Y\u0131llar \u00f6nce okudu\u011fum bir gazete haberiydi. ABD\u2019deki Massachusetts Institute of Technology’de (MIT) \u00f6\u011frenim g\u00f6ren d\u00f6rt gen\u00e7 ve ba\u015flar\u0131nda ayn\u0131 \u00fcniversiteden bir profes\u00f6r aylarca \u00e7al\u0131\u015farak \u201c21\u201d olarak da bilinen \u201cblackjack\u201d oyununun kazanma stratejisini geli\u015ftirirler. Sonras\u0131nda kendilerini kan\u0131tlamak i\u00e7in s\u0131nav d\u00f6nemleri d\u0131\u015f\u0131nda neredeyse her hafta sonu Boston\u2019dan Las Vegas\u2019a kumar seyahatlerine \u00e7\u0131karlar. Boston s\u0131n\u0131rlar\u0131 i\u00e7indeyken MIT\u2019nin m\u00fchendislik b\u00f6l\u00fcm\u00fcn\u00fcn \u00f6\u011frencisidirler, Las Vegas\u2019ta ise anl\u0131 \u015fanl\u0131 birer kumarbaz\u2026 Kumarhanelerin oyun sistemini alt \u00fcst ederek y\u00fczbinlerce dolar kazan\u0131rlar, ta ki tan\u0131nana ve k\u00e2\u011f\u0131t sayd\u0131klar\u0131 anla\u015f\u0131lana dek. Bu olaydan esinlenen, ad\u0131 \u201c21\u201d olan g\u00fczel bir film vard\u0131r.<\/p>\n
Yaz\u0131n\u0131n ba\u015fl\u0131\u011f\u0131n\u0131 d\u00fczeltelim: Kumarhanede kazan\u0131lmaz! Nedeni \u00e7ok basit elbette: Kumarhaneci kaybedece\u011fi oyunu kumarhaneye koymaz. Belki yukar\u0131daki hik\u00e2yede oldu\u011fu gibi k\u00e2\u011f\u0131t saymay\u0131 ba\u015farabilen s\u0131rad\u0131\u015f\u0131 baz\u0131 beyinler \u201ck\u0131sa vadede\u201d kazanabilir, ama sonras\u0131 kesinlikle h\u00fcsran\u2026 \u201c21\u201d gibi kazanma stratejisi olduk\u00e7a karma\u015f\u0131k hesaplara dayanan bir oyunda ba\u015far\u0131l\u0131 olsan\u0131z bile kumarhane y\u00f6neticilerinin koydu\u011fu kurallar y\u00fcz\u00fcnden bu ba\u015far\u0131 s\u00fcrekli olamaz.<\/p>\n
Bu yaz\u0131da kumarhanede kazan\u0131lamayaca\u011f\u0131n\u0131n matematiksel a\u00e7\u0131klamas\u0131n\u0131 yapmaya \u00e7al\u0131\u015faca\u011f\u0131z.<\/p>\n
Kumarhanelerde oynanan b\u00fct\u00fcn oyunlar\u0131n oyuncu i\u00e7in matematiksel beklentisi <\/em>negatiftir. Matematiksel beklenti <\/em>bir oyunda bir oyuncunun ortalama ne kadar kazanaca\u011f\u0131n\u0131 ya da kaybedece\u011fini g\u00f6steren bir say\u0131d\u0131r. Bir t\u00fcr test cihaz\u0131 gibi, e\u011fer matematiksel beklentiyi g\u00f6steren say\u0131 negatifse o oyunu \u201cuzun vadede\u201d kaybedeceksiniz demektir. Kumarhanelerin t\u00fcm\u00fcnde matematiksel beklenti say\u0131s\u0131 oyuncu i\u00e7in pozitif de\u011fildir.<\/p>\n Matematiksel beklenti say\u0131s\u0131n\u0131 hesaplamak olduk\u00e7a basittir. Bu hesab\u0131 yapabilece\u011fimiz bir oyunu ele alal\u0131m. Bu oyunu kumarhaneye kar\u015f\u0131 oynamak ak\u0131ll\u0131ca bir i\u015f midir?<\/p>\n 1) \u0130ki zarla oynanan bir oyun.<\/p>\n 2) Zarlar birlikte at\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda \u00fcst y\u00fcze gelebilecek say\u0131lar\u0131n toplam\u0131ndan elde edilecek say\u0131lar aras\u0131nda 7 d\u0131\u015f\u0131ndakileri a\u015fa\u011f\u0131daki gibi iki k\u00fcmeye ay\u0131r\u0131yoruz.<\/p>\n A= {2,3,4,5,6}, B={8,9,10,11,12}<\/p>\n 3) Kumarhaneye kar\u015f\u0131 oynayan oyuncu bu k\u00fcmelerden birini se\u00e7iyor ve att\u0131\u011f\u0131 zar toplam\u0131 se\u00e7imine uygun k\u00fcmenin bir eleman\u0131ysa ortaya koydu\u011fu paran\u0131n % 25 fazlas\u0131n\u0131 geri al\u0131yor.<\/p>\n 4) Zarlar\u0131n toplam\u0131 se\u00e7imine uygun k\u00fcmenin eleman\u0131 de\u011filse veya toplam 7 ise oyuncu kaybediyor.<\/p>\n Oyuncunun her elde ortaya 10 lira koydu\u011funu varsayarsak b\u00f6yle bir oyunu kumarhaneye kar\u015f\u0131 oynamak ister misiniz?<\/p>\n Sezgilerimiz oyuncunun kaybedece\u011fini s\u00f6yl\u00fcyor, ama bir de matematiksel beklenti hesab\u0131na ba\u015fvural\u0131m.<\/p>\n Matematiksel beklenti<\/em>, kaybedilecek para miktar\u0131n\u0131n kaybetme olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131n \u00e7arp\u0131m\u0131yla, kazan\u0131lacak para miktar\u0131n\u0131n kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131yla \u00e7arp\u0131m\u0131n\u0131n toplam\u0131d\u0131r.<\/p>\n Bir \u00e7ift zar at\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda m\u00fcmk\u00fcn haller say\u0131s\u0131n\u0131n 36 oldu\u011funu biliyoruz; \u00fcste gelen say\u0131lar\u0131n toplam\u0131n\u0131n 2 oldu\u011fu bir tek durum var, o da (1, 1). \u00dcste gelen say\u0131lar\u0131n toplam\u0131n\u0131n 3 oldu\u011fu (1, 2) ve (2, 1) iki sonu\u00e7 var. A\u015fa\u011f\u0131daki listede ilk say\u0131 toplam\u0131n ka\u00e7 oldu\u011funu, parantez i\u00e7indeki say\u0131 ise 36 durum aras\u0131nda bu toplam\u0131 veren ka\u00e7 ikili oldu\u011funu g\u00f6steriyor. \u00d6rne\u011fin toplam\u0131 3 olan iki ikili oldu\u011funu 3(2) ile g\u00f6steriyoruz.<\/p>\n 2(1), 3(2), 4(3), 5(4), 6(5), 7(6), 8(5), 9(4), 10(3), 11(2), 12(1).<\/p>\n B\u00f6ylece ilk oyunda kumarhane 36 at\u0131\u015f\u0131n 21\u2019inde, oyuncu 36 at\u0131\u015f\u0131n 15\u2019inde kazan\u0131r. Her at\u0131\u015f i\u00e7in ortaya 10 lira koyuldu\u011funa g\u00f6re beklenti say\u0131s\u0131 a\u015fa\u011f\u0131daki gibi hesaplan\u0131r.<\/p>\n (10+10×1\/4)15\/36 \u2013 10×21\/36=-5\/8<\/p>\n Beklenti say\u0131s\u0131 negatif \u00e7\u0131kt\u0131, yani oyuncu ortaya 10 lira koymu\u015fsa at\u0131\u015f ba\u015f\u0131na 5\/8 lira (62,5 kuru\u015f) kaybediyor. Bu oyun oynanmaz!<\/p>\n Bu oyunu oynar m\u0131s\u0131n\u0131z?<\/strong><\/p>\n Bu kez, gelen tepkiler \u00fczerine kumarhane y\u00f6neticileri yukar\u0131da ele ald\u0131\u011f\u0131m\u0131z oyunun kurallar\u0131nda oyuncu lehine baz\u0131 iyile\u015ftirmeler yap\u0131yorlar. Yeni ek kurallar \u015f\u00f6yle:<\/p>\n 1) Oyuncunun \u201czay\u0131f\u201d ve \u201cg\u00fc\u00e7l\u00fc\u201d gibi iki konumu var, oyuna zay\u0131f konumda ba\u015fl\u0131yor. E\u011fer yapt\u0131\u011f\u0131 se\u00e7ime uygun zar atarsa, yani A<\/em> k\u00fcmesini se\u00e7er ve zarlar\u0131n toplam\u0131n\u0131 veren say\u0131 bu k\u00fcmenin eleman\u0131 olursa kazan\u0131yor ve \u201cg\u00fc\u00e7l\u00fc at\u0131c\u0131\u201d durumuna ge\u00e7iyor; aksi halde \u201czay\u0131f\u201d konumda kal\u0131yor.<\/p>\n 2) Oyuncu \u201czay\u0131f at\u0131c\u0131\u201d iken zarlar\u0131n toplam\u0131 7 gelirse kaybediyor, e\u011fer \u201cg\u00fc\u00e7l\u00fc at\u0131c\u0131\u201d konumundayken toplam 7 gelmi\u015fse ne kendisi ne de kumarhane kaybetmi\u015f oluyor, bir sonraki el i\u00e7in g\u00fc\u00e7l\u00fc at\u0131c\u0131 olarak kal\u0131yor.<\/p>\n 3) G\u00fc\u00e7l\u00fc at\u0131c\u0131yken o eli kaybederse, yani A<\/em> dedi\u011fi halde B<\/em> k\u00fcmesinden bir toplam\u0131n gelmesi ya da bunun tersi olmas\u0131 durumunda tekrar zay\u0131f at\u0131c\u0131 konumuna ge\u00e7iyor.<\/p>\n 4) Oyuncu zay\u0131f at\u0131c\u0131yken istedi\u011fi kadar y\u00fcksek oynayabiliyor, ama g\u00fc\u00e7l\u00fc at\u0131c\u0131yken zay\u0131f at\u0131c\u0131 oldu\u011fu durumdayken oynad\u0131\u011f\u0131 en d\u00fc\u015f\u00fck miktardan daha y\u00fckse\u011fini oynayam\u0131yor.<\/p>\n 5) Zay\u0131f at\u0131c\u0131 olarak oynayan ki\u015fi kazand\u0131\u011f\u0131 zaman ortaya koydu\u011fu her 10 lira i\u00e7in 10,5 lira al\u0131yor. G\u00fc\u00e7l\u00fc at\u0131c\u0131yken kazand\u0131\u011f\u0131 takdirde her 10 dolar i\u00e7in 12,5 lira al\u0131yor.<\/p>\n Analizi daha zor bir oyun. Acaba kumarhaneye kar\u015f\u0131 oynayan oyuncunun beklenti say\u0131s\u0131 pozitif mi? Hesaplayal\u0131m.<\/p>\n Oyuncunun zay\u0131f ya da g\u00fc\u00e7l\u00fc olarak iki konumda bulunabilece\u011fini ve ba\u015flang\u0131\u00e7ta zay\u0131f konumda oldu\u011funu biliyoruz. \u0130lk elde zay\u0131f durumda kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 21\/36, kazanma ve g\u00fc\u00e7l\u00fc duruma ge\u00e7me olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 15\/36\u2019d\u0131r. Oyuncunun g\u00fc\u00e7l\u00fc duruma ge\u00e7tikten sonraki ilk elde konumunu koruma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 15\/36, kaybetme ve dolay\u0131s\u0131yla zay\u0131f duruma ge\u00e7me olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 6\/36\u2019d\u0131r.<\/p>\n G\u00fc\u00e7l\u00fc durumdaki oyuncunun zay\u0131f konuma ge\u00e7me olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 1\/2’dir, \u00e7\u00fcnk\u00fc g\u00fc\u00e7l\u00fcyken 7 at\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda durum de\u011fi\u015fmiyor. Ayr\u0131ca A<\/em> ve B<\/em> k\u00fcmesinin eleman say\u0131lar\u0131 e\u015fit oldu\u011fundan g\u00fc\u00e7l\u00fcden zay\u0131fa, g\u00fc\u00e7l\u00fcden g\u00fc\u00e7l\u00fcye ge\u00e7i\u015f olas\u0131l\u0131klar\u0131 e\u015fit ve 1\/2.<\/p>\n Oyuncunun zay\u0131f durumda olmas\u0131 olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 P(z), g\u00fc\u00e7l\u00fc durumda olmas\u0131 olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 da P(g) ile g\u00f6sterelim.<\/p>\n P(z)+ P(g)= 1 (I)<\/p>\n oldu\u011funu biliyoruz. Oyuncunun zay\u0131f durumda olmas\u0131 olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 a\u015fa\u011f\u0131daki gibi ifade edebiliriz:<\/p>\n P(z)=21\/36x P(z)+ P(g)x1\/2 (II)<\/p>\n Bu denklemin ilk b\u00f6l\u00fcm\u00fcnde zay\u0131f durumda olan bir oyuncunun zay\u0131f durumda kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131yla P(z) \u00e7arp\u0131l\u0131yor, ikinci b\u00f6l\u00fcm\u00fcndeyse P(g) ile g\u00fc\u00e7l\u00fcden zay\u0131fa ge\u00e7me olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 olan 1\/2 \u00e7arp\u0131l\u0131yor.<\/p>\n (I) ve (II) denklemleri birlikte \u00e7\u00f6z\u00fcl\u00fcrse, P(z)=6\/11, P(g)=5\/11<\/p>\n bulunur.<\/p>\n \u015eimdi, zay\u0131f ve g\u00fc\u00e7l\u00fc durumda olma durumlar\u0131n\u0131n (ki her oyuncu ba\u015flang\u0131\u00e7ta zay\u0131f durumda) s\u0131ras\u0131yla beklenti say\u0131lar\u0131n\u0131 hesaplayal\u0131m:<\/p>\n B(z)=15\/36×10,5-21\/36×10=-145,8<\/p>\n B(g)=1\/2×12,5-1\/2×10=125<\/p>\n \u015eimdi de oyunun beklenti say\u0131s\u0131n\u0131 hesaplayal\u0131m:<\/p>\n B(z)xP(z)+B(g)xP(g)=23<\/p>\n Oyunun beklenti say\u0131s\u0131 pozitif \u00e7\u0131kt\u0131\u011f\u0131ndan bu oyunu oynamak oyuncu i\u00e7in kazan\u00e7l\u0131 olabilir, ama bu bizim kumarhanemizdeki (!) bir oyun. Hi\u00e7bir kumarhanede oyunun beklenti say\u0131s\u0131 pozitif de\u011fildir. Bu y\u00fczden bir kez daha yineliyoruz: Kumarhanede kazanamazs\u0131n\u0131z!<\/p>\n Analizi daha zor bir oyun<\/strong><\/p>\n Oyuncu yaz\u0131 ya da turadan birini se\u00e7ti\u011fini a\u00e7\u0131klar ve paray\u0131 dokuz kez atar. Diyelim ki oyuncu yaz\u0131y\u0131 se\u00e7ti. Oyun boyunca, yani her at\u0131\u015f sonras\u0131 yaz\u0131lar\u0131n say\u0131s\u0131 turalar\u0131n say\u0131s\u0131ndan daha fazlaysa oyuncu kazan\u0131r. Dokuz at\u0131\u015fta yaz\u0131lar\u0131n say\u0131s\u0131 turalardan fazlaysa kumarhane oyuncuya ortaya koydu\u011fu her 10 lira i\u00e7in 60 lira \u00f6d\u00fcyor. Bu oyunun beklenti say\u0131s\u0131 pozitif midir? Bu sorunun yan\u0131t\u0131n\u0131 gelecek say\u0131ya b\u0131rak\u0131yoruz.<\/p>\n Not: <\/strong>Yukar\u0131da \u201cAnalizi daha zor bir oyun\u201d ba\u015fl\u0131kl\u0131 b\u00f6l\u00fcmde sordu\u011fumuz \u201cBu oyunun beklenti say\u0131s\u0131 pozitif midir?\u201d sorusunu oyunun analizini yaparak 15.09.2016 tarihine kadar a_torun60@hotmail adresine g\u00f6nderen ilk iki okurumuza Matemati\u011fin (M)izah\u0131 <\/em>isimli kitab\u0131m\u0131 memnuniyetle hediye edece\u011fim.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Y\u0131llar \u00f6nce okudu\u011fum bir gazete haberiydi. ABD\u2019deki Massachusetts Institute of Technology’de (MIT) \u00f6\u011frenim g\u00f6ren d\u00f6rt gen\u00e7 ve ba\u015flar\u0131nda ayn\u0131 \u00fcniversiteden bir profes\u00f6r aylarca \u00e7al\u0131\u015farak \u201c21\u201d olarak da bilinen \u201cblackjack\u201d oyununun kazanma stratejisini geli\u015ftirirler. Sonras\u0131nda kendilerini kan\u0131tlamak i\u00e7in s\u0131nav d\u00f6nemleri d\u0131\u015f\u0131nda neredeyse her hafta sonu Boston\u2019dan Las Vegas\u2019a kumar seyahatlerine \u00e7\u0131karlar. Boston s\u0131n\u0131rlar\u0131 i\u00e7indeyken MIT\u2019nin m\u00fchendislik […]<\/p>\n","protected":false},"author":375,"featured_media":14872,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[188,25,514],"tags":[1697,208,1668,1530],"class_list":["post-14871","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-151-sayi","category-matematik","category-matematik-sohbetleri","tag-fonksiyonlar","tag-matematik","tag-olasilik","tag-sayilar"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/14871","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/375"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=14871"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/14871\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/14872"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=14871"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=14871"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=14871"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}