Bu yaz\u0131da meslek hayat\u0131m boyunca s\u0131k s\u0131k kar\u015f\u0131la\u015ft\u0131\u011f\u0131m baz\u0131 sorular\u0131 dilim d\u00f6nd\u00fc\u011f\u00fcnce yan\u0131tlamaya \u00e7al\u0131\u015faca\u011f\u0131m. Soru sormak matematik \u00f6\u011freniminin olmazsa olmaz\u0131. Bildi\u011finden daha \u00e7o\u011funu \u00f6\u011frenme iste\u011fi, merak etmek\u2026 Yaln\u0131z, a\u015fa\u011f\u0131daki sorular\u0131n bir\u00e7o\u011fu matemati\u011fin in\u015fas\u0131 ve temel matematik hakk\u0131ndaki bilgi eksikli\u011finden kaynaklan\u0131yor. Bu y\u00fczden soruyu soran ikna olmayabiliyor. Bunun i\u00e7in i\u015fin i\u00e7ine girip ara\u015ft\u0131rmak, tan\u0131m, aksiyom ve teorem gibi kavramlar\u0131 do\u011fru \u00f6\u011frenip matematiksel yap\u0131lardaki i\u015flevlerini anlamak gerekiyor. Dolay\u0131s\u0131yla a\u015fa\u011f\u0131daki sorulara verilen yan\u0131tlar, bir gezi \u00f6ncesi gezilecek yerler hakk\u0131nda verilen bilgiler olarak alg\u0131lanmal\u0131d\u0131r. Gezip g\u00f6rmek merakl\u0131 okura kal\u0131yor diyerek sorulara ge\u00e7iyorum.<\/p>\n
1\u2019den k\u00fc\u00e7\u00fck en b\u00fcy\u00fck say\u0131 0,999\u2026 de\u011fil midir? <\/strong><\/p>\n 1\u2019den k\u00fc\u00e7\u00fck bir ger\u00e7el say\u0131 yoktur, \u00e7\u00fcnk\u00fc say\u0131 do\u011frusu \u00fczerinde 1\u2019e do\u011fru yapaca\u011f\u0131m\u0131z yolcukta ayn\u0131 uzunlukta ve yeterince ad\u0131m atarak diledi\u011fimiz kadar uza\u011fa gidebiliriz, yani 1\u2019den k\u00fc\u00e7\u00fck her say\u0131y\u0131 a\u015fabiliriz. Bu durum ilk Ar\u015fimet taraf\u0131ndan fark edildi\u011finden matematikte Ar\u015fimet \u00d6zelli\u011fi<\/em> ad\u0131yla bilinir. Bu teoremi Ali Nesin\u2019in takt\u0131\u011f\u0131 isim \u00e7ok g\u00fczel anlat\u0131r: Sabreden dervi\u015f yol kat etmi\u015f teoremi<\/em>! Merakl\u0131 okura teoremin kan\u0131t\u0131 ve daha fazlas\u0131 i\u00e7in Kaynak 2\u2019yi \u00f6neriyorum.<\/p>\n $latex \\frac{9}{10}+\\frac{9}{10^{2}}+\\frac{9}{10^{3}}+…<\/p>\n $latex i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\left|\\Psi(t)\\right>=H\\left|\\Psi(t)\\right>$<\/span><\/p>\n (kopyalanm\u0131\u015f i\u00e7erik)<\/span><\/p>\n Gelelim 0,999\u2026 say\u0131s\u0131na. Bu say\u0131 1\u2019den k\u00fc\u00e7\u00fck de\u011fil, 1\u2019e e\u015fittir. 0\u2019dan sonra sonsuz say\u0131da 9 oldu\u011funa dikkat edersek matematiksel analizdeki \u201climit\u201d kavram\u0131yla kar\u015f\u0131la\u015f\u0131r ve 1\u2019e e\u015fit oldu\u011funu a\u015fa\u011f\u0131daki gibi g\u00f6sterebiliriz.<\/p>\n Bu say\u0131y\u0131<\/p>\n sersiyle ifade edelim. Bu seri ortak \u00e7arpan\u0131 \u00a0oldu\u011fundan yak\u0131nsakt\u0131r. O halde bu toplam\u0131 \u00a0gibi bir ger\u00e7el say\u0131yla g\u00f6sterebiliriz.<\/p>\n E\u015fitli\u011fin her iki taraf\u0131n\u0131 \u2019la \u00e7arparsak<\/p>\n olur ki, buradan \u00a0ve \u00a0bulunur.<\/p>\n Yukar\u0131daki i\u015flemleri kar\u0131\u015f\u0131k bulan okur i\u00e7in ba\u015fka bir yol:<\/p>\n oldu\u011funu bilen okur bu e\u015fitli\u011fin her iki taraf\u0131n\u0131 3\u2019le \u00e7arpt\u0131\u011f\u0131nda da, \u00a0e\u015fitli\u011fiyle kar\u015f\u0131la\u015facakt\u0131r, ama burada 1\/3 kesrinin 0,333\u2026 devirli ondal\u0131k say\u0131s\u0131na e\u015fit oldu\u011funu da g\u00f6stermek gerekiyor.<\/p>\n Sonsuz k\u00fc\u00e7\u00fck eleman ne demek?<\/strong><\/p>\n Matematiksel analizin temelini olu\u015fturan\u00a0 \u201csonsuz k\u00fc\u00e7\u00fckl\u00fckler\u201d hesab\u0131nda yer alan bu kavram\u0131n17\u2019inci y\u00fczy\u0131lda ke\u015ffi matematik ve bilimde devrim niteli\u011finde sonu\u00e7lar do\u011furmu\u015ftur.<\/p>\n Ar\u015fimet \u00d6zelli\u011fi<\/em> bize 0\u2019dan b\u00fcy\u00fck \u201csonsuz k\u00fc\u00e7\u00fck\u201d bir say\u0131n\u0131n olamayaca\u011f\u0131n\u0131 s\u00f6yler. Matematik\u00e7ilerin s\u00f6z\u00fcn\u00fc etti\u011fi ve \u00a0simgesiyle g\u00f6sterdikleri s\u0131f\u0131rdan b\u00fcy\u00fck ve \u201csonsuz k\u00fc\u00e7\u00fck\u201d bir eleman olarak tan\u0131mlad\u0131klar\u0131 bu \u201csay\u0131\u201d cebirsel bir say\u0131 de\u011fildir, yani 0,0001 gibi bir say\u0131y\u0131 g\u00f6stermez ve adeta ba\u015fka bir evrende ya\u015far. Merakl\u0131 okura daha fazlas\u0131 i\u00e7in Kaynak 2\u2019yi \u00f6neriyorum.<\/p>\n neden <\/strong>\u2019e e\u015fit de\u011fil?<\/strong><\/p>\n Matematik\u00e7iler tan\u0131m yaparken o tan\u0131m\u0131m i\u00e7inde bulundu\u011fu sisteme uygun ve tutarl\u0131 olmas\u0131na, sorun yaratmamas\u0131na dikkat ederler. Matematiksel tan\u0131mlar bir \u201cTanr\u0131 buyru\u011fu\u201d gibi ortaya \u00e7\u0131kmaz, matemati\u011fin i\u015fine nas\u0131l geliyorsa \u00f6yle var olurlar. Bu y\u00fczden \u00a0baz\u0131 matematiksel yap\u0131larda \u00a0olarak tan\u0131mlan\u0131r, baz\u0131lar\u0131ndaysa tan\u0131ms\u0131z veya belirsizdir. \u00d6rne\u011fin cebirde \u00e7arpman\u0131n etkisiz eleman\u0131n \u00a0olmas\u0131ndan dolay\u0131 \u00a0al\u0131n\u0131r, \u00e7\u00fcnk\u00fc bir eleman\u0131n kendisiyle s\u0131f\u0131r defa i\u015fleme girmesi o i\u015flemin etkisiz eleman\u0131 olarak tan\u0131mlan\u0131r, yani \u2019dir. \u00d6te yandan matematiksel analizde \u00a0tan\u0131ms\u0131z kabul edilir, \u00e7\u00fcnk\u00fc \u00a0al\u0131nd\u0131\u011f\u0131nda baz\u0131 sorunlar ortaya \u00e7\u0131kar, form\u00fcller \u00e7al\u0131\u015fmaz. Ayr\u0131ca matematiksel analizde \u201climit\u201d durumunda \u00a0belirsizli\u011fi de olu\u015fur.<\/p>\n \u00a0neden <\/strong>\u00a0e\u015fittir?<\/strong><\/p>\n Bu soruyu da \u00f6nceki soru gibi yan\u0131tlamak gerekiyor: Matematik\u00e7iler en uygun ve sorunsuz oldu\u011fundan \u00a0say\u0131s\u0131n\u0131 \u00a0olarak tan\u0131mlam\u0131\u015flard\u0131r. E\u011fer \u00a0say\u0131s\u0131n\u0131 \u00a0ya da ba\u015fka bir say\u0131ya e\u015fit olarak tan\u0131mlasayd\u0131lar bir\u00e7ok sorunla kar\u015f\u0131la\u015facaklard\u0131. \u00d6rne\u011fin \u00a0olarak tan\u0131mlansayd\u0131 \u2019nin \u2019li kombinasyonu (\u00a0) tan\u0131ms\u0131z olacakt\u0131 veya \u00a0al\u0131nsayd\u0131 hi\u00e7bir i\u015fe yaramayaca\u011f\u0131 gibi bir\u00e7ok form\u00fcl\u00fc ve i\u015flemi \u00e7al\u0131\u015fmaz hale getirecekti.<\/p>\n \u00d6te yandan \u00a0say\u0131s\u0131n\u0131n \u2019e e\u015fit oldu\u011funu kan\u0131tlamaya \u00e7al\u0131\u015fmak beyhude bir \u00e7abad\u0131r, \u00e7\u00fcnk\u00fc bu e\u015fitlik bir teorem de\u011fil tan\u0131md\u0131r, tan\u0131mlar kan\u0131tlanmaz.<\/p>\n e\u015fitli\u011finde \u00a0yerine \u00a0yazarsak \u00a0olur ama bu bir kan\u0131t de\u011fildir, \u00e7\u00fcnk\u00fc bu e\u015fitli\u011fin \u00a0i\u00e7in ge\u00e7erli oldu\u011fu kan\u0131tlanmam\u0131\u015ft\u0131r ve \u00a0e\u015fitli\u011fi bilinmeden de kan\u0131tlanamaz.<\/p>\n S\u0131f\u0131r bir do\u011fal say\u0131 m\u0131d\u0131r, do\u011fal say\u0131ysa kan\u0131t\u0131 nedir?<\/strong><\/p>\n Bir say\u0131n\u0131n do\u011fal say\u0131 olup olmad\u0131\u011f\u0131na matematik\u00e7iler karar verir ve g\u00fcn\u00fcm\u00fcz matematik d\u00fcnyas\u0131nda matematik\u00e7ilerin \u00e7o\u011fu \u2019\u0131 do\u011fal say\u0131 kabul eder. Dolay\u0131s\u0131yla \u2019\u0131n do\u011fal say\u0131 oldu\u011funun kan\u0131t\u0131 yap\u0131l(a)maz.<\/p>\n Bu soruya Ali Nesin \u00fcstad\u0131n verdi\u011fi yan\u0131t\u0131 al\u0131nt\u0131lamadan ge\u00e7emeyece\u011fim: \u201c\u2019\u0131n do\u011fal say\u0131 olup olmad\u0131\u011f\u0131na biz insanlar karar veririz. \u2018\u00a0bir do\u011fal say\u0131 m\u0131d\u0131r?\u2019 sorusuyla \u2018balina bir bal\u0131k m\u0131d\u0131r?\u2019 sorusu aras\u0131nda bir fark vard\u0131r, \u00e7\u00fcnk\u00fc balina ve bal\u0131k bizim d\u0131\u015f\u0131m\u0131zda vard\u0131r, balina ve bal\u0131\u011f\u0131n herkes taraf\u0131ndan kabul edilmi\u015f tan\u0131mlar\u0131 vard\u0131r. Oysa \u2018say\u0131\u2019 daha do\u011frusu \u2018do\u011fal say\u0131\u2019 kavram\u0131n\u0131n neyi i\u00e7erip i\u00e7ermedi\u011fine biz insanlar karar veririz. Hangi karar i\u015fimize gelirse, hangi karar hayat\u0131m\u0131z\u0131 kolayla\u015ft\u0131racaksa o karar\u0131 al\u0131r\u0131z. Matematik\u00e7ilerin hemen hepsi bug\u00fcn \u2019\u0131 bir do\u011fal say\u0131 kabul eder \u00e7\u00fcnk\u00fc bu sayede hayat daha kolay oluyor, teoremler daha kolay ifade ediliyor, matematik daha sade ve daha estetik oluyor.\u201d<\/p>\n S\u0131f\u0131r yoklu\u011fu ifade etti\u011fine g\u00f6re s\u0131f\u0131r nas\u0131l olabiliyor?<\/strong><\/p>\n S\u0131f\u0131r\u0131n matematikte nas\u0131l ve nerede yer ald\u0131\u011f\u0131na bak\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda bu soru anlams\u0131zla\u015f\u0131r, \u00e7\u00fcnk\u00fc say\u0131lar\u0131n in\u015fas\u0131, say\u0131 do\u011frusu gibi bir\u00e7ok alanda , di\u011fer say\u0131lar gibi \u201cyarat\u0131lm\u0131\u015f\u201d bir matematiksel nesnenin ad\u0131d\u0131r. T\u0131pk\u0131 \u201cyokluk\u201d kelimesinin yoklu\u011fu ifade etmesi gibi.<\/p>\n T\u00fcm tamsay\u0131lar\u0131n toplam\u0131 neden s\u0131f\u0131r de\u011fildir?<\/strong><\/p>\n Soru sahibi, pozitif tamsay\u0131larla negatif tamsay\u0131lar\u0131n sonsuza de\u011fin sadele\u015fece\u011fini d\u00fc\u015f\u00fcnerek sonucun s\u0131f\u0131r olmas\u0131 gerekti\u011fini d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcyor ve \u201cneden s\u0131f\u0131r de\u011fil?\u201d diyor.<\/p>\n Maalesef y\u0131llard\u0131r, bu sorudan t\u00fcremi\u015f bir\u00e7ok soru \u00fcniversite s\u0131navlar\u0131na haz\u0131rl\u0131k ve lise yard\u0131mc\u0131 ders kitaplar\u0131nda soruldu, soruluyor. Bu sorular\u0131 haz\u0131rlayanlar, sanki \u201csonsuza\u201d seyahat ederek sonsuz say\u0131daki tamsay\u0131y\u0131 toplamay\u0131 ba\u015far\u0131yor! Oysa bu toplam hesaplanamaz. Sonlu toplamlarda yap\u0131lan her i\u015flem sonsuz toplamlara uygulanamaz.<\/p>\n Her \u015feyden \u00f6nce bu sonsuz tamsay\u0131n\u0131n toplam\u0131n\u0131n sonlu bir say\u0131ya e\u015fit oldu\u011funu (yak\u0131nsad\u0131\u011f\u0131n\u0131) biliyor muyuz? Bu soruyu olumlu yan\u0131tlamak m\u00fcmk\u00fcn de\u011fil; \u00e7\u00fcnk\u00fc sonsuz toplamlarda \u00f6ncelikle toplam\u0131n sonlu bir say\u0131ya yak\u0131nsay\u0131p yak\u0131nsamad\u0131\u011f\u0131n\u0131n ara\u015ft\u0131r\u0131lmas\u0131 gerekir.\u00a0 Bu hesaplamalar matematiksel analizin\u00a0 \u201cSeriler\u201d b\u00f6l\u00fcm\u00fcnde incelenir. Daha fazlas\u0131 i\u00e7in Kaynak 3\u2019\u00fc \u00f6neririm.<\/p>\n Sonsuz eksi sonsuz neden s\u0131f\u0131r de\u011fil? <\/strong><\/p>\n \u00d6ncelikle \u015fu soruyu yan\u0131tlamal\u0131y\u0131z: \u201csonsuz eksi sonsuz\u201d () yaz\u0131l\u0131m\u0131yla ne anlat\u0131lmak isteniyor? E\u011fer \u201csonsuzu\u201d bir matematiksel nesne olarak kabul edip \u00e7\u0131karma i\u015fleminden s\u00f6z ediyorsak, bu imk\u00e2ns\u0131zd\u0131r; \u00e7\u00fcnk\u00fc \u201csonsuz\u201d kavram\u0131 say\u0131lar, k\u00fcmeler, fonksiyonlar gibi bir matematiksel nesne de\u011fildir. Matematiksel nesnelerin adlar\u0131 vard\u0131r. \u00d6rne\u011fin say\u0131lar\u0131 1, 2, 3 gibi simgelerle adland\u0131r\u0131r\u0131z. Oysa \u201csonsuz\u201d s\u00f6zc\u00fc\u011f\u00fc veya \u00a0simgesiyle bir nesnenin ad\u0131n\u0131 de\u011fil bir durumu anlat\u0131r\u0131z. \u00d6rne\u011fin matematiksel sonsuzun ger\u00e7ek anlam\u0131n\u0131 bir kenara b\u0131rak\u0131rsak, bir de\u011fi\u015fkenin s\u00fcrekli b\u00fcy\u00fcyor olmas\u0131n\u0131 \u201csonsuz\u201d s\u00f6zc\u00fc\u011f\u00fcyle niteleyebiliriz.\u00a0 Bu y\u00fczden \u201csonsuz\u201d s\u00f6zc\u00fc\u011f\u00fcn\u00fc matematik\u00e7iler ad olarak de\u011fil, s\u0131fat olarak kullan\u0131rlar. Bunun i\u00e7in \u201csonsuz eksi sonsuz\u201d demek veya \u201c\u201d yazmak asl\u0131nda do\u011fru de\u011fildir. Ama g\u00f6sterim kolayl\u0131\u011f\u0131 y\u00fcz\u00fcnden bir\u00e7ok kitapta \u201csonsuz eksi sonsuz\u201d () ifadesi yer al\u0131r. Asl\u0131nda bu ifadeyle anlat\u0131lmak istenen, \u201ciki farkl\u0131 de\u011fi\u015fken s\u00fcrekli b\u00fcy\u00fcyorsa, bu de\u011fi\u015fkenlerin fark\u0131\u201d d\u0131r.<\/p>\n S\u00fcrekli b\u00fcy\u00fcyen (azalan da olabilir) iki farkl\u0131 de\u011fi\u015fkenin fark\u0131 de\u011fi\u015fkenlere ba\u011fl\u0131d\u0131r ve yak\u0131nsad\u0131\u011f\u0131 de\u011ferler de\u011fi\u015fir, hatta\u201d art\u0131 sonsuz\u201d veya \u201ceksi sonsuza\u201d \u0131raksayabilir. Bunun i\u00e7in \u201csonsuz eksi sonsuz\u201d olarak ifade edilen fark, farkl\u0131 de\u011fi\u015fkenlerde farkl\u0131 sonu\u00e7lar verdi\u011finden belirsizdir. Daha fazlas\u0131 i\u00e7in Kaynak 3\u2019\u00fc \u00f6neririm.<\/p>\n \u2019in b\u00fct\u00fcn kuvvetleri <\/strong>\u00a0dir. O ha1de <\/strong>\u00a0\u00fczeri sonsuz neden 1 de\u011fildir?<\/strong><\/p>\n Bu soru da bir \u00f6nceki sorudaki gibi \u201csonsuz\u201d kavram\u0131n\u0131n anla\u015f\u0131lmamas\u0131ndan kaynaklan\u0131yor. \u201cSonsuzu\u201d pozitif bir tamsay\u0131 kabul edip \u2019i sonsuz kez yan yana yaz\u0131p \u00e7arparak \u00a0sonucuna ula\u015f\u0131laca\u011f\u0131 d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcl\u00fcyor. Bu d\u00fc\u015f\u00fcnceye g\u00f6re \u201csonsuz\u201d bir say\u0131 olarak g\u00f6r\u00fcld\u00fc\u011f\u00fcnden \u00a0\u00fczeri sonsuz da bir say\u0131 ve \u2019e e\u015fit. Oysa ki matematikte \u00a0\u00fczeri sonsuz diye bir say\u0131 yok.<\/p>\n \u00fczeri \u201csonsuz\u201d olarak bilinen ifadeyi belirsizlik olarak incelemeden \u00f6nce soruyu soran\u0131n beklentisini kar\u015f\u0131lamak \u00fczere \u2019i ele alal\u0131m ve \u00a0de\u011fi\u015fkenini s\u00fcrekli b\u00fcy\u00fctelim. Elde edilen de\u011ferler hep \u00a0dir,\u00a0 ama bu sonu\u00e7 bize\u00a0\u00fczeri \u201csonsuz\u201d gibi bir say\u0131n\u0131n varl\u0131\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6stermez, \u00a0de\u011fi\u015fkeni s\u00fcrekli b\u00fcy\u00fcrken \u00a0ifadesinin sabit kald\u0131\u011f\u0131n\u0131 ve \u2019e yak\u0131nsad\u0131\u011f\u0131n\u0131 anlat\u0131r.<\/p>\n E\u011fer bir matematik\u00e7i \u201c1 \u00fczeri sonsuz\u201d diyorsa anlatmak istedi\u011fi \u015fey \u015fudur: Bir \u00fcstel fonksiyonun taban\u0131 \u2019e yak\u0131nsarken \u00fcss\u00fc de \u201csonsuza\u201d \u0131raks\u0131yordur. Bu durum bir belirsizlik halidir ve farkl\u0131 ger\u00e7el say\u0131lara yak\u0131nsayabilece\u011fi gibi \u201csonsuza\u201d da \u0131raksayabilir. Daha fazlas\u0131 i\u00e7in Kaynak 3\u2019\u00fc \u00f6neririm.<\/p>\n \u00d6klid geometrisinde noktay\u0131 tan\u0131mlarken hi\u00e7bir par\u00e7as\u0131 olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131, boyutsuz, yani boyutunun 0 oldu\u011funu s\u00f6yl\u00fcyoruz. Do\u011frunun ise sonsuz say\u0131daki noktadan olu\u015ftu\u011funu, boyutunun 1 oldu\u011funu belirtiyoruz. Nas\u0131l oluyor da boyutu 0 olan noktalar\u0131n birle\u015fiminden boyutu 1 olan do\u011fru elde ediliyor? Bu durum sonsuz say\u0131daki 0\u2019\u0131 toplayarak sonucu 1 bulmaya benziyor. Bir \u00e7eli\u015fki yok mu?<\/strong><\/p>\n \u00d6ncelikle sorudaki bir yanl\u0131\u015f\u0131 d\u00fczeltelim: Matematikte nokta ve do\u011fru gibi baz\u0131 kavramlar tan\u0131ms\u0131zd\u0131r, sadece izah edilebilirler. Bu y\u00fczden yukar\u0131daki sorunun giri\u015f c\u00fcmlesinde \u201cnoktay\u0131 tan\u0131mlarken\u201d s\u00f6zc\u00fckleri yerine \u201cnoktay\u0131 a\u00e7\u0131klarken\u201d ifadesi kullan\u0131lmal\u0131yd\u0131.<\/p>\n Matematikte baz\u0131 kavramlar temel olarak kabul edilmi\u015ftir, tan\u0131mlanamazlar ve bunlar\u0131n say\u0131s\u0131 m\u00fcmk\u00fcn oldu\u011funca az tutulmu\u015ftur. Nokta, do\u011fru, d\u00fczlem gibi tan\u0131ms\u0131z elemanlar\u0131n varl\u0131k nedeni, \u201ctan\u0131m zinciri\u201dnde bir son halkan\u0131n bulunmas\u0131d\u0131r. Son halkadaki kavramlar\u0131 tan\u0131mlamaya kalkt\u0131\u011f\u0131m\u0131zda belirsizliklerle ve bir tak\u0131m problemlerle kar\u015f\u0131la\u015f\u0131r\u0131z. \u00d6rne\u011fin noktay\u0131 \u201chi\u00e7bir par\u00e7as\u0131 olmayan \u015fey\u201d olarak tan\u0131mlarsak bu kez de \u201cpar\u00e7a\u201d kavram\u0131n\u0131 tan\u0131mlamam\u0131z gerekir ve arkas\u0131ndan ba\u015fka a\u00e7\u0131klamalar da yapmak zorunda kal\u0131r\u0131z. Bunun i\u00e7in matematikte yap\u0131lan tan\u0131mlar ak\u0131lda soru b\u0131rakmayacak kadar belirgin olmal\u0131d\u0131r.<\/p>\n \u00d6klid geometrisindeki bir\u00e7ok kavram\u0131n esin kayna\u011f\u0131 do\u011fa ve insan ya\u015fant\u0131s\u0131d\u0131r. Ama ortaya \u00e7\u0131kan matematiksel nesneler ussal olup, soyuttur. \u00d6rne\u011fin iki farkl\u0131 yer aras\u0131ndaki mesafeye g\u00f6zlerimizi h\u0131zl\u0131 bir bi\u00e7imde hareket ettirerek bakt\u0131\u011f\u0131m\u0131zda yapm\u0131\u015f oldu\u011fumuz eylemin haf\u0131zam\u0131zdaki kar\u015f\u0131l\u0131\u011f\u0131 matematiksel soyutlama i\u00e7in \u00f6nceden edinilmi\u015f \u00f6nemli bir deneyimdir. Bu soyut bir deneyimdir; \u00e7\u00fcnk\u00fc haf\u0131zam\u0131z adeta orada olmayan bir do\u011fruyu \u00f6ng\u00f6r\u00fcr. T\u0131pk\u0131 \u00d6klid geometrisinin geni\u015fli\u011fi ve derinli\u011fi olmayan do\u011frular\u0131 gibi.<\/p>\n \u00d6klid, nokta kavram\u0131n\u0131 da soyutlayarak elde etmi\u015ftir. Nokta, do\u011fada ve ya\u015famda yoktur, bir \u201cd\u00fc\u015f\u00fcnce\u201d, bir \u201cidea\u201dd\u0131r. Biz g\u00fcnl\u00fck ya\u015famda noktay\u0131 kalemin k\u00e2\u011f\u0131tta b\u0131rakt\u0131\u011f\u0131 en k\u00fc\u00e7\u00fck iz olarak alg\u0131lar\u0131z, ama b\u00fcy\u00fcte\u00e7le bakt\u0131\u011f\u0131m\u0131zda bizim k\u00fc\u00e7\u00fck zannetti\u011fimiz bu izin bir yer kaplad\u0131\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6r\u00fcr\u00fcz ve daha k\u00fc\u00e7\u00fck bir iz b\u0131rakabiliriz. Daima yap\u0131landan daha k\u00fc\u00e7\u00fck bir iz b\u0131raksak bile bu izlerin bir eni, boyu olacakt\u0131r. Bizim kalemle k\u00e2\u011f\u0131tta b\u0131rakt\u0131\u011f\u0131m\u0131z \u201cen k\u00fc\u00e7\u00fck iz\u201d noktan\u0131n kendisi de\u011fil, sadece noktaya ait bir i\u015farettir. \u00d6klid, eni, boyu olmayan \u201ciz\u201dleri d\u00fc\u015f\u00fcnerek do\u011fada bulunmayan, uzayda yer kaplamayan nokta kavram\u0131na ula\u015fm\u0131\u015ft\u0131r. \u00d6klidyen nokta geometrinin d\u00fc\u015f\u00fcnsel uzay\u0131nda yer al\u0131r.<\/p>\n \u015eimdi soruya d\u00f6nelim. Soru, geometrinin soyut yap\u0131s\u0131n\u0131 atlayarak do\u011fada ve g\u00fcnl\u00fck ya\u015fant\u0131m\u0131zdaki sezgilerimiz \u00fczerinden bir \u00e7eli\u015fkinin oldu\u011funu savl\u0131yor. Oysa \u00d6klid geometrisi yukar\u0131da da anlatmaya \u00e7al\u0131\u015ft\u0131\u011f\u0131m\u0131z gibi soyuttur. \u0130\u00e7inde ya\u015fad\u0131\u011f\u0131m\u0131z d\u00fcnyada boyutu 0 olan bir nesne yoktur. Dolay\u0131s\u0131yla b\u00f6ylesi nesnelerin bir araya getirilmesi s\u00f6z konusu olamaz. Ama geometride ad\u0131na nokta dedi\u011fimiz boyutu 0 ve soyut olan bir matematiksel nesne vard\u0131r ve pek\u00e2l\u00e2 bu noktalar\u0131n birle\u015fiminden boyutu 1 olan bir matematiksel nesne elde edebiliriz. Bu s\u00f6zleri bir \u00f6rnekle a\u00e7\u0131klayal\u0131m: Bir \u00a0do\u011fru par\u00e7as\u0131n\u0131 \u00fczerinde ald\u0131\u011f\u0131m\u0131z bir\u00a0noktas\u0131yla ikiye b\u00f6lerek \u00a0ve \u00a0do\u011fru par\u00e7alar\u0131n\u0131 elde edelim. Bu durumda \u00a0noktas\u0131 hem \u2019nin hem de \u2019nin \u00fczerindedir. Oysa az \u00f6nce \u00a0ve \u2019nin birle\u015fiminden olu\u015fan\u00a0 \u2019nin \u00fczerinde bir tek \u00a0noktas\u0131 vard\u0131. Demek ki biz, \u201cdo\u011fru, noktalar\u0131n k\u00fcmesinden olu\u015fur\u201d derken noktay\u0131 bir b\u00fcy\u00fckl\u00fck olarak de\u011fil, bir yeri belirlemek i\u00e7in kullan\u0131yoruz. S\u00f6ylemek istedi\u011fimiz \u015fey, \u201dNoktalar\u0131n uzunluklar\u0131 toplam\u0131ndan do\u011fru par\u00e7as\u0131n\u0131n uzunlu\u011fu elde edilir\u201d demek de\u011fil.<\/p>\n Tan\u0131ms\u0131z elemanlar, tan\u0131mlar, aksiyomlar ve teoremlerin hepsi geometrinin soyut yap\u0131s\u0131na uygun ve bu yap\u0131 i\u00e7inde tutarl\u0131 matematiksel \u201cger\u00e7ekler\u201ddir, bulundu\u011fumuz d\u00fcnyan\u0131n \u201cger\u00e7ek\u201dleriyle ayn\u0131ym\u0131\u015f gibi bir arada ele al\u0131namazlar. Bir\u00e7ok paradoksun ortaya \u00e7\u0131k\u0131\u015f\u0131ndaki gibi bu soruda da \u00e7eli\u015fki gibi g\u00f6r\u00fcnen yan, d\u0131\u015f d\u00fcnyan\u0131n nesneleriyle matematiksel nesneler aras\u0131nda birebir ba\u011f kurarak matematiksel ad\u0131mlar\u0131n a\u00e7\u0131klamas\u0131n\u0131 yapma yanl\u0131\u015f\u0131d\u0131r.<\/p>\n Kaynaklar<\/strong><\/p>\n –\u00a0<\/strong>Ali Nesin, Lise 1 Matematik Kitab\u0131<\/em>, NMK E-K\u00fct\u00fcphane- Nesin Matematik K\u00f6y\u00fc.<\/p>\n – Ali Nesin, Say\u0131lar\u0131n \u0130n\u015fas\u0131 I-II<\/em>, NMK E-K\u00fct\u00fcphane- Nesin Matematik K\u00f6y\u00fc.<\/p>\n – Ali T\u00f6r\u00fcn, Matemati\u011fin (M)izah\u0131<\/em>, Bilim ve Gelecek yay\u0131nlar\u0131, 2015.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Bu yaz\u0131da meslek hayat\u0131m boyunca s\u0131k s\u0131k kar\u015f\u0131la\u015ft\u0131\u011f\u0131m baz\u0131 sorular\u0131 dilim d\u00f6nd\u00fc\u011f\u00fcnce yan\u0131tlamaya \u00e7al\u0131\u015faca\u011f\u0131m. Soru sormak matematik \u00f6\u011freniminin olmazsa olmaz\u0131. Bildi\u011finden daha \u00e7o\u011funu \u00f6\u011frenme iste\u011fi, merak etmek\u2026 Yaln\u0131z, a\u015fa\u011f\u0131daki sorular\u0131n bir\u00e7o\u011fu matemati\u011fin in\u015fas\u0131 ve temel matematik hakk\u0131ndaki bilgi eksikli\u011finden kaynaklan\u0131yor. Bu y\u00fczden soruyu soran ikna olmayabiliyor. Bunun i\u00e7in i\u015fin i\u00e7ine girip ara\u015ft\u0131rmak, tan\u0131m, aksiyom ve […]<\/p>\n","protected":false},"author":375,"featured_media":14503,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[190,25,514],"tags":[208,1572,1530],"class_list":["post-14501","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-153-sayi","category-matematik","category-matematik-sohbetleri","tag-matematik","tag-problemler","tag-sayilar"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t