Ana sayfa 200. Sayı Basit, zor ve baştan çıkarıcı…

Basit, zor ve baştan çıkarıcı…

46

Evreninin bilinemeyenlerine benzer şekilde matematikte de çözülemeyen problemlerin olduğunu biliyoruz. Günümüzde birçok matematikçi bu büyük problemleri çözüme kavuşturmak için uğraşıyor.
Çözülemeyen problemler matematikçiler için çok caziptir, ama aynı zamanda da tehlikelidir, çünkü aylarca, yıllarca uğraşıp sonuç alamama riski vardır. Elbette, problemle uğraşma sürecinde ortaya çıkan “ara sonuçların” hem matematiğe hem de matematikçilere katkısı olmaktadır; fakat bir matematikçi için akademik dünyadan kopmayı doğurabilecek böylesi bir çaba büyük bir zaman kaybına yol açabilir.
Belki de birçok matematikçi “ünlü ve çetin ceviz” problemlerle uğraşmayı bu yüzden gereksiz görüyordur. Büyük Alman matematikçi David Hilbert’in (1862-1943) “Neden Fermat’nın Son Teoremi’ni kanıtlamak için uğraşmadınız?” sorusuna verdiği yanıt son derece çarpıcıdır: “Yıllarca sürecek yoğun bir çalışma sonunda olası bir başarısızlık için harcayacak zamanım yok”.
Anlaması kolay, kanıtlaması son derece zor problemlerin en ilginç olanlarından birisi adını Alman matematikçi Lothar Collatz’dan  (1910-1990) alan Collatz sanısı 1937’den bu yana matematikçilere meydan okumaya devam ediyor. Çözümü yolunda bazı bilgisayar destekli adımlar atılmış olsa da başarıya ulaşılamadı.
Tam 82 yıldır matematikçilere direnen bu problemle matematiğin en büyük ödülünün ( Fields Madalyası) sahibi ve yaşayan büyük matematikçilerden biri olan Avustralyalı- Amerikalı matematikçi Terence Tao’nun da uğraştığını biliyoruz. Tao da tıpkı David Hilbert gibi çözülemeyen problemlere zaman harcamayı mesleki bir tehlike olarak gördüğünü ve ünlenmiş “büyük sorulara” takıntılı hale gelerek zaman kaybetmek istemediğini açıklamıştı. Ancak, tutku alınan kararları geçersizleştirdi ve Tao da birçok matematikçi gibi Collatz sanısının baştan çıkarıcı cazibesine kapılarak bu probleme önceleri yılda birkaç gün, daha sonra ayda birkaç gün ve sonrasında daha fazla zaman ayırarak “rakibinin” beyaz bayrak sallaması için çabaladı. Nihai sonuca gidememiş olmasına karşın 2019’da yayımladığı çalışmasıyla problemin çözümü için büyük bir adım atmış oldu.
Terence Tao’nun Collatz sanısı çalışmalarından söz etmeye ara verip, matematiğin anlaşılması çok kolay çözümü bir o kadar zor olan bu davetkâr problemden habersiz olan okuru daha fazla sabırsızlandırmayalım.
Collatz Sanısı. 1’den büyük herhangi bir doğal sayı seçelim. Sayı çiftse ikiye bölelim, tekse üçle çarpıp bir ekleyelim. Elde ettiğimiz yeni sayıya da tek veya çift olmasına göre yine bu işlemlerden birini uygulayalım. Diyelim 3’ü seçtik. 3, tek olduğundan, 3’ü 3’le çarpıp 1 ekleyelim, 10 elde ettik. 10 çift olduğundan, 10’u ikiye bölmeliyiz, 5 elde ettik. 5 tek. Demek ki 5’i üçle çarpıp bir ekleyeceğiz. 16 elde ederiz. 16’yı ikiye bölelim, 8 elde ettik. 8 çift ikiye bölmeliyiz, 4 elde ettik. 4 çift, ikiye bölmeliyiz, 2 elde ettik. 2 çift, 2’ye bölmeliyiz, 1 elde ettik. 1’e ulaştığımızda duralım. Bu işlemleri aşağıdaki gibi başka sayılarla başlayarak da yapabiliriz.

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
9, 28, 14, 7, … (7’yle başlayan yukarıdaki dizideki gibi 1’e ulaşırız.)
15, 36, 18, 9, … (9’la başlayan yukarıdaki dizideki gibi 1’e ulaşırız.)
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, … (7’yle başlayan yukarıdaki dizideki gibi 1’e ulaşırız.)
29, 88, … (Yukarıdaki dizide 88 var, dolayısıyla 29 başlarsak yine 1’e ulaşırız.)
51, 154, 77, 232, 116, 58, 29, … (29’la başlayan dizideki gibi 1’e ulaşırız.)

Hangi sayıyla başlarsak başlayalım bir zaman sonra 1’e ulaşacağız. Peki iyi de, nereden biliyoruz hep 1’e ulaşacağımızı? Bilmiyoruz. Ama öyle sanılıyor, çünkü birçok sayı denenmiş ve hep 1’e ulaşılmış. Her sayı denenemez elbette. Ama den küçük her doğal sayı bilgisayar kullanılarak denenmiş ve hep 1’e ulaşılmış. Eğer 1’e ulaşmayan bir örnek bulmayı düşünüyorsanız yaklaşık 300 kentilyondan sonraki doğal sayıları denemelisiniz! Çok büyük sayılar için deneme yapılarak 1’e ulaşılmış olmasının matematiksel hiçbir değeri yok elbette. Kanıtlamak lazım! Deneysel akıl yürütmeyle matematiksel akıl yürütme arasındaki nitelik farkını gösteren güzel bir örnekle karşı karşıyız.
Tahmin edebileceğiniz gibi Collatz sanısı hangi doğal sayıyla başlanırsa başlansın yukarıda verilen işlemleri uygulayarak daima 1’e ulaşılacağını iddia ediyor.
Matematikçiler bu önermeyi henüz kanıtlayamadılar. Yaklaşık 50 yıl önce ünlü Macar matematikçi Paul Erdös (1913-1996), matematiğin henüz bu tür problemleri çözebilecek düzeye gelmediğini söylemişti. Ama Erdös’ün keşfettiği ve “büyük bir matematikçi olacak” dediği Terence Tao geçen yıl Collatz sanısını kanıtlamakla uğraştığı dönemde bir okurunun yaptığı yorumla çok önemli sonuçlara ulaştı. Tao’nun bloğuna4 mesaj atan okuru, Tao’ya Collatz sanısını kanıtlamak yerine bu önermeyi “neredeyse” tüm sayılar için kanıtlamayı önerdi. Tao bu mesaja cevap vermedi ama üzerinde düşünmeye başladı ve 2019 Eylül’ünde Collatz sanısının “neredeyse” tüm sayılar için “neredeyse” doğru olduğunu gösteren bir kanıt yayımladı.2 Tao’nun çalışmasının temeli Collatz dizilerini sınıflandırarak genel bir sonuca gitmeye dayanıyor. Bu çalışmanın fikri bazı özel örneklemlerden genel sonuçlar çıkarmaya (anket çalışması vb.)  benzetilebilir.
Tao, tam bir kanıt verememiş olsa da, yaptığı çalışma Collatz sanısının ortaya çıkışından bu yana kanıta giden yolda en parlak gelişme olarak kabul ediliyor.
Matematik denizinde Collatz sanısı gibi dev dalgalarla boğuşuyor olmak, Paul Erdös gibi bir ustanın umutsuzluğuna rağmen mücadeleyi sürdürmek, çıkılan seferden boş elle dönebilmeyi göze almak, insanın keşfetmeye, matematiksel kanıta olan tutkusunun güzel bir örneği olsa gerek!

KAYNAKLAR
1) https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
2) https://arxiv.org/abs/1909.03562
3) https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/
4) https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3