Geçenlerde katıldığım bir arkadaş toplantısında konuşuldu: Matematik keşif midir icat mıdır? Önceki deneyimlerim bu yorgun tartışmanın verimli geçemeyeceğini söylüyordu. Yüzyıllardır matematikçi ve felsefeciler tarafından yürütülen öznel tartışmaların konusuydu. Başlangıçta böylesi bir sohbetin içinde olmayı pek istemedim, ama konuşmalar ilerledikçe oldukça ilginç fikirler çıktı ortaya. Kimse birbirini ikna edemese de (ki gerekmiyordu) çok yararlandığım bir zaman dilimiydi. Bu tartışmayı kurgulayarak anlatabilir miyim diye düşündüm,” icatçılar” (İ) ve “keşifçilerin” (K) diyalogunu hem keşif hem icat diyenleri de ekleyerek kaleme almaya çalıştım.
İ- Matematik kesinlikle insan tarafından yaratılmıştır. İnsan fiziksel dünyayı mükemmel bir şekilde soyutlayarak matematiği yaratmıştır. Keşfedilen şey fiziksel dünyadır, matematik değil; çünkü doğada matematik yoktur. Gerçek dünyada matematiksel nesnelere rastlayamazsınız. Örneğin doğada matematiksel anlamda bir doğru, bir üçgen veya bir çember gösteremezsiniz. İcatla keşif arasındaki farka bakarsak, zaten var olan bir şey keşfedilir, olmayansa icat edilir. Örneğin Kanarya Adaları keşfedilirmiştir ama telefon icat edilmiştir, matematik de doğada olmadığından keşif değil icattır.
K- Doğayı sadece gözlemleyebildiğimiz, duyumsayabildiğimiz şeylerle sınırlamayalım; görüp dokunamayacağımız, kendini “fısıltıyla” anlatan birçok yan var doğada. Evet, matematiksel bir çember yok, fakat ayın, güneşin görünüşü bir matematikçi için matematiksel çemberin modeli olabilir. Çember, doğru, üçgen, sayılar gibi kavramlar matematiğin keşfinin (!) başlangıcı için verilmesi gereken örneklerdir. Sonrasında, matematiğin gelişimine baktığımızda kümeler, fonksiyonlar, karmaşık sayılar, fraktallar, Öklid-dışı geometriler gibi birçok matematiksel kavram nesneldir, varlıkları onlar hakkındaki bilgilerimizden bağımsızdır. Onlar, biz bilsek de bilmesek de vardır. Kuşkusuz, bu nesneler fiziksel ya da maddi değildir, mekân ve zamanın dışında var olurlar, ama değişmezdirler, yaratılmamışlardır, yok olmayacaklardır. Örneğin, keşfinden sonra Pisagor’un tanrılara şükran ifadesi olarak bir öküz kurban ettiği rivayet edilen Pisagor Teoremi, Pisagor’dan bin yıl önce Babiller tarafından da biliniyordu ve bu teoremin kanıtı ilk kez Pisagor’dan yaklaşık iki yüz yıl sonra Öklid tarafından yapıldı. Şimdi bu noktada sorabiliriz: Pisagor Teoremi ne zaman doğruluk kazandı? Babiller döneminde mi, yani MÖ 1900-1600’de mi? Pisagor’un yaşadığı çağda mı, yani MÖ 500’de mi? Yoksa Öklid kanıtladığında mı, yani MÖ 300’de mi? Biz doğru olduğunu bilmesek de bu önerme “nesnel bir gerçek” olarak hep doğruydu. Matematik böylesi binlerce önermeden oluşuyor, biz onların doğru olduğunu bilmezken bile doğru olan!
İ- Matematiğin keşif olduğu görüşü oldukça zorlama, uçuk zihinsel bir hayal ürünüdür. Matematiksel araştırma Platonculuğa indirgenemez. Bu görüşe göre matematiksel gerçekler bir kâğıt parçasına çizilen doğru, çember ve üçgenden ibaret değildir. Asıl gerçek kusursuz matematiksel nesnelerin yer aldığı hayali “idealar dünyasındadır”. Oysa araştırma yapan bir matematikçi hayali bir dünyada çalışmaz. Bu yüzden, olmayan bir dünyada olmayan nesneleri keşfetmesi mümkün değildir. Keşfedilmeyi bekleyen, hazır yapılmış bir dünya yoktur. Pisagor Teoremi gibi bütün matematiksel nesneler insanlar tarafından tasarlanmış icatlardır. Bu gerçeği ünlü Alman matematikçi Kronecker’in şu sözü çok iyi anlatır: Tamsayılar Tanrı tarafından yaratılmışlardır, gerisi insan işidir”.
Eğer akıl, zekâ insana değil de başka bir canlı türüne bahşedilmiş olsaydı, örneğin bir balık türü tarafından mantıksal çıkarımlar yapılabilseydi, o zaman ortaya matematikle hiç ilgisi olmayan sadece suyla ilgili ve sadece hareket, ısı, su basıncı gibi kavramlar çıkacaktı. Bu durumda, bu balık türünün “matematiği” günümüz matematiğini kapsamayacak, yaşadığı dünyayla sınırlı kalacaktı. O halde demek ki insan içine doğduğu dünyayı soyutlayarak matematiği yaratıyor. Geçmişte matematikte yaşanan krizler matematiğin sorunlarının insan kaynaklı olduğunu, iddia edildiği gibi matematikçilerin kusursuz bir “idealar dünyasında” keşfe çıkmadıklarını gösterir. Örneğin Gödel’in Birinci Eksiklik Teoremi matematiğin çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını söyler. Nasıl oluyor da insandan bağımsız, o “nesnel gerçekler” dünyasında keşfedilen matematiğin çelişkisiz olduğu kanıtlanamıyor?
K- 1880’lerde ünlü Alman matematikçi Cantor, “Sayılar insan zekâsının özgür buluşlarıdır, matematiğin özü, tamamen özgürlüğündedir.” sözüyle matematiğin temellerini sarsan “kümeler kuramını” inşa etmişti. Cantor’un attığı sıra dışı adımlar, o dönemde matematiğin “keyfi kurallara” dayanan bir icat olduğu düşüncesini güçlendirmişti, fakat kısa sürede durum değişti. Birçok matematikçi matematiğin bağımsız bir gerçekler dünyasının varlığını kabul etti, çünkü Cantor’un daha önce hiçbir matematikçinin aklına gelmeyen büyük bir keşfi başarıyla sonuçlandırdığı inancı yerleşti. Matematik tarihine göz attığımızda birçok matematikçi keşfe denk olan “sezgi” yeteneği sayesinde matematiksel doğrulukla karşılaştığı hissini yaşadığını ifade etmiştir.
1894’te ünlü Fransız matematikçi Hermite yazdığı bir mektupta matematiksel kavramların her birinin insandan bağımsız nesnel gerçekler olduğunu belirterek, “Biz tıpkı fizikçiler, kimyacılar ya da zoologlar gibi onları keşfediyoruz” sözünü ekledi. Sonrasında, 1920’lerde İngiliz matematikçi Hardy ise matematikçiyi uzaktaki bir dağ sırasını gözüne kestiren bir kâşife benzeterek, matematiğin bizden bağımsız bir gerçeklik olduğunu şu sözlerle ifade etti: “Kanıtladığımız ve bizim süslü püslü sözcüklerle açıkladığımız teoremler, yalnızca gözlemlerimizin notlarıdır. 317 asal bir sayıdır, bizim onu böyle düşündüğümüzden veya aklımız böyle biçimlenmiş olduğundan değil, ama böyle olduğundan böyledir, çünkü matematiksel gerçeklik böyle kurulmuştur”.
Gödel’in Eksiklik Teoremi bize matematiksel nesnelerin nasıl var olduğu hakkında bir şey söylemez, bilinen aksiyomatik sistemlerin sınırlarına işaret eder. Gödel matematiksel Platonculuğun ünlü temsilcilerindendir, matematiksel sezginin fiziksel duyu algıları kadar güvenilir olduğunu savunarak matematikte “nesnel gerçekler” dünyasına dikkat çekmiştir. Gödel’in böylesi bir felsefi sonuca Eksiklik Teoremleri sonrasında ulaştığı bilinir.
Konuştuklarımız aslında matematik felsefesinde Platonist ve Formalist gibi iki ana akımın temel tezlerine dayanır. Yüzyıllardır matematiksel ontoloji üzerinden tartışılan oldukça kapsamlı bir konu. Platoncu görüş matematiğin evrensel niteliğine dikkat çeker, eğer Evren’de dünya dışı yaşam söz konusuysa uzaylılarla aynı matematiksel kavramlara sahip olacağımızı savunur. Bu savın belirsizliği sıkıcı olabilir, ancak tek başına hiçbir icat, atomaltı parçacıkların hareketinden tutun da üremeye kadar her alanda dünyayı ve evreni anlamamıza yetmez.
Kİ- “Matematik bir keşif mi yoksa icat mı?” sorusu yanlış bir sorudur, çünkü matematik kısmen keşif, kısmen icattır. Matematikçiler matematiksel nesneleri icat ederler, sonra da bu nesneler arasındaki ilişkileri keşfederler. Örneğin 3, 4, 5 gibi sayılar birer icattır, ama eşitliği bir keşiftir. Dolayısıyla matematiksel tanım ve aksiyomlar icat, teorem ve kuramlar birer keşiftir. Tıpkı satranç oyununun ve kurallarının bir icat olup, oyunda en iyi stratejinin bulunmasının bir keşif olması gibi; örneğin geometride açı, doğru, üçgen gibi kavramlar birer icat olup, üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamının 180 derece olması gibi teoremler birer keşiftir. Kuşkusuz ki matematik, insanın sıradan bir etkinliği değildir; ancak önce yaratmanız gerekir, yoksa matematiksel bir keşfe çıkamazsınız, tıpkı şu soru gibi: Ormandaki ağaçların kaç tane olduğunu gösteren sayı var, ama o ağaçları sayacak kimse yoksa o sayı var mıdır?
Kaynaklar
– Ali Nesin, Matematik ve Doğa, Nesin Yayınevi, 2007.
– Mario Livio, Tanrı Matematikçi mi?, Altın Kitaplar, 2005.
