

Bu yazıda önermeler mantığı konusuna değinmeyeceğiz. Buna ilişkin (K3) yeterli bir kaynaktır. Okurun bu konuda bazı önbilgilerinin olduğunu varsayacağız. Örneğin okurun önermeler mantığında her önermenin bir değer aldığını ve bu değerin sadece ve sadece doğru ya da yanlış olarak adlandırılan değer olması gerektiğini bildiğini varsayacağız. Ayrıca okurun mantıksal indirgeme ve çıkarımlar yönteminin ne olduğunu ve nasıl kullanıldığını bildiğini de varsayıyoruz.

2) Köyü küme yapma denemesi

“Köylü milletin efendisidir.”⁽⁴⁾ denmesinden cesaret alarak şimdi de köyü küme yapmayı deneyeceğiz.

Bir köylüye “bildiğin bir köy var mı?” diye sorsanız alacağınız yanıt kendi şivesiyle muhte­melen “hee ya, mesela bizim köy” biçiminde olacaktır. “Peki, kendiniz de bir köy müsünüz?” diye sormak kimsenin aklına gelmeyecektir ve gelse de densiz bir soru, hatta “ayıp” olabile­cektir. Ama ilerleyen zamanda ve oluşacak samimiyetle bu kez köylü, size “o zaman siz de bir köy müsünüz?” sorusunu sorabilme kıvamı oluşabilecektir. Bir kıvam oluştuktan sonra kim durdurabilir ki bizleri?

“Bir köy kendi kendinin köylüsü olabilir mi?” sorusu da ancak “köyün delisine” sorulabilir. Bedeli “deli” ilan edilmek olsa da devam edelim ve aşağıdaki soruları soralım:

– İki tane köyün her birinden sadece ve sadece bir kişi seçerek ve köylüleri sadece ve sadece bu seçilmişlerden oluşan yeni bir köy oluşturulabilir mi?

– Yüz tane köyün her birinden sadece ve sadece bir kişi seçerek ve köylüleri sadece ve sadece bu seçilmişlerden oluşan yeni bir köy oluşturulabilir mi?

– I bir bölgenin köylerinin isim listesi olsun. Bu listeye ait bir isim i ise i  Î I yazalım. x isimli kişinin i köyünde yaşıyor olmasını da x Î i olarak gösterelim. Bu köylerin her birinden sadece ve sadece bir kişi seçerek ve seçilen bu kişilerden oluşan yeni bir köy oluşturulabilir mi?

Bu sorular bir köylüye sorulduğunda büyük bir olasılıkla birinci soruya verilen yanıt “olmaz kardeş, çünkü bu durumda oluşacak köy sadece iki kişiden oluşur ki, iki kişilik de köy olmaz” olur. İkinci soruya verilecek yanıt “kardeş olur olmasına da seçilecek kişilerin hepsi bebek ya da çocuklardan oluşursa olmaz. Ya da seçilen kişilerin her biri erkek ya da her biri kadın olursa da olmaz, bunlara dikkat etmek lazım” olur. Üçüncü soruyu sıradan bir köylüye sormak saygısızlık olur. Ne o öyle isimler listesi I olsun, i Î I ya da x Î i simgeleri falan?⁽⁵⁾ Ancak birinci ve ikinci soruyu takip ederek köyün en delisine aşağıdaki sorulabilir:

– Yüz tane köyün her birinin en delisi (var ve tek bir tane olsun) seçilerek yeni bir köy oluşturulabilir mi?⁽⁶⁾

Yukarıdaki soruları sorma ve yanıtı alma süreçleri içerisinde olası oluşturulan yeni köyün insanlarının daha önce seçilip geldikleri köyün de vatandaşı olmaya devam edecekleri, yani çifte vatandaşlık konusu gündeme gelmeye başlayacaktır. Bizim insanları kültürlerinden koparıp asimile etme amacımız olmadığından çifte vatandaş olmalarını engellemeyeceğiz.

Bu tür sorular sorulmaya başlayınca sorulara doğru yanıt verebilmek için yeni sorular sorulmaya başlanacaktır: Köy ne demek? Köyün vatandaşı olmak ne demek? Yeni köy ne demek? Köyün en delisinin olması ne demek?⁽⁷⁾

Köyler sadece insanların değildir ki. Köy, köyde yaşayan herkesin köyüdür; insanların, köpeklerin, sivrisineklerin, orada yaşayan kiraz ağacının vs. Ayrıca köyün köpekleri üzerinde de bir sürü canlı yaşar (örneğin bit, pire vs.), köpek de üzerinde yaşayan canlıların, beğenin ya da beğenmeyin, bir nevi köyüdür. O halde “köy, köylerden oluşur” demek biraz tuhaf olsa da matematiksel gerçeklere uygundur. Ayrıca bir şeyin köy olabilmesi için, o şeyin bir köyde yaşıyor olması gerekir gibi durumlar oluşmaktadır. Adı a olan bir köyün bir köylüsünün adı b olsun. Ayrıca c de, b’nin bir köylüsü olmak üzere, c’nin, a’nın bir köylüsü olması gerekmediğini söyleyelim.

Yukarıda verilen anlatımlardan şunları özetleyebiliriz:

– En az bir köy vardır.

– Köy, köylülerden oluşur.

– Her köylü bir köydür.

– Hiçbir köy kendisinin köylüsü olamaz.

– Her köy bir adla işaretlendirilebilir.

Bir köyün adı a, b de bu köyün bir köylüsü ise b Î a yazalım. b, a’nın bir köylüsü değilse b  Ï a yazalım. Bu durumda a Î a olacak biçimde a adlı bir köy yoktur.⁽⁸⁾ Yapılan gözlemler sonucunda yukarıdaki liste verilmiş olsa da, liste okuyucuya tuhaf gelebilir. Bu tuhaflık isim değişikliğiyle bir nebze de olsa giderilebilir. Örneğin, bu listede köy yerine küme, köylü yerine eleman yazarak elde edeceğimiz aşağıdaki liste saçma gelmeyeceği gibi, bu listelemeyi yapanlar “biliminsanı” olarak görülebilecektir.

– En az bir küme vardır.

– Küme, elemanlardan oluşur.

– Her eleman bir kümedir.

– Hiçbir küme kendisinin elemanı olamaz.

– Her küme bir simgeyle gösterilebilir.

Dikkat edilirse bu listedekiler yukarıda sorulara hiç değinmiyor ama soruları unutmuş değiliz. Son listelemeyle köylülükten biraz daha uzaklaştık. Metaforlardan daha da uzaklaşmalıyız.

3) Küme var mıdır?

“Benim adım Hıdır, elimden gelen budur” diyerek köyü küme yapmayı denedik. Peki ama küme var mı? Küme bir yana dursun, daire kavramı, kare kavramı, üçgen hatta sayılar var mıdır? Mesela “Yarıçapı bir birim olan çember var mıdır?” sorusuna karşılık verilen yanıt “vardır” olsun. Bu yanıta karşılık “Var olduğunu kanıtla!” denildiğinde nasıl kanıt verilebilir? Bilgisayarda bir çember çizip “İşte kanıt, bak bu çember” gibi bir kanıt olabilir mi? Olamaz. Peki neden? Çünkü çizilen bu çember kusursuz bir çember değildir. Çok dikkatli baktığımızda mutlaka ekranda bu cismin tırtıklı olduğunu görürüz. Bu bir kanıt olamaz. Çünkü evrende çember yoktur. Bahsedilen çemberi sadece hayal ediyoruz.

Çember vardır diye kabul ettik ama hangi çemberi kastediyoruz? Somut çember mi yoksa soyut çember mi? Şimdi bu soyut ve somut şeyler arasındaki farkı iyi anlamak adına genel ve tikel varlıklardan kısaca söz edelim. Çevremizde fiziksel ‘çemberin’ olduğu bariz. Bunu görüyoruz, tahtaya çiziyoruz, etrafımızda çembere benzeyen cisimler var, yüzük gibi, halka şeklinde cisimler gibi. Bunlar tikel cisimlerdir. Hepsi birbirinden farklıdır. Bu fiziksel cisim­lerin bir büyüklüğü var, rengi var, kalınlığı var vs. Ancak bütün bu cisimlere çember olma niteliği kazandıran ortak bir özellik de olmalı. Olmalı diyoruz çünkü insan zihni bu ortak özelliği hayal edebiliyor. Hem de bütün insanlar. Nedir bu ortak özellik? Bir merkez nokta­dan eşit uzaklıktaki noktalar topluğu özelliği. Tabii ki fiziksel çember bu ölçüye mutlak olarak uyacak diye bir kanun yok. Fiziksel evrendeki çembere benzeyen tikeller olsa olsa ‘çembervari’dir. Hiçbiri mükemmel bir çember değildir. Fiziksel çemberler var dedik. Bir de bütün fiziksel çemberin ortak olarak kendinde bulundurduğu ve her sıfattan arındırılmış bir çember kavramı yani genel bir çember fikri yani söz ettiğimiz bu ortak özellik vardır. Daha doğrusu var olduğuna inanılır. İşte dananın kuyruğu burada kopuyor. Bazı düşünürler demiş ki genel kavramlar yoktur. Bazıları vardır ama insan zihninin içindedir demiş. Bazıları ise mutlaka bizden bağımsız olarak vardır demiş. Soyut kavramların varlığı meselesi Antik Yunan’dan beri tartışılmaya devam ediliyor. Soyutların varlığı hakkında farklı felsefi pozisyonlar vardır. Bunlar realizm, idealizm, nominalizm olarak üçe ayrılır. Şimdi bunları açıklayalım.

Realizm: Çember ve diğer bütün soyut özellikler (yani ‘genel’ler) bizim dışımızda mut­lak olarak bir platonik evrende vardır. Biz olmasak da bunlar ezeli ve ebedi olarak vardır. Yoklukları düşünülemez. Varlıkları zorunludur. Kadimdir. Kainattaki cisimler ise sonradan meydana gelmiştir. Fiziksel olan tikeller, genellerin farklı sıfatlara sahip birer kopyalarıdır.

İdealizm: Çember bizim zihnimize bağlı olarak vardır. Çember kavramını biz yarattık. Evet matematiksel cisimler vardır, bunlar soyuttur. Ancak bütün bir matematik insan zihni­nin ürünüdür. Zihin yoksa soyut kavramlar da yoktur matematik de yoktur.

Nominalizm: Çember kavramı yoktur. Zihnimizde bile değildir. Hakikat somut evrendeki tikellerden ibarettir. Bu durumda matematik ortak bir dil olmaktan çıkar, senin matematiğin benim matematiğim onun matematiği haline gelir. Bu felsefe solipsist (ben-merkezci) matematiğe açık kapı bırakır. Ortak noktada buluşmak, ortak fikir elde etmek mümkün olmaktan çıkar.

Peki köyün adını küme olarak değiştirdiğimizde küme var olmuş olacak mı? Olabilir ama biz kümeyi fiziksel bir obje olarak ele almak istemiyoruz. Zihnimizde olsun istiyoruz. O halde zihnimizde de bir küme yaratalım ve onunla oyunlar kuralım.

Sık sık büyüklerimizden duyarız: “Bizim zamanımızın matematiği çok farklıydı. Şimdi kümeler falan var.” Evet, doğrudur. Yüz yıl öncesinin matematiği ile şimdiki matematik farklıdır. Bu farklılık, matematiğin objelerinin zihinde kavranmasından dolayıdır.

4) Matematiksel tümceler

Okur, şu ana kadar anlatılanları “su gibi okumuştur”. Bundan sonrakilerin su gibi okunabil­mesi alışkanlıklardan uzak kalabilmeyle doğru orantılı olabilir.⁽⁹⁾

Alfabesi değişkenler, eleman olma (Î) ve mantığın alfabesi olan topluluğa matematikçe alfabesi denir.⁽¹⁰⁾ Değişkenler x, y, z ve benzeri sembollerle gösterileceği gibi, i’ler sonlu tane “|” simgenin yan yana dizilmiş durumu olmak üzere v_i’ler ile de gösterilebilir. Yani, v_i’ler v|,v||,…,v|…|’lardan birini gösterebilir⁽¹¹⁾. O halde matematikçe alfabesi

{|,v,E,=,­,V,A,—>•, O, V, 3}

ile gösterilebilir.⁽¹²⁾ Dikkat edilirse matematikçinin alfabesi mantığın alfabesine değişkenler, eleman olma, eşitlik harfinin eklenmesiyle oluşuyor.

Matematiksel tümce belli bir kurala göre alfabeden sembollerin art arda yazılmış sonlu bir dizisidir. Kısalık açısından tümce denildiğinde matematiksel tümce anlaşılacaktır. Tümceler atomik tümcelerden oluşur.

– Her değişken sembolü birer atomik tümcedir.

– (eşitlik tümcesi) ϕ ve ψ iki atomik tümceyse ϕ = ψ bir tümcedir.

– (eleman olma tümcesi ) ϕ ve ψ iki atomik tümceyse ϕ E ψ bir tümcedir.

Her atomik tümce birer tümcedir. İkinci atomik tümce “ϕ eşittir ψ” diye, üçüncü atomik tümce “ϕ, ψ’nin elemanıdır” diye okunur.

Şu ana kadar elimizde üç çeşit tümce var. Ayrıca,

– ϕ bir tümceyse ­ϕ bir tümcedir.

– Φ ve ϕ iki tümceyse

(Φ) V (ϕ), (Φ) A (ϕ), (Φ) —> (ϕ) ve (Φ) O (ϕ)

ifadelerinin her biri birer tümcedir.

– ϕ(xı,… ,xi) şeklinde yazılan tümceye formül denir. Burada ϕ’nin doğruluk değeri x değişkenlerine göre değişir. Örneğin ϕ(x), “x asal bir sayıdır” anlamına gelsin. O halde ϕ(5) doğrudur, ancak ϕ(6) yanlıştır. Değişken içermeyen tümcelere önerme denir. Eğer ϕ(x) verilmişse 3x ϕ(x) matematiksel tümcedir. Benzer şekilde V için de aynıdır.⁽¹³⁾

Okur tümcelerin kurulumu esnasında alfabede olmayan (imla işaretleri, (,) gibi) sembol­lerin kullanıldığının farkındadır. Bundan amaç belirli gruplamalar yaparak tümcenin daha iyi anlaşılması içindir. Örneğin a, b, c birer matematiksel tümce olmak üzere (a —> b) o c tümcesini a —>• b O c olarak yazmak okuma karmaşası yaratacaktır.

x ve y iki değişken olmak üzere ­(x = y) tümcesi x = y ile gösterilir. Benzer biçimde ­(xEy) tümcesi x $. y ile gösterilir.

Alıştırma 4.1. ϕ bir tümce ve x bir değişken ise ­3x ϕ(x)’in bir matematiksel tümce olduğunu gösterin. Bu tümce \/x ­ϕ(x) ile gösterilir.

5) Russell Paradoksu

Aritmetik, sayılar ve üzerinde tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerini konu alan matema­tiğin bir dalıdır. Başlangıç noktası doğal sayılar ve onun üzerinde tanımlı toplama ve çarpma işlemleridir.

Aritmetiğin sarsılmaz bir mantıksal temel üzerine inşa edilmesi konusunda sistemli ilk çalışmalardan biri Frege’nin Aritmetiğin Temelleri I (1893) ve Aritmetiğin Temelleri II (1903) isimli eserleridir. Ancak 1902’de Russell, Frege’ye 16 Haziran 1902 tarihli bir mektupla kitabın birinci cildinde aritmetiğin sağlam temele dayanmadığını, bugün Russell Paradoksu olarak bilinen paradoksla açıklıyordu. Bu paradoks Frege tarafından da kabul ediliyor ve Frege, eserinin ikinci cildinde paradoksla ilgili şunu yazıyordu: “Bir biliminsanı için, yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez. Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bay Bertrand Russell’dan aldığım bir mektup beni bu duruma soktu.” Russell Paradoksu tamı tamına aşağıdaki gibidir.

Russell Paradoksu: Frege, eserinin birinci cildinde her özelliği sağlayan şeylerin bir küme olduğunu görebiliyordu. “Kendini içermeme” özelliğini ele alalım. Dolayısıyla R, kendi kendini içermeyen kümeler olsun, yani,

R = {x : x ^ x}

olsun. R’nin bir küme olamayacağını gösterelim. R bu kümenin elemanıysa, yani R G R ise, tanım gereği R ^ R olacaktır. R, R’nin bir elemanı değilse, yani R ^ R ise tanım gereği R G R olacaktır. Bu bir çelişkidir. O halde R gibi bir küme yoktur. Frege’nin eserinin birinci cildi böyle bir çelişkiyi ürettiğinden, eserin tanımladığı aritmetiğin temeli sağlam olamazdı. Ortaya çıkan bu durum matematiğin çelişkisiz bir şekilde tanımlanabilmesi için daha çok çaba sarf edilmesi gerektiğini ortaya koymuştur. Bu serüven sonunda nur topu gibi bir sistem doğmuştur.⁽¹⁴⁾

6) Matematiksel sistem

Tümceler topluluğuna matematiksel sistem denir.⁽¹⁵⁾ Bir matematiksel sistem tek bir tümce­den oluşabileceği gibi sonsuz tane tümceden de oluşabilir. Bir matematiksel sistemi oluşturan indirgenemez tümcelerin her birine aksiyom (belit) denir. Örneğin ϕ ve ψ iki tümce olmak üzere

a) {ϕ = ψ} bir matematiksel sistemdir.

b) {ϕ = ψ} kümesi de bir matematiksel sistem oluşturur.

c) {ϕ = ψ,ϕ = ψ, ­φ —> ψ} kümesi de bir matematiksel sistemdir.

Örnekler çoğaltılabilir. Bir tümce sonlu adımda sistemin aksiyomlarından mantıksal indirgemelerden elde ediliyorsa o tümceye sistem tarafından üretilen tümce denir. Bir matematikçi üretilen tümceleri tabii ki daha sonra aksiyom olarak sisteme ekleyebilir. Ancak indirgenebilen bilgiyi aksiyom olarak kabul etmek indirgenemez bilgilere haksızlık etmek olur. İndirgenemez bilgiye aksiyom adını veriyorsak indirgenebilir doğru bilgiye teorem diyebiliriz. Sonuçta modern matematik dediğimiz şey ortaya attığımız savların neden doğru veya neden yanlış olduğunu aksiyomlara indirgeyerek bulma sanatı değil midir?

Bir matematiksel sistemden bir tümcenin hem kendisi hem de değili elde ediliyorsa o sisteme tutarsız sistem denir. Aksi halde sisteme tutarlı sistem denir. Örneğin yukarıda (a) ve (b) örneklerindeki sistemler tutarlı fakat (c) sistemi tutarsızdır. Çelişkili sistemler ilgi alanımız olmayacak. Ancak ilgilendiğimiz tarzdaki sistemlerin tutarlı olduğunun sistem tarafından bilinmesinin imkânsız olduğu bilinmelidir. Şunu da unutmamalıyız ki bu noksan­lık sadece yeterince aritmetiği ifade edebilen sistemler içindir. Örneğin biri dese ki “Bütün hakimler adaletli olmakla yükümlüdür”, bu demek değildir ki hırsızlar adaletli olmak zorunda olsun. Adil sıfatına sahip olması gerekenler özellikle hâkimlerdir. Her sistem yeterince aritme­tiği ifade edemeyebilir. Böyle sistemlerde çok fazla matematik yapılamaz. Yeterince aritmetiği ifade edemeyen sistemler, zengin özelliklere sahip değildir. Ancak insanlarda zenginlik nasıl ki başa bela olabiliyorsa biçimsel sistemlerde de böyle oluyor.

Her tümceyi bir mantıksal önerme olarak göreceğiz. Mantıkta her önermenin doğru ya da yanlış olarak nitelenen bir değeri var olduğundan, tümcenin de doğru ya da yanlış değeri olacaktır. Tümce değerini bir sistem içerisinde alacaktır. Tümceler farklı sistemlerde farklı değerler alabilir. Örneğin, “her iki eleman arasında bir eleman vardır” anlamına gelebilecek

\/x\/y3z[x < z < y]

önermesi reel sayılar evreni için doğruyken tamsayılar için yanlıştır. Bir sistemi var eden her aksiyom o sistemde doğru kabul edilecektir. Yani sistemin aksiyomları o sistem içerisinde doğrudur.

Bir sistemde bir tümce için aşağıdakilerden en az biri söylenebilir.

1) Karar verilebilirdir. Yani doğruluğu/yanlışlığı sonlu adımda mantıksal indirgemelerle gösterilebilir. Bu tür doğru olan tümcelere teorem denir.⁽¹⁶⁾

2) Karar verilemezdir. Yani sistem içerisinde ne kendisinin ne de değilinin doğruluğu kanıtlanamaz. Bu aynı zamanda o tümcenin sistemin aksiyomlarından bağımsız olduğu anlamına gelir.

3) Yarı karar verilebilirdir. Tümce doğruysa kanıtlanabilir. Ancak yanlışsa yanlışlığı kanıtlanamayabilir.

Yukarıda belirtilen birinci ihtimalin ne demek olduğu açık. İkincisi için, bir ülkenin yargı sisteminde bir cinayeti işleyen kişinin cinayeti işlemiş olduğunun kanıtlanabilmesi için en az bir şahidin olması gerektiğini varsayalım. Ülkenin bir adasında a kişisi b kişisini öldürmüş fakat hiç kimsenin (a dışında) bu olayı görmediğini varsayalım. Bu sisteme göre a kişisinin katil olduğu doğru olsa bile kanıtlanamaz.

Tatmin olmak için ikinci ihtimalle ilgili daha matematiksel bir örnek verelim: ϕ tümcesi verilsin. Aksiyomu ϕ = ϕ olan bir sistemde φ ve ψ için

φ = ψ

veya

φ = ψ

tümcelerinin doğrulukları kanıtlanamaz. Dolayısıyla bu sistemde φ = ψ tümcesi veya tümce­nin değili hakkında karar verilemez. Ancak

(φ = ψ) ∨ (φ = ψ )

önermesi mantıksal bir zorunluluktur. Bu önermeyi her sistem kanıtlar.

Üçüncü durum için şöyle bir örnek verebiliriz: Yaşadığımız fiziksel evrenin sonsuz bü­yüklükte olduğunu ve hiçbir zaman yok olmayacağını varsayalım. Bu sonsuz fiziksel uzay boşluğunda bir cisim aramak maksadıyla uzaya bir uydu yollayalım. Bu uydu o kadar sağlam olsun ki hiçbir zaman bozulmasın, evrenin her yerini dolaşabilsin, evrenle birlikte var olsun. Eğer bu cisim gerçekten evrenin bir yerinde varsa, uydumuz belki 1 yıl sonra, belki 1000 yıl, belki 1 milyon yıl ya da 10 trilyon ışık yılı sonra bu cismi bulacak ve dünyaya “cisim vardır” mesajı yollayacak. Belki milyarlarca ışık yılı alacak çok uzun ve önemli bir göreve benziyor bu. Eğer cisim varsa sonlu bir süre geçtikten sonra bulması gerek. Eğer cisim yoksa uydunun bir yerde durup “cisim yoktur” mesajını vermesi mümkün değildir! Çünkü evren sonsuzdur ve daha uydunun bakmadığı sonsuz bir boşluk vardır. Cisim varsa bulunabilir, ancak yoksa yokluğu kanıtlanamaz. Bu örnek yarı karar verilebilir bir durumdur. Mantık literatüründeki karar verilemezlik meselelerinde çok büyük rol oynar.

Peki şimdi bir soru soralım: Evrenin ya­pısı hakkında bir bilgimiz olsaydı durum değişecek miydi? Evet! Aynı problemi doğal sayılar kümesiyle ilgili bir soruya çevirebiliriz. Doğal sayıların rasgele bir sonsuz altkümesi sırasız şekilde verilsin. Bu kümeye A diyelim. Yani A kümesi doğal sayıların sonsuz bir altkümesi ve herhangi bir sıraya veya düzene sahip değil. Bu küme içinde bir n sayısı aramak istiyoruz. A kümesinin elemanlarına teker teker bakmamız gerekiyor. Başka şansımız yok. Kümenin ele­manları sırasız. Eğer n sayısı A’nın içindeyse mutlaka bir yerde buluruz. Eğer yoksa sonsuza kadar bakmaya devam etmemiz gerekiyor. Bu durumda bir anda durup “n sayısı A’nın içinde yoktur” deme şansımız yok. Çünkü ne kadar bakarsak bakalım henüz bakmadığımız sonsuz tane eleman vardır. Şimdi bu kümeyi değiştirelim. A kümesi sıralı bir küme olsun. Örneğin sürekli artan bir küme. Mesela

{4,19, 57,178, 5701,…}

gibi bir küme. Şimdi bir n sayısının bu kümenin içinde olup olmadığını bulmak artık karar verilebilir bir problem haline geliyor. Neden mi? Çünkü kümemiz artık düzenli. Örneğin eğer 60 sayısının verdiğimiz kümede olup olmadığına karar vermek istiyorsak kümeye bakarız, 178’e kadar yoksa zaten geri kalan elemanlarda da mevcut değildir. O halde karar verilebilirlik aslında matematiksel yapının düzeniyle ilgilidir. Düzensizlik ve karar verilebilirlik birbiriyle ilişkilidir.

7) Özellik nedir?

Genel olarak matematik kitaplarında bir kümenin belirli özellikleri sağlayan elemanlarca belirlendiği yazar. Ama burada geçen “özellik” kelimesinin tanımı pek verilmez. Burada özelliğin tarifini vereceğiz.

Bir tümcede V veya 3 niceleme sembollerinin kapsamında yer almayan değişkene serbest değişken ve diğer değişkenlere sınırlandırılmış değişken denir. Örneğin, ϕ(x) bir formül olmak üzere \/x ϕ(x) tümcesinde x sınırlandırılmış değişkendir. Yani ϕ’deki x değişkeni V nicelemesinin kapsamındadır. Dahası

[tfx(ϕ(x) —> ϕ(y))] A 3y(ϕ(x) = ϕ(y))

formülünde birinci ϕ’nin içindeki x sınırlı, üçüncü ϕ’nin içindeki x ise serbesttir. Benzer şekilde ikinci ϕ’nin içindeki y serbest, dördüncü ϕ’nin içindeki y sınırlıdır. Buna karşın a ve x değişkenleri için ϕ yerine x G a alınırsa, yani \/x(x G a) tümcesinde a serbest değişkendir. Bir tümcede serbest değişken olmayabilir. Örneğin

\/x3y(x = y)

tümcesinde serbest değişken yoktur. Benzer biçimde x=y tümcesinde sınırlandırılmış de­ğişken yoktur.

En az bir serbest değişken bulunduran tümceye özellik⁽¹⁷⁾ denir. ϕ, tümcesinde a bir serbest değişken ise, ϕ’de a yerine, tümcede b ile gösterilen değişken yoksa, b yazarak elde edilen tümceyi ϕ(b) ile göstereceğiz. Örneğin, \/x(x = a) tümcesini ϕ ile gösterelim. ϕ(b), \/x(x = b) tümcesini gösterecektir.

Alıştırma 7.1. Bir tümcede 3 kapsamına girmeyen en az bir değişken bulunduran tümcenin özellik olduğunu gösterin.

Bundan sonra verilen tümcelerde yer alan değişkenlere eleman denir. Her eleman bir küme olacaktır.

8) Bizim de bir kümemiz olsun

Kentlerde yüksek katlı binalar dikiliyor, çok uzun köprüler, saraylar, yollar yapılıyor. Bizler de öyle bir küme yapabiliriz ki hem boş hem de her şeyi doldurabilecek yetenekte olabilir.

Sıfır sayısını kullanan çok ama ne olduğunu bilen azdır. Bu paradoksal bir durum değildir. Aynen çocuk doğuracak annenin çocuğun cinsiyetinin ne olduğunu bilemeyeceği gibi.

Aşağıdaki girişimlerden sonra sıfırın ne olduğunu söyleyebiliriz. Elbette sıfır farklı bi­çimlerde de tanımlanabilir. Bunun için elimizde bari en az bir küme olsun. Başımıza bela olmaması için bu kümenin hiç elemanı olmasın. Merak etmeyin daha sonra bu kümelerle içleri dolu dolu kümeler yaratacağız.

Boşküme Aksiyomu. Hiç elemanı olmayan bir küme vardır. Yani öyle bir x kümesi vardır ki, verilen her a kümesi için a ^ x olur. Biçimsel dilde bu aksiyom

3x\/a(a ^ x)

olarak yazılır.⁽¹⁸⁾

Aksiyomda geçen “vardır” derken kastettiğimiz, zihnimizde inşa etmiş olduğumuz, fiziksel olarak anlam­sız olan bir şeydir.

Alıştırma 8.1. Aksiyomu sadece boşküme aksiyomu olan sistemde elemanı olan kümeyi ifade eden tümce, yani

3x3y(x E y)

tümcesi hakkında karar verilemeyeceğini gösterin.

Birbirlerinden “farklı” kümelerin varlığını anlamak için eşitlik tanımına ihtiyacımız olacak. Önce altküme tanımını verelim.

Tanım 8.2. x ve y iki küme olsun. x’in her elemanı aynı zamanda y’nin elemanı oluyorsa x, y’nin altkümesi denir ve bu durum x C y ile gösterilir.

Hiç elemanı olmayan bir küme her kümenin altkümesi olur. Her x kümesi için x C x olduğu da açıktır.

Eşitlik Aksiyomu. Elemanları aynı olan iki küme eştir. x ve y kümelerinin eşit olması x = y ile gösterilir. Bu aksiyom

\/x\/y[\/z(z E x -^ z E y) —> x = y]

olarak yazılır.

x ve y kümeleri için x = y olması için gerekli ve yeterli koşulun, x C y ve y C x olması gerektiği kolaylıkla gösterilebilir. Ayrıca x = y olduğunda y = x olduğu da açıktır. x = y’nin değili ­(x = y) olur ve x = y ile gösterilir.

Aşağıdaki teorem⁽¹⁹⁾ kolaylıkla kanıtlanabilir.

Teorem 8.3. Hiç elemanı olmayan iki küme birbirine eşittir.

Teorem 8.4. Her x kümesi için x = x olur.

İki küme arasında tanımlanan eşitlik kavramını kullanılarak boşkümeyi tanımlayabiliriz.

Tanım 8.5. Hiç elemanı olmayan kümeye boşküme denir. Boşküme 0 ile gösterilir.

Tanım 8.6. Küme kuramındaki boşkümeye sayı dilinde sıfır denir ve 0 ile gösterilir.⁽²⁰⁾

Alıştırma 8.7. Boşküme Aksiyomu ve eşitlik aksiyomu kullanılarak boşkümeye eşit olmayan bir kümenin varlığı kanıtlanabilir mi?

Alıştırma 8.8. Boşküme Aksiyomu ve eşitlik aksiyomu kullanılarak her kümenin boşkümeye eşit olduğu, yani \/x(x = 0) tümcesi kanıtlanabilir mi?

9) En az bir elemanlı küme var mıdır?

Boşküme Aksiyomu gereği bir kümemiz var. Ama bu kümenin hiç elemanı yok. En az bir elemanlı bir kümenin var olup olmadığı belli değil. Gerçekten de boşküme ve eşitlik aksiyomlarından oluşan bir sistemde en az bir elemanlı bir kümenin var olduğunu söyleyen

3x3y(x E y)

tümce hakkında karar verilemez. Gerçekten tümcede geçen x, boşkümenin hiç elemanı olmadığından, boşküme olamaz. Boşkümeden farklı bir kümenin var olduğu da yukarıda verilen iki aksiyomdan elde edilemez. Buradan en az bir elemanı olan bir kümenin varlığı için yeni bir aksiyom gereksinimi ortaya çıkar.

İki Elemanlı Küme Aksiyomu. x ve y iki küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x ve y olan bir küme vardır. Yani

VxVy3z[Va(a 6z)o ((a = x) V (a = y))].

Yukarıdaki tümcede verilen x ve y’ye karşılık gelen z tektir ve {x,y} ile gösterilir. Ayrıca,

{x, y} = {y, x}

olduğu açıktır. x = y olma durumunda {x, y} yerine sadece {x} yazılır. x = y = 0 olduğunda {0} bir kümedir ve 0 E {0} olur. Böylece şu teoremi kanıtlamış olduk:

Teorem 9.1. Aksiyomları yukarıda verilen üç aksiyom olan sistemde {0} bir kümedir. Bu kümenin sadece ve sadece bir elemanı vardır.

Sayı dilinde boşkümenin sıfır olduğu ve 0 ile gösterildiği dikkate alınarak {0} = {0} olur. Şimdi de 1’i tanımlayabiliriz.

Tanım 9.2. {0} kümesine 1 denir. Yani 1 = {0} olur.

Teorem 9.3. 0=1.

Kanıt: 0=1 olduğunu varsayalım. 0 G 1 olduğundan 0 E 0 olur ki bu da bir çelişkidir.

Alıştırma 9.4. Aksiyomları yukarıda verilen üç aksiyomlu olan sistemde

3x(x E x) tümcesine karar verilebilir mi?

Alıştırma 9.5. Sadece ve sadece bir elemanı olan 1’den farklı bir küme örneği yazın.

Teorem 9.6. z = {x,y} ve x = y olacak biçimde x, y, z kümeleri vardır.

Kanıt: x = 0, y = 1 olarak alınırsa istenilen elde edilir.

Tanım 9.7. {0,1} kümesine 2 denir. Yani 2 = {0,1}.

0 = 2 ve 1 = 2 olduğu açık. Elemanları sadece ve sadece 0, 1 ve 2 olan bir küme var mıdır?

10) Çok elemanlı küme tanımlamak

Şu ana kadar üç aksiyom tanımladık. Bu tanımlama sonucunda binlerce yıldır kullanılan 0, 1 ve 2’yi tanımlayabildik. Peki, bu üç aksiyomun gücü yine yıllardır kullanılan 3’ü tanım­lamaya yeter mi? Sezgisel olarak 3 sayısı, elemanları 0, 1 ve 2 olan küme olacaktır. Yani elemanları 0, 1 ve 2 olan bir küme var mıdır? Tanımlayacağımız yeni bir aksiyomla sorunun yanıtı evet olabilecektir. x, y iki küme olsun. Verilen her a kümesi için

(a E x) V (a E y)

bir “özellik” tir. Bu özelliği p_x,_y(a) ya da kısaca p(a) ile gösterelim. Elemanları sadece ve sadece p(a) özelliğini sağlayan bir z kümesi tanımlayabiliriz. Bu küme

{a : p(a)}

ile gösterilir. Yani tanımlayacağımız yeni bir aksiyom sonucu elemanları verilen x ve y kümelerine karşılık elemanları sadece ve sadece x’in ya da y’nin elemanlarından oluşan bir z kümesi tanımlayabileceğiz. Bu durum biçimsel dilde

\/x\/y3z[\/a(a E z o (a E x) V (a E y))]

olarak yazılır.

Bileşim Aksiyomu. x bir küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x’in elemanlarının elemanlarından oluşan bir küme vardır. Yani biçimsel dilde,

\/x3y[\/a(a E y o 3z((z E x) A (a E z)))].

Verilen x kümesinin yukarıdaki aksiyom ile elde edilen küme biriciktir. Bu kümeye x’in bileşimi denir ve öx ile gösterilir. Her a için

3y[(y E x) A (a E y)]

formülünü p(a) ile gösterelim. öx kümesi

{a : p(a)}

ile de gösterilir.

Alıştırma 10.1 U0 = 0 olduğunu gösterin.

Alıştırma 10.2. x ve y iki küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x ya da y’nin elemanları olan bir kümenin olduğunu gösterin. Ayrıca bu kümenin ö{x,y} olduğunu gösterin. Genelde ö{x, y} yerine x ö y yazılır. x ö y = y ö x olduğunu gösterin.

Alıştırma 10.3. Verilen her x kümesi için 0{Jx = xö0 = x olduğunu gösterin.

Alıştırma 10.4. 1 = 0 U {0} ve 2 = 1 U {1} olduğunu gösterin.

Şimdi 3’ü tanımlayabiliriz.

Tanım 10.5. 2 U {2} kümesi sezgisel olarak 3 sayısını göstersin.

Yani 3, elemanları 0, 1 ve 2 olan kümedir. Bu küme {0,1,2} ile gösterilebilir.

Alıştırma 10.6. 0=3, 1=3 ve 2=3 olduğunu gösterin.

Alıştırma 10.7. Elemanları 0, 1, 2 ve 3’ten oluşan bir kümenin varlığını gösterin. Bu küme sezgisel olarak 4 sayısını göstersin.

Okur, yukarıdaki yaklaşımı kullanarak 5, 6, 7’yi tanımlayabilir. Hatta 23865’i tanımla­dığında 23866’yı da tanımlayabilir. Ama 23’ün tanımından hareket ederek 22’yi tanımlamak mevcut yöntemlerle kolay olmayabilir.

11) Altküme aksiyomu

Örneğin

3x[s/a(a E x o a = b)]

tümcesinde x, 3 kapsamında, a, V kapsamında olup b, V ya da 3 kapsamında değildir ve dolayısıyla bu tümce bir özelliktir. Ayrıca

3x[\/a(a E x o (a = b) V (a = c))]

tümcesi de bir özelliktir.

Altküme Aksiyomu. x bir küme olsun. Her y değişkeni için, y, p(y) matematik tümce­sinde serbest değişken olsun. Elemanları sadece ve sadece (a E x) A p(a) tümcesini sağlayan a’lar olan küme vardır. Bu küme

{a : (a E x) Ap(a)}

ile gösterilir. Çoğu zaman

{a E x : p(a)}

olarak yazılır.

Alıştırma 11.1. Her x elemanı için x = x tümcesini p(x) ile gösterelim. {x : p(x)}’in bir küme olmadığını gösterin. Yani,

3x\/a[(a E x) A (a = a)]

tümcesinin değerinin yanlış olduğunu gösterin.

Alıştırma 11.2. Her x elemanı için x=x tümcesini p(x) ile gösterelim. {x : p(x)}’in bir küme olduğunu gösterin.

Alıştırma 11.3. x kümesi verilsin. Her a kümesi için a E x tümcesini p(a) ile gösterelim. A = x olmak üzere

A = {a : p(a)}

olduğunu gösterin.

Alıştırma 11.4. x bir küme olmak üzere a E x ve b E x verilsin. Her y elemanı için (y = a) V (y = b) tümcesi p(y) olmak üzere

{a,b} = {y : (y E x) Ap(y)} = {y : p(y)}

olduğunu gösterin.

12) Kümelerin arakesiti ve farkı

x ve y iki küme olsun. Her a kümesi için (a 6 x) A (a 6 y) olmak üzere

{a E x U y : p(a)}

bir kümedir. Bu kümeye x ve y’nin arakesiti denir ve x il y ile gösterilir. Okur

x Oy = {a E x : a E y} = {a E y : a E x}

olduğunu kolaylıkla gösterebilir. Ayrıca okur aşağıdaki teoremi altküme aksiyomunu kullana­rak hemen verebilir.

Teorem 12.1. x boş olmayan bir küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x ’in elemanlarının içinde ortak elemanları bulunduran bir küme vardır. Yani her t kümesi için

Vy[(y E x) A (t e y)]

matematik tümcesi p(t) ile gösterilirse,

{t : p(t)}

bir kümedir. Bu küme C\x ile gösterilir.

C\x kümesine x’in arakesiti denir.²¹⁾. n0’nin tanımlanmadığına dikkat edilmelidir.

Alıştırma 12.2. x ve y iki küme olmak üzere

C\{x} = x olduğunu gösterin.

Alıştırma 12.3. Boşkümenin arakesiti tanımlanabilir mi? Buna karşın her x kümesi için

x n 0 = 0

olduğunu gösterin.

Alıştırma 12.4. x ve y iki küme olsun.

x D y = D{x, y} = y D x olduğunu gösterin.

x ve y iki küme olsun.

{t : (t E x) A (t ^ y)} bir kümedir. Bu kümeye x fark y denir ve x \ y ile gösterilir.

Alıştırma 12.5. Şimdi x\x = 0vex = (x\(xn y)) U (x il y) olduğunu gösterin.

13) Kuvvet Kümesi Aksiyomu ve kartezyen çarpım

X ve Y kümelerinin kartezyen çarpımının elemanları x G X ve y G Y olmak üzere (x,y) ikililerinden oluşan küme olduğunu veXxY ile gösterildiğini hemen hemen bilmeyen yoktur. Böyle bir kümeyi tümceler terimiyle tanımlayabilmek için öncelikle (x,y) ikililerini tanım­lamak gerekir. Sonrasında elemanları bu ikililer olan topluluğunun gerçekten bir küme olduğunu göstermenin yollarına bakmalıyız. Bunun için bir aksiyoma ihtiyacımız olacak.

Kuvvet Kümesi Aksiyomu. x bir küme olsun. Elemanları sadece ve sadece x’in altkümeleri olan bir küme vardır. Yani her a kümesi için a C x matematik tümcesi p(a) ile gösterilmek üzere

{y : p(y)}

bir kümedir. Bu kümeye x’in kuvvet kümesi denir ve ℘(x) ile gösterilir.

Alıştırma 13.1. ℘(0) = 1 olduğunu gösterin. ℘({1}), ℘({2}), ℘({3}) kümelerinin eleman­larını yazınız.

x ve y iki küme olsun. {{x}, {x,y}} kümesini (x,y) ile gösterelim.

Teorem 13.2. x ve y iki küme olsun. Elemanları a G x ve b G y için p((a, b)),

(a G x) A (b G y)

tümcesini göstersin. {(a,b) : p((a,b))} bir kümedir.

Kanıt: Her a G x ve b G y için (a,b) C ℘(℘(x U y)) ve p((a,b))’nin bir özellik olmasından altküme aksiyomu gereği istenilen kanıt elde edilir.

Tanım 13.3. x ve y iki küme olsun. Yukarıdaki teoremde bahsi geçen kümeye x ve y’nin kartezyen çarpımı denir ve x x y ile gösterilir.

Bu aksiyom olmadan -1,-2 gibi tam sayılar tanımlanamaz. w, doğal sayılar olmak üzere (henüz tanımlanmadığını biliyoruz), gerçekten de tamsayıların tanımlanması wxw’dan geçer.

Alıştırma 13.4. x ve y iki küme olsun. (a,b), (c,d) G x x y olmak üzere (a,b) = (c,d) olması için gerekli ve yeterli koşulun a = c ve b = d olduğunu gösterin.

Alıştırma 13.5. x bir küme olsun ve a G x verisin. {{a}} = (a, a) olduğunu gösterin.

Alıştırma 13.6. x ve y iki küme olsun. x x y kümesinin boşküme olması için gerekli ve yeterli koşulun x = 0 ya da y = 0 olduğunu gösterin.

14) Yerleştirme Aksiyomu

Kümeyi bir an için fiziksel nesnelerin bir topluluğu olarak görelim. Kümemizin elemanları defter, kalem, armut, ve muzdan oluşsun. Bunların bir ayna içerisindeki görüntüleri küme olur mu? Devam edelim: I = {0,1, 2}’nin bir küme olduğunu biliyoruz. Her i E I için xi bir küme olsun, yani xq, x\ ve x2 birer küme olsunlar. Elemanları sadece ve sadece x\, x2 ve xs olan bir küme var mıdır? Yukarıda verilen aksiyomlar kullanılarak böyle bir kümenin ne varlığını ne de yokluğunu söyleyebiliriz. Yani kararsızlık durumu. Bu gözlem bizi aşağıdaki aksiyoma yönlendirir.

Yerleştirme Aksiyomu. x bir küme ve her a G x için f(a) bir küme olsun. Elemanları, a E x olmak üzere, sadece ve sadece f(a)’lar olan bir küme vardır. Yani

{f(a) : a E x}

bir kümedir. Örneğin, x bir küme olmak üzere {{a} : a E x} bir kümedir. Bunun bir küme olduğu Kuvvet Kümesi Aksiyomu kullanılarak gösterilebildiği gibi Yerleştirme Aksiyomu kullanılarak da gösterilebilir.

Alıştırma 14.1. x bir küme olmak üzere

{℘(a) : a E x}

topluluğunun bir küme olduğunu gösterin.

15) Tümevarımsal Küme Aksiyomu

Matematiğin temeli olan doğal sayılar kümesi yukarıda verilen aksiyomlar kullanılarak tanımlanabilir mi? 0, 1, 2 tanımlandı ama 278 tanımlanabilir mi? Diyelim ki tanımlandı, 279 tanımlanabilir mi? Bu soruların ardı arkası kesilmeyebilir. Bu tür soruları tek tek tanımlamak yerine toptan tanımlayabileceğiz, bir anlamda sonsuz işi bir çırpıda yapabileceğiz, aksiyomla­rın canı sağ olsun. Bu şekilde domino taşlarını devirir gibi içinde sonsuz tane eleman olacak bir küme tanımlayacağız.

Tanım 15.1. Bir x kümesi için s(x) = xU{x} olarak tanımlayalım. s(x)’e x’in ardılı denir.

Her kümenin ardılını tanımlamak istediğimiz kümenin elemanı olarak tanımlarsak ortaya çıkacak olan küme aslında {0,1, 2, 3,…} doğal sayılar kümesini oluşturur.

Alıştırma 15.2. x bir küme olmak üzere s(x)’in bir küme olduğunu gösterin.

Tanım 15.3. Boşküme elemanı olan ve x, elemanı olduğunda s(x)’in de eleman olduğu kümeye tümevarımsal küme denir.

Yukarıda verilen aksiyomlar kullanılarak bir tümevarımsal kümenin varlığı ya da yokluğu gösterilebilir mi? Burada karar verilemez bir durum söz konusudur.

Tümevarımsal Küme Aksiyomu. En az bir tümevarımsal küme vardır. Yani

3x[(0 6x)A [tfa(a 6x-} s (a) E x)]].

Şu ana kadar verilen aksiyomlara Tümevarımsal Küme Aksiyomu eklenmeden sistem do­ğal sayıları tanımlayamaz. Tümevarımsal Küme Aksiyomu modern matematikte potansiyel sonsuzluğu kullanmamızı sağlar. Bu noktada bu aksiyomun önemi ortaya çıkmaktadır.

Alıştırma 15.4. İki tümevarımsal kümenin arakesit ve bileşimlerinin tümevarımsal küme olduklarını gösteriniz.

Alıştırma 15.5. x ve y elemanları tümevarımsal küme olan kümeler olsunlar.

Dx = Oy

olduğunu gösterin.

Tümevarımsal Küme Aksiyomu olmadan sonsuz bir kümenin var olduğu kanıtlanamaz.²² Bu, aksiyomun önemini ortaya koyuyor. Şimdi doğal sayılar kümesini tanımlayabiliriz.

Tanım 15.6. x bir tümevarımsal küme olmak üzere

y = {a : tümevarımsal küme ve a C x} y bir kümedir. ily kümesine doğal sayılar kümesi denir ve w (ya da N) ile gösterilir. Okur, w’nin x’den bağımsız olduğunun farkında olmalı.

16) Temellendirme beliti

Şimdi

∅^∅, 1^1, 2^2

olduğunu biliyoruz. Aslında okur her n G w için n $. n olduğunu biraz uğraşla gösterebilir. Şu ana kadar tanımlanan aksiyomlar topluluğuyla doğal sayılar kümesinin inşa edilebildiğini hatırlatalım.

Peki boş olmayan her x kümesi için x G x olabilir mi? En azından yukarıda verilen aksiyomların oluşturduğu sistemde bu gösterilemez. Bu durumun olması yani kendi kendinin elemanı olması sezgiye “aykırı” duruyor.

Bunun bir aksiyom olarak tanımlanarak diğer aksiyomlara eklenmesi sorunlu olmayacak­tır.

Temellendirme Aksiyomu. Verilen her kümenin en az bir elemanıyla arakesiti boşkümedir. Yani,

\/x3y[(y G x) A (y il x = ∅)].

Temellendirme Aksiyomu sonucu olarak verilen x kümesi için x ^ x olur. Bunu göstermek için x G x olduğunu varsayalım. {x}’in küme olduğunu biliyoruz. O halde bu kümenin en az bir elemanıyla arakesitinin boşküme olması gerekir. Diğer taraftan bu kümenin tek bir elemanı vardır o da x’dir. Dolayısıyla x il {x} = ∅ olmalıdır. Buradan da x ^ x elde edilir.

Alıştırma 16.1. x ve y kümeleri verilsin. x ^ y ya da y ^ x olduğunu gösterin.

Bir sistemin minimum düzeyde doğal sayıları tanımlaması beklenir. Temellendirme Aksi­yomu olmadan da doğal sayılar aritmetiğinin tanımlanabileceğini söyleyelim. Temellendirme Aksiyomu’na ihtiyaç duymamızın bir sebebi aslında Russell Paradoksu’nun varlığıdır.

17) Zermelo-Fraenkel Sistemi ve Gödel’in Eksiklik Teorem­leri

Şu ana kadar tanımladığımız aksiyomlar şunlardır: Boşküme Aksiyomu, Eşitlik Aksiyomu, İki Elemanlı Küme Aksiyomu, Bileşim Aksiyomu, Altküme Aksiyomu, Kuvvet Kümesi Aksi­yomu, Yerleştirme Aksiyomu, Tümevarımsal Küme Aksiyomu ve Temellendirme Aksiyomu. Bu aksiyomlar topluluğunun oluşturduğu sisteme Zermelo-Fraenkel Kümeler Sistemi (kısaca ZF) denir. Bazı kaynaklarda bu aksiyomların sırası farklı biçimlerde verilmiştir. An­cak verilen biçimlerinin hepsi birbirlerine denktir. Yerleştirme Aksiyomu ve Temellendirme Aksiyomu dışındaki aksiyomların oluşturduğu sisteme Zermelo Küme Sistemi denir. Bu sistem temel olarak Fraenkel (1922)’ye ait olup, bahsedilen iki aksiyom Skolem (1922) tara­fından eklenmiştir. Yerleştirme Aksiyomu bağımsız olarak 1920’lerde Mirimanov tarafından da verilmiştir.

Çağımızda yapılan matematiğin çok büyük bir kısmı ZF üzerine inşa edilmiş ve edil­meye devam edilmektedir. Doğal sayılar ve onun üzerinden yapılan aritmetiğin (toplama ve çarpma) bir yönüyle uygarlığın oluşmasını sağladığından, ZF’nin aritmetiği tanımlayabilmesi beklenir ki zaten o yönde inşa edilmiştir. Matematiğin aksiyomatikleştirilmesinin motivasyon kaynağı da bu beklentidir.

ZF sistemi doğal sayılar aritmetiğini inşa edebilir. Kurt Gödel, doğal sayılar aritmetiğini inşa edebilen bir sistemin çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır. Yani kimse çıkıp ZF’nin çelişkisiz olduğunu ZF’ye dayandırarak kanıtlamaya çalışmasın, boşa uğraşır. Bizden söylemesi. Peki buradan ZF’nin çelişkisiz olduğu anlamı çıkar mı? Hayır çıkmaz. Ba­karsınız birileri Russell gibi, ZF’de bir çelişki üretebilir. O zaman ne olur? Bir hal çaresine bakılır.

Gödel’in Eksiklik Teoremleri (Gödel, 1931) Doğal sayılar aritmetiğini inşa edebilen sis­tem için;

– Sistem tutarlıysa eksiktir, yani doğru fakat doğruluğu sistem içinde kanıtlanamayan en az bir tümce vardır.

– Sistemin çelişkisiz olduğu sistemin içinde kanıtlanamaz.

18) Gödel Teoremi nasıl anlaşılabilir?

Gödel Teoremi’ni anlamak için önce “modern” matematik ve “gerçek” matematik farkını irdelemek gerekir. Modern matematik ideal matematiktir. David Hilbert’in 20. yüzyıl başında oluşturmak istediği biçimsel matematik. Bilgisayarlaştırılmış, her önermenin doğ­ruluğunun veya yanlışlığının kanıtlanabildiği, dahası sistemin kendisinin tutarlı olduğunun sistem içinde kanıtlanabildiği mekaniksel bir matematik. Kapalı bir sistem içine oturtulmuş, aksiyomları belli ve bütün matematiksel gerçeklerin o aksiyomlardan türetildiği biçimsel bir sistem. Gödel böyle bir sistemin olamayacağını gösterdi.

Herkesin anlayabileceği şekilde Gödel’in bu teoremi nasıl kanıtladığına bakalım. Gödel Teoremi’ni anlamak için önce yalancı paradoksunu anlamalıyız. “Bu cümle yalandır” gibi bir cümle ele alalım. Teknik olarak o cümle ya gerçekten doğrudur ya da yanlıştır. Eğer doğruysa demek ki söylediği şey doğru, yani cümle yalan! Çelişki. Şimdi de yanlış olduğunu varsayalım. Yani cümlenin yalan olduğu yanlış demektir bu. O halde cümle doğru olmalı. Ancak kendisi yalan olduğunu söylüyor. Yine çelişki. Buraya kadar anlaşıldıysa sorun yok. O zaman teoremi kanıtlamak için böyle bir cümleyi matematiksel sistemimizde inşa etmeliyiz. Nasıl bir sistem gerek bunun için? Ye­terince güçlü bir sistem. Bir sistem yeteri kadar aritmetiği ifade ettiği zaman işler biraz sarpa sarıyor. Yeteri kadar güçlü olan sistemler bir takım matematiksel özellikleri tanımlayabildiği anda “Ben kanıtlanamam” gibi bir önerme sistem tarafından türetilebilir hale geliyor. Tabii kuru kuru “Ben kanıtlanamam” diye bir cümlenin matematikte bir karşılığı olmalı. O halde bu cümleyi önce sistemin biçimsel diline çevirmemiz gerekiyor. Bitti mi? Hayır. Bu biçimsel önerme, matematikte bir karşılık bulması için bir çeşit sayısal kodlama kullanarak gerçekten de aritmetikte sayısal bir denkleme karşılık gelen bir önerme haline getirilebilir. İlk aşama olarak sistemin biçimsel dilini oluşturduktan sonra ikinci aşama olarak biçimsel önermeyi sayısal bir önerme haline getiririz. Bunun için biçimsel önermemizdeki her sembole karşılık bir sayı atıyoruz. Artık sistemin biçimsel dilinden türetilebilecek her önermeye karşılık gelen bir Gödel sayısı var. O halde, x serbest değişken olmak üzere, “x önermesi kanıtlanamaz” önermesinin de bir Gödel sayısı var. Bu önermeye G diyelim. Sistemimiz yeterince aritmetiği ifade edebildiği için bu tür bir önermeyi oluşturabiliriz. Hatırlayalım, yeterince güçlü olmayan sistemler böyle bir önermenin doğruluğunu kanıtlamak için gerekli özelliklere sahip olmaz­lar. Bir şeyin bir şeyi kanıtlaması ve bir önermenin kanıtlanabilir olup olmamasını sistemin kavrayabilmesi için sistemimizin yeterince güçlü olması gerekiyor. Şimdi G önermesinde x yerine G’nin Gödel sayısını koyalım. İşte bu sefer “Bu önerme kanıtlanamaz” önermesini elde ettik! Yalancı paradoksunun aynısı artık bu yeni önerme için de geçerlidir.

Birinci teoremi göstermiş olduk. İkinci teorem de birinci teoremi kullanarak çıkar. O halde ZF’nin tutarlı olup olmadığını kendi içinde kanıtlayamıyoruz. Peki şimdi şu yapılabilir? Ancak “ZF tutarlıysa…” varsayımı üzerine matematik inşa edilebilir. Eğer ki yaptığımız matematik temeli aksiyomlar gereği yanlış çıkarsa “Ama biz tutarlıysa demiştik” denebilir.

Zermelo-Frankel sisteminde yer alan bazı aksiyomlar topluluğunun tutarlı olmasının ya­nında, bazı aksiyomların bir grup aksiyomlar topluluğundan bağımsız olduğu gösterilebilir. Bunun için (K4) ve (K5) çalışmalarına bakılabilir.

2. kısımda geçen soruları ve olası yanıtları tartışmaları unutmuş değiliz. Bu soruların ya­nıtları bir başka yazının konusu olabilir.

Not: Makaleyi baştan sona kadar okuyarak çok önemli katkılar ve düzeltmeler yapan Haydar Göral ve Ali Törün’e çok teşekkür ederiz.

Dipnotlar

1) Bu meseleye daha sonra değineceğiz.

2) Bu arada matematiğin aksiyomatikleştirilmesi bazı matematikçi ve filozoflar tarafından eleştirilmiştir. Bunlardan bazıları Kronecker, Poincare, Wittgenstein’dır. Wittgenstein “Küme kuramı yanlış bir yol” demiştir.

3) Russell Paradoksu ve benzeri paradoksla ilgili Türkçe yazılmış bir kaynak (K3), s.27-32.

4) Bu söylem işçi sınıfı olmayan köylü toplumunun emeğine bir saygı ifadesi olarak yorumlanmalı. Ama “saygı” yetmez, emeğin iktidarı gereklidir.

5) Bu aşamada simgelerin gereksizliğinin farkındayız.

6) Bu sorunun kes-kopyala biçimi “Yüz tane köyün her birinin en akıllısı (var ve tek bir tane olsun) seçilerek yeni bir köy oluşturulabilir mi?” biçiminde olacaktır.

7) Bu soruların kafanızı şey etmesi değil, kafanın sorularla sevişmesi olarak değerlendirilmesini öneririz.

8) Daha doğrusu olmaması bizi bir sürü “dertten” kurtarır.

9) Örneğin ateşin ayıların yaşamına olumlu bir katkı verdiği söylenemeyebileceğinden, “ateşin icadı canlılar için dönüm noktası olmuştur” yaklaşımı tutucu ve bunun sonucunda yanlış bir bakış açısı olabilir. Hele hele ateşin icadının balıklar için hiçbir anlamı yoktur.

10) Mantığın alfabesi {¬, V, A, —>, -f->, V, 3} olup, bu listenin bazı harfleri diğer bazı harflerin kısaltılmışıdır. Öneğin p ve q’lar denk önermeler olmak üzere ¬(p V q) yerine (¬p) A (¬q), ve (¬p) V q yerine p —^ q yazılır. Alfabeyi bazı kolaylıklar açısından kısaltılmış formatıyla vermedik.

11) Burada geçen üç nokta “…”nın anlamını okur anlamış olmalı.

12) Bu yazıda geçen sembollerin ilk olarak kimler tarafından kullanıldığına ilişkin bilgiye http://jeff.tripod.com/set.html adresinden ulaşılabilir.

13) 3x ϕ(x) demek “öyle bir x vardır ki ϕ(x) doğrudur” demektir. Benzer şekilde, Vx ϕ(x) demek “her x için ϕ(x) doğrudur” demektir.

14) Russell Paradoksu’nun ortaya çıkarttığı sonuçlar bir başka paradoks olan Burali-Forti ile de elde edilebilir, ancak bu paradoksun anlaşılması daha karmaşıktır. Russell Paradoksu eş zamanlı olarak Zermelo tarafından da verilmiştir. Bu paradoksta Russell’ın adının verilmesi, tahmin ediyoruz ki Russell’ın Frege ile olan diyaloglarıdır. “Russell Paradoksu” başlıklı bir yazı Ali Nesin tarafından (K1)’de yayınlanmıştır. Burada geçen bazı alıntılar oradan alınmıştır.

15) Sistem terimi aslında tümceler topluluğu ile beraber çıkarım kuralları ve biçimsel dilin bir araya gelmesiyle oluşan yapı için de kullanılır. Tek başına tümceler kümesine literatürde teori denildiği de görülür. Ancak biz yazımızda sistem terimini kullanacağız.

16) Teorem kavramıyla ilgili geniş bilgi (K3)’de bulunabilir.

17) Daha geniş bilgi (K1)’de bulunabilir.

18)  x ve y iki küme olmak üzere x G y ve x çt y terimlerinin birer önerme olduğuna dikkat edelim.

19) Kanıtlanabilir matematiksel tümcelere teorem denir. Burada geçen “kanıt” teoremin sonlu tane önermeler zinciriyle değerinin doğru olduğunun gösterilmesidir. Detaylı bilgi için (K3)’e bakın.

20) Sıfırın tarihi ile ilgili geniş bilgiye (K2)’den ulaşılabilir.

21) Bileşim için U ve arakesit için n sembolleri ilk olarak Giuseppe Peano tarafından 1888 tarihli “Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann” adlı çalışmada kullanılmıştır.

22) Sonsuz kümeyi henüz tanımlamadığımızın farkındayız. Şimdilik okur sonsuz kümenin ne olabileceğini sezgileriyle anlamayla yetinsin.

Kaynaklar

– Matematik Dünyası, 2003 Kış Sayısı, s.50.

– R. Kaplan’ın, The nothing that is: A natural History of zero, New York: Oxford University Press, 2000.

– A. Nesin, Önermeler Mantığı, Nesin Matematik Köyü, 2014.

– A. Abian, On the independence of set theoretical axioms, Amer. Math. Monthly 76, 789-790, 1969.

– A. Abian and S. Lamacchia On the consistency and independence of some set theoretical axioms, Notre Dame Journal of Formal Logic Volume XIX, Number 1, January 1978 NDJFAM, 155-158.