{"id":14293,"date":"2016-12-01T13:14:06","date_gmt":"2016-12-01T10:14:06","guid":{"rendered":"http:\/\/109.232.216.219\/~bilimvegelecek\/?p=14293"},"modified":"2017-12-13T13:29:32","modified_gmt":"2017-12-13T10:29:32","slug":"nedir-bu-modern-matematik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/2016\/12\/01\/nedir-bu-modern-matematik","title":{"rendered":"Nedir bu \u201cmodern\u201d matematik?"},"content":{"rendered":"

Matematik bir oyun olarak tan\u0131mlanabilir. Bu oyunun kurallar\u0131 esnek olabilir. \u201cModern matematik\u201d ise t\u00fcm\u00fcyle kuralla\u015fm\u0131\u015f (aksiyomatikle\u015fmi\u015f) matematiktir. Matemati\u011fin aksiyomatikle\u015ftirilmesinin kabul edilebilir gerek\u00e7elerinden biri, \u201c\u00e7eli\u015fkilerden\u201d kurtulmakt\u0131r. Bu y\u00f6nl\u00fc ilk \u00e7eli\u015fki, 1901 y\u0131l\u0131nda Bertrand Russell taraf\u0131ndan ortaya konan \u201cRussell Paradoksu\u201d olarak bilinir. <\/em><\/p>\n

20. y\u00fczy\u0131l\u0131n ortalar\u0131nda okullarda okutulan matematik ile \u015fu anda okutulan matemati\u00ad\u011fin birbirlerinden \u00e7ok farkl\u0131 oldu\u011fu s\u0131kl\u0131kla g\u00fcndeme getirilir. Bu konudaki farkl\u0131l\u0131\u011f\u0131n anahtar kelimesi \u201ck\u00fcme\u201ddir. En genel anlamda k\u00fcme ise bir oyunun oyuncular\u0131n\u0131n genel ad\u0131d\u0131r. Bu oyuncular yemez, i\u00e7mez ve gezmezler. Onlar\u0131 evrenin hi\u00e7bir yerinde g\u00f6remezsiniz. O nedenle onlar\u0131 tarif etmek \u00e7ok g\u00fc\u00e7t\u00fcr. Onlar sadece ve sadece \u201czihin\u201d i\u00e7erisindedirler.(1)<\/sup> \u201cBu oyuncu\u00adlar hangi oyunun oyuncular\u0131d\u0131r?\u201d sorusunun yan\u0131t\u0131 ise matematiktir. Oyuncular\u0131 zihinlerde olan matematik oyununun ne oldu\u011funu anlatman\u0131n kendine has sorunlar\u0131 olabilecektir. Ama zihni olan herkesin kendine \u00f6zg\u00fc bir bi\u00e7imde bu oyunu bir \u015fekilde anlayabilece\u011fi varsay\u0131lma\u00adl\u0131d\u0131r. Bu anlama farkl\u0131l\u0131klar i\u00e7erebilecektir ki bu da zihinlerin farkl\u0131 olmas\u0131 nedeniyle son derece do\u011fald\u0131r ve sayg\u0131 duyulmal\u0131d\u0131r. Bu oyun bir\u00e7ok \u015feye benzetilebilir ya da \u00f6nem atfedi\u00adlebilir; matematik dildir, sanatt\u0131r, bilimlerin anas\u0131d\u0131r gibi. Ama \u015fuydu, buydu, oydu diyerek s\u00fcslemeler yapma yerine oyun demek \u00e7ok daha sade bir tan\u0131mlamad\u0131r.<\/p>\n

\"\"
Bertrand Russell (solda), paradoksu, kitab\u0131n\u0131n ikinci cildini haz\u0131rlamakta olan Gottlob Frege\u2019ye (sa\u011fda) yazd\u0131\u011f\u0131 mektupla ula\u015ft\u0131rd\u0131\u011f\u0131 ana kadar Frege, aritmeti\u011fi sars\u0131lmaz bi\u00e7imde in\u015fa etti\u011fini san\u0131yordu.<\/figcaption><\/figure>\n

Matematik bir oyun olarak tan\u0131mlanabilir. Bu oyunun kurallar\u0131 esnek olabilir. \u201cModern matematik\u201d ise t\u00fcm\u00fcyle kuralla\u015fm\u0131\u015f (aksiyomatikle\u015fmi\u015f) matematiktir. Matemati\u011fin aksiyomatikle\u015ftirilmesinin kabul edilebilir gerek\u00e7elerinden biri, \u201c\u00e7eli\u015fkilerden\u201d kurtulmakt\u0131r. Bu y\u00f6nl\u00fc ilk \u00e7eli\u015fki, 1901 y\u0131l\u0131nda Bertrand Russell taraf\u0131ndan ortaya konan \u201cRussell Paradoksu (Russell\u2019s Paradox)\u201d olarak bilinir. Russell, paradoksu Grundgesetze der Arithmetik<\/em> adl\u0131 kitab\u0131n ikinci cildini haz\u0131rlamakta olan Frege\u2019ye yazd\u0131\u011f\u0131 mektupla ula\u015ft\u0131rd\u0131\u011f\u0131 ana kadar Frege, aritmeti\u011fi bu eserinde sars\u0131lmaz bi\u00e7imde in\u015fa etti\u011fini san\u0131yordu, ama yan\u0131lm\u0131\u015ft\u0131.(2) <\/sup>Russell Paradoksu\u2019na daha sonra detayl\u0131 olarak bakaca\u011f\u0131z. Ancak ne oldu\u011funu anlamak i\u00e7in bir \u00f6rnek verelim. Bir kasabada \u015f\u00f6yle bir berber olsun: Bu berber kendi sakal\u0131n\u0131 t\u0131ra\u015f etmeyen herkesin sakal\u0131n\u0131 t\u0131ra\u015f etsin. Bu kasabada herkesin sakal\u0131 t\u0131ra\u015fl\u0131 olsun. Berber kendi sakal\u0131n\u0131 t\u0131ra\u015f eder mi? Tan\u0131m gere\u011fi e\u011fer kendisini t\u0131ra\u015f etmiyorsa kendisi sakal\u0131n\u0131 t\u0131ra\u015f etmeli \u00e7\u00fcnk\u00fc berber kendisini t\u0131ra\u015f etmeyen herkesin sakal\u0131n\u0131 t\u0131ra\u015f ediyor. Ama kendi t\u0131ra\u015f oluyorsa bu sefer de kendisini tan\u0131m gere\u011fi t\u0131ra\u015f etmemeli. Her iki durumda da \u00e7eli\u015fki elde ediyoruz.(3)<\/sup><\/p>\n

Son y\u00fczy\u0131lda matemati\u011fi sarsacak bir \u00e7eli\u015fki hen\u00fcz ortaya \u00e7\u0131kmam\u0131\u015ft\u0131r. Bu durum \u00e7\u0131kma\u00adyacak anlam\u0131n\u0131 ta\u015f\u0131masa da, olas\u0131 \u00e7\u0131kabilecek \u00e7eli\u015fkileri bertaraf edecek kurallar geli\u015ftirebil\u00admeyi matematik\u00e7iler \u00f6\u011frenmi\u015f durumdalar.<\/p>\n

Genel olarak halk modern matematikle ilgilenmez, \u00e7ok az bir topluluk ilgilenir. Okuyucu kitlesi dikkate al\u0131narak bu yaz\u0131da kullan\u0131lacak anlat\u0131m dili tam bi\u00e7imsel bir dil olmayacakt\u0131r, ama ona yak\u0131n olacakt\u0131r. Anlat\u0131m dilinde do\u011fall\u0131k yakalama ve \u00e7arp\u0131c\u0131 olma amac\u0131yla yaka\u00adlanan ilk f\u0131rsatta do\u011fal say\u0131lar, \u00f6rne\u011fin bir (1), iki (2), \u00fc\u00e7 (3) tan\u0131mlanmaya \u00e7al\u0131\u015f\u0131lacakt\u0131r.<\/p>\n

Bu yaz\u0131n\u0131n son b\u00f6l\u00fcm\u00fcne kadar olan k\u0131sm\u0131 \u00f6zellikle bak\u0131\u015f muhafazakarl\u0131\u011f\u0131n\u0131 bir kenara koyabilen ilgili herkes\u00e7e takip edilebilir. Son b\u00f6l\u00fcm\u00fcn anla\u015f\u0131lmas\u0131n\u0131n biraz daha zor olabilece\u011fini ifade edelim.<\/p>\n

1) Matematik ne \u00fczerine in\u015fa edilir?<\/strong><\/p>\n

Matemati\u011fin be\u015f temel kavram \u00fczerine in\u015fa edildi\u011fini s\u00f6yleyebiliriz.<\/p>\n

1) \u00d6nermeler mant\u0131\u011f\u0131.<\/p>\n

2) Alfabe.<\/p>\n

3) K\u00fcme.<\/p>\n

4) Eleman.<\/p>\n

5) Matematiksel t\u00fcmce.<\/p>\n

Bu yaz\u0131da \u00f6nermeler mant\u0131\u011f\u0131 konusuna de\u011finmeyece\u011fiz. Buna ili\u015fkin (K3) yeterli bir kaynakt\u0131r. Okurun bu konuda baz\u0131 \u00f6nbilgilerinin oldu\u011funu varsayaca\u011f\u0131z. \u00d6rne\u011fin okurun \u00f6nermeler mant\u0131\u011f\u0131nda her \u00f6nermenin bir de\u011fer ald\u0131\u011f\u0131n\u0131 ve bu de\u011ferin sadece ve sadece do\u011fru ya da yanl\u0131\u015f olarak adland\u0131r\u0131lan de\u011fer olmas\u0131 gerekti\u011fini bildi\u011fini varsayaca\u011f\u0131z. Ayr\u0131ca okurun mant\u0131ksal indirgeme ve \u00e7\u0131kar\u0131mlar y\u00f6nteminin ne oldu\u011funu ve nas\u0131l kullan\u0131ld\u0131\u011f\u0131n\u0131 bildi\u011fini de varsay\u0131yoruz.<\/p>\n

\"\"2) K\u00f6y\u00fc k\u00fcme yapma denemesi<\/strong><\/p>\n

\u201cK\u00f6yl\u00fc milletin efendisidir.\u201d(4)<\/sup> denmesinden cesaret alarak \u015fimdi de k\u00f6y\u00fc k\u00fcme yapmay\u0131 deneyece\u011fiz.<\/p>\n

Bir k\u00f6yl\u00fcye \u201cbildi\u011fin bir k\u00f6y var m\u0131?\u201d diye sorsan\u0131z alaca\u011f\u0131n\u0131z yan\u0131t kendi \u015fivesiyle muhte\u00admelen \u201chee ya, mesela bizim k\u00f6y\u201d bi\u00e7iminde olacakt\u0131r. \u201cPeki, kendiniz de bir k\u00f6y m\u00fcs\u00fcn\u00fcz?\u201d diye sormak kimsenin akl\u0131na gelmeyecektir ve gelse de densiz bir soru, hatta \u201cay\u0131p\u201d olabile\u00adcektir. Ama ilerleyen zamanda ve olu\u015facak samimiyetle bu kez k\u00f6yl\u00fc, size \u201co zaman siz de bir k\u00f6y m\u00fcs\u00fcn\u00fcz?\u201d sorusunu sorabilme k\u0131vam\u0131 olu\u015fabilecektir. Bir k\u0131vam olu\u015ftuktan sonra kim durdurabilir ki bizleri?<\/p>\n

\u201cBir k\u00f6y kendi kendinin k\u00f6yl\u00fcs\u00fc olabilir mi?\u201d sorusu da ancak \u201ck\u00f6y\u00fcn delisine\u201d sorulabilir. Bedeli \u201cdeli\u201d ilan edilmek olsa da devam edelim ve a\u015fa\u011f\u0131daki sorular\u0131 soral\u0131m:<\/p>\n

– \u0130ki tane k\u00f6y\u00fcn her birinden sadece ve sadece bir ki\u015fi se\u00e7erek ve k\u00f6yl\u00fcleri sadece ve sadece bu se\u00e7ilmi\u015flerden olu\u015fan yeni bir k\u00f6y olu\u015fturulabilir mi?<\/p>\n

– Y\u00fcz tane k\u00f6y\u00fcn her birinden sadece ve sadece bir ki\u015fi se\u00e7erek ve k\u00f6yl\u00fcleri sadece ve sadece bu se\u00e7ilmi\u015flerden olu\u015fan yeni bir k\u00f6y olu\u015fturulabilir mi?<\/p>\n

– I bir b\u00f6lgenin k\u00f6ylerinin isim listesi olsun. Bu listeye ait bir isim i <\/em>ise i <\/em>\u00a0<\/em>\u00ce I<\/em> yazal\u0131m. x <\/em>isimli ki\u015finin i <\/em>k\u00f6y\u00fcnde ya\u015f\u0131yor olmas\u0131n\u0131 da x <\/em>\u00ce i <\/em>olarak g\u00f6sterelim. Bu k\u00f6ylerin her birinden sadece ve sadece bir ki\u015fi se\u00e7erek ve se\u00e7ilen bu ki\u015filerden olu\u015fan yeni bir k\u00f6y olu\u015fturulabilir mi?<\/p>\n

Bu sorular bir k\u00f6yl\u00fcye soruldu\u011funda b\u00fcy\u00fck bir olas\u0131l\u0131kla birinci soruya verilen yan\u0131t \u201colmaz karde\u015f, \u00e7\u00fcnk\u00fc bu durumda olu\u015facak k\u00f6y sadece iki ki\u015fiden olu\u015fur ki, iki ki\u015filik de k\u00f6y olmaz\u201d olur. \u0130kinci soruya verilecek yan\u0131t \u201ckarde\u015f olur olmas\u0131na da se\u00e7ilecek ki\u015filerin hepsi bebek ya da \u00e7ocuklardan olu\u015fursa olmaz. Ya da se\u00e7ilen ki\u015filerin her biri erkek ya da her biri kad\u0131n olursa da olmaz, bunlara dikkat etmek laz\u0131m\u201d olur. \u00dc\u00e7\u00fcnc\u00fc soruyu s\u0131radan bir k\u00f6yl\u00fcye sormak sayg\u0131s\u0131zl\u0131k olur. Ne o \u00f6yle isimler listesi I olsun, i <\/em>\u00ce I<\/em> ya da x <\/em>\u00ce i <\/em>simgeleri falan?(5)<\/sup> Ancak birinci ve ikinci soruyu takip ederek k\u00f6y\u00fcn en delisine a\u015fa\u011f\u0131daki sorulabilir:<\/p>\n

– Y\u00fcz tane k\u00f6y\u00fcn her birinin en delisi (var ve tek bir tane olsun) se\u00e7ilerek yeni bir k\u00f6y olu\u015fturulabilir mi?(6)<\/sup><\/p>\n

Yukar\u0131daki sorular\u0131 sorma ve yan\u0131t\u0131 alma s\u00fcre\u00e7leri i\u00e7erisinde olas\u0131 olu\u015fturulan yeni k\u00f6y\u00fcn insanlar\u0131n\u0131n daha \u00f6nce se\u00e7ilip geldikleri k\u00f6y\u00fcn de vatanda\u015f\u0131 olmaya devam edecekleri, yani \u00e7ifte vatanda\u015fl\u0131k konusu g\u00fcndeme gelmeye ba\u015flayacakt\u0131r. Bizim insanlar\u0131 k\u00fclt\u00fcrlerinden kopar\u0131p asimile etme amac\u0131m\u0131z olmad\u0131\u011f\u0131ndan \u00e7ifte vatanda\u015f olmalar\u0131n\u0131 engellemeyece\u011fiz.<\/p>\n

Bu t\u00fcr sorular sorulmaya ba\u015flay\u0131nca sorulara do\u011fru yan\u0131t verebilmek i\u00e7in yeni sorular sorulmaya ba\u015flanacakt\u0131r: K\u00f6y ne demek? K\u00f6y\u00fcn vatanda\u015f\u0131 olmak ne demek? Yeni k\u00f6y ne demek? K\u00f6y\u00fcn en delisinin olmas\u0131 ne demek?(7)<\/sup><\/p>\n

K\u00f6yler sadece insanlar\u0131n de\u011fildir ki. K\u00f6y, k\u00f6yde ya\u015fayan herkesin k\u00f6y\u00fcd\u00fcr; insanlar\u0131n, k\u00f6peklerin, sivrisineklerin, orada ya\u015fayan kiraz a\u011fac\u0131n\u0131n vs. Ayr\u0131ca k\u00f6y\u00fcn k\u00f6pekleri \u00fczerinde de bir s\u00fcr\u00fc canl\u0131 ya\u015far (\u00f6rne\u011fin bit, pire vs.), k\u00f6pek de \u00fczerinde ya\u015fayan canl\u0131lar\u0131n, be\u011fenin ya da be\u011fenmeyin, bir nevi k\u00f6y\u00fcd\u00fcr. O halde \u201ck\u00f6y, k\u00f6ylerden olu\u015fur\u201d demek biraz tuhaf olsa da matematiksel ger\u00e7eklere uygundur. Ayr\u0131ca bir \u015feyin k\u00f6y olabilmesi i\u00e7in, o \u015feyin bir k\u00f6yde ya\u015f\u0131yor olmas\u0131 gerekir gibi durumlar olu\u015fmaktad\u0131r. Ad\u0131 a <\/em>olan bir k\u00f6y\u00fcn bir k\u00f6yl\u00fcs\u00fcn\u00fcn ad\u0131 b <\/em>olsun. Ayr\u0131ca c<\/em> de, b<\/em>\u2019nin bir k\u00f6yl\u00fcs\u00fc olmak \u00fczere, c<\/em>\u2019nin, a<\/em>\u2019n\u0131n bir k\u00f6yl\u00fcs\u00fc olmas\u0131 gerekmedi\u011fini s\u00f6yleyelim.<\/p>\n

Yukar\u0131da verilen anlat\u0131mlardan \u015funlar\u0131 \u00f6zetleyebiliriz:<\/p>\n

– En az bir k\u00f6y vard\u0131r.<\/p>\n

– K\u00f6y, k\u00f6yl\u00fclerden olu\u015fur.<\/p>\n

– Her k\u00f6yl\u00fc bir k\u00f6yd\u00fcr.<\/p>\n

– Hi\u00e7bir k\u00f6y kendisinin k\u00f6yl\u00fcs\u00fc olamaz.<\/p>\n

– Her k\u00f6y bir adla i\u015faretlendirilebilir.<\/p>\n

Bir k\u00f6y\u00fcn ad\u0131 a<\/em>, b <\/em>de bu k\u00f6y\u00fcn bir k\u00f6yl\u00fcs\u00fc ise b <\/em>\u00ce a <\/em>yazal\u0131m. b<\/em>, a<\/em>\u2019n\u0131n bir k\u00f6yl\u00fcs\u00fc de\u011filse b <\/em>\u00a0\u00cf a<\/em> yazal\u0131m. Bu durumda a <\/em>\u00ce a <\/em>olacak bi\u00e7imde a <\/em>adl\u0131 bir k\u00f6y yoktur.(8)<\/sup> Yap\u0131lan g\u00f6zlemler sonucunda yukar\u0131daki liste verilmi\u015f olsa da, liste okuyucuya tuhaf gelebilir. Bu tuhafl\u0131k isim de\u011fi\u015fikli\u011fiyle bir nebze de olsa giderilebilir. \u00d6rne\u011fin, bu listede k\u00f6y yerine k\u00fcme, <\/strong>k\u00f6yl\u00fc yerine eleman <\/strong>yazarak elde edece\u011fimiz a\u015fa\u011f\u0131daki liste sa\u00e7ma gelmeyece\u011fi gibi, bu listelemeyi yapanlar \u201cbiliminsan\u0131\u201d olarak g\u00f6r\u00fclebilecektir.<\/p>\n

– En az bir k\u00fcme vard\u0131r.<\/p>\n

– K\u00fcme, elemanlardan olu\u015fur.<\/p>\n

– Her eleman bir k\u00fcmedir.<\/p>\n

– Hi\u00e7bir k\u00fcme kendisinin eleman\u0131 olamaz.<\/p>\n

– Her k\u00fcme bir simgeyle g\u00f6sterilebilir.<\/p>\n

Dikkat edilirse bu listedekiler yukar\u0131da sorulara hi\u00e7 de\u011finmiyor ama sorular\u0131 unutmu\u015f de\u011filiz. Son listelemeyle k\u00f6yl\u00fcl\u00fckten biraz daha uzakla\u015ft\u0131k. Metaforlardan daha da uzakla\u015fmal\u0131y\u0131z.<\/p>\n

\"\"3) K\u00fcme var m\u0131d\u0131r?<\/strong><\/p>\n

\u201cBenim ad\u0131m H\u0131d\u0131r, elimden gelen budur\u201d diyerek k\u00f6y\u00fc k\u00fcme yapmay\u0131 denedik. Peki ama k\u00fcme var m\u0131? K\u00fcme bir yana dursun, daire kavram\u0131, kare kavram\u0131, \u00fc\u00e7gen hatta say\u0131lar var m\u0131d\u0131r? Mesela \u201cYar\u0131\u00e7ap\u0131 bir birim olan \u00e7ember var m\u0131d\u0131r?\u201d sorusuna kar\u015f\u0131l\u0131k verilen yan\u0131t \u201cvard\u0131r\u201d olsun. Bu yan\u0131ta kar\u015f\u0131l\u0131k \u201cVar oldu\u011funu kan\u0131tla!\u201d denildi\u011finde nas\u0131l kan\u0131t verilebilir? Bilgisayarda bir \u00e7ember \u00e7izip \u201c\u0130\u015fte kan\u0131t, bak bu \u00e7ember\u201d gibi bir kan\u0131t olabilir mi? Olamaz. Peki neden? \u00c7\u00fcnk\u00fc \u00e7izilen bu \u00e7ember kusursuz bir \u00e7ember de\u011fildir. \u00c7ok dikkatli bakt\u0131\u011f\u0131m\u0131zda mutlaka ekranda bu cismin t\u0131rt\u0131kl\u0131 oldu\u011funu g\u00f6r\u00fcr\u00fcz. Bu bir kan\u0131t olamaz. \u00c7\u00fcnk\u00fc evrende \u00e7ember yoktur. Bahsedilen \u00e7emberi sadece hayal ediyoruz.<\/p>\n

\u00c7ember vard\u0131r diye kabul ettik ama hangi \u00e7emberi kastediyoruz? Somut \u00e7ember mi yoksa soyut \u00e7ember mi? \u015eimdi bu soyut ve somut \u015feyler aras\u0131ndaki fark\u0131 iyi anlamak ad\u0131na genel<\/strong> ve tikel<\/strong> varl\u0131klardan k\u0131saca s\u00f6z edelim. \u00c7evremizde fiziksel \u2018\u00e7emberin\u2019 oldu\u011fu bariz. Bunu g\u00f6r\u00fcyoruz, tahtaya \u00e7iziyoruz, etraf\u0131m\u0131zda \u00e7embere benzeyen cisimler var, y\u00fcz\u00fck gibi, halka \u015feklinde cisimler gibi. Bunlar tikel<\/strong> cisimlerdir. Hepsi birbirinden farkl\u0131d\u0131r. Bu fiziksel cisim\u00adlerin bir b\u00fcy\u00fckl\u00fc\u011f\u00fc var, rengi var, kal\u0131nl\u0131\u011f\u0131 var vs. Ancak b\u00fct\u00fcn bu cisimlere \u00e7ember olma niteli\u011fi kazand\u0131ran ortak bir \u00f6zellik<\/strong> de olmal\u0131. Olmal\u0131 diyoruz \u00e7\u00fcnk\u00fc insan zihni bu ortak \u00f6zelli\u011fi hayal edebiliyor. Hem de b\u00fct\u00fcn insanlar. Nedir bu ortak \u00f6zellik? Bir merkez nokta\u00addan e\u015fit uzakl\u0131ktaki noktalar toplu\u011fu<\/strong> \u00f6zelli\u011fi. Tabii ki fiziksel \u00e7ember bu \u00f6l\u00e7\u00fcye mutlak olarak uyacak diye bir kanun yok. Fiziksel evrendeki \u00e7embere benzeyen tikeller olsa olsa \u2018\u00e7embervari<\/strong>\u2019dir. Hi\u00e7biri m\u00fckemmel bir \u00e7ember de\u011fildir. Fiziksel \u00e7emberler var dedik. Bir de b\u00fct\u00fcn fiziksel \u00e7emberin ortak olarak kendinde bulundurdu\u011fu ve her s\u0131fattan ar\u0131nd\u0131r\u0131lm\u0131\u015f bir \u00e7ember kavram\u0131 yani genel<\/strong> bir \u00e7ember fikri yani s\u00f6z etti\u011fimiz bu ortak \u00f6zellik vard\u0131r. Daha do\u011frusu var oldu\u011funa inan\u0131l\u0131r. \u0130\u015fte danan\u0131n kuyru\u011fu burada kopuyor. Baz\u0131 d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcrler demi\u015f ki genel kavramlar yoktur. Baz\u0131lar\u0131 vard\u0131r ama insan zihninin i\u00e7indedir demi\u015f. Baz\u0131lar\u0131 ise mutlaka bizden ba\u011f\u0131ms\u0131z olarak vard\u0131r demi\u015f. Soyut kavramlar\u0131n varl\u0131\u011f\u0131 meselesi Antik Yunan\u2019dan beri tart\u0131\u015f\u0131lmaya devam ediliyor. Soyutlar\u0131n varl\u0131\u011f\u0131 hakk\u0131nda farkl\u0131 felsefi pozisyonlar vard\u0131r. Bunlar realizm<\/strong>, idealizm<\/strong>, nominalizm<\/strong> olarak \u00fc\u00e7e ayr\u0131l\u0131r. \u015eimdi bunlar\u0131 a\u00e7\u0131klayal\u0131m.<\/p>\n

Realizm<\/strong>: \u00c7ember ve di\u011fer b\u00fct\u00fcn soyut \u00f6zellikler (yani \u2018genel\u2019ler) bizim d\u0131\u015f\u0131m\u0131zda mut\u00adlak olarak bir platonik evrende vard\u0131r. Biz olmasak da bunlar ezeli ve ebedi olarak vard\u0131r. Yokluklar\u0131 d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fclemez. Varl\u0131klar\u0131 zorunludur. Kadimdir. Kainattaki cisimler ise sonradan meydana gelmi\u015ftir. Fiziksel olan tikeller, genellerin farkl\u0131 s\u0131fatlara sahip birer kopyalar\u0131d\u0131r.<\/p>\n

\u0130dealizm<\/strong>: \u00c7ember bizim zihnimize ba\u011fl\u0131 olarak vard\u0131r. \u00c7ember kavram\u0131n\u0131 biz yaratt\u0131k. Evet matematiksel cisimler vard\u0131r, bunlar soyuttur. Ancak b\u00fct\u00fcn bir matematik insan zihni\u00adnin \u00fcr\u00fcn\u00fcd\u00fcr. Zihin yoksa soyut kavramlar da yoktur matematik de yoktur.<\/p>\n

Nominalizm<\/strong>: \u00c7ember kavram\u0131 yoktur. Zihnimizde bile de\u011fildir. Hakikat somut evrendeki tikellerden ibarettir. Bu durumda matematik ortak bir dil olmaktan \u00e7\u0131kar, senin matemati\u011fin benim matemati\u011fim onun matemati\u011fi haline gelir. Bu felsefe solipsist (ben-merkezci) matemati\u011fe a\u00e7\u0131k kap\u0131 b\u0131rak\u0131r. Ortak noktada bulu\u015fmak, ortak fikir elde etmek m\u00fcmk\u00fcn olmaktan \u00e7\u0131kar.<\/p>\n

Peki k\u00f6y\u00fcn ad\u0131n\u0131 k\u00fcme olarak de\u011fi\u015ftirdi\u011fimizde k\u00fcme var olmu\u015f olacak m\u0131? Olabilir ama biz k\u00fcmeyi fiziksel bir obje olarak ele almak istemiyoruz. Zihnimizde olsun istiyoruz. O halde zihnimizde de bir k\u00fcme yaratal\u0131m ve onunla oyunlar kural\u0131m.<\/p>\n

S\u0131k s\u0131k b\u00fcy\u00fcklerimizden duyar\u0131z: \u201cBizim zaman\u0131m\u0131z\u0131n matemati\u011fi \u00e7ok farkl\u0131yd\u0131. \u015eimdi k\u00fcmeler falan var.\u201d Evet, do\u011frudur. Y\u00fcz y\u0131l \u00f6ncesinin matemati\u011fi ile \u015fimdiki matematik farkl\u0131d\u0131r. Bu farkl\u0131l\u0131k, matemati\u011fin objelerinin zihinde kavranmas\u0131ndan dolay\u0131d\u0131r.<\/p>\n

4) Matematiksel t\u00fcmceler<\/strong><\/p>\n

Okur, \u015fu ana kadar anlat\u0131lanlar\u0131 \u201csu gibi okumu\u015ftur\u201d. Bundan sonrakilerin su gibi okunabil\u00admesi al\u0131\u015fkanl\u0131klardan uzak kalabilmeyle do\u011fru orant\u0131l\u0131 olabilir.(9)<\/sup><\/p>\n

Alfabesi de\u011fi\u015fkenler, eleman olma (\u00ce) ve mant\u0131\u011f\u0131n alfabesi olan toplulu\u011fa matematik\u00e7e alfabesi <\/strong>denir.(10)<\/sup> De\u011fi\u015fkenler x<\/em>, y<\/em>, z <\/em>ve benzeri sembollerle g\u00f6sterilece\u011fi gibi, i<\/em>\u2019ler sonlu tane \u201c|\u201d simgenin yan yana dizilmi\u015f durumu olmak \u00fczere v<\/em>i<\/sub>\u2019ler ile de g\u00f6sterilebilir. Yani, v<\/em>i<\/sub>\u2019ler v|,v<\/em>||,…,v|…|\u2019lardan birini g\u00f6sterebilir(11)<\/sup>. O halde matematik\u00e7e alfabesi<\/p>\n

{|,v,E,=,\u00ad,V,A,\u2014>\u2022, O, V, 3}<\/p>\n

ile g\u00f6sterilebilir.(12)<\/sup> Dikkat edilirse matematik\u00e7inin alfabesi mant\u0131\u011f\u0131n alfabesine de\u011fi\u015fkenler, eleman olma, e\u015fitlik harfinin eklenmesiyle olu\u015fuyor.<\/p>\n

Matematiksel t\u00fcmce belli bir kurala g\u00f6re alfabeden sembollerin art arda yaz\u0131lm\u0131\u015f sonlu bir dizisidir. K\u0131sal\u0131k a\u00e7\u0131s\u0131ndan t\u00fcmce denildi\u011finde matematiksel t\u00fcmce anla\u015f\u0131lacakt\u0131r. T\u00fcmceler atomik <\/strong>t\u00fcmcelerden olu\u015fur.<\/p>\n

– Her de\u011fi\u015fken sembol\u00fc birer atomik t\u00fcmcedir.<\/p>\n

– (e\u015fitlik t\u00fcmcesi) \u03d5 <\/em>ve \u03c8 iki atomik t\u00fcmceyse \u03d5 = <\/em>\u03c8 bir t\u00fcmcedir.<\/p>\n

– (eleman olma t\u00fcmcesi ) \u03d5 <\/em>ve \u03c8 iki atomik t\u00fcmceyse \u03d5 <\/em>E \u03c8 bir t\u00fcmcedir.<\/p>\n

Her atomik t\u00fcmce birer t\u00fcmcedir. \u0130kinci atomik t\u00fcmce \u201c\u03d5 e\u015fittir \u03c8\u201d diye, \u00fc\u00e7\u00fcnc\u00fc atomik t\u00fcmce \u201c\u03d5, <\/em>\u03c8\u2019nin eleman\u0131d\u0131r\u201d diye okunur.<\/p>\n

\u015eu ana kadar elimizde \u00fc\u00e7 \u00e7e\u015fit t\u00fcmce var. Ayr\u0131ca,<\/p>\n

– \u03d5 <\/em>bir t\u00fcmceyse \u00ad\u03d5 bir t\u00fcmcedir.<\/p>\n

– \u03a6 ve \u03d5 <\/em>iki t\u00fcmceyse<\/p>\n

(\u03a6) V (<\/em>\u03d5), <\/em>(\u03a6) A (<\/em>\u03d5), <\/em>(\u03a6) \u2014> (\u03d5) <\/em>ve (\u03a6) O (<\/em>\u03d5)<\/em><\/p>\n

ifadelerinin her biri birer t\u00fcmcedir.<\/p>\n

– \u03d5(x\u0131,… ,xi) <\/em>\u015feklinde yaz\u0131lan t\u00fcmceye form\u00fcl <\/strong>denir. Burada \u03d5\u2019nin do\u011fruluk de\u011feri x <\/em>de\u011fi\u015fkenlerine g\u00f6re de\u011fi\u015fir. \u00d6rne\u011fin \u03d5(x)<\/em>, \u201cx <\/em>asal bir say\u0131d\u0131r\u201d anlam\u0131na gelsin. O halde \u03d5(5) do\u011frudur, ancak \u03d5(6) yanl\u0131\u015ft\u0131r. De\u011fi\u015fken i\u00e7ermeyen t\u00fcmcelere \u00f6nerme <\/strong>denir. E\u011fer \u03d5(x) <\/em>verilmi\u015fse 3x <\/em>\u03d5(x) <\/em>matematiksel t\u00fcmcedir. Benzer \u015fekilde V i\u00e7in de ayn\u0131d\u0131r.(13)<\/sup><\/p>\n

Okur t\u00fcmcelerin kurulumu esnas\u0131nda alfabede olmayan (imla i\u015faretleri, (,) gibi) sembol\u00adlerin kullan\u0131ld\u0131\u011f\u0131n\u0131n fark\u0131ndad\u0131r. Bundan ama\u00e7 belirli gruplamalar yaparak t\u00fcmcenin daha iyi anla\u015f\u0131lmas\u0131 i\u00e7indir. \u00d6rne\u011fin a<\/em>, b<\/em>, c <\/em>birer matematiksel t\u00fcmce olmak \u00fczere (a \u2014> b) <\/em>o c t\u00fcmcesini a <\/em>\u2014>\u2022 b <\/em>O c olarak yazmak okuma karma\u015fas\u0131 yaratacakt\u0131r.<\/p>\n

x <\/em>ve y <\/em>iki de\u011fi\u015fken olmak \u00fczere \u00ad(x = y) <\/em>t\u00fcmcesi x = y <\/em>ile g\u00f6sterilir. Benzer bi\u00e7imde \u00ad(xEy) <\/em>t\u00fcmcesi x $. y <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 4.1. <\/strong>\u03d5 bir t\u00fcmce ve x <\/em>bir de\u011fi\u015fken ise \u00ad3x <\/em>\u03d5(x)<\/em>\u2019in bir matematiksel t\u00fcmce oldu\u011funu g\u00f6sterin. Bu t\u00fcmce \\\/x \u00ad<\/em>\u03d5(x) <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

5) Russell Paradoksu<\/strong><\/p>\n

Aritmetik, say\u0131lar ve \u00fczerinde tan\u0131mlanan toplama ve \u00e7arpma i\u015flemlerini konu alan matema\u00adti\u011fin bir dal\u0131d\u0131r. Ba\u015flang\u0131\u00e7 noktas\u0131 do\u011fal say\u0131lar ve onun \u00fczerinde tan\u0131ml\u0131 toplama ve \u00e7arpma i\u015flemleridir.<\/p>\n

Aritmeti\u011fin sars\u0131lmaz bir mant\u0131ksal temel \u00fczerine in\u015fa edilmesi konusunda sistemli ilk \u00e7al\u0131\u015fmalardan biri Frege\u2019nin Aritmeti\u011fin Temelleri I<\/em> (1893) ve Aritmeti\u011fin Temelleri <\/em>II<\/em> (1903) isimli eserleridir. Ancak 1902\u2019de Russell, Frege\u2019ye 16 Haziran 1902 tarihli bir mektupla kitab\u0131n birinci cildinde aritmeti\u011fin sa\u011flam temele dayanmad\u0131\u011f\u0131n\u0131, bug\u00fcn Russell Paradoksu olarak bilinen paradoksla a\u00e7\u0131kl\u0131yordu. Bu paradoks Frege taraf\u0131ndan da kabul ediliyor ve Frege, eserinin ikinci cildinde paradoksla ilgili \u015funu yaz\u0131yordu: \u201cBir biliminsan\u0131 i\u00e7in, yap\u0131t\u0131 biter bitmez temellerinin y\u0131k\u0131lmas\u0131ndan daha korkun\u00e7 bir \u015fey d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fclemez. Yap\u0131t tam bask\u0131ya haz\u0131rlan\u0131rken Bay Bertrand Russell\u2019dan ald\u0131\u011f\u0131m bir mektup beni bu duruma soktu.\u201d Russell Paradoksu tam\u0131 tam\u0131na a\u015fa\u011f\u0131daki gibidir.<\/p>\n

Russell Paradoksu<\/strong>: Frege, eserinin birinci cildinde her \u00f6zelli\u011fi sa\u011flayan \u015feylerin bir k\u00fcme oldu\u011funu g\u00f6rebiliyordu. \u201cKendini i\u00e7ermeme\u201d \u00f6zelli\u011fini ele alal\u0131m. Dolay\u0131s\u0131yla R<\/em>, kendi kendini i\u00e7ermeyen k\u00fcmeler olsun, yani,<\/p>\n

R = {x <\/em>: x ^ x}<\/em><\/p>\n

olsun. R\u2019nin bir k\u00fcme olamayaca\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6sterelim. R <\/em>bu k\u00fcmenin eleman\u0131ysa, yani R <\/em>G R <\/em>ise, tan\u0131m gere\u011fi R <\/em>^ R <\/em>olacakt\u0131r. R<\/em>, R<\/em>\u2019nin bir eleman\u0131 de\u011filse, yani R <\/em>^ R <\/em>ise tan\u0131m gere\u011fi R <\/em>G R <\/em>olacakt\u0131r. Bu bir \u00e7eli\u015fkidir. O halde R <\/em>gibi bir k\u00fcme yoktur. Frege\u2019nin eserinin birinci cildi b\u00f6yle bir \u00e7eli\u015fkiyi \u00fcretti\u011finden, eserin tan\u0131mlad\u0131\u011f\u0131 aritmeti\u011fin temeli sa\u011flam olamazd\u0131. Ortaya \u00e7\u0131kan bu durum matemati\u011fin \u00e7eli\u015fkisiz bir \u015fekilde tan\u0131mlanabilmesi i\u00e7in daha \u00e7ok \u00e7aba sarf edilmesi gerekti\u011fini ortaya koymu\u015ftur. Bu ser\u00fcven sonunda nur topu gibi bir sistem do\u011fmu\u015ftur.(14)<\/sup><\/p>\n

6) Matematiksel sistem<\/strong><\/p>\n

T\u00fcmceler toplulu\u011funa matematiksel sistem <\/strong>denir.(15)<\/sup> Bir matematiksel sistem tek bir t\u00fcmce\u00adden olu\u015fabilece\u011fi gibi sonsuz tane t\u00fcmceden de olu\u015fabilir. Bir matematiksel sistemi olu\u015fturan indirgenemez t\u00fcmcelerin her birine aksiyom (belit) <\/strong>denir. \u00d6rne\u011fin \u03d5 <\/em>ve \u03c8 iki t\u00fcmce olmak \u00fczere<\/p>\n

a) {\u03d5 = <\/em>\u03c8} <\/em>bir matematiksel sistemdir.<\/p>\n

b) {<\/em>\u03d5 = \u03c8} <\/em>k\u00fcmesi de bir matematiksel sistem olu\u015fturur.<\/p>\n

c) {\u03d5 = <\/em>\u03c8,\u03d5 = <\/em>\u03c8, \u00ad<\/em>\u03c6 \u2014> <\/em>\u03c8} <\/em>k\u00fcmesi de bir matematiksel sistemdir.<\/p>\n

\u00d6rnekler \u00e7o\u011falt\u0131labilir. Bir t\u00fcmce sonlu ad\u0131mda sistemin aksiyomlar\u0131ndan mant\u0131ksal indirgemelerden elde ediliyorsa o t\u00fcmceye sistem taraf\u0131ndan \u00fcretilen <\/strong>t\u00fcmce denir. Bir matematik\u00e7i \u00fcretilen t\u00fcmceleri tabii ki daha sonra aksiyom olarak sisteme ekleyebilir. Ancak indirgenebilen bilgiyi aksiyom olarak kabul etmek indirgenemez bilgilere haks\u0131zl\u0131k etmek olur. \u0130ndirgenemez bilgiye aksiyom ad\u0131n\u0131 veriyorsak indirgenebilir do\u011fru bilgiye teorem <\/strong>diyebiliriz. Sonu\u00e7ta modern matematik dedi\u011fimiz \u015fey ortaya att\u0131\u011f\u0131m\u0131z savlar\u0131n neden do\u011fru veya neden yanl\u0131\u015f oldu\u011funu aksiyomlara indirgeyerek bulma sanat\u0131 de\u011fil midir?<\/p>\n

Bir matematiksel sistemden bir t\u00fcmcenin hem kendisi hem de de\u011fili elde ediliyorsa o sisteme tutars\u0131z sistem <\/strong>denir. Aksi halde sisteme tutarl\u0131 sistem <\/strong>denir. \u00d6rne\u011fin yukar\u0131da (a) ve (b) \u00f6rneklerindeki sistemler tutarl\u0131 fakat (c) sistemi tutars\u0131zd\u0131r. \u00c7eli\u015fkili sistemler ilgi alan\u0131m\u0131z olmayacak. Ancak ilgilendi\u011fimiz tarzdaki sistemlerin tutarl\u0131 oldu\u011funun sistem taraf\u0131ndan bilinmesinin imk\u00e2ns\u0131z oldu\u011fu bilinmelidir. \u015eunu da unutmamal\u0131y\u0131z ki bu noksan\u00adl\u0131k sadece yeterince aritmeti\u011fi ifade edebilen sistemler i\u00e7indir. \u00d6rne\u011fin biri dese ki \u201cB\u00fct\u00fcn hakimler adaletli olmakla y\u00fck\u00fcml\u00fcd\u00fcr\u201d, bu demek de\u011fildir ki h\u0131rs\u0131zlar adaletli olmak zorunda olsun. Adil s\u0131fat\u0131na sahip olmas\u0131 gerekenler \u00f6zellikle h\u00e2kimlerdir. Her sistem yeterince aritme\u00adti\u011fi ifade edemeyebilir. B\u00f6yle sistemlerde \u00e7ok fazla matematik yap\u0131lamaz. Yeterince aritmeti\u011fi ifade edemeyen sistemler, zengin \u00f6zelliklere sahip de\u011fildir. Ancak insanlarda zenginlik nas\u0131l ki ba\u015fa bela olabiliyorsa bi\u00e7imsel sistemlerde de b\u00f6yle oluyor.<\/p>\n

Her t\u00fcmceyi bir mant\u0131ksal \u00f6nerme olarak g\u00f6rece\u011fiz. Mant\u0131kta her \u00f6nermenin do\u011fru ya da yanl\u0131\u015f olarak nitelenen bir de\u011feri var oldu\u011fundan, t\u00fcmcenin de do\u011fru ya da yanl\u0131\u015f de\u011feri olacakt\u0131r. T\u00fcmce de\u011ferini bir sistem i\u00e7erisinde alacakt\u0131r. T\u00fcmceler farkl\u0131 sistemlerde farkl\u0131 de\u011ferler alabilir. \u00d6rne\u011fin, \u201cher iki eleman aras\u0131nda bir eleman vard\u0131r\u201d anlam\u0131na gelebilecek<\/p>\n

\\\/x\\\/y3z[x < z < y]<\/em><\/p>\n

\u00f6nermesi reel say\u0131lar evreni i\u00e7in do\u011fruyken tamsay\u0131lar i\u00e7in yanl\u0131\u015ft\u0131r. Bir sistemi var eden her aksiyom o sistemde do\u011fru kabul edilecektir. Yani sistemin aksiyomlar\u0131 o sistem i\u00e7erisinde do\u011frudur.<\/p>\n

Bir sistemde bir t\u00fcmce i\u00e7in a\u015fa\u011f\u0131dakilerden en az biri s\u00f6ylenebilir.<\/p>\n

1) Karar verilebilirdir. Yani do\u011frulu\u011fu\/yanl\u0131\u015fl\u0131\u011f\u0131 sonlu ad\u0131mda mant\u0131ksal indirgemelerle g\u00f6sterilebilir. Bu t\u00fcr do\u011fru olan t\u00fcmcelere teorem <\/strong>denir.(16)<\/sup><\/p>\n

2) Karar verilemezdir. Yani sistem i\u00e7erisinde ne kendisinin ne de de\u011filinin do\u011frulu\u011fu kan\u0131tlanamaz. Bu ayn\u0131 zamanda o t\u00fcmcenin sistemin aksiyomlar\u0131ndan ba\u011f\u0131ms\u0131z<\/strong> oldu\u011fu anlam\u0131na gelir.<\/p>\n

3) Yar\u0131 karar verilebilirdir. T\u00fcmce do\u011fruysa kan\u0131tlanabilir. Ancak yanl\u0131\u015fsa yanl\u0131\u015fl\u0131\u011f\u0131 kan\u0131tlanamayabilir.<\/p>\n

Yukar\u0131da belirtilen birinci ihtimalin ne demek oldu\u011fu a\u00e7\u0131k. \u0130kincisi i\u00e7in, bir \u00fclkenin yarg\u0131 sisteminde bir cinayeti i\u015fleyen ki\u015finin cinayeti i\u015flemi\u015f oldu\u011funun kan\u0131tlanabilmesi i\u00e7in en az bir \u015fahidin olmas\u0131 gerekti\u011fini varsayal\u0131m. \u00dclkenin bir adas\u0131nda a <\/em>ki\u015fisi b <\/em>ki\u015fisini \u00f6ld\u00fcrm\u00fc\u015f fakat hi\u00e7 kimsenin (a <\/em>d\u0131\u015f\u0131nda) bu olay\u0131 g\u00f6rmedi\u011fini varsayal\u0131m. Bu sisteme g\u00f6re a <\/em>ki\u015fisinin katil oldu\u011fu do\u011fru olsa bile kan\u0131tlanamaz.<\/p>\n

Tatmin olmak i\u00e7in ikinci ihtimalle ilgili daha matematiksel bir \u00f6rnek verelim: \u03d5 t\u00fcmcesi verilsin. Aksiyomu \u03d5 = <\/em>\u03d5 olan bir sistemde \u03c6 ve \u03c8 i\u00e7in<\/p>\n

\u03c6 = <\/em><\/strong>\u03c8<\/p>\n

veya<\/p>\n

\u03c6 = <\/em><\/strong>\u03c8<\/p>\n

t\u00fcmcelerinin do\u011fruluklar\u0131 kan\u0131tlanamaz. Dolay\u0131s\u0131yla bu sistemde \u03c6 = <\/em>\u03c8 t\u00fcmcesi veya t\u00fcmce\u00adnin de\u011fili hakk\u0131nda karar verilemez. Ancak<\/p>\n

(<\/em>\u03c6 = <\/em>\u03c8) <\/em>\u2228 (<\/em>\u03c6 = \u03c8 )<\/em><\/p>\n

\u00f6nermesi mant\u0131ksal bir zorunluluktur. Bu \u00f6nermeyi her sistem kan\u0131tlar.<\/p>\n

\u00dc\u00e7\u00fcnc\u00fc durum i\u00e7in \u015f\u00f6yle bir \u00f6rnek verebiliriz: Ya\u015fad\u0131\u011f\u0131m\u0131z fiziksel evrenin sonsuz b\u00fc\u00ady\u00fckl\u00fckte oldu\u011funu ve hi\u00e7bir zaman yok olmayaca\u011f\u0131n\u0131 varsayal\u0131m. Bu sonsuz fiziksel uzay bo\u015flu\u011funda bir cisim aramak maksad\u0131yla uzaya bir uydu yollayal\u0131m. Bu uydu o kadar sa\u011flam olsun ki hi\u00e7bir zaman bozulmas\u0131n, evrenin her yerini dola\u015fabilsin, evrenle birlikte var olsun. E\u011fer bu cisim ger\u00e7ekten evrenin bir yerinde varsa, uydumuz belki 1 y\u0131l sonra, belki 1000 y\u0131l, belki 1 milyon y\u0131l ya da 10 trilyon \u0131\u015f\u0131k y\u0131l\u0131 sonra bu cismi bulacak ve d\u00fcnyaya \u201ccisim vard\u0131r\u201d mesaj\u0131 yollayacak. Belki milyarlarca \u0131\u015f\u0131k y\u0131l\u0131 alacak \u00e7ok uzun ve \u00f6nemli bir g\u00f6reve benziyor bu. E\u011fer cisim varsa sonlu bir s\u00fcre ge\u00e7tikten sonra bulmas\u0131 gerek. E\u011fer cisim yoksa uydunun bir yerde durup \u201ccisim yoktur\u201d mesaj\u0131n\u0131 vermesi m\u00fcmk\u00fcn de\u011fildir! \u00c7\u00fcnk\u00fc evren sonsuzdur ve daha uydunun bakmad\u0131\u011f\u0131 sonsuz bir bo\u015fluk vard\u0131r. Cisim varsa bulunabilir, ancak yoksa yoklu\u011fu kan\u0131tlanamaz. Bu \u00f6rnek yar\u0131 karar verilebilir bir durumdur. Mant\u0131k literat\u00fcr\u00fcndeki karar verilemezlik meselelerinde \u00e7ok b\u00fcy\u00fck rol oynar.<\/p>\n

Peki \u015fimdi bir soru soral\u0131m: Evrenin ya\u00adp\u0131s\u0131 hakk\u0131nda bir bilgimiz olsayd\u0131 durum de\u011fi\u015fecek miydi? Evet! Ayn\u0131 problemi do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesiyle ilgili bir soruya \u00e7evirebiliriz. Do\u011fal say\u0131lar\u0131n rasgele bir sonsuz altk\u00fcmesi s\u0131ras\u0131z \u015fekilde verilsin. Bu k\u00fcmeye A <\/em>diyelim. Yani A <\/em>k\u00fcmesi do\u011fal say\u0131lar\u0131n sonsuz bir altk\u00fcmesi ve herhangi bir s\u0131raya veya d\u00fczene sahip de\u011fil. Bu k\u00fcme i\u00e7inde bir n <\/em>say\u0131s\u0131 aramak istiyoruz. A <\/em>k\u00fcmesinin elemanlar\u0131na teker teker bakmam\u0131z gerekiyor. Ba\u015fka \u015fans\u0131m\u0131z yok. K\u00fcmenin ele\u00admanlar\u0131 s\u0131ras\u0131z. E\u011fer n <\/em>say\u0131s\u0131 A<\/em>\u2019n\u0131n i\u00e7indeyse mutlaka bir yerde buluruz. E\u011fer yoksa sonsuza kadar bakmaya devam etmemiz gerekiyor. Bu durumda bir anda durup \u201cn <\/em>say\u0131s\u0131 A<\/u>\u2019n\u0131n i\u00e7inde yoktur\u201d deme \u015fans\u0131m\u0131z yok. \u00c7\u00fcnk\u00fc ne kadar bakarsak bakal\u0131m hen\u00fcz bakmad\u0131\u011f\u0131m\u0131z sonsuz tane eleman vard\u0131r. \u015eimdi bu k\u00fcmeyi de\u011fi\u015ftirelim. A <\/em>k\u00fcmesi s\u0131ral\u0131 bir k\u00fcme olsun. \u00d6rne\u011fin s\u00fcrekli artan bir k\u00fcme. Mesela<\/p>\n

{4,19, 57,178, 5701,…}<\/p>\n

gibi bir k\u00fcme. \u015eimdi bir n <\/em>say\u0131s\u0131n\u0131n bu k\u00fcmenin i\u00e7inde olup olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 bulmak art\u0131k karar verilebilir bir problem haline geliyor. Neden mi? \u00c7\u00fcnk\u00fc k\u00fcmemiz art\u0131k d\u00fczenli<\/strong>. <\/em>\u00d6rne\u011fin e\u011fer 60 say\u0131s\u0131n\u0131n verdi\u011fimiz k\u00fcmede olup olmad\u0131\u011f\u0131na karar vermek istiyorsak k\u00fcmeye bakar\u0131z, 178\u2019e kadar yoksa zaten geri kalan elemanlarda da mevcut de\u011fildir. O halde karar verilebilirlik asl\u0131nda matematiksel yap\u0131n\u0131n d\u00fczeniyle ilgilidir. D\u00fczensizlik ve karar verilebilirlik birbiriyle ili\u015fkilidir.<\/p>\n

\"\"7) \u00d6zellik nedir?<\/strong><\/p>\n

Genel olarak matematik kitaplar\u0131nda bir k\u00fcmenin belirli \u00f6zellikleri sa\u011flayan elemanlarca belirlendi\u011fi yazar. Ama burada ge\u00e7en \u201c\u00f6zellik\u201d kelimesinin tan\u0131m\u0131 pek verilmez. Burada \u00f6zelli\u011fin tarifini verece\u011fiz.<\/p>\n

Bir t\u00fcmcede V veya 3 niceleme sembollerinin kapsam\u0131nda yer almayan de\u011fi\u015fkene serbest <\/strong>de\u011fi\u015fken ve di\u011fer de\u011fi\u015fkenlere s\u0131n\u0131rland\u0131r\u0131lm\u0131\u015f <\/strong>de\u011fi\u015fken denir. \u00d6rne\u011fin, \u03d5(x) <\/em>bir form\u00fcl olmak \u00fczere \\\/x <\/em>\u03d5(x)<\/em> t\u00fcmcesinde x <\/em>s\u0131n\u0131rland\u0131r\u0131lm\u0131\u015f de\u011fi\u015fkendir. Yani \u03d5\u2019deki x <\/em>de\u011fi\u015fkeni V nicelemesinin kapsam\u0131ndad\u0131r. Dahas\u0131<\/p>\n

[tfx(<\/em>\u03d5(x) \u2014> <\/em>\u03d5(y))] <\/em>A 3y(<\/em>\u03d5(x) = <\/em>\u03d5(y))<\/em><\/p>\n

form\u00fcl\u00fcnde birinci \u03d5\u2019nin i\u00e7indeki x <\/em>s\u0131n\u0131rl\u0131, \u00fc\u00e7\u00fcnc\u00fc \u03d5\u2019nin i\u00e7indeki x <\/em>ise serbesttir. Benzer \u015fekilde ikinci \u03d5\u2019nin i\u00e7indeki y <\/em>serbest, d\u00f6rd\u00fcnc\u00fc \u03d5\u2019nin i\u00e7indeki y <\/em>s\u0131n\u0131rl\u0131d\u0131r. Buna kar\u015f\u0131n a <\/em>ve x <\/em>de\u011fi\u015fkenleri i\u00e7in \u03d5 yerine x <\/em>G a <\/em>al\u0131n\u0131rsa, yani \\\/x(x <\/em>G a) <\/em>t\u00fcmcesinde a <\/em>serbest de\u011fi\u015fkendir. Bir t\u00fcmcede serbest de\u011fi\u015fken olmayabilir. \u00d6rne\u011fin<\/p>\n

\\\/x3y(x <\/em>= y)<\/em><\/p>\n

t\u00fcmcesinde serbest de\u011fi\u015fken yoktur. Benzer bi\u00e7imde x=y t\u00fcmcesinde s\u0131n\u0131rland\u0131r\u0131lm\u0131\u015f de\u00ad\u011fi\u015fken yoktur.<\/p>\n

En az bir serbest de\u011fi\u015fken bulunduran t\u00fcmceye \u00f6zellik<\/strong>(17)<\/sup> denir. \u03d5, <\/em>t\u00fcmcesinde a <\/em>bir serbest de\u011fi\u015fken ise, \u03d5\u2019de a <\/em>yerine, t\u00fcmcede b <\/em>ile g\u00f6sterilen de\u011fi\u015fken yoksa, b <\/em>yazarak elde edilen t\u00fcmceyi \u03d5(b) <\/em>ile g\u00f6sterece\u011fiz. \u00d6rne\u011fin, \\\/x(x = a) <\/em>t\u00fcmcesini \u03d5 ile g\u00f6sterelim. \u03d5(b), \\\/x(x = b) <\/em>t\u00fcmcesini g\u00f6sterecektir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 7.1. <\/strong>Bir t\u00fcmcede 3 kapsam\u0131na girmeyen en az bir de\u011fi\u015fken bulunduran t\u00fcmcenin \u00f6zellik oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Bundan sonra verilen t\u00fcmcelerde yer alan de\u011fi\u015fkenlere eleman <\/strong>denir. Her eleman bir k\u00fcme <\/strong>olacakt\u0131r.<\/p>\n

8) Bizim de bir k\u00fcmemiz olsun<\/strong><\/p>\n

Kentlerde y\u00fcksek katl\u0131 binalar dikiliyor, \u00e7ok uzun k\u00f6pr\u00fcler, saraylar, yollar yap\u0131l\u0131yor. Bizler de \u00f6yle bir k\u00fcme yapabiliriz ki hem bo\u015f hem de her \u015feyi doldurabilecek yetenekte olabilir.<\/p>\n

S\u0131f\u0131r say\u0131s\u0131n\u0131 kullanan \u00e7ok ama ne oldu\u011funu bilen azd\u0131r. Bu paradoksal bir durum de\u011fildir. Aynen \u00e7ocuk do\u011furacak annenin \u00e7ocu\u011fun cinsiyetinin ne oldu\u011funu bilemeyece\u011fi gibi.<\/p>\n

A\u015fa\u011f\u0131daki giri\u015fimlerden sonra s\u0131f\u0131r\u0131n ne oldu\u011funu s\u00f6yleyebiliriz. Elbette s\u0131f\u0131r farkl\u0131 bi\u00ad\u00e7imlerde de tan\u0131mlanabilir. Bunun i\u00e7in elimizde bari en az bir k\u00fcme olsun. Ba\u015f\u0131m\u0131za bela olmamas\u0131 i\u00e7in bu k\u00fcmenin hi\u00e7 eleman\u0131 olmas\u0131n. Merak etmeyin daha sonra bu k\u00fcmelerle i\u00e7leri dolu dolu k\u00fcmeler yarataca\u011f\u0131z.<\/p>\n

Bo\u015fk\u00fcme Aksiyomu. <\/strong>Hi\u00e7 eleman\u0131 olmayan bir k\u00fcme vard\u0131r. Yani \u00f6yle bir x <\/em>k\u00fcmesi vard\u0131r ki, verilen her a <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in a <\/em>^ x <\/em>olur. Bi\u00e7imsel dilde bu aksiyom<\/p>\n

3x\\\/a(a ^ x)<\/em><\/p>\n

olarak yaz\u0131l\u0131r.(18)<\/sup><\/p>\n

Aksiyomda ge\u00e7en \u201cvard\u0131r\u201d derken kastetti\u011fimiz, zihnimizde in\u015fa etmi\u015f oldu\u011fumuz, fiziksel olarak anlam\u00ads\u0131z olan bir \u015feydir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 8.1. <\/strong>Aksiyomu sadece bo\u015fk\u00fcme aksiyomu olan sistemde eleman\u0131 olan k\u00fcmeyi ifade eden t\u00fcmce, yani<\/p>\n

3x3y(x E y)<\/em><\/p>\n

t\u00fcmcesi hakk\u0131nda karar verilemeyece\u011fini g\u00f6sterin.<\/p>\n

Birbirlerinden \u201cfarkl\u0131\u201d k\u00fcmelerin varl\u0131\u011f\u0131n\u0131 anlamak i\u00e7in e\u015fitlik tan\u0131m\u0131na ihtiyac\u0131m\u0131z olacak. \u00d6nce altk\u00fcme tan\u0131m\u0131n\u0131 verelim.<\/p>\n

Tan\u0131m 8.2. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. x\u2019in her eleman\u0131 ayn\u0131 zamanda y\u2019nin eleman\u0131 oluyorsa x, <\/em>y\u2019nin altk\u00fcmesi<\/strong> denir ve bu durum x <\/em>C y <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

Hi\u00e7 eleman\u0131 olmayan bir k\u00fcme her k\u00fcmenin altk\u00fcmesi olur. Her x <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in x <\/em>C x <\/em>oldu\u011fu da a\u00e7\u0131kt\u0131r.<\/p>\n

E\u015fitlik Aksiyomu. <\/strong>Elemanlar\u0131 ayn\u0131 olan iki k\u00fcme e\u015ftir. x <\/em>ve y <\/em>k\u00fcmelerinin e\u015fit olmas\u0131 x = y <\/em>ile g\u00f6sterilir. Bu aksiyom<\/p>\n

\\\/x\\\/y<\/em>[\\\/z(z E x -^ z E y) \u2014> x = y]<\/em><\/p>\n

olarak yaz\u0131l\u0131r.<\/p>\n

x <\/em>ve y <\/em>k\u00fcmeleri i\u00e7in x = y <\/em>olmas\u0131 i\u00e7in gerekli ve yeterli ko\u015fulun, x <\/em>C y <\/em>ve y <\/em>C x <\/em>olmas\u0131 gerekti\u011fi kolayl\u0131kla g\u00f6sterilebilir. Ayr\u0131ca x = y <\/em>oldu\u011funda y = x <\/em>oldu\u011fu da a\u00e7\u0131kt\u0131r. x <\/em>= y\u2019nin de\u011fili \u00ad(x = y) <\/em>olur ve x = y <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

A\u015fa\u011f\u0131daki teorem(19)<\/sup> kolayl\u0131kla kan\u0131tlanabilir.<\/p>\n

Teorem 8.3. <\/strong>Hi\u00e7 eleman\u0131 olmayan iki k\u00fcme birbirine e\u015fittir.<\/p>\n

Teorem 8.4. <\/strong>Her x k\u00fcmesi i\u00e7in x = x olur.<\/p>\n

\u0130ki k\u00fcme aras\u0131nda tan\u0131mlanan e\u015fitlik kavram\u0131n\u0131 kullan\u0131larak bo\u015fk\u00fcmeyi tan\u0131mlayabiliriz.<\/p>\n

Tan\u0131m 8.5. <\/strong>Hi\u00e7 eleman\u0131 olmayan k\u00fcmeye bo\u015fk\u00fcme <\/strong>denir. Bo\u015fk\u00fcme 0 <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

Tan\u0131m 8.6. <\/strong>K\u00fcme kuram\u0131ndaki bo\u015fk\u00fcmeye say\u0131 dilinde s\u0131f\u0131r <\/strong>denir ve 0 ile g\u00f6sterilir.(20)<\/sup><\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 8.7. <\/strong>Bo\u015fk\u00fcme Aksiyomu ve e\u015fitlik aksiyomu kullan\u0131larak bo\u015fk\u00fcmeye e\u015fit olmayan bir k\u00fcmenin varl\u0131\u011f\u0131 kan\u0131tlanabilir mi?<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 8.8. <\/strong>Bo\u015fk\u00fcme Aksiyomu ve e\u015fitlik aksiyomu kullan\u0131larak her k\u00fcmenin bo\u015fk\u00fcmeye e\u015fit oldu\u011fu, yani \\\/x(x = 0) <\/em>t\u00fcmcesi kan\u0131tlanabilir mi?<\/p>\n

\"\"9) En az bir elemanl\u0131 k\u00fcme var m\u0131d\u0131r?<\/strong><\/p>\n

Bo\u015fk\u00fcme Aksiyomu gere\u011fi bir k\u00fcmemiz var. Ama bu k\u00fcmenin hi\u00e7 eleman\u0131 yok. En az bir elemanl\u0131 bir k\u00fcmenin var olup olmad\u0131\u011f\u0131 belli de\u011fil. Ger\u00e7ekten de bo\u015fk\u00fcme ve e\u015fitlik aksiyomlar\u0131ndan olu\u015fan bir sistemde en az bir elemanl\u0131 bir k\u00fcmenin var oldu\u011funu s\u00f6yleyen<\/p>\n

3x3y(x E y)<\/em><\/p>\n

t\u00fcmce hakk\u0131nda karar verilemez. Ger\u00e7ekten t\u00fcmcede ge\u00e7en x<\/em>, bo\u015fk\u00fcmenin hi\u00e7 eleman\u0131 olmad\u0131\u011f\u0131ndan, bo\u015fk\u00fcme olamaz. Bo\u015fk\u00fcmeden farkl\u0131 bir k\u00fcmenin var oldu\u011fu da yukar\u0131da verilen iki aksiyomdan elde edilemez. Buradan en az bir eleman\u0131 olan bir k\u00fcmenin varl\u0131\u011f\u0131 i\u00e7in yeni bir aksiyom gereksinimi ortaya \u00e7\u0131kar.<\/p>\n

\u0130ki Elemanl\u0131 K\u00fcme Aksiyomu. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece x <\/em>ve y <\/em>olan bir k\u00fcme vard\u0131r. Yani<\/p>\n

VxVy3z[Va(a 6z)o ((a = x) <\/em>V (a = y))].<\/em><\/p>\n

Yukar\u0131daki t\u00fcmcede verilen x <\/em>ve y<\/em>\u2019ye kar\u015f\u0131l\u0131k gelen z <\/em>tektir ve {x,y} <\/em>ile g\u00f6sterilir. Ayr\u0131ca,<\/p>\n

{x, y} = {y, x}<\/em><\/p>\n

oldu\u011fu a\u00e7\u0131kt\u0131r. x = y <\/em>olma durumunda {x, y} <\/em>yerine sadece {x} <\/em>yaz\u0131l\u0131r. x = y = 0 <\/em>oldu\u011funda {0} bir k\u00fcmedir ve 0 E {0} <\/em>olur. B\u00f6ylece \u015fu teoremi kan\u0131tlam\u0131\u015f olduk:<\/p>\n

Teorem 9.1. <\/strong>Aksiyomlar\u0131 yukar\u0131da verilen \u00fc\u00e7 aksiyom olan sistemde {0} bir k\u00fcmedir. Bu k\u00fcmenin sadece ve sadece bir eleman\u0131 vard\u0131r.<\/p>\n

Say\u0131 dilinde bo\u015fk\u00fcmenin s\u0131f\u0131r oldu\u011fu ve 0 ile g\u00f6sterildi\u011fi dikkate al\u0131narak {0} = {0} olur. \u015eimdi de 1\u2019i tan\u0131mlayabiliriz.<\/p>\n

Tan\u0131m 9.2. <\/strong>{0} k\u00fcmesine 1 denir. Yani 1 = {0} olur.<\/p>\n

Teorem 9.3. <\/strong>0=1.<\/p>\n

Kan\u0131t: 0=1 oldu\u011funu varsayal\u0131m. 0 G 1 oldu\u011fundan 0 E <\/em>0 olur ki bu da bir \u00e7eli\u015fkidir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 9.4. <\/strong>Aksiyomlar\u0131 yukar\u0131da verilen \u00fc\u00e7 aksiyomlu olan sistemde<\/p>\n

3x(x E x) <\/em>t\u00fcmcesine karar verilebilir mi?<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 9.5. <\/strong>Sadece ve sadece bir eleman\u0131 olan 1\u2019den farkl\u0131 bir k\u00fcme \u00f6rne\u011fi yaz\u0131n.<\/p>\n

Teorem 9.6. <\/strong>z = {x,y} <\/em>ve x = y <\/em>olacak bi\u00e7imde x<\/em>, y<\/em>, z <\/em>k\u00fcmeleri vard\u0131r.<\/p>\n

Kan\u0131t: x <\/em>= 0, y <\/em>= 1 olarak al\u0131n\u0131rsa istenilen elde edilir.<\/p>\n

Tan\u0131m 9.7. <\/strong>{0,1} k\u00fcmesine 2 denir. Yani 2 = {0,1}.<\/p>\n

0 = 2 ve 1 = 2 oldu\u011fu a\u00e7\u0131k. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece 0, 1 ve 2 olan bir k\u00fcme var m\u0131d\u0131r?<\/p>\n

10) \u00c7ok elemanl\u0131 k\u00fcme tan\u0131mlamak<\/strong><\/p>\n

\u015eu ana kadar \u00fc\u00e7 aksiyom tan\u0131mlad\u0131k. Bu tan\u0131mlama sonucunda binlerce y\u0131ld\u0131r kullan\u0131lan 0, 1 ve 2\u2019yi tan\u0131mlayabildik. Peki, bu \u00fc\u00e7 aksiyomun g\u00fcc\u00fc yine y\u0131llard\u0131r kullan\u0131lan 3\u2019\u00fc tan\u0131m\u00adlamaya yeter mi? Sezgisel olarak 3 say\u0131s\u0131, elemanlar\u0131 0, 1 ve 2 olan k\u00fcme olacakt\u0131r. Yani elemanlar\u0131 0, 1 ve 2 olan bir k\u00fcme var m\u0131d\u0131r? Tan\u0131mlayaca\u011f\u0131m\u0131z yeni bir aksiyomla sorunun yan\u0131t\u0131 evet olabilecektir. x<\/em>, y <\/em>iki k\u00fcme olsun. Verilen her a <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in<\/p>\n

(a E x) <\/em>V (a E y)<\/em><\/p>\n

bir \u201c\u00f6zellik\u201d tir. Bu \u00f6zelli\u011fi px<\/sub>,y<\/sub>(a) <\/em>ya da k\u0131saca p(a) <\/em>ile g\u00f6sterelim. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece p(a) <\/em>\u00f6zelli\u011fini sa\u011flayan bir z <\/em>k\u00fcmesi tan\u0131mlayabiliriz. Bu k\u00fcme<\/p>\n

{a <\/em>: p(a)}<\/em><\/p>\n

ile g\u00f6sterilir. Yani tan\u0131mlayaca\u011f\u0131m\u0131z yeni bir aksiyom sonucu elemanlar\u0131 verilen x <\/em>ve y <\/em>k\u00fcmelerine kar\u015f\u0131l\u0131k elemanlar\u0131 sadece ve sadece x<\/em>\u2019in ya da y<\/em>\u2019nin elemanlar\u0131ndan olu\u015fan bir z <\/em>k\u00fcmesi tan\u0131mlayabilece\u011fiz. Bu durum bi\u00e7imsel dilde<\/p>\n

\\\/x\\\/y3z<\/em>[\\\/a(a E z <\/em>o (a E x) <\/em>V (a E y))]<\/em><\/p>\n

olarak yaz\u0131l\u0131r.<\/p>\n

Bile\u015fim Aksiyomu. <\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme olsun. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece x<\/em>\u2019in elemanlar\u0131n\u0131n elemanlar\u0131ndan olu\u015fan bir k\u00fcme vard\u0131r. Yani bi\u00e7imsel dilde,<\/p>\n

\\\/x3y<\/em>[\\\/a(a E y <\/em>o 3z((z E x) <\/em>A (a E z)))].<\/em><\/p>\n

Verilen x <\/em>k\u00fcmesinin yukar\u0131daki aksiyom ile elde edilen k\u00fcme biriciktir. Bu k\u00fcmeye x<\/em>\u2019in bile\u015fimi<\/strong> denir ve \u00f6x <\/em>ile g\u00f6sterilir. Her a <\/em>i\u00e7in<\/p>\n

3y[(y E x) <\/em>A (a E y)]<\/em><\/p>\n

form\u00fcl\u00fcn\u00fc p(a) <\/em>ile g\u00f6sterelim. \u00f6x <\/em>k\u00fcmesi<\/p>\n

{a <\/em>: p(a)}<\/em><\/p>\n

ile de g\u00f6sterilir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 10.1 <\/strong>U0 = 0 <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 10.2. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece x <\/em>ya da y<\/em>\u2019nin elemanlar\u0131 olan bir k\u00fcmenin oldu\u011funu g\u00f6sterin. Ayr\u0131ca bu k\u00fcmenin \u00f6{x,y} <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin. Genelde \u00f6{x, y} <\/em>yerine x \u00f6 y <\/em>yaz\u0131l\u0131r. x \u00f6 y = y \u00f6 x <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 10.3. <\/strong>Verilen her x <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in 0{Jx = x\u00f60 = x <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 10.4. <\/strong>1 = 0 U {0} ve 2 = 1 U {1} oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

\u015eimdi 3\u2019\u00fc tan\u0131mlayabiliriz.<\/p>\n

Tan\u0131m 10.5. <\/strong>2 U {2} k\u00fcmesi sezgisel olarak 3 say\u0131s\u0131n\u0131 g\u00f6stersin.<\/p>\n

Yani 3, elemanlar\u0131 0, 1 ve 2 olan k\u00fcmedir. Bu k\u00fcme {0,1,2} ile g\u00f6sterilebilir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 10.6. <\/strong>0=3, 1=3 ve 2=3 oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 10.7. <\/strong>Elemanlar\u0131 0, 1, 2 ve 3\u2019ten olu\u015fan bir k\u00fcmenin varl\u0131\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6sterin. Bu k\u00fcme sezgisel olarak 4 say\u0131s\u0131n\u0131 g\u00f6stersin.<\/p>\n

Okur, yukar\u0131daki yakla\u015f\u0131m\u0131 kullanarak 5, 6, 7\u2019yi tan\u0131mlayabilir. Hatta 23865\u2019i tan\u0131mla\u00add\u0131\u011f\u0131nda 23866\u2019y\u0131 da tan\u0131mlayabilir. Ama 23\u2019\u00fcn tan\u0131m\u0131ndan hareket ederek 22\u2019yi tan\u0131mlamak mevcut y\u00f6ntemlerle kolay olmayabilir.<\/p>\n

11) Altk\u00fcme aksiyomu<\/strong><\/p>\n

\u00d6rne\u011fin<\/p>\n

3x<\/em>[s\/a(a E x <\/em>o a = b)]<\/em><\/p>\n

t\u00fcmcesinde x, 3 <\/em>kapsam\u0131nda, a, <\/em>V kapsam\u0131nda olup b, <\/em>V ya da 3<\/em> kapsam\u0131nda de\u011fildir ve dolay\u0131s\u0131yla bu t\u00fcmce bir \u00f6zelliktir. Ayr\u0131ca<\/p>\n

3x<\/em>[\\\/a(a E x <\/em>o (a = b) <\/em>V (a <\/em>= c))]<\/p>\n

t\u00fcmcesi de bir \u00f6zelliktir.<\/p>\n

Altk\u00fcme Aksiyomu. <\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme olsun. Her y <\/em>de\u011fi\u015fkeni i\u00e7in, y, p(y) <\/em>matematik t\u00fcmce\u00adsinde serbest de\u011fi\u015fken olsun. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece (a E x) <\/em>A p(a) <\/em>t\u00fcmcesini sa\u011flayan a<\/em>\u2019lar olan k\u00fcme vard\u0131r. Bu k\u00fcme<\/p>\n

{a <\/em>: (a E x) Ap(a)}<\/em><\/p>\n

ile g\u00f6sterilir. \u00c7o\u011fu zaman<\/p>\n

{a E x <\/em>: p(a)}<\/em><\/p>\n

olarak yaz\u0131l\u0131r.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 11.1. <\/strong>Her x <\/em>eleman\u0131 i\u00e7in x = x <\/em>t\u00fcmcesini p(x) <\/em>ile g\u00f6sterelim. {x <\/em>: p(x)}\u2019in bir k\u00fcme olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6sterin. Yani,<\/p>\n

3x\\\/a[(a E x) <\/em>A (a = a)]<\/em><\/p>\n

t\u00fcmcesinin de\u011ferinin yanl\u0131\u015f oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 11.2. <\/strong>Her x <\/em>eleman\u0131 i\u00e7in x=x<\/em> t\u00fcmcesini p(x) <\/em>ile g\u00f6sterelim. {x <\/em>: p(x<\/em>)}\u2019in bir k\u00fcme oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 11.3. <\/strong>x <\/em>k\u00fcmesi verilsin. Her a <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in a E x <\/em>t\u00fcmcesini p(a) <\/em>ile g\u00f6sterelim. A = x <\/em>olmak \u00fczere<\/p>\n

A = {a <\/em>: p(a)}<\/em><\/p>\n

oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 11.4. <\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme olmak \u00fczere a E x <\/em>ve b E x <\/em>verilsin. Her y <\/em>eleman\u0131 i\u00e7in (y = a) <\/em>V (y = b) <\/em>t\u00fcmcesi p(y) <\/em>olmak \u00fczere<\/p>\n

{a,b} = {y <\/em>: (y E x) <\/em>Ap(y)} = {y <\/em>: p(y)}<\/em><\/p>\n

oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

12) K\u00fcmelerin arakesiti ve fark\u0131<\/strong><\/p>\n

x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. Her a <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in (a 6 x) A (a 6 y) <\/em>olmak \u00fczere<\/p>\n

{a E x <\/em>U y <\/em>: p(a)}<\/em><\/p>\n

bir k\u00fcmedir. Bu k\u00fcmeye x <\/em>ve y<\/em>\u2019nin arakesiti <\/strong>denir ve x il y <\/em>ile g\u00f6sterilir. Okur<\/p>\n

x Oy = {a E x <\/em>: a E y} = {a E y : a E x}<\/em><\/p>\n

oldu\u011funu kolayl\u0131kla g\u00f6sterebilir. Ayr\u0131ca okur a\u015fa\u011f\u0131daki teoremi altk\u00fcme aksiyomunu kullana\u00adrak hemen verebilir.<\/p>\n

Teorem 12.1. <\/strong>x bo\u015f olmayan bir k\u00fcme olsun. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece x \u2019in elemanlar\u0131n\u0131n i\u00e7inde ortak elemanlar\u0131 bulunduran bir k\u00fcme vard\u0131r. Yani her t k\u00fcmesi i\u00e7in<\/p>\n

Vy[(y E x) <\/em>A (t e <\/strong>y)]<\/em><\/p>\n

matematik t\u00fcmcesi p(t) ile g\u00f6sterilirse,<\/p>\n

{t <\/em>: p(t)}<\/em><\/p>\n

bir k\u00fcmedir. Bu k\u00fcme C\\x <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

C\\x <\/em>k\u00fcmesine x\u2019<\/em>in arakesiti denir.21)<\/sup>. n0\u2019nin tan\u0131mlanmad\u0131\u011f\u0131na dikkat edilmelidir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 12.2. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olmak \u00fczere<\/p>\n

C\\{x} = x <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 12.3. <\/strong>Bo\u015fk\u00fcmenin arakesiti tan\u0131mlanabilir mi? Buna kar\u015f\u0131n her x <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in<\/p>\n

x <\/em>n 0 = 0<\/em><\/p>\n

oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 12.4. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun.<\/p>\n

x D y = <\/em><\/strong>D{x, y} = y D x <\/strong><\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun.<\/p>\n

{t <\/em><\/strong>: (t E x) <\/em>A (t <\/em>^ y)} <\/em><\/strong>bir k\u00fcmedir. Bu k\u00fcmeye x fark <\/strong>y <\/em>denir ve x <\/em>\\ y <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 12.5. <\/strong>\u015eimdi x\\x = 0vex = (x\\(xn y)) <\/em>U (x il y) <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

13) Kuvvet K\u00fcmesi Aksiyomu ve kartezyen \u00e7arp\u0131m<\/strong><\/p>\n

X <\/em>ve Y <\/em>k\u00fcmelerinin kartezyen \u00e7arp\u0131m\u0131n\u0131n elemanlar\u0131 x <\/em>G X <\/em>ve y <\/em>G Y <\/em>olmak \u00fczere (x,y) <\/em>ikililerinden olu\u015fan k\u00fcme oldu\u011funu veXxY ile g\u00f6sterildi\u011fini hemen hemen bilmeyen yoktur. B\u00f6yle bir k\u00fcmeyi t\u00fcmceler terimiyle tan\u0131mlayabilmek i\u00e7in \u00f6ncelikle (x,y) <\/em>ikililerini tan\u0131m\u00adlamak gerekir. Sonras\u0131nda elemanlar\u0131 bu ikililer olan toplulu\u011funun ger\u00e7ekten bir k\u00fcme oldu\u011funu g\u00f6stermenin yollar\u0131na bakmal\u0131y\u0131z. Bunun i\u00e7in bir aksiyoma ihtiyac\u0131m\u0131z olacak.<\/p>\n

Kuvvet K\u00fcmesi Aksiyomu. <\/em><\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme olsun. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece x<\/em>\u2019in altk\u00fcmeleri olan bir k\u00fcme vard\u0131r. Yani her a <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in a <\/em>C x <\/em>matematik t\u00fcmcesi p(a) <\/em>ile g\u00f6sterilmek \u00fczere<\/p>\n

{y <\/em>: p(y)}<\/em><\/p>\n

bir k\u00fcmedir. Bu k\u00fcmeye x<\/em>\u2019in kuvvet k\u00fcmesi <\/strong>denir ve \u2118(x) <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 13.1. <\/strong>\u2118(0) <\/em>= 1 oldu\u011funu g\u00f6sterin. \u2118({1}), \u2118<\/em>({2}), <\/em>\u2118({3}) k\u00fcmelerinin eleman\u00adlar\u0131n\u0131 yaz\u0131n\u0131z.<\/p>\n

x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. {{x}, {x,y}} <\/em>k\u00fcmesini (x,y) <\/em>ile g\u00f6sterelim.<\/p>\n

Teorem 13.2. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. Elemanlar\u0131 a <\/em>G x <\/em>ve b <\/em>G y <\/em>i\u00e7in p((a, b)),<\/em><\/p>\n

(a <\/em>G x) <\/em>A (b <\/em>G y)<\/em><\/p>\n

t\u00fcmcesini g\u00f6stersin. {(a,b) <\/em>: p((a,b))} <\/em>bir k\u00fcmedir.<\/p>\n

Kan\u0131t: Her a <\/em>G x <\/em>ve b <\/em>G y <\/em>i\u00e7in (a,b) <\/em>C \u2118<\/em>(<\/em>\u2118<\/em>(x <\/em>U y)) <\/em>ve p((a,b))\u2019nin bir \u00f6zellik olmas\u0131ndan altk\u00fcme aksiyomu gere\u011fi istenilen kan\u0131t elde edilir.<\/p>\n

Tan\u0131m 13.3. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. Yukar\u0131daki teoremde bahsi ge\u00e7en k\u00fcmeye x <\/em>ve y<\/em>\u2019nin kartezyen \u00e7arp\u0131m\u0131 <\/strong>denir ve x <\/em>x y <\/em>ile g\u00f6sterilir.<\/p>\n

Bu aksiyom olmadan -1,-2 gibi tam say\u0131lar tan\u0131mlanamaz. w<\/em>, do\u011fal say\u0131lar olmak \u00fczere (hen\u00fcz tan\u0131mlanmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 biliyoruz), ger\u00e7ekten de tamsay\u0131lar\u0131n tan\u0131mlanmas\u0131 w<\/em>xw<\/em>\u2019dan ge\u00e7er.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 13.4. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. (a,b), (c,d) <\/em>G x <\/em>x y <\/em>olmak \u00fczere (a,b) = (c,d) <\/em>olmas\u0131 i\u00e7in gerekli ve yeterli ko\u015fulun a = c <\/em>ve b = d <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 13.5. <\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme olsun ve a <\/em>G x <\/em>verisin. {{a}} = (a, a) <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 13.6. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>iki k\u00fcme olsun. x <\/em>x y <\/em>k\u00fcmesinin bo\u015fk\u00fcme olmas\u0131 i\u00e7in gerekli ve yeterli ko\u015fulun x = 0 <\/em>ya da y = 0 <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

14) Yerle\u015ftirme Aksiyomu<\/strong><\/p>\n

K\u00fcmeyi bir an i\u00e7in fiziksel nesnelerin bir toplulu\u011fu olarak g\u00f6relim. K\u00fcmemizin elemanlar\u0131 defter, kalem, armut, ve muzdan olu\u015fsun. Bunlar\u0131n bir ayna i\u00e7erisindeki g\u00f6r\u00fcnt\u00fcleri k\u00fcme olur mu? Devam edelim: I = {0,1, 2}\u2019nin bir k\u00fcme oldu\u011funu biliyoruz. Her i E I <\/em>i\u00e7in xi <\/em>bir k\u00fcme olsun, yani xq, x\\ <\/em>ve x2 birer k\u00fcme olsunlar. Elemanlar\u0131 sadece ve sadece x\\, x2 <\/em>ve xs <\/em>olan bir k\u00fcme var m\u0131d\u0131r? Yukar\u0131da verilen aksiyomlar kullan\u0131larak b\u00f6yle bir k\u00fcmenin ne varl\u0131\u011f\u0131n\u0131 ne de yoklu\u011funu s\u00f6yleyebiliriz. Yani karars\u0131zl\u0131k durumu. Bu g\u00f6zlem bizi a\u015fa\u011f\u0131daki aksiyoma y\u00f6nlendirir.<\/p>\n

Yerle\u015ftirme Aksiyomu. <\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme ve her a <\/em>G x <\/em>i\u00e7in f(a) <\/em>bir k\u00fcme olsun. Elemanlar\u0131, a E x <\/em>olmak \u00fczere, sadece ve sadece f(a)\u2019lar olan bir k\u00fcme vard\u0131r. Yani<\/p>\n

{f(a) : a E x}<\/em><\/p>\n

bir k\u00fcmedir. \u00d6rne\u011fin, x <\/em>bir k\u00fcme olmak \u00fczere {{a} <\/em>: a E x} <\/em>bir k\u00fcmedir. Bunun bir k\u00fcme oldu\u011fu Kuvvet K\u00fcmesi Aksiyomu kullan\u0131larak g\u00f6sterilebildi\u011fi gibi Yerle\u015ftirme Aksiyomu kullan\u0131larak da g\u00f6sterilebilir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 14.1. <\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme olmak \u00fczere<\/p>\n

{<\/em><\/strong>\u2118<\/strong>(a) <\/em><\/strong>: a E x}<\/em><\/strong><\/p>\n

toplulu\u011funun bir k\u00fcme oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

15) T\u00fcmevar\u0131msal K\u00fcme Aksiyomu<\/strong><\/p>\n

Matemati\u011fin temeli olan do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesi yukar\u0131da verilen aksiyomlar kullan\u0131larak tan\u0131mlanabilir mi? 0, 1, 2 tan\u0131mland\u0131 ama 278 tan\u0131mlanabilir mi? Diyelim ki tan\u0131mland\u0131, 279 tan\u0131mlanabilir mi? Bu sorular\u0131n ard\u0131 arkas\u0131 kesilmeyebilir. Bu t\u00fcr sorular\u0131 tek tek tan\u0131mlamak yerine toptan tan\u0131mlayabilece\u011fiz, bir anlamda sonsuz i\u015fi bir \u00e7\u0131rp\u0131da yapabilece\u011fiz, aksiyomla\u00adr\u0131n can\u0131 sa\u011f olsun. Bu \u015fekilde domino ta\u015flar\u0131n\u0131 devirir gibi i\u00e7inde sonsuz tane eleman olacak bir k\u00fcme tan\u0131mlayaca\u011f\u0131z.<\/p>\n

Tan\u0131m 15.1. <\/strong>Bir x <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in s(x) <\/em>= xU{x} olarak tan\u0131mlayal\u0131m. s(x)<\/em>\u2019e x<\/em>\u2019in ard\u0131l\u0131<\/strong> denir.<\/p>\n

Her k\u00fcmenin ard\u0131l\u0131n\u0131 tan\u0131mlamak istedi\u011fimiz k\u00fcmenin eleman\u0131 olarak tan\u0131mlarsak ortaya \u00e7\u0131kacak olan k\u00fcme asl\u0131nda {0,1, 2, 3,…} do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesini olu\u015fturur.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 15.2. <\/strong>x <\/em>bir k\u00fcme olmak \u00fczere s(x)<\/em>\u2019in bir k\u00fcme oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Tan\u0131m 15.3. <\/strong>Bo\u015fk\u00fcme eleman\u0131 olan ve x<\/em>, eleman\u0131 oldu\u011funda s(x)<\/em>\u2019in de eleman oldu\u011fu k\u00fcmeye t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcme <\/strong>denir.<\/p>\n

Yukar\u0131da verilen aksiyomlar kullan\u0131larak bir t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcmenin varl\u0131\u011f\u0131 ya da yoklu\u011fu g\u00f6sterilebilir mi? Burada karar verilemez bir durum s\u00f6z konusudur.<\/p>\n

T\u00fcmevar\u0131msal K\u00fcme Aksiyomu. <\/strong>En az bir t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcme vard\u0131r. Yani<\/p>\n

3x[(0 6x)A [tfa(a <\/em>6x-} s (a) E x)]].<\/em><\/p>\n

\u015eu ana kadar verilen aksiyomlara T\u00fcmevar\u0131msal K\u00fcme Aksiyomu eklenmeden sistem do\u00ad\u011fal say\u0131lar\u0131 tan\u0131mlayamaz. T\u00fcmevar\u0131msal K\u00fcme Aksiyomu modern matematikte potansiyel sonsuzlu\u011fu kullanmam\u0131z\u0131 sa\u011flar. Bu noktada bu aksiyomun \u00f6nemi ortaya \u00e7\u0131kmaktad\u0131r.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 15.4. <\/strong>\u0130ki t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcmenin arakesit ve bile\u015fimlerinin t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcme olduklar\u0131n\u0131 g\u00f6steriniz.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 15.5. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>elemanlar\u0131 t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcme olan k\u00fcmeler olsunlar.<\/p>\n

Dx = Oy<\/em><\/p>\n

oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

T\u00fcmevar\u0131msal K\u00fcme Aksiyomu olmadan sonsuz bir k\u00fcmenin var oldu\u011fu kan\u0131tlanamaz.22<\/sup> Bu, aksiyomun \u00f6nemini ortaya koyuyor. \u015eimdi do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesini tan\u0131mlayabiliriz.<\/p>\n

Tan\u0131m 15.6. <\/strong>x <\/em>bir t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcme olmak \u00fczere<\/p>\n

y = {a <\/em>: t\u00fcmevar\u0131msal k\u00fcme ve a <\/em>C x} y <\/em>bir k\u00fcmedir. ily <\/em>k\u00fcmesine do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesi <\/strong>denir ve w <\/em>(ya da N) ile g\u00f6sterilir. Okur, w<\/em>\u2019nin x<\/em>\u2019den ba\u011f\u0131ms\u0131z oldu\u011funun fark\u0131nda olmal\u0131.<\/p>\n

16) Temellendirme beliti<\/strong><\/p>\n

\u015eimdi<\/p>\n

\u2205^\u2205, 1^1, 2^2<\/p>\n

oldu\u011funu biliyoruz. Asl\u0131nda okur her n <\/em>G w <\/em>i\u00e7in n $. n <\/em>oldu\u011funu biraz u\u011fra\u015fla g\u00f6sterebilir. \u015eu ana kadar tan\u0131mlanan aksiyomlar toplulu\u011fuyla do\u011fal say\u0131lar k\u00fcmesinin in\u015fa edilebildi\u011fini hat\u0131rlatal\u0131m.<\/p>\n

Peki bo\u015f olmayan her x <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in x <\/em>G x <\/em>olabilir mi? En az\u0131ndan yukar\u0131da verilen aksiyomlar\u0131n olu\u015fturdu\u011fu sistemde bu g\u00f6sterilemez. Bu durumun olmas\u0131 yani kendi kendinin eleman\u0131 olmas\u0131 sezgiye \u201cayk\u0131r\u0131\u201d duruyor.<\/p>\n

Bunun bir aksiyom olarak tan\u0131mlanarak di\u011fer aksiyomlara eklenmesi sorunlu olmayacak\u00adt\u0131r.<\/p>\n

Temellendirme Aksiyomu. <\/strong>Verilen her k\u00fcmenin en az bir eleman\u0131yla arakesiti bo\u015fk\u00fcmedir. Yani,<\/p>\n

\\\/x3y[(y <\/em>G x) <\/em>A (y il x <\/em>= \u2205)].<\/p>\n

Temellendirme Aksiyomu sonucu olarak verilen x <\/em>k\u00fcmesi i\u00e7in x <\/em>^ x <\/em>olur. Bunu g\u00f6stermek i\u00e7in x <\/em>G x <\/em>oldu\u011funu varsayal\u0131m. {x}\u2019in k\u00fcme oldu\u011funu biliyoruz. O halde bu k\u00fcmenin en az bir eleman\u0131yla arakesitinin bo\u015fk\u00fcme olmas\u0131 gerekir. Di\u011fer taraftan bu k\u00fcmenin tek bir eleman\u0131 vard\u0131r o da x<\/em>\u2019dir. Dolay\u0131s\u0131yla x il {x} <\/em>= \u2205 olmal\u0131d\u0131r. Buradan da x <\/em>^ x <\/em>elde edilir.<\/p>\n

Al\u0131\u015ft\u0131rma 16.1. <\/strong>x <\/em>ve y <\/em>k\u00fcmeleri verilsin. x <\/em>^ y <\/em>ya da y <\/em>^ x <\/em>oldu\u011funu g\u00f6sterin.<\/p>\n

Bir sistemin minimum d\u00fczeyde do\u011fal say\u0131lar\u0131 tan\u0131mlamas\u0131 beklenir. Temellendirme Aksi\u00adyomu olmadan da do\u011fal say\u0131lar aritmeti\u011finin tan\u0131mlanabilece\u011fini s\u00f6yleyelim. Temellendirme Aksiyomu\u2019na ihtiya\u00e7 duymam\u0131z\u0131n bir sebebi asl\u0131nda Russell Paradoksu\u2019nun varl\u0131\u011f\u0131d\u0131r.<\/p>\n

17) Zermelo-Fraenkel Sistemi ve G\u00f6del\u2019in Eksiklik Teorem\u00adleri<\/strong><\/p>\n

\u015eu ana kadar tan\u0131mlad\u0131\u011f\u0131m\u0131z aksiyomlar \u015funlard\u0131r: Bo\u015fk\u00fcme Aksiyomu, E\u015fitlik Aksiyomu, \u0130ki Elemanl\u0131 K\u00fcme Aksiyomu, Bile\u015fim Aksiyomu, Altk\u00fcme Aksiyomu, Kuvvet K\u00fcmesi Aksi\u00adyomu, Yerle\u015ftirme Aksiyomu, T\u00fcmevar\u0131msal K\u00fcme Aksiyomu ve Temellendirme Aksiyomu. Bu aksiyomlar toplulu\u011funun olu\u015fturdu\u011fu sisteme Zermelo-Fraenkel K\u00fcmeler Sistemi <\/strong>(k\u0131saca ZF) <\/em>denir. Baz\u0131 kaynaklarda bu aksiyomlar\u0131n s\u0131ras\u0131 farkl\u0131 bi\u00e7imlerde verilmi\u015ftir. An\u00adcak verilen bi\u00e7imlerinin hepsi birbirlerine denktir. Yerle\u015ftirme Aksiyomu ve Temellendirme Aksiyomu d\u0131\u015f\u0131ndaki aksiyomlar\u0131n olu\u015fturdu\u011fu sisteme Zermelo K\u00fcme Sistemi <\/strong>denir. Bu sistem temel olarak Fraenkel (1922)\u2019ye ait olup, bahsedilen iki aksiyom Skolem (1922) tara\u00adf\u0131ndan eklenmi\u015ftir. Yerle\u015ftirme Aksiyomu ba\u011f\u0131ms\u0131z olarak 1920\u2019lerde Mirimanov taraf\u0131ndan da verilmi\u015ftir.<\/p>\n

\u00c7a\u011f\u0131m\u0131zda yap\u0131lan matemati\u011fin \u00e7ok b\u00fcy\u00fck bir k\u0131sm\u0131 ZF <\/em>\u00fczerine in\u015fa edilmi\u015f ve edil\u00admeye devam edilmektedir. Do\u011fal say\u0131lar ve onun \u00fczerinden yap\u0131lan aritmeti\u011fin (toplama ve \u00e7arpma) bir y\u00f6n\u00fcyle uygarl\u0131\u011f\u0131n olu\u015fmas\u0131n\u0131 sa\u011flad\u0131\u011f\u0131ndan, ZF<\/em>\u2019nin aritmeti\u011fi tan\u0131mlayabilmesi beklenir ki zaten o y\u00f6nde in\u015fa edilmi\u015ftir. Matemati\u011fin aksiyomatikle\u015ftirilmesinin motivasyon kayna\u011f\u0131 da bu beklentidir.<\/p>\n

ZF <\/em>sistemi do\u011fal say\u0131lar aritmeti\u011fini in\u015fa edebilir. Kurt G\u00f6del, do\u011fal say\u0131lar aritmeti\u011fini in\u015fa edebilen bir sistemin \u00e7eli\u015fkisiz oldu\u011funun kan\u0131tlanamayaca\u011f\u0131n\u0131 kan\u0131tlam\u0131\u015ft\u0131r. Yani kimse \u00e7\u0131k\u0131p ZF<\/em>\u2019nin \u00e7eli\u015fkisiz oldu\u011funu ZF<\/em>\u2019ye dayand\u0131rarak kan\u0131tlamaya \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n, bo\u015fa u\u011fra\u015f\u0131r. Bizden s\u00f6ylemesi. Peki buradan ZF<\/em>\u2019nin \u00e7eli\u015fkisiz oldu\u011fu anlam\u0131 \u00e7\u0131kar m\u0131? Hay\u0131r \u00e7\u0131kmaz. Ba\u00adkars\u0131n\u0131z birileri Russell gibi, ZF<\/em>\u2019de bir \u00e7eli\u015fki \u00fcretebilir. O zaman ne olur? Bir hal \u00e7aresine bak\u0131l\u0131r.<\/p>\n

G\u00f6de<\/strong>l\u2019in Eksiklik Teoremleri <\/strong>(G\u00f6del, 1931) Do\u011fal say\u0131lar aritmeti\u011fini in\u015fa edebilen sis\u00adtem i\u00e7in;<\/p>\n

– Sistem tutarl\u0131ysa eksiktir, yani do\u011fru fakat do\u011frulu\u011fu sistem i\u00e7inde kan\u0131tlanamayan en az bir t\u00fcmce vard\u0131r.<\/p>\n

– Sistemin \u00e7eli\u015fkisiz oldu\u011fu sistemin i\u00e7inde kan\u0131tlanamaz.<\/p>\n

18) G\u00f6del Teoremi nas\u0131l anla\u015f\u0131labilir?<\/strong><\/p>\n

G\u00f6del Teoremi\u2019ni anlamak i\u00e7in \u00f6nce \u201cmodern\u201d matematik ve \u201cger\u00e7ek\u201d matematik fark\u0131n\u0131 irdelemek gerekir. Modern matematik ideal matematiktir. David Hilbert\u2019in 20. y\u00fczy\u0131l ba\u015f\u0131nda olu\u015fturmak istedi\u011fi bi\u00e7imsel matematik. Bilgisayarla\u015ft\u0131r\u0131lm\u0131\u015f, her \u00f6nermenin do\u011f\u00adrulu\u011funun veya yanl\u0131\u015fl\u0131\u011f\u0131n\u0131n kan\u0131tlanabildi\u011fi, dahas\u0131 sistemin kendisinin tutarl\u0131 oldu\u011funun sistem i\u00e7inde kan\u0131tlanabildi\u011fi mekaniksel bir matematik. Kapal\u0131 bir sistem i\u00e7ine oturtulmu\u015f, aksiyomlar\u0131 belli ve b\u00fct\u00fcn matematiksel ger\u00e7eklerin o aksiyomlardan t\u00fcretildi\u011fi bi\u00e7imsel bir sistem. G\u00f6del b\u00f6yle bir sistemin olamayaca\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6sterdi.<\/p>\n

Herkesin anlayabilece\u011fi \u015fekilde G\u00f6del\u2019in bu teoremi nas\u0131l kan\u0131tlad\u0131\u011f\u0131na bakal\u0131m. G\u00f6del Teoremi\u2019ni anlamak i\u00e7in \u00f6nce yalanc\u0131 paradoksunu anlamal\u0131y\u0131z. \u201cBu c\u00fcmle yaland\u0131r\u201d gibi bir c\u00fcmle ele alal\u0131m. Teknik olarak o c\u00fcmle ya ger\u00e7ekten do\u011frudur ya da yanl\u0131\u015ft\u0131r. E\u011fer do\u011fruysa demek ki s\u00f6yledi\u011fi \u015fey do\u011fru, yani c\u00fcmle yalan! \u00c7eli\u015fki. \u015eimdi de yanl\u0131\u015f oldu\u011funu varsayal\u0131m. Yani c\u00fcmlenin yalan oldu\u011fu yanl\u0131\u015f demektir bu. O halde c\u00fcmle do\u011fru olmal\u0131. Ancak kendisi yalan oldu\u011funu s\u00f6yl\u00fcyor. Yine \u00e7eli\u015fki. Buraya kadar anla\u015f\u0131ld\u0131ysa sorun yok. O zaman teoremi kan\u0131tlamak i\u00e7in b\u00f6yle bir c\u00fcmleyi matematiksel sistemimizde in\u015fa etmeliyiz. Nas\u0131l bir sistem gerek bunun i\u00e7in? Ye\u00adterince g\u00fc\u00e7l\u00fc bir sistem. Bir sistem yeteri kadar aritmeti\u011fi ifade etti\u011fi zaman i\u015fler biraz sarpa sar\u0131yor. Yeteri kadar g\u00fc\u00e7l\u00fc olan sistemler bir tak\u0131m matematiksel \u00f6zellikleri tan\u0131mlayabildi\u011fi anda \u201cBen kan\u0131tlanamam\u201d gibi bir \u00f6nerme sistem taraf\u0131ndan t\u00fcretilebilir hale geliyor. Tabii kuru kuru \u201cBen kan\u0131tlanamam\u201d diye bir c\u00fcmlenin matematikte bir kar\u015f\u0131l\u0131\u011f\u0131 olmal\u0131. O halde bu c\u00fcmleyi \u00f6nce sistemin bi\u00e7imsel diline \u00e7evirmemiz gerekiyor. Bitti mi? Hay\u0131r. Bu bi\u00e7imsel \u00f6nerme, matematikte bir kar\u015f\u0131l\u0131k bulmas\u0131 i\u00e7in bir \u00e7e\u015fit say\u0131sal kodlama kullanarak ger\u00e7ekten de aritmetikte say\u0131sal bir denkleme kar\u015f\u0131l\u0131k gelen bir \u00f6nerme haline getirilebilir. \u0130lk a\u015fama olarak sistemin bi\u00e7imsel dilini olu\u015fturduktan sonra ikinci a\u015fama olarak bi\u00e7imsel \u00f6nermeyi say\u0131sal bir \u00f6nerme haline getiririz. Bunun i\u00e7in bi\u00e7imsel \u00f6nermemizdeki her sembole kar\u015f\u0131l\u0131k bir say\u0131 at\u0131yoruz. Art\u0131k sistemin bi\u00e7imsel dilinden t\u00fcretilebilecek her \u00f6nermeye kar\u015f\u0131l\u0131k gelen bir G\u00f6del say\u0131s\u0131<\/strong> var. O halde, x <\/em>serbest de\u011fi\u015fken olmak \u00fczere, \u201cx <\/em>\u00f6nermesi kan\u0131tlanamaz\u201d \u00f6nermesinin de bir G\u00f6del say\u0131s\u0131 var. Bu \u00f6nermeye G <\/em>diyelim. Sistemimiz yeterince aritmeti\u011fi ifade edebildi\u011fi i\u00e7in bu t\u00fcr bir \u00f6nermeyi olu\u015fturabiliriz. Hat\u0131rlayal\u0131m, yeterince g\u00fc\u00e7l\u00fc olmayan sistemler b\u00f6yle bir \u00f6nermenin do\u011frulu\u011funu kan\u0131tlamak i\u00e7in gerekli \u00f6zelliklere sahip olmaz\u00adlar. Bir \u015feyin bir \u015feyi kan\u0131tlamas\u0131 ve bir \u00f6nermenin kan\u0131tlanabilir olup olmamas\u0131n\u0131 sistemin kavrayabilmesi i\u00e7in sistemimizin yeterince g\u00fc\u00e7l\u00fc olmas\u0131 gerekiyor. \u015eimdi G <\/em>\u00f6nermesinde x <\/em>yerine G<\/em>\u2019nin G\u00f6del say\u0131s\u0131n\u0131 koyal\u0131m. \u0130\u015fte bu sefer \u201cBu \u00f6nerme kan\u0131tlanamaz\u201d \u00f6nermesini elde ettik! Yalanc\u0131 paradoksunun ayn\u0131s\u0131 art\u0131k bu yeni \u00f6nerme i\u00e7in de ge\u00e7erlidir.<\/p>\n

Birinci teoremi g\u00f6stermi\u015f olduk. \u0130kinci teorem de birinci teoremi kullanarak \u00e7\u0131kar. O halde ZF<\/em>\u2019nin tutarl\u0131 olup olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 kendi i\u00e7inde kan\u0131tlayam\u0131yoruz. Peki \u015fimdi \u015fu yap\u0131labilir? Ancak \u201cZF <\/em>tutarl\u0131ysa…\u201d varsay\u0131m\u0131 \u00fczerine matematik in\u015fa edilebilir. E\u011fer ki yapt\u0131\u011f\u0131m\u0131z matematik temeli aksiyomlar gere\u011fi yanl\u0131\u015f \u00e7\u0131karsa \u201cAma biz tutarl\u0131ysa demi\u015ftik\u201d denebilir.<\/p>\n

Zermelo-Frankel sisteminde yer alan baz\u0131 aksiyomlar toplulu\u011funun tutarl\u0131 olmas\u0131n\u0131n ya\u00adn\u0131nda, baz\u0131 aksiyomlar\u0131n bir grup aksiyomlar toplulu\u011fundan ba\u011f\u0131ms\u0131z oldu\u011fu g\u00f6sterilebilir. Bunun i\u00e7in (K4) ve (K5) \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131na bak\u0131labilir.<\/p>\n

2. k\u0131s\u0131mda ge\u00e7en sorular\u0131 ve olas\u0131 yan\u0131tlar\u0131 tart\u0131\u015fmalar\u0131 unutmu\u015f de\u011filiz. Bu sorular\u0131n ya\u00adn\u0131tlar\u0131 bir ba\u015fka yaz\u0131n\u0131n konusu olabilir.<\/p>\n

Not<\/strong>: Makaleyi ba\u015ftan sona kadar okuyarak \u00e7ok \u00f6nemli katk\u0131lar ve d\u00fczeltmeler yapan Haydar G\u00f6ral ve Ali T\u00f6r\u00fcn\u2019e \u00e7ok te\u015fekk\u00fcr ederiz.<\/p>\n

Dipnotlar<\/strong><\/p>\n

1) Bu meseleye daha sonra de\u011finece\u011fiz.<\/p>\n

2) Bu arada matemati\u011fin aksiyomatikle\u015ftirilmesi baz\u0131 matematik\u00e7i ve filozoflar taraf\u0131ndan ele\u015ftirilmi\u015ftir. Bunlardan baz\u0131lar\u0131 Kronecker, Poincare, Wittgenstein\u2019d\u0131r. Wittgenstein \u201cK\u00fcme kuram\u0131 yanl\u0131\u015f bir yol\u201d demi\u015ftir.<\/p>\n

3) Russell Paradoksu ve benzeri paradoksla ilgili T\u00fcrk\u00e7e yaz\u0131lm\u0131\u015f bir kaynak (K3), s.27-32.<\/p>\n

4) Bu s\u00f6ylem i\u015f\u00e7i s\u0131n\u0131f\u0131 olmayan k\u00f6yl\u00fc toplumunun eme\u011fine bir sayg\u0131 ifadesi olarak yorumlanmal\u0131. Ama \u201csayg\u0131\u201d yetmez, eme\u011fin iktidar\u0131 gereklidir.<\/p>\n

5) Bu a\u015famada simgelerin gereksizli\u011finin fark\u0131nday\u0131z.<\/p>\n

6) Bu sorunun kes-kopyala bi\u00e7imi \u201cY\u00fcz tane k\u00f6y\u00fcn her birinin en ak\u0131ll\u0131s\u0131 (var ve tek bir tane olsun) se\u00e7ilerek yeni bir k\u00f6y olu\u015fturulabilir mi?\u201d bi\u00e7iminde olacakt\u0131r.<\/p>\n

7) Bu sorular\u0131n kafan\u0131z\u0131 \u015fey etmesi de\u011fil, kafan\u0131n sorularla sevi\u015fmesi olarak de\u011ferlendirilmesini \u00f6neririz.<\/p>\n

8) Daha do\u011frusu olmamas\u0131 bizi bir s\u00fcr\u00fc \u201cdertten\u201d kurtar\u0131r.<\/p>\n

9) \u00d6rne\u011fin ate\u015fin ay\u0131lar\u0131n ya\u015fam\u0131na olumlu bir katk\u0131 verdi\u011fi s\u00f6ylenemeyebilece\u011finden, \u201cate\u015fin icad\u0131 canl\u0131lar i\u00e7in d\u00f6n\u00fcm noktas\u0131 olmu\u015ftur\u201d yakla\u015f\u0131m\u0131 tutucu ve bunun sonucunda yanl\u0131\u015f bir bak\u0131\u015f a\u00e7\u0131s\u0131 olabilir. Hele hele ate\u015fin icad\u0131n\u0131n bal\u0131klar i\u00e7in hi\u00e7bir anlam\u0131 yoktur.<\/p>\n

10) Mant\u0131\u011f\u0131n alfabesi {\u00ac, V, A, \u2014>, -f->, V, 3} olup, bu listenin baz\u0131 harfleri di\u011fer baz\u0131 harflerin k\u0131salt\u0131lm\u0131\u015f\u0131d\u0131r. \u00d6ne\u011fin p ve q\u2019lar denk \u00f6nermeler olmak \u00fczere \u00ac(p V q) yerine (\u00acp) A (\u00acq), ve (\u00acp) V q yerine p \u2014^ q yaz\u0131l\u0131r. Alfabeyi baz\u0131 kolayl\u0131klar a\u00e7\u0131s\u0131ndan k\u0131salt\u0131lm\u0131\u015f format\u0131yla vermedik.<\/p>\n

11) Burada ge\u00e7en \u00fc\u00e7 nokta \u201c…\u201dn\u0131n anlam\u0131n\u0131 okur anlam\u0131\u015f olmal\u0131.<\/p>\n

12) Bu yaz\u0131da ge\u00e7en sembollerin ilk olarak kimler taraf\u0131ndan kullan\u0131ld\u0131\u011f\u0131na ili\u015fkin bilgiye http:\/\/jeff\uf735\uf736\uf730.tripod.com\/set.html adresinden ula\u015f\u0131labilir.<\/p>\n

13) 3x \u03d5(x) demek \u201c\u00f6yle bir x vard\u0131r ki \u03d5(x) do\u011frudur” demektir. Benzer \u015fekilde, Vx \u03d5(x) demek \u201cher x i\u00e7in \u03d5(x) do\u011frudur” demektir.<\/p>\n

14) Russell Paradoksu\u2019nun ortaya \u00e7\u0131kartt\u0131\u011f\u0131 sonu\u00e7lar bir ba\u015fka paradoks olan Burali-Forti ile de elde edilebilir, ancak bu paradoksun anla\u015f\u0131lmas\u0131 daha karma\u015f\u0131kt\u0131r. Russell Paradoksu e\u015f zamanl\u0131 olarak Zermelo taraf\u0131ndan da verilmi\u015ftir. Bu paradoksta Russell\u2019\u0131n ad\u0131n\u0131n verilmesi, tahmin ediyoruz ki Russell\u2019\u0131n Frege ile olan diyaloglar\u0131d\u0131r. \u201cRussell Paradoksu\u201d ba\u015fl\u0131kl\u0131 bir yaz\u0131 Ali Nesin taraf\u0131ndan (K1)\u2019de yay\u0131nlanm\u0131\u015ft\u0131r. Burada ge\u00e7en baz\u0131 al\u0131nt\u0131lar oradan al\u0131nm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

15) Sistem terimi asl\u0131nda t\u00fcmceler toplulu\u011fu ile beraber \u00e7\u0131kar\u0131m kurallar\u0131 ve bi\u00e7imsel dilin bir araya gelmesiyle olu\u015fan yap\u0131 i\u00e7in de kullan\u0131l\u0131r. Tek ba\u015f\u0131na t\u00fcmceler k\u00fcmesine literat\u00fcrde teori denildi\u011fi de g\u00f6r\u00fcl\u00fcr. Ancak biz yaz\u0131m\u0131zda sistem terimini kullanaca\u011f\u0131z.<\/p>\n

16) Teorem kavram\u0131yla ilgili geni\u015f bilgi (K3)\u2019de bulunabilir.<\/p>\n

17) Daha geni\u015f bilgi (K1)\u2019de bulunabilir.<\/p>\n

18) \u00a0x ve y iki k\u00fcme olmak \u00fczere x G y ve x \u00e7t y terimlerinin birer \u00f6nerme oldu\u011funa dikkat edelim.<\/p>\n

19) Kan\u0131tlanabilir matematiksel t\u00fcmcelere teorem denir. Burada ge\u00e7en \u201ckan\u0131t\u201d teoremin sonlu tane \u00f6nermeler zinciriyle de\u011ferinin do\u011fru oldu\u011funun g\u00f6sterilmesidir. Detayl\u0131 bilgi i\u00e7in (K3)\u2019e bak\u0131n.<\/p>\n

20) S\u0131f\u0131r\u0131n tarihi ile ilgili geni\u015f bilgiye (K2)\u2019den ula\u015f\u0131labilir.<\/p>\n

21) Bile\u015fim i\u00e7in U ve arakesit i\u00e7in n sembolleri ilk olarak Giuseppe Peano taraf\u0131ndan 1888 tarihli \u201cCalcolo geometrico secondo l\u2019Ausdehnungslehre di H. Grassmann\u201d adl\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmada kullan\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

22) Sonsuz k\u00fcmeyi hen\u00fcz tan\u0131mlamad\u0131\u011f\u0131m\u0131z\u0131n fark\u0131nday\u0131z. \u015eimdilik okur sonsuz k\u00fcmenin ne olabilece\u011fini sezgileriyle anlamayla yetinsin.<\/p>\n

Kaynaklar<\/strong><\/p>\n

–\u00a0Matematik D\u00fcnyas\u0131, <\/em>2003 K\u0131\u015f Say\u0131s\u0131, s.50.<\/p>\n

– R. Kaplan\u2019\u0131n, The nothing that is: A natural History of <\/em>zero<\/em>, New York: Oxford University Press, 2000.<\/p>\n

– A. Nesin, \u00d6nermeler Mant\u0131\u011f\u0131<\/em>, Nesin Matematik K\u00f6y\u00fc, 2014.<\/p>\n

– A. Abian, On the independence of set theoretical axioms<\/em>, Amer. Math. Monthly 76, 789-790, 1969.<\/p>\n

– A. Abian and S. Lamacchia On the consistency and independence of some set theoretical axioms<\/em>, Notre Dame Journal of Formal Logic Volume XIX, Number 1, January 1978 NDJFAM, 155-158.<\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Matematik bir oyun olarak tan\u0131mlanabilir. Bu oyunun kurallar\u0131 esnek olabilir. \u201cModern matematik\u201d ise t\u00fcm\u00fcyle kuralla\u015fm\u0131\u015f (aksiyomatikle\u015fmi\u015f) matematiktir. Matemati\u011fin aksiyomatikle\u015ftirilmesinin kabul edilebilir gerek\u00e7elerinden biri, \u201c\u00e7eli\u015fkilerden\u201d kurtulmakt\u0131r. Bu y\u00f6nl\u00fc ilk \u00e7eli\u015fki, 1901 y\u0131l\u0131nda Bertrand Russell taraf\u0131ndan ortaya konan \u201cRussell Paradoksu\u201d olarak bilinir. 20. y\u00fczy\u0131l\u0131n ortalar\u0131nda okullarda okutulan matematik ile \u015fu anda okutulan matemati\u00ad\u011fin birbirlerinden \u00e7ok farkl\u0131 oldu\u011fu […]<\/p>\n","protected":false},"author":893,"featured_media":14294,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[191,25],"tags":[208,1572,1530],"class_list":["post-14293","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-154-sayi","category-matematik","tag-matematik","tag-problemler","tag-sayilar"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t