{"id":11045,"date":"2011-06-01T23:12:09","date_gmt":"2011-06-01T20:12:09","guid":{"rendered":"http:\/\/109.232.216.219\/~bilimvegelecek\/?p=11045"},"modified":"2017-06-01T23:20:55","modified_gmt":"2017-06-01T20:20:55","slug":"matematik-denizinin-incileri-ve-yaraticilari","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/2011\/06\/01\/matematik-denizinin-incileri-ve-yaraticilari","title":{"rendered":"Matematik denizinin incileri ve yarat\u0131c\u0131lar\u0131"},"content":{"rendered":"

\"\"Bilindi\u011fi \u00fczere midye ve istiridye gibi yumu\u015fak\u00e7alar t\u00fcr\u00fcnden olan deniz canl\u0131s\u0131n\u0131n kabu\u011funun i\u00e7erisine yabanc\u0131 bir cisim, \u00f6rne\u011fin bir kum tanesi d\u00fc\u015ft\u00fc\u011f\u00fc andan itibaren, canl\u0131 onu sedef katlar\u0131 ile tamamen kapatana kadar rahata ermiyor ve bu s\u00fcrekli \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131n sonucu olarak da g\u00f6z ok\u015fayan inci olu\u015fuyor. Matematik\u00e7inin ba\u015f\u0131na gelen olaylar da genelde bu \u015fekilde cereyan ediyor. \u0130\u015fte matematik denizinden baz\u0131 inci \u00f6rnekleri ve nas\u0131l olu\u015fturulduklar\u0131. <\/em><\/p>\n

Asl\u0131nda yaz\u0131n\u0131n ba\u015fl\u0131\u011f\u0131nda \u201cMatematik d\u00fcnyas\u0131n\u0131n incileri\u201d yaz\u0131lsayd\u0131 daha do\u011fru olurdu diye d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcyorum. Sadece inci ve deniz aras\u0131nda olan ba\u011flant\u0131 burada etkili olmu\u015ftur. Elbette matematik d\u00fcnyas\u0131nda da\u011f, dere, orman, deniz ve adalar\u0131n, \u015fehir ve k\u00f6ylerin, onlar\u0131 birle\u015ftiren yollar\u0131n, bunlar\u0131n yan\u0131 s\u0131ra alt\u0131n, g\u00fcm\u00fc\u015f, p\u0131rlanta gibi s\u00fcs e\u015fyalar\u0131n\u0131n da benzerleri yok de\u011fildir. Fakat bu s\u00fcs e\u015fyalar\u0131 i\u00e7erisinde inci, olu\u015fumu a\u00e7\u0131s\u0131ndan matemati\u011fe en yak\u0131n olan\u0131d\u0131r. Bilindi\u011fi \u00fczere midye ve istiridye gibi yumu\u015fak\u00e7alar t\u00fcr\u00fcnden olan deniz canl\u0131s\u0131n\u0131n kabu\u011funun i\u00e7erisine yabanc\u0131 bir cisim, \u00f6rne\u011fin bir kum tanesi d\u00fc\u015ft\u00fc\u011f\u00fc andan itibaren, canl\u0131 onu sedef katlar\u0131 ile tamamen kapatana kadar rahata ermiyor ve bu s\u00fcrekli \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131n sonucu olarak da g\u00f6z ok\u015fayan inci olu\u015fuyor. Matematik\u00e7inin ba\u015f\u0131na gelen olaylar da genelde bu \u015fekilde cereyan ediyor. Sadece bir farkla: \u0130stiridye onu rahats\u0131z eden kum tanesinin \u00fczerini \u00f6nce ince bir sedef kat\u0131yla kaplay\u0131p, daha sonra bu katlar\u0131n say\u0131s\u0131n\u0131 duruma ba\u011fl\u0131 olarak art\u0131rmakla, k\u00fcre bi\u00e7iminde g\u00fczel bir inci (beyaz, pembe veya siyah) meydana getirir. Matematikte ise bu i\u015f d\u0131\u015far\u0131dan ba\u015fl\u0131yor. \u00d6nce onu rahats\u0131z eden \u201ckum tanesi\u201d -problem- sa\u011flam bir \u201csedef kat\u0131\u201d ile ablukaya al\u0131n\u0131yor ve yeni yeni i\u00e7 katlar olu\u015fturmakla git gide bu \u201ckum tanesinin\u201d bir soru olarak ya\u015fam alan\u0131 daralt\u0131l\u0131yor, eninde sonunda esir al\u0131n\u0131yor ve maskesi \u00e7\u0131kart\u0131l\u0131yor. \u0130\u015fte matematik incilerden etrafa yay\u0131lan \u0131s\u0131 ve \u0131\u015f\u0131\u011f\u0131n kayna\u011f\u0131 da maskesi y\u0131rt\u0131lm\u0131\u015f bu soru -\u201ckum tanesi\u201d- olsa gerek.<\/p>\n

Bu a\u00e7\u0131dan bakt\u0131\u011f\u0131m\u0131zda matematik\u00e7inin i\u015fini bir kaleyi fethetmek isteyen komutan\u0131n i\u015fine benzetebiliriz belki. Bazen ger\u00e7ekten de b\u00f6yle oluyor; yani belli bir problemin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc \u00fczerinde kocaman bir kolektif \u201ckomutan\u201dlar\u0131 ba\u015fkanl\u0131\u011f\u0131nda uzunca bir s\u00fcre u\u011fra\u015f veriyor. Bunun parlak \u00f6rne\u011fi olarak, atom \u00e7ekirde\u011findeki enerjiyi (n\u00fckleer) ortaya \u00e7\u0131karabilmek \u00fczere ABD ve eski Sovyetler Birli\u011fi\u2019nde verilen muazzam m\u00fccadeleyi g\u00f6sterebiliriz. Tabii orada kocaman matematik\u00e7iler ve fizik\u00e7iler ordusu da \u00e7al\u0131\u015fm\u0131\u015f ve hak ettikleri \u00f6d\u00fclleri de alm\u0131\u015flard\u0131 (ABD\u2019de J. Neumann, E. Fermi, R. Feynman, Sovyetler\u2019de ise \u0130. M. Gelfand, M. V. Keld\u0131sh ve Zeldovich vb.). Ama matematikte bu i\u015fler genel olarak, K\u00f6ro\u011flu\u2019nun \u201cYi\u011fit gerek yar sevmeye, kendi tek gide, tek gide\u201d slogan\u0131 alt\u0131nda yap\u0131lm\u0131\u015f ve yap\u0131lmaktad\u0131r.<\/p>\n

\"\"
Fields madalyas\u0131ndan ve Millenium Problemleri\u2019nin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc i\u00e7in ayr\u0131lm\u0131\u015f bir milyon dolardan imtina eden Grigori Perelman\u2019\u0131n soyad\u0131 \u201c\u0130nci Adam\u201d anlam\u0131na geliyor.<\/figcaption><\/figure>\n

Bazen sedef olu\u015fturmaya (maske y\u0131rtmaya) \u00f6m\u00fcr yetmeyebilir; yani sen sorunu de\u011fil, soru seni bitirebilir. Paralellik aksiyomu \u00e7ok ki\u015finin hayat\u0131n\u0131 karartt\u0131, hatta son verdi. \u0130\u015fin yar\u0131m kalmas\u0131n\u0131n bir nedeni de, bir s\u00fcr\u00fc yeni kum tanesinin -maskeli sorular\u0131n- ortaya \u00e7\u0131kmas\u0131 ve yeni sorular\u0131n daha b\u00fcy\u00fck \u00f6nem ta\u015f\u0131mas\u0131 da olabilir. Bir zamanlar Japonya\u2019da \u00e7al\u0131\u015fm\u0131\u015f olan Ovchinnikov \u201cSakura (Vi\u015fne) dal\u0131\u201d adl\u0131 me\u015fhur kitab\u0131nda inci yeti\u015ftirilmesi meselesinden de s\u00f6z etmi\u015ftir. Orada istiridyelerin kabu\u011funu k\u00fc\u00e7\u00fck bir ameliyatla a\u00e7\u0131p i\u00e7erisine bir cisim (bazen hatta k\u00fc\u00e7\u00fck Buda, horoz, y\u0131ld\u0131z vs.) koyduktan sonra, su i\u00e7erisinde olan \u00f6zel a\u011f kutulara yerle\u015ftiriliyor ve b\u00f6ylece inci olu\u015fumu s\u00fcreci ba\u015flat\u0131l\u0131yordu. Bu i\u015flemlerde olduk\u00e7a hassas olmak gerekiyordu, \u015f\u00f6yle ki, bir yanl\u0131\u015f davran\u0131\u015f sonucunda ya istiridye \u00f6l\u00fcr veya sakatlan\u0131r ve dolay\u0131s\u0131yla inci olmaz, ikinci halde ise ortaya be\u015f kuru\u015f etmez \u201csakat inci\u201d \u00e7\u0131kar. Ovchinnikov\u2019a verilen 100 istiridyeden sadece 3\u2019\u00fc sa\u011f kalm\u0131\u015f ki, onlardan \u00e7\u0131kan inciler de sakat olmu\u015f. Meselenin ilgin\u00e7 yan\u0131 \u015fu ki, matematik\u00e7iler aras\u0131ndaki ili\u015fkiler de t\u0131pk\u0131 insanla istiridye aras\u0131ndaki ili\u015fkilerin ayn\u0131s\u0131d\u0131r diyebiliriz. Yani ya \u201ckum tanesi – sorunun\u201d do\u011fal olarak (kendili\u011finden) uygun bir ortama isabet etmesi laz\u0131m, ya da hassas bir \u015fekilde, manevi yara a\u00e7\u0131lmas\u0131na neden olmadan d\u0131\u015far\u0131dan yerle\u015ftirilmesi \u015fart. Aksi halde iyi sonu\u00e7 beklenemez. Ayn\u0131 zamanda inci yapan hayvanlar\u0131n genelde hermafrodit (e\u015feyli, honsa) olmas\u0131 da dikkat \u00e7ekici. Yani onlar uygun bir yere yumurtalar\u0131 b\u0131rak\u0131r ve daha sonra kendi spermleri ile de onlar\u0131 mayaland\u0131r\u0131rlar. T\u0131pk\u0131 bir bilim insan\u0131n\u0131n zihinsel bir \u00fcr\u00fcn\u00fc ortaya koymak istedi\u011fi zaman davrand\u0131\u011f\u0131 gibi.<\/p>\n

Bu arada kaydetmemiz gerekiyor ki, zikir olunan matematik denizi ve de onun ait oldu\u011fu matematik d\u00fcnyas\u0131 yaln\u0131zca be\u015fer evlad\u0131n\u0131n kolektif \u015fuurunda mevcuttur. Ve Cahit Arf hakk\u0131nda \u201cmatematik denizinin dalg\u0131c\u0131\u201d tabirini kulland\u0131\u011f\u0131m\u0131zda da bu denizi kastediyoruz. Sir Isaac Newton kendisini m\u00fctevaz\u0131 olarak, sadece \u201cger\u00e7ekler denizi\u201d k\u0131y\u0131s\u0131nda ko\u015fu\u015fturan ve dalgalar\u0131n sahile att\u0131\u011f\u0131 ilgin\u00e7 bir bal\u0131k kula\u011f\u0131 bulunca sevinen \u00e7ocu\u011fa benzetirken de ayn\u0131 denizi kastediyordu herhalde. Ama san\u0131r\u0131m Newton sahilde ko\u015fu\u015fturmakla kalmam\u0131\u015f, zaman zaman bu denizin derinliklerine de ba\u015fvurmu\u015f, orada yeterince u\u011fra\u015farak, Fuzuli\u2019nin tabirince s\u00f6ylersek \u201csultanlara lay\u0131k\u201d incisini yapm\u0131\u015f ve di\u011fer insanlar\u0131n da seyretmesi i\u00e7in oradan g\u00fcn \u0131\u015f\u0131\u011f\u0131na \u00e7\u0131kartm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

Birka\u00e7 kelime de sedef i\u00e7in sarf edelim. Organik ve anorganik maddelerden olu\u015fan parlak g\u00fcm\u00fc\u015f\u00ee, sert bir olu\u015fumdur. \u0130nci yapan deniz hayvanlar\u0131n\u0131n kabuklar\u0131n\u0131n i\u00e7i de bu olu\u015fumla kapl\u0131d\u0131r. Ad\u0131 Alman dilinde \u201cperlmutter\u201d (Rus dilinde Perlamutr) gibi ge\u00e7iyor ve bu \u201cinci annesi\u201d anlam\u0131na gelmekle sedefi dolu d\u00fczg\u00fcn karakterize ediyor diyebiliriz. Bir zamanlar, matematik\u00e7iler i\u00e7in Nobel \u00f6d\u00fcl\u00fc gibi de nitelendirilen Fields madalyas\u0131ndan (2006) ve daha sonra Millenium Problemleri\u2019nin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc i\u00e7in ayr\u0131lm\u0131\u015f bir milyon dolardan da imtina eden (2010) Grigori Perelman hakk\u0131ndaki yaz\u0131m\u0131zda, onun soyad\u0131n\u0131n \u201c\u0130nci Adam\u201d anlam\u0131na geldi\u011fini ve buna g\u00f6re de soyad\u0131n\u0131 do\u011frularcas\u0131na kendi sedef kabu\u011funda saklanmas\u0131n\u0131n do\u011fal kar\u015f\u0131lanmas\u0131 gerekti\u011fini vurgulam\u0131\u015ft\u0131k. B\u00fcy\u00fck T\u00fcrk \u015fairi Muhammed Fuzuli ise me\u015fhur \u201cS\u00f6z\u201d gazelinde, s\u00f6z\u00fc sedefe, onun i\u00e7indeki k\u0131ymetli fikri ise inciye benzeterek \u015f\u00f6yle demi\u015ftir: \u201cOlmayan gavvasi bahri \u2013 marifet arif de\u011fil; \u00c7\u00fcn sedef terkibi tendir l\u00f6l\u00f6\u00fc \u2013 \u015fahvar \u00a0s\u00f6z\u201d. (Marifet denizinin dalg\u0131c\u0131 olmayan arif de\u011fil; \u00e7\u00fcnk\u00fc \u015fahlara lay\u0131k inciler sedefin i\u00e7inde bulunur yaln\u0131zca). Yine me\u015fhur T\u00fcrk-Azeri \u015fairi Molla Panah Vagif ise duda\u011f\u0131 yakuta, di\u015fleri inciye, a\u011fz\u0131 sedefe, oradan \u00e7\u0131kan s\u00f6zleri ise de\u011fi\u015fik hazinelerden gelen de\u011ferli ta\u015flara benzetmi\u015ftir: \u201cSevgilim leblerin yakuta benzer; Sera-ser di\u015flerin d\u00fcr-tanedendir; Sedef dehan\u0131zdan \u00e7\u0131kan s\u00f6zlerin; Her biri bir gayr\u0131 hazinedendir\u201d. Sedef genelde bezek malzemesi olarak, \u00f6rne\u011fin de\u011fi\u015fik musiki aletlerinin (tar, ba\u011flama, kemanca) \u00fczerindeki s\u00fcslemeler i\u00e7in de kullan\u0131l\u0131r.<\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/p>\n

Bu yaz\u0131n\u0131n ele al\u0131nmas\u0131n\u0131n nedenleri <\/em><\/strong><\/p>\n

Her zaman oldu\u011fu gibi, geleneksel olarak birka\u00e7 kelime de yaz\u0131n\u0131n ele al\u0131nmas\u0131n\u0131n nedenlerine de\u011finelim. Bir zamanlar Sakarya \u00dcniversitesi Fen Edebiyat Fak\u00fcltesi Felsefe B\u00f6l\u00fcm\u00fcn\u00fcn Kul\u00fcp Toplant\u0131s\u0131nda verdi\u011fim konferans\u0131n sonucu olarak, \u201cMatematik ispat\u0131n felsefesi\u201d konulu bir yaz\u0131 yazm\u0131\u015ft\u0131m. Bu yaz\u0131n\u0131n da yaz\u0131lmas\u0131nda esasen \u00fcniversitenin E\u011fitim Fak\u00fcltesinde ve Fen Edebiyat Fak\u00fcltesinin Matematik b\u00f6l\u00fcm\u00fcnde son aylarda vermi\u015f oldu\u011fum konferanslar etkili olmu\u015ftur diyebilirim. Fakat esas d\u00fcrt\u00fc ve neden olarak \u00c7in as\u0131ll\u0131, Avustralya do\u011fumlu (1975), ABD matematik\u00e7isi Terence Tao\u2019nun, \u0130ngiliz matematik\u00e7isi Ben J. Green\u2019le (1977) birlikte, asal say\u0131lar d\u00fcnyas\u0131nda yapm\u0131\u015f olduklar\u0131 muhte\u015fem \u201cinci-teorem\u201d ve Tao\u2019nun \u201cAnalysis II\u201d kitab\u0131 ile tan\u0131\u015fl\u0131\u011f\u0131m olmu\u015ftur dersem, ger\u00e7e\u011fe daha yak\u0131n olurum. Vatanda\u015f yaz\u0131m\u0131za neden oldu\u011fundan, birka\u00e7 kelime de onun i\u00e7in sarf etmemiz do\u011fal olacakt\u0131r bence, hem o da Perelman t\u00fcr\u00fcnden bir \u201cinci adam\u201d say\u0131labilir. Ger\u00e7i psikolojileri ve ya\u015fam tarzlar\u0131 a\u00e7\u0131s\u0131ndan \u00e7ok, ama \u00e7ok farkl\u0131lar.<\/p>\n

Terence Avustralya\u2019n\u0131n Adelaida kentinde matematik \u00f6\u011fretmeni bir anne ve \u00e7ocuk doktoru olan bir baban\u0131n ilk evlad\u0131 olarak 1975\u2019te do\u011fdu. Saymay\u0131 ve okumay\u0131 hen\u00fcz 2 ya\u015f\u0131ndayken televizyon \u00e7ocuk program\u0131ndan (Sesame Street – Sezam Soka\u011f\u0131) \u00f6\u011frenmi\u015fti. 11, 12, 13 ya\u015flar\u0131nda D\u00fcnya Matematik Olimpiyatlar\u0131nda s\u0131ras\u0131yla bronz, g\u00fcm\u00fc\u015f ve alt\u0131n madalya alm\u0131\u015ft\u0131. 14 ya\u015f\u0131nda Avustralya\u2019da kazanm\u0131\u015f oldu\u011fu \u00fcniversitede mast\u0131r derecesini ald\u0131ktan sonra, Fulbright (Fulbrayt) bursunu kazanarak, doktora yapmak \u00fczere ABD\u2019ye gitti ve 1996 y\u0131l\u0131nda 20 ya\u015f\u0131ndayken doktoras\u0131n\u0131 tamamlad\u0131. Ayn\u0131 y\u0131l California \u00dcniversitesi\u2019nde akademik ya\u015fam\u0131na ba\u015flad\u0131. Merak alanlar\u0131 matemati\u011fin armonik analiz, k\u0131sm\u0131 t\u00fcrevli diferansiyel denklemler teorisi, kombinasyon hesab\u0131, say\u0131lar\u0131n analitik teorisi ve temsil teorisi gibi \u00f6nemli b\u00f6l\u00fcmleridir.<\/p>\n

Bu alanlardaki \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131 sonucunda s\u0131ras\u0131yla a\u015fa\u011f\u0131daki, say\u0131s\u0131 ve \u00f6nemlerine g\u00f6re \u015fa\u015f\u0131rt\u0131c\u0131 (\u201cak\u0131llara durgunluk verecek\u201d) \u00f6d\u00fclleri kazanm\u0131\u015ft\u0131r: Salem \u00d6d\u00fcl\u00fc (2000), Bocher An\u0131t \u00d6d\u00fcl\u00fc (2002), Clay Ara\u015ft\u0131rma \u00d6d\u00fcl\u00fc (2003), Avustralya Matematik Kurumu Madalyas\u0131 (2005), Ostrowski \u00d6d\u00fcl\u00fc (2005), SASTRA Ramanujan \u00d6d\u00fcl\u00fc (2006), Fields Madalyas\u0131 ve \u00d6d\u00fcl\u00fc (2006) (Perelman\u2019\u0131n geri \u00e7evirdi\u011fi), MacArthur \u00d6d\u00fcl\u00fc (2007), Londra Kral Cemiyeti \u00dcyeli\u011fi (2007), Alan T. Waterman \u00d6d\u00fcl\u00fc (2008), Onsager Madalyas\u0131 (2008), Uluslararas\u0131 Kral Faysal \u00d6d\u00fcl\u00fc (2010), Matematikte Nemmers \u00d6d\u00fcl\u00fc (2010) ve Polya \u00d6d\u00fcl\u00fc (2010). San\u0131r\u0131m \u015fa\u015f\u0131rmak i\u00e7in bu kadar yeter, fazla kal\u0131r bile.<\/p>\n

\"\"
\u00c7in as\u0131ll\u0131, Avustralya do\u011fumlu (1975), ABD matematik\u00e7isi Terence Tao.<\/figcaption><\/figure>\n
\"\"
e, ve 1 say\u0131lar\u0131 s\u0131ras\u0131yla analiz, geometri, cebir ve aritmeti\u011fin temsilcileri olarak bir araya gelmi\u015f ve de Euler\u2019in ad\u0131na yak\u0131\u015f\u0131r bir inci olu\u015fturmu\u015flar.<\/figcaption><\/figure>\n

Bu \u00f6d\u00fcllerin baz\u0131lar\u0131 maddi a\u00e7\u0131dan da bir hayli de\u011ferli. \u00d6rne\u011fin Kral Faysal \u00f6d\u00fcl\u00fc 200 graml\u0131k alt\u0131n madalya ve 200 bin ABD dolar\u0131ndan olu\u015fmakta. Nemmers \u00d6d\u00fcl\u00fc 150 bin ABD dolar\u0131, Alan T. Waterman \u00d6d\u00fcl\u00fc ise 500 bin ABD dolar\u0131 d\u00fczeyinde. E\u011fer Gri\u015fa Perelman Fields Madalyas\u0131 ve Millenium Probleminin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc i\u00e7in ona verilen 1 milyon dolardan imtina etmeseydi, hi\u00e7 ku\u015fkusuz, daha bir s\u00fcr\u00fc \u00f6d\u00fcl ve adlara mazhar olacakt\u0131. \u0130\u015fte Perelman ve Tao\u2019nun en b\u00fcy\u00fck fark\u0131 burada. Ama her ikisinin annesi matematik \u00f6\u011fretmeni olmu\u015flar. Bu da benzer yanlar\u0131. Perelman\u2019dan farkl\u0131 olarak Tao insanlarla rahatl\u0131kla ba\u011flant\u0131 kuruyor ve genelde tak\u0131m halinde \u00e7al\u0131\u015fmay\u0131 tercih ediyor. 80 makalesi olan Tao\u2019nun makale ortaklar\u0131n\u0131n say\u0131s\u0131 50\u2019dir. Bu da onlar\u0131 farkl\u0131 k\u0131lan y\u00f6nlerden bir tanesi. Nihayet Tao evli ve bir \u00e7ocuk babas\u0131d\u0131r. Bu da farkl\u0131l\u0131klar\u0131 farkl\u0131 k\u0131lan bir olay.<\/p>\n

 <\/p>\n

Baz\u0131 inci \u00f6rnekleri <\/em><\/strong><\/p>\n

Baz\u0131 inci \u00f6rnekleri de\u011fi\u015fik tan\u0131m, kavram, lemma ve teoremler arkas\u0131nda, t\u0131pk\u0131 bir \u201cso\u011fan c\u00fcc\u00fc\u011f\u00fc\u201d gibi \u00f6ylesine sakl\u0131 ki, ona ula\u015fana, temas edip anlayana kadar \u201cadam\u0131n anas\u0131ndan emdi\u011fi burnundan gelir\u201d, ke\u015fke bu i\u015fe girmeseydim der ve bazen de yolun yar\u0131s\u0131ndan geri d\u00f6ner. Bu a\u00e7\u0131dan say\u0131lar teorisinin incileri nerdeyse yal\u0131ng\u00f6zle g\u00f6r\u00fcnecek kadar herkese a\u00e7\u0131k. Bu ve benzer nedenlerden dolay\u0131, ben esasen bu alandaki baz\u0131 incilerden s\u00f6z etmeyi, onlar\u0131n anla\u015f\u0131larak be\u011feni kazanmas\u0131n\u0131 sa\u011flamay\u0131 ama\u00e7l\u0131yorum. Ama bu arada ba\u015fka bilim alanlar\u0131nda olan muhte\u015fem incilerden k\u0131sa da olsa s\u00f6z etmekten kendimi al\u0131koyamam. Tabii bizim inci listemiz taml\u0131k ve m\u00fckemmellikten \u00e7ok uzak olmakla, esas itibariyle ancak kendi zevk ve seviyemizi k\u0131smen yans\u0131t\u0131r yaln\u0131zca.<\/p>\n

Bana g\u00f6re bir numaral\u0131 inci olmaya aday, eski Yunan bilgini Demokritos\u2019un uydurdu\u011fu atom<\/strong> kavram\u0131 olsa gerek. E. Rutherford\u2019un, N. Bohr\u2019un ve di\u011fer kuantum fizik\u00e7ilerinin atom modellerinin hepsi, ilk atom kavram\u0131n\u0131n temel \u00f6zelli\u011finin, etraf\u0131m\u0131zda olup biten olaylara bir yorum getirebilme g\u00fcc\u00fcnden yararlanm\u0131\u015f ve bu nedenle de ayakta kalm\u0131\u015flard\u0131.<\/p>\n

Fizikte mevcut olan \u201cKorunma Yasalar\u0131\u201dn\u0131n her biri bana g\u00f6re birer inci tanesi. Bunlar enerjinin, momentumun, \u00e7iftlili\u011fin, k\u00fctlenin vs. korunma yasalar\u0131d\u0131r ki, bunlar da kendi s\u0131ras\u0131nda mek\u00e2n\u0131n (uzay\u0131n) izotoplu\u011fu (nokta farks\u0131zl\u0131\u011f\u0131) ve izotroplu\u011funun (y\u00f6n farks\u0131zl\u0131\u011f\u0131) bir sonucu olarak ortaya \u00e7\u0131km\u0131\u015flard\u0131.<\/p>\n

    \n
  1. Fermat\u2019\u0131n \u201cen k\u0131sa zaman\u201d ve W. Hamilton\u2019un \u201cen k\u00fc\u00e7\u00fck mukavemet\u201d prensipleri de bu t\u00fcrden kavramlar ve onlar\u0131 temel alarak bir s\u00fcr\u00fc yasa \u00e7\u0131kartabiliriz rahatl\u0131kla. Tabii daha sonra bu yasalar\u0131m\u0131z\u0131 deneylerle kontrol ediyoruz her ihtimale kar\u015f\u0131n. Bu arada ikisi aras\u0131nda da bir ba\u011f\u0131nt\u0131 mevcuttur hi\u00e7 ku\u015fkusuz. Fermat prensibine g\u00f6re \u0131\u015f\u0131k bir noktadan di\u011ferine ula\u015f\u0131rken hep en k\u0131sa zaman gerektiren yolu tercih ediyor. \u0130\u015fte bu prensipten deneyle kontrol olunabilen \u0131\u015f\u0131\u011f\u0131n yans\u0131ma ve k\u0131r\u0131lma yasalar\u0131 teorik olarak \u00e7\u0131kar\u0131labiliyor. En k\u00fc\u00e7\u00fck mukavemet prensibine g\u00f6re ise, fiziksel bir sistem durumunu de\u011fi\u015ftirdi\u011fi s\u00fcrece ancak en k\u00fc\u00e7\u00fck diren\u00e7le kar\u015f\u0131la\u015ft\u0131\u011f\u0131 y\u00f6nde hareketi tercih ediyor. \u00c7ok ihtimal ki, bu zaman da A<\/em> durumundan B<\/em> durumuna ge\u00e7mesi i\u00e7in gereken zaman en k\u0131sa olur.<\/li>\n<\/ol>\n
    \"\"
    \u201cElementler\u201d adl\u0131 eserin yazar\u0131 eski Yunan matematik\u00e7isi Euclid\u2019in (\u00d6klid) \u0130ngiltere\u2019deki heykeli.<\/figcaption><\/figure>\n

    San\u0131r\u0131m buna en parlak \u00f6rnek olarak, varyasyon hesab\u0131n\u0131n temel problemlerinden biri olan \u201cbrachistochrone\u201d (en h\u0131zl\u0131 zaman) meselesini g\u00f6sterebiliriz. D\u00fcnyaya g\u00f6re dikey bir d\u00fczlemde ayn\u0131 dikey do\u011fru \u00fczerinde olmayan ve farkl\u0131 y\u00fckseklikte yerle\u015fen A<\/em> (\u00fcst) ve B<\/em> (alt) noktalar\u0131n\u0131 alal\u0131m. Sorulan soru \u015fu: k\u00fcre bi\u00e7iminde bir cisim, s\u00fcrt\u00fcnmesiz yuvarlanarak A<\/em>\u2019dan B<\/em>\u2019ye en k\u0131sa zamanda yeti\u015febilmesi i\u00e7in, yol olarak d\u00fczlemde A<\/em> ve B<\/em>\u2019yi birle\u015ftiren hangi e\u011friyi tercih etmelidir? \u0130lk akla gelen yol bu noktalar\u0131 birle\u015ftiren do\u011fru par\u00e7as\u0131 oluyor tabii, en k\u0131sa yol oldu\u011fundan. Fakat ara\u015ft\u0131rmalar g\u00f6sterdi ki (J. Bernoulli), bu yol yatay do\u011fru \u00fczerinde s\u00fcrt\u00fcnmesiz d\u00f6nerek ilerleyen bir dairenin (tekerlek) her \u00e7ember noktas\u0131n\u0131n dikey d\u00fczlemde s\u00fcrekli olarak \u00e7izmekte oldu\u011fu e\u011fridir ve bu e\u011frinin ad\u0131na tsikloid (cickloid) denilir.<\/p>\n

    Hi\u00e7 ku\u015fkusuz fizi\u011fin en can al\u0131c\u0131 ve g\u00f6z ok\u015fayan incilerinden bir tanesi de, belki de birincisi, A. Einstein\u2019\u0131n me\u015fhur E = mc2<\/em> form\u00fcl\u00fcd\u00fcr ve buna g\u00f6re k\u00fctlesi m<\/em> olan maddede sakl\u0131 olan E<\/em> enerjisi, bu k\u00fctlenin \u0131\u015f\u0131\u011f\u0131n vakumdaki c<\/em> h\u0131z\u0131n\u0131n karesiyle \u00e7arp\u0131m\u0131na e\u015fittir. \u0130\u015fte maddede, asl\u0131nda ise onu te\u015fkil eden atomlar\u0131n \u00e7ekirde\u011finde sakl\u0131 olan muazzam enerjinin varl\u0131\u011f\u0131 bu form\u00fclle tespit edilmi\u015f ve daha sonra da kullan\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r. Bunun yan\u0131 s\u0131ra, kuantum mekani\u011finin temellerini atan W. Heisenberg\u2019in \u201cBelirsizlik\u201d ve N. Bohr\u2019un \u201cT\u00fcmleme\u201d prensipleri de de\u011ferli ve g\u00f6z ok\u015fayan inciler olarak nitelendirilebilirler.<\/p>\n

    San\u0131r\u0131m de\u011fi\u015fik inciler hakk\u0131nda sohbetimize fizikten ba\u015flamam\u0131z anlay\u0131\u015fla kar\u015f\u0131lanmal\u0131, \u015f\u00f6yle ki, fizik s\u00f6z\u00fc k\u00f6ken olarak eski Yunanca do\u011fa anlam\u0131na gelen \u201cf\u00fczis\u201d s\u00f6z\u00fcnden t\u00fcremi\u015ftir. Do\u011faya yak\u0131nl\u0131\u011f\u0131 ile matematik dallar\u0131 aras\u0131nda se\u00e7ilen geometriden de birka\u00e7 inci \u00f6rne\u011fi verelim ki, ta\u015flar bir miktar yerine otursun. Asl\u0131nda 20. y\u00fczy\u0131l\u0131n en b\u00fcy\u00fck matematik\u00e7ilerinden olan Alman D. Hilbert\u2019e g\u00f6re, geometri fizi\u011fin bir dal\u0131ym\u0131\u015f yaln\u0131zca. Ama \u00e7ok soyut bir matematik\u00e7i olan Frans\u0131z J. P. Serre\u2019e g\u00f6re ise, matematikle fizi\u011fin hi\u00e7bir ortak yan\u0131 yok. E\u011fer bunlar\u0131n her ikisini de kabullenirsek, sonu\u00e7 olarak, \u201cgeometri ile matematik aras\u0131nda ortak bir \u015fey yok\u201d demek zorunda kal\u0131r\u0131z (T\u00fcrkiye okullar\u0131nda yayg\u0131n olarak yap\u0131lan bir \u015fey). Bize g\u00f6re geometri matemati\u011fin bir dal\u0131 olmakla, hem de onun \u00f6nemli, olmazsa olmaz temellerinden biridir. Bu arada matemati\u011fin \u201ckesin bilgi\u201d anlam\u0131na geldi\u011fini unutmayal\u0131m. Okullarda bunun dallar\u0131n\u0131 Aritmetik, Cebir, D\u00fczlem ve Uzay Geometrileri, Trigonometri gibi dallara ay\u0131rabiliriz, kulland\u0131klar\u0131 ortak y\u00f6ntemlere g\u00f6re.<\/p>\n

    Geometride ilk g\u00f6z ok\u015fayan inci olarak akl\u0131ma Ar\u015fimet\u2019den bize gelip yeti\u015fen \u015fu ba\u011flant\u0131y\u0131 alabiliriz bence: \u201cYar\u0131\u00e7ap\u0131 ve y\u00fcksekli\u011fi R<\/em> olan koninin hacmi ile yar\u0131\u00e7ap\u0131 R<\/em> olan yar\u0131m k\u00fcrenin hacmini toplarsak, yar\u0131\u00e7ap\u0131 ve de y\u00fcksekli\u011fi yine R<\/em> olan silindirin hacmini buluruz\u201d.<\/p>\n

    \u0130kinci inci olarak eski Yunanlar\u0131n 2300 y\u0131l \u00f6nce bulmu\u015f olduklar\u0131 irrasyonel say\u0131lar\u0131 g\u00f6sterebiliriz ki, bu da karenin kenar\u0131 ile k\u00f6\u015fegeninin ortak \u00f6l\u00e7e\u011finin olmamas\u0131 tezine dayan\u0131yordu. Bilindi\u011fi \u00fczere reel eksen \u00fczerinde herhangi bir A<\/em> noktas\u0131na kar\u015f\u0131n o zaman m\/n <\/em>rasyonel (kesir) say\u0131s\u0131n\u0131 koyabiliriz ki, OB<\/em> birim par\u00e7as\u0131n\u0131n 1\/n<\/em> k\u0131sm\u0131 OA<\/em> par\u00e7as\u0131 \u00fczerinde tam m<\/em> defa yerle\u015fsin. Bu zaman onlar\u0131n ortak \u00f6l\u00e7e\u011fi var diyoruz. E\u011fer OA <\/em>par\u00e7as\u0131 ile OB<\/em> birim par\u00e7as\u0131n\u0131n ortak \u00f6l\u00e7e\u011fi olmazsa, \u00a0A<\/em> noktas\u0131na kar\u015f\u0131n hi\u00e7bir rasyonel say\u0131 koyam\u0131yoruz. \u0130\u015fte tam da bu s\u0131rada bir \u201cacil yard\u0131m\u201d olarak irrasyonel say\u0131lar imdad\u0131m\u0131za yeti\u015fiyor ve i\u015fler devam ediyor. Bu m\u00fclahazalar\u0131n temelinde ise Pisagor ve \u201ckaresi 2 olan rasyonel say\u0131 yoktur\u201d teoremleri durmaktalar.<\/p>\n

    Eski Yunanlardan bir inci tanesini daha hat\u0131rlatal\u0131m. Onlar anlam\u0131\u015flar ki, \u00e7ember \u201cuzunlu\u011funun kendi \u00e7ap uzunlu\u011funa olan oran\u0131 t\u00fcm \u00e7emberler i\u00e7in ayn\u0131 oluyor\u201d. \u0130\u015fte t\u00fcm \u00e7emberler i\u00e7in ortak olan bu say\u0131 takdim etmek istedi\u011fimiz incidir ki, ona \u03c0 ad\u0131 (Pisagor\u2019dan herhalde) takm\u0131\u015flar. Bilindi\u011fi \u00fczere bunun yakla\u015f\u0131k de\u011feri (net de\u011ferini kimse bilmiyor, irrasyonellik ve transandantl\u0131k i\u015fte bu) 3,14\u2019t\u00fcr ve bunun yard\u0131m\u0131 ile yar\u0131\u00e7ap\u0131 R<\/em> olan \u00e7emberin L <\/em>uzunlu\u011fu i\u00e7in L = 2<\/em>\u03c0R<\/em> form\u00fcl\u00fc yaz\u0131l\u0131r. \u0130lave edelim ki, \u00e7emberle ba\u011f\u0131nt\u0131l\u0131 olan trigonometrik fonksiyonlar teorisinde \u03c0 say\u0131s\u0131 olmadan ge\u00e7inmek \u00e7ok zor olurdu herhalde.<\/p>\n

    \u03c0 say\u0131s\u0131na de\u011finip de e<\/em> say\u0131s\u0131na (Euler\u2019den) de\u011finmezsek, sadece e<\/em>\u2019ye kar\u015f\u0131 de\u011fil, ilgili herkese kar\u015f\u0131 haks\u0131zl\u0131k yapm\u0131\u015f olurduk herhalde. Bu say\u0131 da t\u0131pk\u0131 \u00f6teki gibi \u00e7ok zor anla\u015f\u0131lan, ama buna ra\u011fmen \u00e7ok kullan\u0131lan ve \u00e7ok me\u015fhur bir say\u0131. Bunun me\u015fhur olmas\u0131n\u0131n temel nedeni ise bence, taban\u0131 e<\/em> olan \u00fcstel fonksiyonun t\u00fcrevinin kendisine e\u015fit olmas\u0131d\u0131r. Ba\u015fka b\u00f6yle fonksiyon yok bir defa (tabii t\u00fcrevi s\u0131f\u0131r olan sabit toplanan fark\u0131yla). Bu say\u0131 m\u00fcrekkep faizlerin hesaplanmas\u0131 zaman\u0131 do\u011fal olarak meydana \u00e7\u0131k\u0131yor. \u015e\u00f6yle ki, basit hesaplama g\u00f6steriyor ki, e\u011fer bir milyar paray\u0131 n<\/em> y\u0131ll\u0131\u011f\u0131na, her sene sonunda sene ba\u015f\u0131nda olan paran\u0131n 1\/n<\/em> k\u0131sm\u0131 kadar k\u00e2r getirmesi ko\u015fulu ile bankaya yat\u0131r\u0131rsak, n.<\/em> senenin sonunda param\u0131z\u0131n miktar\u0131 Pn<\/sub><\/em> = (1 + 1\/n<\/em>)n<\/sup><\/em> olacakt\u0131r. O da belli oluyor ki, n<\/em> artt\u0131k\u00e7a bu form\u00fclle hesaplanan Pn<\/sub><\/em> belli bir s\u0131n\u0131ra \u201c\u00e7ok\u201d yakla\u015f\u0131yor, ama onu a\u015fam\u0131yor. \u0130\u015fte bu s\u0131n\u0131r e<\/em> = 2,718281728\u2026milyard\u0131r.<\/p>\n

    \"\"
    Zor problemlere getirdi\u011fi kolay \u00e7\u00f6z\u00fcmlerle me\u015fhur olan Norve\u00e7li matematik\u00e7i A. Selberg (1917-2007).<\/figcaption><\/figure>\n

    \u015eimdi bunlar\u0131 bir araya getirip, yeni bir inci olu\u015fturman\u0131n tam zaman\u0131: e<\/em>\u03c0i<\/em> + 1 = 0<\/em>. Bu inci Euler\u2019e mahsus ve bu inci Baha Okar taraf\u0131ndan benim \u201cMatematik G\u00fczeldir\u201d kitab\u0131m\u0131n \u201cMatematik\u201d b\u00f6l\u00fcm\u00fcn\u00fcn ba\u015f\u0131na bir \u201cs\u00fcs e\u015fyas\u0131\u201d olarak konulmu\u015ftur zaman\u0131nda. G\u00f6r nerelerden nerelere geldik. Burada e<\/em>, \u00a0\u03c0<\/em>, i<\/em> ve 1 say\u0131lar\u0131 s\u0131ras\u0131yla analiz, geometri, cebir ve aritmeti\u011fin temsilcileri olarak bir araya gelmi\u015f ve de Euler\u2019in ad\u0131na yak\u0131\u015f\u0131r bir inci olu\u015fturmu\u015flar. Yeri gelmi\u015fken e <\/em>ve \u03c0 say\u0131lar\u0131n\u0131 bir araya getirebilmi\u015f bir ba\u015fka matematik dehas\u0131 vard\u0131r ki, o da \u201chayranl\u0131k duydu\u011fumuz bir matematik\u00e7i\u201d Ramanujan\u2019d\u0131r. Onun \u201cinci\u201d form\u00fclerinden birinde, bir sonsuz zincir kesirle bir sonsuz serinin toplam\u0131n\u0131n \u00a0\u2019ye e\u015fit oldu\u011fu g\u00f6z\u00fckmektedir!<\/p>\n

    \u0130lave etmem gerekiyor ki, \u015furaya kadar yapt\u0131klar\u0131m\u0131z bir \u0131s\u0131nma hareketleriydi yaln\u0131zca. \u015eimdi bu yaz\u0131n\u0131n yaz\u0131lmas\u0131na neden olmu\u015f say\u0131lar teorisindeki baz\u0131 incilere de g\u00f6z at\u0131p, son olarak da Gren-Tao\u2019ya mahsus inciyi sunarak yaz\u0131m\u0131za son vermek istiyoruz.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Do\u011fal say\u0131lar \u00e2lemindeki baz\u0131 inciler hakk\u0131nda<\/em><\/strong><\/p>\n

    Do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesi olan N <\/em>\u00a0\u201csonsuzluklar \u00e2leminin\u201d en basit ve en \u201czay\u0131f\u201d eleman\u0131 olarak nitelendirilebilir. Bu k\u00fcme hatta o kadar zay\u0131f ki, ona bazen sonsuzluklar \u00e2leminin \u201cs\u0131f\u0131r\u0131\u201d bile denilir. \u015eu manada ki, bu k\u00fcmenin ba\u015fka bir sonsuz k\u00fcmeye eklenmesi onun g\u00fcc\u00fcn\u00fc – \u201celeman say\u0131s\u0131n\u0131\u201d de\u011fi\u015ftirmiyor. Tabii bu sonsuzluklar ve \u201c\u00f6l\u00fcms\u00fczl\u00fckler\u201d \u00e2lemi i\u00e7in ge\u00e7erlidir, bizim \u201csonlu ve bir ucu \u00f6l\u00fcml\u00fc\u201d d\u00fcnyam\u0131z i\u00e7in ise do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesi s\u0131rl\u0131 ger\u00e7eklerle dopdolu bir okyanusun \u00f6tesinde bir \u015fey olsa gerek. En az\u0131ndan okyanuslardaki t\u00fcm canl\u0131lar\u0131n, cans\u0131zlar\u0131n ve de zerreciklerin say\u0131s\u0131 sonlu oldu\u011fu halde, N <\/em>k\u00fcmesinde bu say\u0131 sonsuzdur. G\u00f6receli, pratik de\u011fil mutlak manada sonsuzdur. Neler yok burada, neler? Tekler, \u00e7iftler, kareler, k\u00fcpler, 6 ve 28 gibi \u00e7arpanlar\u0131n\u0131n toplam\u0131na e\u015fit olan m\u00fckemmeller, 1729 ve 4104 gibi iki say\u0131n\u0131n k\u00fcplerinin toplam\u0131 olarak, iki farkl\u0131 \u015fekilde g\u00f6sterilebilen me\u015fhur Ramanujan say\u0131lar\u0131, \u00fcstel say\u0131lar, fakt\u00f6riyeller vs. Lakin bu \u201caileler\u201d i\u00e7erisinde dikkatleri \u00fczerine en \u00e7ok \u00e7eken, hi\u00e7 ku\u015fkusuz asal say\u0131lar ailesidir ve say\u0131lar teorisinin en m\u00fckemmel incileri de i\u015fte bu aile ile ba\u011f\u0131nt\u0131l\u0131 olarak meydana \u00e7\u0131km\u0131\u015ft\u0131r. B\u00f6ylece konumuz belirlenmi\u015f oldu nihayet.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Asal say\u0131lar nedir, ne i\u015fe yarar, ne kadar var?<\/em><\/strong><\/p>\n

    Yaln\u0131zca 1\u2019e ve kendine b\u00f6l\u00fcnen say\u0131lara asal say\u0131lar denilir. Zaten t\u00fcm say\u0131lar i\u00e7in de 1 ve kendisi b\u00f6lendir, ama asal olmayanlar\u0131n ba\u015fka b\u00f6lenleri de mevcut. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,\u2026ve bu gibi say\u0131lar ilk asallard\u0131r. 2 say\u0131s\u0131 asal olan tek \u00e7ift say\u0131d\u0131r. 1 say\u0131s\u0131n\u0131n tan\u0131m\u0131 sa\u011flamas\u0131na ra\u011fmen asal say\u0131lmamas\u0131n\u0131n nedeni ise, asal \u00e7arpanlara ay\u0131rma hakk\u0131nda teoremin \u201cd\u00fczg\u00fcn olmas\u0131n\u0131\u201d sa\u011flamakt\u0131r. Malumdur ki, her say\u0131 ancak bir bi\u00e7imde (s\u0131ra fark\u0131 olabilir) asal \u00e7arpanlara ayr\u0131l\u0131r. Bu teorem say\u0131lar teorisinde temel teorem olarak ge\u00e7iyor. \u015eimdi 1\u2019i asal hesap etsek, \u00f6rne\u011fin 15 say\u0131s\u0131 i\u00e7in 15 = 3*5 = 1*3*5 gibi iki farkl\u0131 ayr\u0131l\u0131\u015f buluruz ki, burada da 1\u2019lerin say\u0131s\u0131 art\u0131r\u0131larak, yeni ayr\u0131l\u0131\u015flar da yazabiliriz. Demek ki, asal say\u0131lar, bir nevi \u00f6teki say\u0131lar\u0131 olu\u015fturmak i\u00e7in birer atomdurlar denilebilir. Ve do\u011fal olarak bu atom-tu\u011flalar\u0131n say\u0131s\u0131 merak edilir. Bu merak 2300 y\u0131l \u00f6nce \u00d6klid\u2019in me\u015fhur \u201cElementler\u201d kitab\u0131nda giderilmi\u015ftir. Buyurun siz de bak\u0131n:<\/p>\n

    \"\"Teorem<\/strong>: Asal say\u0131lar k\u00fcmesi sonlu de\u011fildir. \u0130spat<\/strong>: Diyelim ki, sonludur ve sonuncu asal say\u0131 p<\/em>\u2019dir. Bakal\u0131m bundan ne \u00e7\u0131kar. q<\/em> = 2.3.5.7\u2026p<\/em> +1 say\u0131s\u0131na g\u00f6z atal\u0131m. Yani t\u00fcm asallar\u0131n \u00e7arp\u0131m\u0131na (say\u0131s\u0131n\u0131 sonlu hesap ettik ya) 1 say\u0131s\u0131n\u0131 ekledik. G\u00f6r\u00fcnd\u00fc\u011f\u00fc \u00fczere bu say\u0131 bizim asallardan hi\u00e7 birine b\u00f6l\u00fcnm\u00fcyor (kalan hep 1). O halde iki se\u00e7enek var, ya bu say\u0131 kendisi asald\u0131r veya bizim bildi\u011fimiz asallar\u0131n d\u0131\u015f\u0131nda olan ba\u015fka bir asala b\u00f6l\u00fcn\u00fcr. Her iki halde sonlu asal say\u0131lar k\u00fcmemiz geni\u015flemeye mecbur ve b\u00f6ylece s\u00fcrekli geni\u015flemeye maruz kalarak durmadan \u00e7o\u011fal\u0131yor. Durmadan \u00e7o\u011falmak ise burada sonlu olmamak anlam\u0131na geliyor. Normalde laf\u0131 b\u00f6yle bitiriyorlar: gelinen sonu\u00e7 ters faraziyemize (asal say\u0131lar sonludurlar) ters d\u00fc\u015ft\u00fc\u011f\u00fcnden, faraziyemiz yanl\u0131\u015f, teoremin h\u00fckm\u00fc ise do\u011frudur. Art\u0131k bir incimiz var!<\/p>\n

    Asal say\u0131lar\u0131n sonsuz olmas\u0131 \u00f6nemli bir mesele oldu\u011fundan bu konuda bir teorem daha verelim. Teorem<\/strong>: n<\/em>! + 1 say\u0131s\u0131n\u0131n en k\u00fc\u00e7\u00fck b\u00f6leni n<\/em>\u2019den b\u00fcy\u00fck olan asal say\u0131d\u0131r. \u0130spat<\/strong>: E\u011fer bu say\u0131n\u0131n b\u00f6leni yoksa, yani kendisi asal ise, ispat biter, \u00e7\u00fcnk\u00fc onun n<\/em>\u2019den b\u00fcy\u00fck olmas\u0131 a\u00e7\u0131k. E\u011fer \u00e7arpanlar\u0131 varsa ve onlar\u0131n en k\u00fc\u00e7\u00fc\u011f\u00fc p<\/em> ise, p<\/em>\u2019nin n<\/em>\u2019den b\u00fcy\u00fck olaca\u011f\u0131 a\u00e7\u0131k. \u00a0G\u00f6sterelim ki, p<\/em> asal olmak zorunda. Aksi halde, e\u011fer a < b <\/em>olmakla p<\/em> = ab<\/em> olsayd\u0131, bizim n<\/em>! + 1 say\u0131m\u0131z p<\/em>\u2019den k\u00fc\u00e7\u00fck olan a<\/em>\u2019ya da b\u00f6l\u00fcn\u00fcrd\u00fc ki, bu da p<\/em>\u2019nin en k\u00fc\u00e7\u00fck b\u00f6len olmas\u0131 faraziyemize ters d\u00fc\u015f\u00fcyor. Demek p<\/em> asald\u0131r.<\/p>\n

    Sonu\u00e7 olarak diyebiliriz ki, [n<\/em>, n<\/em>! + 1] aral\u0131\u011f\u0131nda en az\u0131 bir asal say\u0131 vard\u0131r. \u015eimdi e\u011fer reel ekseni 2, 2! + 1, (2! + 1)! + 1, ((2! + 1)! + 1)! + 1,\u2026 gibi noktalarla sonsuz say\u0131da aral\u0131klara ay\u0131rsak, her aral\u0131kta en az bir asal say\u0131 oldu\u011fundan, asal say\u0131lar\u0131n da sonsuz oldu\u011fu sonucuna ula\u015f\u0131r\u0131z. Asal say\u0131lar\u0131n sonsuz say\u0131da olmas\u0131n\u0131n bir kan\u0131t\u0131 da ispats\u0131z verece\u011fimiz a\u015fa\u011f\u0131daki teoremde sakl\u0131d\u0131r. Teorem<\/strong>: Keyfi n<\/em> do\u011fal say\u0131s\u0131 i\u00e7in [n<\/em>, 2n<\/em>] aral\u0131\u011f\u0131nda en az bir tane asal say\u0131 vard\u0131r. Buna g\u00f6re [2, 4], [4, 8], [8, 16], [16, 32] gibi sonsuz say\u0131da aral\u0131klar\u0131n her birinde en az bir asal say\u0131 oldu\u011fundan, yine asallar\u0131n sonlu olmayaca\u011f\u0131n\u0131 kan\u0131tlam\u0131\u015f oluruz.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Asal say\u0131 bar\u0131nd\u0131rmayan aral\u0131k var m\u0131 reel eksende?<\/em><\/strong><\/p>\n

    Bu sorunun pozitif yan\u0131t\u0131 \u015fimdi ispat edece\u011fimiz teoremde sakl\u0131d\u0131r. Teorem<\/strong>: Do\u011fal say\u0131lar dizisinde asal say\u0131 i\u00e7ermeyen istenilen uzunlukta dizi par\u00e7as\u0131 mevcuttur. \u0130spat<\/strong>: M<\/em> istenilen do\u011fal say\u0131 olsun. O halde (M<\/em> + 1)! + 2, (M<\/em> + 1)! + 3, (M<\/em> + 1)! + 4,\u2026, (M<\/em> + 1)! + (M<\/em> + 1) say\u0131lar\u0131ndan olu\u015fan ve uzunlu\u011fu M<\/em> olan dizinin birinci terimi 2\u2019ye, 2. terimi 3\u2019e, 3. terimi 4\u2019e vs. M<\/em>\u2019ci terimi \u00a0(M<\/em> + 1)\u2019e b\u00f6l\u00fcnmekle hi\u00e7biri asal de\u011fildir. Teorem ispat olundu. Meselenin ilgin\u00e7 yan\u0131 \u015fu ki, eski Yunanlar bu konuya hi\u00e7 de\u011finmemi\u015fler. Belki de onlar var olan \u015feylerle u\u011fra\u015fm\u0131\u015f, yokluktan ka\u00e7\u0131nm\u0131\u015flar. Ama asl\u0131nda bu teorem de varl\u0131kla ba\u011f\u0131nt\u0131l\u0131d\u0131r, asal say\u0131 i\u00e7ermeyen keyfi uzunlukta do\u011fal say\u0131lar dizisi par\u00e7as\u0131n\u0131n varl\u0131\u011f\u0131yla.<\/p>\n

    \u00a0<\/strong><\/p>\n

    Aritmetik diziler ve asal say\u0131 ba\u011flant\u0131s\u0131<\/em><\/strong><\/p>\n

    \u0130spat edelim ki, 3\u2019e b\u00f6l\u00fcnende 2 kalan\u0131 olan do\u011fal say\u0131lar\u0131n aritmetik dizisi (dizi fark\u0131 3) b\u00fcnyesinde sonsuz say\u0131da asal say\u0131 bar\u0131nd\u0131r\u0131yor. Teorem<\/strong>: {3k + 2}<\/em> aritmetik dizisinde bar\u0131nan asal say\u0131lar\u0131n say\u0131s\u0131 sonlu de\u011fildir. \u0130spat<\/strong>: \u00d6klid\u2019in y\u00f6ntemini uygulayal\u0131m. Farz edelim ki, bu dizideki asallar\u0131n say\u0131s\u0131 sonludur ve onlar\u0131n sonuncusu da p<\/em>\u2019dir (Sonuncu Mohikan). M = 2.3.5. \u2026 p \u2013 1 say\u0131s\u0131n\u0131 alal\u0131m. Bu say\u0131 3\u2019e b\u00f6l\u00fcnd\u00fc\u011f\u00fcnde kalan 2 oldu\u011fundan bizim diziye mahsus olarak,\u00a0 p<\/em>\u2019ye kadar olan asallardan hi\u00e7birine b\u00f6l\u00fcnm\u00fcyor. Demek ki, bunun asal \u00e7arpanlar\u0131 p<\/em>\u2019den b\u00fcy\u00fckt\u00fcr. \u015eimdi g\u00f6sterelim ki, bu asal \u00e7arpanlardan en az bir tanesi (3k + 2)<\/em> bi\u00e7imindedir, yani bizim dizidendir.<\/p>\n

    (3a + 1) ( 3b+1) = 9ab + 3a + 3b+1 = 3(3ab+ a+ b) +1 = 3k + 1 oldu\u011funa g\u00f6re, e\u011fer M<\/em>\u2019in t\u00fcm \u00e7arpanlar\u0131 (3k<\/em> + 1) bi\u00e7iminde olsayd\u0131 M<\/em> de bu bi\u00e7imde olmak zorunda kal\u0131rd\u0131, oysa M<\/em> yukar\u0131da belirtti\u011fimiz gibi bizim dizidendir. Bu \u00e7eli\u015fkiden dolay\u0131 M<\/em>\u2019in bir asal \u00e7arpan\u0131 bizim diziden olmakla, sonuncu dedi\u011fimiz p<\/em> asal\u0131ndan da b\u00fcy\u00fckt\u00fcr. Yani faraziyemiz yanl\u0131\u015f, teoremin h\u00fckm\u00fc do\u011fru oldu.<\/p>\n

    Al\u0131\u015ft\u0131rma<\/strong>: {<\/strong>4k + 3} <\/strong>ve { 6k + 5} <\/strong>aritmetik dizilerindeki asallar\u0131n say\u0131s\u0131 da sonlu de\u011fildir h\u00fckm\u00fcn\u00fc yukar\u0131daki m\u00fclahazalara benzer bi\u00e7imde ispatlay\u0131n\u0131z.<\/p>\n

    \"\"
    \u201cMatematik\u00e7iler kral\u0131\u201d unvanl\u0131 Alman K. Gauss.<\/figcaption><\/figure>\n

    Elbette bu \u00f6rneklerin say\u0131s\u0131n\u0131 art\u0131rmak m\u00fcmk\u00fcn, fakat buna gerek yok. \u00c7\u00fcnk\u00fc Frans\u0131z matematik\u00e7isi A. M. Legendre 1788\u2019de bu \u00f6rneklerin hepsini i\u00e7eren bir varsay\u0131m ileri s\u00fcrd\u00fc. Bu varsay\u0131ma g\u00f6re birinci terimi (a<\/em>) ile dizi fark\u0131 (d<\/em>) aralar\u0131nda asal olan t\u00fcm aritmetik diziler sonsuz say\u0131da asal say\u0131 bar\u0131nd\u0131r\u0131yor: a, a + d, a + 2d, \u2026 , a + nd, \u2026 dizisindeki asal say\u0131s\u0131 sonsuzdur. Bu varsay\u0131m 1837 y\u0131l\u0131nda yine Frans\u0131z matematik\u00e7isi L. Dirichlet taraf\u0131ndan y\u00fcksek matematik kullan\u0131lmakla ispatlanm\u0131\u015ft\u0131. Varsay\u0131m\u0131n basit, elemanter ispat\u0131 ise yaln\u0131zca 1949 y\u0131l\u0131nda, varsay\u0131mdan tam 161 y\u0131l sonra, zor problemlere getirdi\u011fi kolay \u00e7\u00f6z\u00fcmlerle me\u015fhur olan Norve\u00e7li matematik\u00e7i A. Selberg taraf\u0131ndan verilmi\u015ftir. Bu ispat da matematik incilerden biriydi ve bu \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131yla A. Selberg (1917-2007) hakl\u0131 olarak 1950 y\u0131l\u0131nda Fields Madalyas\u0131n\u0131n sahibi oldu.<\/p>\n

    Acaba t\u00fcm elemanlar\u0131 asal olan aritmetik dizi var m\u0131? Bu sorunun cevab\u0131n\u0131n negatif oldu\u011fu \u015fimdi verece\u011fimiz teoremden belli oluyor. Teorem<\/strong>: T\u00fcm terimleri asal olan aritmetik dizi mevcut de\u011fil. \u0130spat<\/strong>: d > 2, (a,d) = 1<\/em> ko\u015fulunda a, a + d, a + 2d, \u2026, a + (n-1)d + \u2026<\/em> aritmetik dizisini alal\u0131m. Onun genel terimi olan an = a + (n \u2013 1)d \u2019yi an = (a + n) + n(d \u2013 1) \u015feklinde yazarsak g\u00f6r\u00fcr\u00fcz ki, n<\/em>\u2019in belli bir de\u011ferinde (a + n) say\u0131s\u0131 (d \u2013 1)\u2019e b\u00f6l\u00fcnece\u011finden, uygun an\u2019de (d \u2013 1)<\/em>\u2019e b\u00f6l\u00fcn\u00fcyor ve an asal olmuyor. Teorem ispat olundu.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Do\u011fal say\u0131lar\u0131n asall\u0131k kontrol\u00fc<\/em><\/strong><\/p>\n

    Bir do\u011fal say\u0131n\u0131n asal oldu\u011funu nas\u0131l bilebiliriz? Hen\u00fcz 500 sene \u00f6nce R\u00f6nesans d\u00f6neminin \u0130talyan as\u0131ll\u0131 me\u015fhur matematik\u00e7isi L. Fibonacci fark etmi\u015ftir ki, bunun i\u00e7in bu M<\/em> say\u0131s\u0131n\u0131n k\u00f6k M den b\u00fcy\u00fck olmayan asal say\u0131lardan hi\u00e7birine b\u00f6l\u00fcnmedi\u011fini tespit etmek yeterli olacakt\u0131r. Ger\u00e7ekten kolayca g\u00f6rebiliriz ki, e\u011fer M = ab ise, min {a.b} \u2264 k\u00f6k M oluyor. \u00d6rne\u011fin K\u00d6K 91 < 10 oldu\u011fundan, 91\u2019in 2, 3, 5 ve 7 asal say\u0131lar\u0131na b\u00f6l\u00fcn\u00fcp b\u00f6l\u00fcnmedi\u011fini test etmek yeterli olacakt\u0131r. Sonu\u00e7 olarak 91 = 7.13 oldu\u011funu, yani 91\u2019in asal olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 tespit etmi\u015f oluruz. Ayn\u0131 \u015fekilde K\u00d6K 1987 < 45oldu\u011fundan ve 1987 say\u0131s\u0131 2, 3, 5, 7, 11, \u2026 , 43 asal say\u0131lar\u0131ndan hi\u00e7birine b\u00f6l\u00fcnmedi\u011finden, onun asal oldu\u011fu h\u00fckm\u00fcne var\u0131r\u0131z.<\/p>\n

    \"\"
    Hint as\u0131ll\u0131 matematik\u00e7i Ramanujan.<\/figcaption><\/figure>\n

    Bu konuda matemati\u011fin her alan\u0131nda s\u00f6z sahibi olan L. Euler\u2019in de iki kontrol testi vard\u0131r. Teorem (Test 1)<\/strong>: E\u011fer M<\/em> do\u011fal say\u0131s\u0131 iki say\u0131n\u0131n kareleri fark\u0131 olarak, iki farkl\u0131 \u015fekilde g\u00f6sterilebilirse, o, asal de\u011fildir. Aksi halde asald\u0131r. \u0130spat<\/strong>: Farz edelim ki, M<\/em> tam kare de\u011fildir, o zaman asal olmad\u0131\u011f\u0131 a\u00e7\u0131k olurdu. \u015eimdi e\u011fer M = m2 \u2013 n2 = (m \u2013 n) (m + ) ise, iki durum s\u00f6z konusu olur. 1) M<\/em> asald\u0131r. O halde m \u2013 n = 1 ve \u00a0M = m + n olmak zorunda ve buradan da bu say\u0131lar m = (M +1) \/ 2 ve n = ( M \u2013 1) \/ 2 \u00a0olarak bulunur ve ikinci bir ayr\u0131l\u0131\u015f yok. 2) M<\/em> asal de\u011fildir. O halde, o, tam kare olmad\u0131\u011f\u0131ndan a > b > 1 ko\u015fulunda M = ab olur. \u015eimdi e\u011fer \u00a0x = (a + b) \/ 2 ve y = ( a \u2013 b) \/ 2 olarak kabul edersek ( a + b ve a \u2013 b say\u0131lar\u0131 \u00e7ift say\u0131lard\u0131r),<\/p>\n

    x + y = a \u00a0ve x \u2013 y = b oldu\u011fundan, M = ab = x2 \u2013 y2 olmakla, M <\/em>i\u00e7in karelerin fark\u0131 olarak ikinci bir ayr\u0131l\u0131\u015f buluruz. Teorem ispat olundu.<\/p>\n

    \u015eimdi bu teoremin bir uygulamas\u0131n\u0131 verelim: 3551 say\u0131s\u0131na tam kare olan 49\u2019u eklersek, yine tam kare olan 3600 say\u0131s\u0131n\u0131 buluruz. Buna g\u00f6re 3551 = 3600 \u2013 49 = (60 \u2013 7)(60 + 7) = 53.67 olarak buluruz, yani 3551 asal de\u011fildir. Euler\u2019in bir teoremini daha ispats\u0131z verelim.<\/p>\n

    Teorem (Test 2)<\/strong>: E\u011fer M<\/em> do\u011fal say\u0131s\u0131 iki say\u0131n\u0131n karelerinin toplam\u0131 olarak iki farkl\u0131 \u015fekilde g\u00f6sterilebilirse, o, asal de\u011fildir. Ancak sadece bir bi\u00e7imde g\u00f6sterilebiliyorsa asald\u0131r.<\/p>\n

    Birka\u00e7 \u00f6rnek verelim 13 = 9 + 4, 17 = 16 + 1, 29 = 25 + 4. Dikkat edersek bu asal say\u0131lar\u0131n hepsi 4\u2019e b\u00f6l\u00fcnd\u00fc\u011f\u00fcnde kalan 1 olur. Bu genel bir teoremin sonucudur, \u015f\u00f6yle ki, iki say\u0131n\u0131n karelerinin toplam\u0131 bi\u00e7iminde g\u00f6sterilebilen asal say\u0131lar 4k<\/em> + 1 bi\u00e7iminde olmak zorundalar. Buradan sonu\u00e7 olarak 4k<\/em> + 3 bi\u00e7imindeki asal say\u0131lar i\u00e7in b\u00f6yle bir g\u00f6steri\u015fin olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 s\u00f6yleyebiliriz. \u00d6rne\u011fin 11, 31, 43 ve bu gibi asallar\u0131 iki karenin toplam\u0131 bi\u00e7iminde g\u00f6steremeyiz.<\/p>\n

    Teorem (S. Jarmen)<\/strong>: n > <\/em>1 durumunda M<\/em> = n<\/em>4<\/sup> + 4 say\u0131s\u0131 asal de\u011fildir.<\/p>\n

    \u0130spat<\/strong>: M = n<\/em>4<\/sup> + 4 = (n<\/em>2<\/sup> \u2013 2)2<\/sup> + (2n)2 <\/sup>oldu\u011fundan, iki say\u0131n\u0131n karelerinin toplam\u0131 olarak iki farkl\u0131 \u015fekilde g\u00f6sterilmi\u015f oldu. Euler\u2019in 2. Testine g\u00f6re bu say\u0131 asal olamaz. \u00d6rnek olarak
    \n629 = 625 + 4 = 54<\/sup> + 4 oldu\u011fundan, bu say\u0131 asal de\u011fil, 629 = 17×37 olarak \u00e7arpanlara ayr\u0131l\u0131r.<\/p>\n

    Di\u011fer bir test Mersenne ve m\u00fckemmel say\u0131larla ba\u011f\u0131nt\u0131l\u0131 verilebilir. Hat\u0131rlatal\u0131m ki, Mersenne say\u0131lar\u0131 2k<\/sup> + 1, 2k<\/sup> \u2013 1 bi\u00e7imindeki say\u0131lara, m\u00fckemmel say\u0131lar ise \u00e7arpanlar\u0131n\u0131n toplam\u0131na e\u015fit olan say\u0131lara denir. Teorem (Euler)<\/strong>: E\u011fer k<\/em> > 1 olmakla M(k) = 2 k<\/sup> \u2013 1 say\u0131s\u0131 asal ise 2 k-1 (\u00fcstte) M(k) say\u0131s\u0131 m\u00fckemmeldir. B\u00f6ylece ikinci say\u0131n\u0131n m\u00fckemmel oldu\u011funu kontrol etmekle Mersenne say\u0131s\u0131n\u0131n asal olmas\u0131n\u0131 saptayabiliriz. Birka\u00e7 \u00f6rnekte bu sav\u0131 kontrol edelim. k = <\/em>2 oldu\u011funda, M(2) = 3 asal ve buna g\u00f6re 2 1<\/sup> M(3) = 2.3 = 6 = 1 + 2+ 3 say\u0131s\u0131 m\u00fckemmel oldu. k = <\/em>3 i\u00e7in M(3) = 7 asal ve sonu\u00e7 olarak
    \n2 2<\/sup> M(3) = 4.7= 28 = 1+ 2+ 4+ 7+ 14 say\u0131s\u0131 m\u00fckemmel. Son olarak k = <\/em>5 alal\u0131m. Bu durumda M(5) = 31 say\u0131s\u0131 asal oldu\u011funa g\u00f6re
    \n2 4<\/sup> M(5) = 16.31 = 296 = 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 31+ 62+ 124+ 248 olmakla m\u00fckemmel say\u0131d\u0131r. Ekleyelim ki, M(11) = 2 11 <\/sup>\u2013 1 = 2047 = 23.89 asal olmad\u0131\u011f\u0131ndan uygun 210<\/sup> M(11) say\u0131s\u0131n\u0131n m\u00fckemmel oldu\u011funu h\u00fckmedemeyiz.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Asal say\u0131lar do\u011furabilen fonksiyonlar<\/em><\/strong><\/p>\n

    Asal say\u0131larla ilgilenen herkes b\u00f6yle bir fonksiyonun varl\u0131\u011f\u0131n\u0131 hayal ediyor tabii. Do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesinde tan\u0131mlanm\u0131\u015f b\u00f6yle bir fonksiyonun varl\u0131\u011f\u0131 ayn\u0131 zamanda asal say\u0131lar\u0131n sonsuzlu\u011funun hem bir kan\u0131t\u0131, hem de yap\u0131c\u0131 bir kan\u0131t\u0131 olurdu. Maalesef, \u00f6rne\u011fin bir de\u011fi\u015fkenli b\u00f6yle bir fonksiyon mevcut de\u011fil. Bu konuda ilk s\u00f6z\u00fc say\u0131lar teorisinin temellerini atm\u0131\u015f olan Frans\u0131z F. Fermat\u2019ya verelim.<\/p>\n

    Adam demi\u015f ki, bence F(n) = 2 (2 \u00fczeri n) + 1 say\u0131s\u0131 t\u00fcm do\u011fal n<\/em>\u2019ler i\u00e7in asal olacak. Ger\u00e7ekten de n<\/em>\u2019in 1, 2, 3 ve de 4 de\u011ferleri i\u00e7in hesapland\u0131\u011f\u0131nda, uygun olarak 5, 17, 257 ve 65537 say\u0131lar\u0131 bulunur ve bunlar hepsi asal. Fakat 1732 y\u0131l\u0131nda, zaman\u0131n\u0131n me\u015fhur hesaplay\u0131c\u0131s\u0131 L. Euler g\u00f6sterdi ki, F(5) = 2 (2 \u00fczeri 5) + 1 = 641. 6700417 olmakla \u00e7arpanlara ayr\u0131l\u0131r, yani asal de\u011fil. Ama bunun bir sonucu oldu ki, bu bi\u00e7imde asal say\u0131lara Fermat\u2019\u0131n asal say\u0131lar\u0131 denildi ve matematik\u00e7iler kral\u0131, Alman K. Gauss ispat etti ki, kenar say\u0131s\u0131 asal olan d\u00fczg\u00fcn \u00e7okgeni cetvel ve pergel yard\u0131m\u0131yla yaln\u0131z o zaman \u00e7izebiliriz ki, bu say\u0131 Fermat\u2019\u0131n asal say\u0131s\u0131 olsun.<\/p>\n

    Bir di\u011fer basit do\u011furan fonksiyon olarak Euler\u2019in buldu\u011fu P(n) = n 2<\/sup> + n + 41 fonksiyonunu alal\u0131m. Hesaplar g\u00f6steriyor ki, bu fonksiyonun de\u011ferleri arg\u00fcman\u0131n 1\u2019den 39\u2019a kadar olan t\u00fcm k\u0131ymetlerinde s\u0131ras\u0131yla 43, 47, 53, \u2026 ,1601 oluyor ve bunlar asal say\u0131lar. Fakat n<\/em>\u2019in 40 de\u011ferinde P(40) = 40 2<\/sup> + 40 + 41 = 40 2<\/sup> + 2.40 + 1 = 412<\/sup> olmakla art\u0131k asal olmuyor. Ayn\u0131 s\u00f6zler, bize g\u00f6re A. Kolmogorov\u2019a mahsus
    \nP(n) = n 2<\/sup> \u2013 n + 41 ve Kurant\u2019a addedece\u011fimiz \u00a0P(n) = n 2<\/sup> \u2013 79n + 1601 fonksiyonlar\u0131 i\u00e7in de s\u00f6ylenebilir. Birinci fonksiyonun asal say\u0131 \u00fcretmesi n<\/em> = 41 de\u011ferinde, ikincininki ise n<\/em> = 80 de\u011ferinde t\u00f6kezliyor.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Ba\u015f incimiz: Asal say\u0131lar\u0131n aritmetik dizileri<\/em><\/strong><\/p>\n

    Birinci terimi ile dizi fark\u0131 aralar\u0131nda asal olan keyfi aritmetik dizinin (Azeri T\u00fcrk\u00e7esinde buna Arap\u00e7a zincir anlam\u0131na gelen \u201csilsile\u201d denir) sonsuz say\u0131da asal say\u0131 bar\u0131nd\u0131rd\u0131\u011f\u0131n\u0131 daha \u00f6nce s\u00f6ylemi\u015ftik. \u015eimdi \u015f\u00f6yle bir soru at\u0131l\u0131yor ortaya: t\u00fcm terimleri asal olan keyfi sonlu uzunlukta aritmetik dizi var m\u0131? 1975 y\u0131l\u0131nda Macar \u00e2limi ispatlad\u0131 ki, e\u011fer N<\/em> do\u011fal say\u0131lar\u0131n A<\/em> sonsuz alt k\u00fcmesi N<\/em>\u2019de g\u00f6receli yo\u011fun ise, bu k\u00fcmede aritmetik dizi mevcut. G\u00f6receli yo\u011fun ne demek peki? E\u011fer A<\/em> k\u00fcmesinin n<\/em>\u2019den b\u00fcy\u00fck olmayan eleman say\u0131s\u0131n\u0131 An<\/sub><\/em>\u2019le i\u015faret etsek, o zaman A<\/em>\u2019n\u0131n N<\/em>\u2019de g\u00f6receli yo\u011fun olmas\u0131, An<\/sub><\/em> \/n<\/em> oran\u0131n\u0131n n<\/em> sonsuz b\u00fcy\u00fcd\u00fc\u011f\u00fc s\u00fcrece s\u0131f\u0131rdan \u201cuzak durmas\u0131\u201d demektir. n<\/em>\u2019den b\u00fcy\u00fck olmayan asal say\u0131lar i\u00e7in An<\/sub><\/em> yakla\u015f\u0131k olarak ln(n) oldu\u011fundan, uygun oran i\u00e7in s\u0131f\u0131rdan \u201cuzak durma\u201d ko\u015fulu sa\u011flanam\u0131yor, \u00e7\u00fcnk\u00fc ln(n)\/n<\/em> oran\u0131n\u0131n limiti (hedefi) zaten s\u0131f\u0131rd\u0131r. Buna g\u00f6re asal say\u0131lar k\u00fcmesi i\u00e7in Macar \u00e2liminin teoremi ge\u00e7erli de\u011fil.<\/p>\n

    T\u00fcm bu olumsuzluklara ra\u011fmen 2004 senesinde \u0130ngiliz as\u0131ll\u0131 Green ve \u00c7in as\u0131ll\u0131 Tao, olas\u0131l\u0131k teorisinin sonu\u00e7lar\u0131ndan da b\u00fcy\u00fck \u00f6l\u00e7\u00fcde yararlanarak, ispat ettiler ki, do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesinde elemanlar\u0131 asal say\u0131lar olan keyfi uzunlukta (elemanlar\u0131n\u0131n say\u0131s\u0131) aritmetik dizi var. Size sunmak istedi\u011fimiz as\u0131l inci i\u015fte bu. \u0130lave edelim ki, \u015fu an asal say\u0131lar\u0131n 2010 y\u0131l\u0131nda bulunan en uzun aritmetik dizisinin uzunlu\u011fu sadece 26\u2019d\u0131r ve bu dizi \u00e7ok b\u00fcy\u00fck zahmet hesab\u0131na, en modern kuantum bilgisayarlar\u0131n kullan\u0131m\u0131 ile bulunabilmi\u015ftir. Bu dizinin ilk terimi 17 basamakl\u0131 43 142 746 595 714 191 (43 katrilyon\u2026) say\u0131s\u0131, dizi fark\u0131 ise 16 basamakl\u0131 5 283 234 035 979 900 (5 katrilyon\u2026) say\u0131s\u0131d\u0131r. Tabii bu say\u0131lar\u0131 aray\u0131p bulmak her bilgisayar\u0131n ve bilgisayar m\u00fchendisinin haddi de\u011fil. Ama adamlar ak\u0131l almaz zek\u00e2lar\u0131yla asal say\u0131lar\u0131n sosuz k\u00fcmesini, \u201ctaray\u0131p, elekten ge\u00e7irerek\u201d burada keyfi uzunlukta aritmetik dizi oldu\u011fu ger\u00e7e\u011fini, o paha bi\u00e7ilmez inciyi karanl\u0131ktan g\u00fcn \u0131\u015f\u0131\u011f\u0131na \u00e7\u0131kart\u0131p, insanlar\u0131n seyrine sundular. Ahsen! Aferin!<\/p>\n

    Asal say\u0131lar dizisinin uzunlu\u011fu ile ba\u011f\u0131nt\u0131l\u0131 bir teorem daha verelim. Teorem<\/strong>: p<\/em> > 2 asal say\u0131 ve d (denktir i\u015fareti) 1(mod p) ise dizi fark\u0131 d<\/em> olan asal say\u0131lar\u0131n aritmetik dizisinin uzunlu\u011fu p<\/em>\u2019den fazla olamaz. \u0130spat<\/strong>: Ger\u00e7ekten, e\u011fer aritmetik dizinin ilk terimi a<\/em> i\u00e7in a (denktir i\u015fareti) m(mod p) ise, bu dizinin terimleri p<\/em> mod\u00fcl\u00fcne g\u00f6re m, m +1 , m + 2, \u2026, m + (p \u2013 1), \u2026 gibi ard\u0131\u015f\u0131k say\u0131lardan olu\u015facakt\u0131r. p<\/em> tane ard\u0131\u015f\u0131k say\u0131dan bir tanesi p<\/em>\u2019ye b\u00f6l\u00fcnmek zorunda oldu\u011fundan, o say\u0131 asal olmaktan \u00e7\u0131kar. Sadece p<\/em>\u2019nin kendisi bu dizinin eleman\u0131 oldu\u011fu durumda uygun asal say\u0131lar dizisinin uzunlu\u011fu p<\/em> olabilir. Teorem ispat olundu.<\/p>\n

    Asal say\u0131lar\u0131n birka\u00e7 basit, 3, 4, 5 terimli aritmetik dizisini de biz g\u00f6sterelim son olarak. 3 elemanl\u0131 \u201casal\u201d aritmetik dizi: 3, 5, 7; a<\/em> = 3, d<\/em> = 2; 3 elemanl\u0131ya daha bir \u00f6rnek: 3, 7, 11; a<\/em> = 3, d<\/em> = 4; 4 elemanl\u0131: 251, 257, 263, 269; a<\/em> = 251, d<\/em> = 6; ve nihayet 5 elemanl\u0131 \u201casal\u201d aritmetik dizi \u00f6rne\u011fi: 5, 11, 17, 23, 29; a<\/em> = 5, d<\/em> = 6. G\u00f6r\u00fcnd\u00fc\u011f\u00fc gibi dizi fark\u0131 6 olarak iki yerde kullan\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r ve bu tesad\u00fcfi de\u011fildir. Biz kendi k\u0131s\u0131tl\u0131 imk\u00e2nlar\u0131m\u0131zla 10 000\u2019e kadar do\u011fal say\u0131lar i\u00e7erisindeki asal say\u0131lar\u0131, farklar\u0131 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 olmak \u00fczere \u00e7iftlere ay\u0131rd\u0131k (Sakarya \u00dcniversitesi Bilgisayar M\u00fchendisli\u011fi B\u00f6l\u00fcm\u00fcnden Do\u00e7. Dr. Ali G\u00fclba\u011f\u2019la). Benim tahminim en fazla \u00e7iftin 6\u2019ya mutab\u0131k olaca\u011f\u0131 y\u00f6n\u00fcndeydi ve sonu\u00e7lar beklentilerin \u00e7ok \u00fczerinde oldu. \u015e\u00f6yle ki, 2, 4, 6, 8 dizi farklar\u0131 aras\u0131nda 6 fark\u0131 \u00f6tekilerin nerdeyse iki kat\u0131na ula\u015farak onlara \u201cfark att\u0131\u201d. Net olarak s\u00f6ylemek gerekiyorsa, 2\u2019ye uyan 205, 4\u2019e uyan 203, 8\u2019e uyan 208, 6\u2019ya uyan tam 421 asal say\u0131 \u00e7ifti vard\u0131. Geriye kalan farklarda ise 30 fark\u0131 \u00f6tekilere b\u00fcy\u00fck fark att\u0131. Ona uyan tam 536 \u00e7ift vard\u0131. Kaydedelim ki, fark\u0131n basamak say\u0131s\u0131, uyan \u00e7iftlerin say\u0131s\u0131n\u0131n belirlenmesinde etkili oluyor, basamak say\u0131s\u0131 artt\u0131k\u00e7a uyan \u00e7ift say\u0131s\u0131 da art\u0131yor.<\/p>\n

    S\u00f6ylemem gerekiyor ki, 6 fark\u0131na \u00f6nem vermemin nedeni onun m\u00fckemmel olmas\u0131na ba\u011fl\u0131 idi. Fakat iki basamakl\u0131lar aras\u0131nda 28 say\u0131s\u0131n\u0131n m\u00fckemmel olmas\u0131na ra\u011fmen 30 fark\u0131 \u00f6ne \u00e7\u0131kt\u0131\u011f\u0131nda anlad\u0131m ki, bu faraziye i\u015fe yaramad\u0131. O zaman ba\u015fka kriterlere bakmak gerekti ve belli oldu ki, burada etkili olay, say\u0131da olan farkl\u0131 \u00e7arpanlar\u0131n say\u0131s\u0131d\u0131r. Ger\u00e7ekten 2, 4, 8 say\u0131lar\u0131 sadece 2\u2019nin dereceleri (farkl\u0131 \u00e7arpan say\u0131s\u0131 1) oldu\u011fu halde, 6 say\u0131s\u0131n\u0131n 2 farkl\u0131 \u00e7arpan\u0131 vard\u0131r. Ayn\u0131 \u015fekilde 30\u2019a kadar (kontrol etti\u011fimiz) \u00e7ift say\u0131lar i\u00e7erisinde hepsinin iki farkl\u0131 \u00e7arpan\u0131 oldu\u011fu halde, 30 say\u0131s\u0131n\u0131n 2, 3 ve 5 gibi \u00fc\u00e7 farkl\u0131 \u00e7arpan\u0131 vard\u0131r. Bu arada kaydedelim ki, farklar\u0131 6 olan asal say\u0131lar \u00e7iftine, 6\u2019n\u0131n \u0130ngilizcesinden (six) yola \u00e7\u0131karak \u201cseks\u00fcel \u00e7ift\u201d ad\u0131 tak\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r. G\u00f6z\u00fcken o ki, \u00fcremesi de ad\u0131na uymu\u015ftur.<\/p>\n

     <\/p>\n

    Birka\u00e7 al\u0131\u015ft\u0131rma problemi<\/em><\/strong><\/p>\n

    Son olarak \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fcn\u00fc y\u00fczy\u0131llard\u0131r bekleyen ve baz\u0131lar\u0131 me\u015fhur \"\"\u201cMillennium Problemleri\u201dnin listesini s\u00fcsleyen me\u015fhur problemlere hi\u00e7 de\u011finmeden, birka\u00e7 soru sunmak istiyorum de\u011ferli okurlara. Yaz\u0131n\u0131n i\u00e7erisinde bir yerde iki problem verilmi\u015fti zaten.<\/p>\n

    1) E\u011fer p<\/em> asal ise (p<\/em> \u2013 1)! + 1 say\u0131s\u0131 p<\/em>\u2019ye b\u00f6l\u00fcn\u00fcr.<\/p>\n

    2) E\u011fer p<\/em> > 3 asal ise p<\/em>2<\/sup> = 12k<\/em> + 1 (karesini 12\u2019ye b\u00f6lsek kalan 1 olur).<\/p>\n

    3) E\u011fer p<\/em>, p<\/em>2<\/sup> + 2 asal ise, p<\/em>3<\/sup> + 2 say\u0131s\u0131 da asal olmak zorunda.<\/p>\n

    4) \u0130ki do\u011fal say\u0131n\u0131n k\u00fcplerinin toplam\u0131 asal say\u0131 olabilir mi?<\/p>\n

    5) n<\/em> + 1, n<\/em> + 3, n<\/em> + 7, n<\/em> + 9, n<\/em> + 13, n<\/em> + 15 say\u0131lar\u0131 asal ise, n<\/em>\u2019in de\u011feri ka\u00e7t\u0131r?<\/p>\n

     <\/p>\n

    Te\u015fekk\u00fcrler<\/strong>: Dikkatimi Terence Tao\u2019nun son \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131na \u00e7eken Bilkent \u00dcniversitesi\u2019nden Prof. Dr. Farhad H\u00fcsseinov\u2019a, de\u011fi\u015fik farklara uygun asal say\u0131 \u00e7iftlerinin olu\u015fturulmas\u0131nda yard\u0131mlar\u0131ndan dolay\u0131 da Sakarya \u00dcniversitesi\u2019nden Yrd. Do\u00e7. Dr. Ali G\u00fclba\u011f\u2019a te\u015fekk\u00fcr ediyorum.<\/p>\n

     <\/p>\n

    KAYNAKLAR<\/strong><\/p>\n

    1) R. Courant, H. Robbins; Matematik nedir?, Moskova, 1967 (Rus\u00e7a).<\/p>\n

    2) G. A. Galperin, Asal say\u0131lar hakk\u0131nda basit\u00e7e, Kuantum, 4, 1987 (Rus\u00e7a).<\/p>\n

    3) M. Y. Vigodskiy, Temel matematikten soru kitab\u0131, Moskova, 1958 (Rus\u00e7a).<\/p>\n

    4) http\/\/ru.wikipedia.ru (Asal say\u0131lar \u2013 Rus\u00e7a)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Bilindi\u011fi \u00fczere midye ve istiridye gibi yumu\u015fak\u00e7alar t\u00fcr\u00fcnden olan deniz canl\u0131s\u0131n\u0131n kabu\u011funun i\u00e7erisine yabanc\u0131 bir cisim, \u00f6rne\u011fin bir kum tanesi d\u00fc\u015ft\u00fc\u011f\u00fc andan itibaren, canl\u0131 onu sedef katlar\u0131 ile tamamen kapatana kadar rahata ermiyor ve bu s\u00fcrekli \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131n sonucu olarak da g\u00f6z ok\u015fayan inci olu\u015fuyor. Matematik\u00e7inin ba\u015f\u0131na gelen olaylar da genelde bu \u015fekilde cereyan ediyor. \u0130\u015fte […]<\/p>\n","protected":false},"author":26,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[125],"tags":[208],"class_list":["post-11045","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-88-sayi","tag-matematik"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t