{"id":20989,"date":"2015-06-01T13:02:08","date_gmt":"2015-06-01T10:02:08","guid":{"rendered":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/?p=20989"},"modified":"2018-03-06T15:01:59","modified_gmt":"2018-03-06T12:01:59","slug":"m-c-escherin-matematiksel-yonu","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/2015\/06\/01\/m-c-escherin-matematiksel-yonu","title":{"rendered":"M. C. Escher\u2019in matematiksel y\u00f6n\u00fc"},"content":{"rendered":"

Escher \u201cGer\u00e7ek bilimlerde hem \u00f6\u011fretim hem bilgi olarak cahil olsam da, meslekta\u015f\u0131m sanat\u00e7\u0131lara k\u0131yasla matematik\u00e7ilerle daha \u00e7ok ortak noktam bulunuyor\u201d demi\u015fti. Bir \u00f6\u011frenci olarak matematikle \u00e7at\u0131\u015fm\u0131\u015f olsa da, bir grafik sanat\u00e7\u0131s\u0131 oldu\u011funda matematiksel ara\u015ft\u0131rma y\u00fcr\u00fctmeye, yeni geometrik fikirler \u00f6\u011frenmeye, matematiksel kavramlar\u0131 tasvir etmeye ve matematikle ilgili sorular sormaya itilmi\u015fti. \u00c7al\u0131\u015fmalar\u0131n\u0131n bilim toplulu\u011fu i\u00e7in yaratt\u0131\u011f\u0131 etkinin \u00f6l\u00e7e\u011fini tahmin bile edemezdi.<\/em><\/p>\n

Yazar:<\/strong> Doris Schattschneider
\nBethlehem\/Pennsylvania\u2019daki Moravian College\u2019de matematik profes\u00f6r\u00fc<\/p>\n

Hollandal\u0131 grafik sanat\u00e7\u0131s\u0131 M. C. Escher\u2019in matematiksel y\u00f6n\u00fc genellikle kabul edilmi\u015f olmakla birlikte, az say\u0131da hayran\u0131, \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131ndaki matematiksel derinli\u011fin fark\u0131ndad\u0131r. Muhtemelen R\u00f6nesans\u2019tan bu yana ilk kez bir sanat\u00e7\u0131 matemati\u011fe, sadece matematiksel fikirleri sanat\u0131na uygulamak ad\u0131na, Escher\u2019in odakland\u0131\u011f\u0131 geni\u015flikte odaklanm\u0131\u015ft\u0131r. Matemati\u011fi (\u00f6zellikle geometriyi) bir\u00e7ok resim ve bask\u0131s\u0131n\u0131 yarat\u0131rken kullanm\u0131\u015ft\u0131r. Bir\u00e7ok \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 matemati\u011fe bor\u00e7ludur. \u00c7ok say\u0131da \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131 soyut matematiksel kavramlar\u0131n g\u00f6rsel metaforlar\u0131n\u0131 ortaya koyar. Escher, \u00f6zellikle sonsuzlu\u011fu tasvir etme konusunda saplant\u0131l\u0131d\u0131r. \u00c7al\u0131\u015fmalar\u0131 biliminsanlar\u0131 ve matematik\u00e7ilerin \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131 i\u00e7in k\u0131v\u0131lc\u0131m niteli\u011finde olmu\u015ftur. Ancak en ilginci, Escher, y\u0131llar boyunca baz\u0131lar\u0131 daha sonraki ke\u015fiflere \u00f6nayak olan, kendi matematiksel ara\u015ft\u0131rmalar\u0131n\u0131 y\u00fcr\u00fctm\u00fc\u015ft\u00fcr.<\/p>\n

Ancak b\u00fct\u00fcn bunlara ra\u011fmen Escher matemati\u011fi anlamak veya \u00fcretebilmekle ilgili herhangi bir yetene\u011fe sahip oldu\u011funu kararl\u0131l\u0131kla reddetmi\u015ftir. O\u011flu George, bunu \u015f\u00f6yle a\u00e7\u0131klam\u0131\u015ft\u0131:<\/p>\n

\u201cBabam akl\u0131n\u0131n \u00e7al\u0131\u015fma bi\u00e7iminin bir matematik\u00e7iye yak\u0131n oldu\u011funu idrak etmekte zorlan\u0131rd\u0131. \u00c7al\u0131\u015fmalar\u0131na, resimlerinde konu\u015ftu\u011fu ortak dili anlamaya haz\u0131r olan matematik\u00e7ilerin ve biliminsanlar\u0131n\u0131n ilgi duymas\u0131ndan b\u00fcy\u00fck keyif al\u0131rd\u0131. Maalesef matemati\u011fin \u00f6zelle\u015fmi\u015f dili, matematik\u00e7ilerin de onun u\u011fra\u015ft\u0131\u011f\u0131 kavramlarla u\u011fra\u015ft\u0131\u011f\u0131 ger\u00e7e\u011fini ondan saklad\u0131. Biliminsanlar\u0131, matematik\u00e7iler ve M. C. Escher baz\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131na ayn\u0131 \u015fekilde yakla\u015f\u0131yorlar. Soyut bir d\u00fcnyada izin verilen olaylar\u0131 tan\u0131mlayan olas\u0131 kurallar k\u00fcmesini ilham ve tecr\u00fcbe ile se\u00e7iyorlar. Daha sonra bu kurallar\u0131 uygulaman\u0131n sonu\u00e7lar\u0131n\u0131 daha ayr\u0131nt\u0131l\u0131 ke\u015ffetmek ad\u0131na devam ediyorlar. Kurallar iyi se\u00e7ilmi\u015flerse, heyecan verici ke\u015fiflere, teorik geli\u015fmelere ve tatmin edici \u00e7al\u0131\u015fmalara yol a\u00e7\u0131yorlar.\u201d(1)<\/sup><\/p>\n

Escher\u2019in zihninde matematik, okulda kar\u015f\u0131la\u015ft\u0131klar\u0131yd\u0131: Semboller, form\u00fcller ve problemleri \u00e7\u00f6zmek i\u00e7in uygulanmas\u0131 gereken tarif edilmi\u015f teknikler. Kendi sorular\u0131n\u0131 form\u00fcle etmek ve bunlara kendi tarz\u0131nda yan\u0131tlar aramak ona matematik yapmakm\u0131\u015f gibi g\u00f6r\u00fcnm\u00fcyordu.<\/p>\n

\"\"
Metamorphosis I\u2019de Atrani k\u0131y\u0131 kasabas\u0131n\u0131n binalar\u0131 s\u0131ras\u0131yla k\u00fcplere ve sonras\u0131nda \u00c7inli \u00e7ocuklara d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcyordu.<\/figcaption><\/figure>\n

1937\u2019ye kadar<\/strong><\/p>\n

M. C. Escher Arnhem\/Hollanda\u2019da 4 erkek karde\u015fin en k\u00fc\u00e7\u00fc\u011f\u00fc olarak b\u00fcy\u00fcd\u00fc. Babas\u0131 in\u015faat m\u00fchendisiydi ve di\u011fer 3 karde\u015finin tamam\u0131 biliminsan\u0131 oldu. Evdeki atmosfer ona, daha sonraki \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131n\u0131 karakterize edecek olan sab\u0131rl\u0131 metodik yakla\u015f\u0131m\u0131 da i\u00e7eren bilimsel ara\u015ft\u0131rman\u0131n al\u0131\u015fkanl\u0131klar\u0131n\u0131 a\u015f\u0131lam\u0131\u015f olabilir. Ayr\u0131ca gen\u00e7 adamlara, daha sonra Escher i\u00e7in tahta bask\u0131larda \u00e7ok faydal\u0131 olacak marangozluk teknikleriyle ilgili d\u00fczenli dersler veriliyordu.<\/p>\n

Okul hayat\u0131 ev hayat\u0131ndan daha faydas\u0131z olmal\u0131yd\u0131. Okul y\u0131llar\u0131n\u0131 hat\u0131rlad\u0131\u011f\u0131nda Escher, bir seferinde \u201cAritmetik ve cebirde inan\u0131lmaz zay\u0131f bir \u00f6\u011frenciydim ve h\u00e2l\u00e2 fig\u00fcrler ve harflerin soyutlanmas\u0131nda b\u00fcy\u00fck zorluk ya\u015far\u0131m. Kat\u0131 geometrisinde, hayal g\u00fcc\u00fcme cazip geldi\u011fi i\u00e7in bir par\u00e7a daha ba\u015far\u0131l\u0131yd\u0131m ama o konuda bile okulda \u00fcst\u00fcn bir durumda de\u011fildim\u201d demi\u015fti.(2)<\/sup> Yine de resimde iyiydi ve lise resim \u00f6\u011fretmeni linolyum bask\u0131 yapmas\u0131 i\u00e7in onu cesaretlendirdi.<\/p>\n

1919\u2019da Escher, Haarlem Mimarl\u0131k ve S\u00fcsleme Sanatlar\u0131 Okulu\u2019na mimarl\u0131k okuma niyetiyle girdi, ama resim ve grafik sanatlar\u0131 \u00f6\u011fretmeni Samuel Jessurun de Mesquita\u2019n\u0131n tavsiyesi ve ailesinin izniyle k\u0131sa s\u00fcre sonra grafik sanatlar b\u00f6l\u00fcm\u00fcne ge\u00e7ti. Haarlem\u2019deki \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131ndan \u00fc\u00e7\u00fc d\u00fczlemlerin doldurulmas\u0131 \u015feklindeydi: \u0130ki tanesi e\u015fkenar d\u00f6rtgenlerin doldurulmas\u0131 temelliydi, di\u011feri de d\u00f6rd\u00fc ba\u015f a\u015fa\u011f\u0131 olmak \u00fczere sekiz se\u00e7kin ba\u015f fig\u00fcr\u00fcyle doldurulmu\u015f bir dikd\u00f6rtgendi. D\u00fczlemin doldurulmas\u0131 k\u0131sa s\u00fcre sonra bir saplant\u0131 haline d\u00f6n\u00fc\u015fecekti.<\/p>\n

\"\"
Escher\u2019in, matematik\u00e7i Polya\u2019ya bir bask\u0131s\u0131n\u0131 yollad\u0131\u011f\u0131 Development I (Geli\u015fim I) adl\u0131 ah\u015fap
bask\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131.<\/figcaption><\/figure>\n

Haarlem\u2019i 1922\u2019de bitirdikten sonra \u0130talya ve \u0130spanya\u2019da neredeyse bir y\u0131l seyahat etti ve portfolyosunu manzara taslaklar\u0131yla, binalar\u0131n ayr\u0131nt\u0131lar\u0131yla ve do\u011fadaki bitkiler ve k\u00fc\u00e7\u00fck canl\u0131lar\u0131n k\u0131l\u0131 k\u0131rk yaran \u00e7izimleriyle doldurdu. Bu gezi esnas\u0131nda Granada\/\u0130spanya\u2019daki El Hamra Saray\u0131\u2019n\u0131 ziyaret etti ve \u00f6zellikle \u201cb\u00fcy\u00fck karma\u015f\u0131kl\u0131\u011f\u0131 ve geometrik sanatsall\u0131\u011f\u0131\u201d nedeniyle ilgisini \u00e7eken bir b\u00f6l\u00fcm\u00fcn\u00fcn tasla\u011f\u0131n\u0131 \u00e7izdi\u011fi mayolika karo s\u00fcslemelerinin (End\u00fcl\u00fcs \u00e7inilerinin) zenginli\u011fi kar\u015f\u0131s\u0131nda b\u00fcy\u00fclendi. El Hamra\u2019n\u0131n \u00e7inileriyle bu ilk kar\u015f\u0131la\u015fmas\u0131, kendi \u00e7inilerini yapma konusundaki ilgisini art\u0131rd\u0131. Her \u015fekilde, 1920\u2019lerin ortalar\u0131nda, baz\u0131lar\u0131 ipek \u00fczerine elle \u00e7izilen, tek \u015fekle sahip birka\u00e7 \u201cmozaik\u201d \u00fcretti. Her zaman geometrik \u015fekillere sahip olan Ma\u011fr\u0131bi \u00e7inilerin aksine (kendisinin \u201cmotif\u201d olarak adland\u0131rd\u0131\u011f\u0131) Escher\u2019in \u00e7ini \u015fekilleri ana hatlar\u0131yla canl\u0131 yarat\u0131klar olarak tan\u0131nabilir olmal\u0131yd\u0131. Bu erken denemeler, uyumu koruyarak, \u00f6teleme, yar\u0131m d\u00f6nme (180 derece d\u00f6n\u00fc\u015fler), yans\u0131ma ve \u00f6telemeli yans\u0131ma gibi basit d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcmleri en az\u0131ndan sezgisel olarak nas\u0131l yapabilece\u011fini bildi\u011fini g\u00f6sterir.<\/p>\n

Escher 1924\u2019te evlendi ve \u00e7ift, iki o\u011flan \u00e7ocuklar\u0131n\u0131n do\u011faca\u011f\u0131 Roma\u2019ya yerle\u015ftiler. 1935\u2019e kadar s\u0131k s\u0131k, \u00e7o\u011funlukla g\u00fcney \u0130talya\u2019ya taslak gezileri d\u00fczenledi ve daha sonra Roma\u2019daki st\u00fcdyosuna d\u00f6nerek bunlar\u0131 ta\u015f ve ah\u015fap bask\u0131lar\u0131nda kulland\u0131. 1935\u2019de \u0130talya\u2019da fa\u015fizmin y\u00fckseli\u015fiyle ve o\u011fullar\u0131n\u0131n hastal\u0131klar\u0131 nedeniyle, ailesini \u0130talya\u2019dan \u0130svi\u00e7re\u2019ye ta\u015f\u0131d\u0131. 1936\u2019da uzun bir deniz yolculu\u011funa \u00e7\u0131kt\u0131 ve bu yolculuk s\u0131ras\u0131nda e\u015fi Jetta\u2019n\u0131n da kat\u0131l\u0131m\u0131yla El Hamra\u2019da \u00fc\u00e7 g\u00fcn ge\u00e7irdi. Bu ikinci El Hamra ziyareti, \u0130talya\u2019dan ayr\u0131l\u0131\u015f dekoruyla birle\u015fince, \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131nda b\u00fcy\u00fck bir d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcme neden oldu: Do\u011fa manzaralar\u0131 yerini fikir manzaralar\u0131na b\u0131rakt\u0131.(3) <\/sup>Bundan sonra art\u0131k taslak ve bask\u0131lar\u0131, da\u011fl\u0131k k\u00f6ylerde, do\u011fada ve mimaride bulduklar\u0131ndan ilham almayacakt\u0131. Art\u0131k fikirleri ancak zihninin girintilerinden bulunabilirdi.<\/p>\n

\"\"
Escher Waterfall (\u015eelale) isimli eserinde Penrose\u2019dan esinlendi\u011fi aral\u0131ks\u0131z hareket temas\u0131n\u0131 kulland\u0131.<\/figcaption><\/figure>\n

Escher bu El Hamra ziyaretinden sonra \u201chayvan \u015fekilleriyle bulmaca \u00e7\u00f6zmek ad\u0131na zaman\u0131m\u0131n \u00f6nemli bir par\u00e7as\u0131n\u0131 harcad\u0131m\u201d diye yazm\u0131\u015ft\u0131r. El Hamra taslaklar\u0131n\u0131 ve \u00e7inilerin birbirleriyle olan geometrik ili\u015fkilerini inceleyerek birbirleriyle ba\u011flant\u0131l\u0131 motiflerden olu\u015fan bir d\u00fczine yeni simetri \u00e7izimleri yapabilmi\u015fti.(4)<\/sup> Bunlardan biri, birbirine ba\u011fl\u0131 \u00c7inli \u00e7ocuklar\u0131 g\u00f6steriyordu. 1937 ilkbahar\u0131nda fig\u00fcrlerin metamorfozunu yaratmak ad\u0131na d\u00fczlem doldurmay\u0131 ilk kez biraz da olsa kulland\u0131\u011f\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 yapt\u0131. Metamorphosis I\u2019de Atrani k\u0131y\u0131 kasabas\u0131n\u0131n binalar\u0131 s\u0131ras\u0131yla k\u00fcplere ve sonras\u0131nda \u00c7inli \u00e7ocuklara d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcyordu. \u00c7al\u0131\u015fma bir hayal \u00fcr\u00fcn\u00fcyd\u00fc, yeni olu\u015fan d\u00fczlem doldurma ilgisini Amalfi k\u0131y\u0131lar\u0131na olan sevgisiyle birle\u015ftiriyordu ama Escher bu \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 hi\u00e7bir zaman sevmedi \u00e7\u00fcnk\u00fc bir \u00f6yk\u00fcs\u00fc yoktu; \u00c7inli \u00e7ocuklarla bir \u0130talyan kentini nas\u0131l birbirine ba\u011flayabilirsin ki?<\/p>\n

1937 Temmuz\u2019unda Escher ailesi, \u00fc\u00e7\u00fcnc\u00fc o\u011fullar\u0131n\u0131n do\u011faca\u011f\u0131 bir Br\u00fcksel banliy\u00f6s\u00fcne ta\u015f\u0131nd\u0131. O y\u0131l\u0131n Ekim ay\u0131nda Escher fakir simetri portfolyosunu, kristalograflar\u0131n ilgisini \u00e7ekebilece\u011fini d\u00fc\u015f\u00fcnd\u00fc\u011f\u00fc jeoloji profes\u00f6r\u00fc b\u00fcy\u00fck a\u011fbisi Beer\u2019a g\u00f6sterdi. Beer, Escher\u2019e faydal\u0131 olabilece\u011fini d\u00fc\u015f\u00fcnd\u00fc\u011f\u00fc baz\u0131 teknik ara\u015ft\u0131rmalar\u0131n listesini g\u00f6nderdi. Beer\u2019\u0131n listesinde, tamam\u0131 Zeitschrift f\u00fcr Kristallographie\u2019den olmak \u00fczere, 1911 ile 1933 aras\u0131nda F. Haag, G. Polya, P. Niggli, F. Laves ve H. Heesch taraf\u0131ndan yaz\u0131lm\u0131\u015f 10 makale vard\u0131. Escher sadece Haag ve Polya\u2019n\u0131n makalelerini faydal\u0131 buldu.<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 1: Polya\u2019n\u0131n simetri gruplar\u0131n\u0131 tasvir eden
tablosunun, Polya taraf\u0131ndan imzalanm\u0131\u015f bir kopyas\u0131.<\/figcaption><\/figure>\n

Haag\u2019\u0131n makalesi, Escher\u2019in \u201cd\u00fczenli\u201d d\u00fczlem doldurmas\u0131 i\u00e7in berrak bir tan\u0131m ve baz\u0131 tasvirler sa\u011fl\u0131yordu. Defterlerinden birine Escher, Haag\u2019\u0131n \u201cd\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi\u201d \u00fczerine tan\u0131m\u0131n\u0131 dikkatle not etmi\u015fti:<\/p>\n

\u201cD\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi bir araya gelmi\u015f benzer d\u0131\u015fb\u00fckey \u00e7okgenlerden olu\u015fuyor; \u00e7okgenlerin birbirleriyle biti\u015fik oldu\u011fu d\u00fczenleme ba\u015ftan ba\u015fa ayn\u0131.\u201d<\/p>\n

Ayn\u0131 defterde Escher, Haag\u2019\u0131n \u00e7okgen d\u00f6\u015femelerinin taslaklar\u0131n\u0131 da \u00e7izmi\u015fti. Bunlar\u0131 \u00e7al\u0131\u015ft\u0131ktan sonra Haag\u2019\u0131n tarifindeki \u201cd\u0131\u015fb\u00fckey\u201d kelimesinin gereksizli\u011fini fark etti, d\u00f6\u015femelerin \u015feklini de\u011fi\u015ftirerek d\u0131\u015fb\u00fckey olmayan \u00e7ok kenarl\u0131 d\u00f6\u015feme \u00f6rneklerini kolayl\u0131kla elde ediyordu. Muhtemelen Haag\u2019\u0131n tan\u0131m\u0131ndaki \u201cd\u0131\u015fb\u00fckey\u201d kelimesine bu noktada parantezi koymu\u015ftu. Elbette \u201c\u00e7okgen\u201d kelimesinin kendi ama\u00e7lar\u0131 i\u00e7in teredd\u00fcts\u00fcz \u00e7ok k\u0131s\u0131tlay\u0131c\u0131 oldu\u011funu ke\u015ffetmi\u015fti, \u201c\u015fekil\u201d veya \u201cd\u00f6\u015feme\u201d kelimeleriyle kolayl\u0131kla de\u011fi\u015ftirilebilirdi. Haag\u2019\u0131n tan\u0131m\u0131 (Escher\u2019in d\u00fczeltmeleriyle) Escher taraf\u0131ndan \u00f6d\u00fcn\u00e7 al\u0131nm\u0131\u015f ve b\u00fct\u00fcn simetri ara\u015ft\u0131rmalar\u0131 i\u00e7in rehber olmu\u015ftu. Daha sonra bu tan\u0131m\u0131 kertenkele \u00e7iziminin arkas\u0131na dikkatle not etti (\u00c7izim Escher\u2019in Reptiles -S\u00fcr\u00fcngenler- isimli ta\u015f bask\u0131s\u0131nda kullan\u0131ld\u0131).<\/p>\n

Polya\u2019n\u0131n makalesinin Escher \u00fczerinde b\u00fcy\u00fck bir etkisi oldu. Escher d\u00fczlemin d\u00f6rt izometrisini (elle, m\u00fcrekkeple) anlatan b\u00fct\u00fcn metni ve Polya\u2019n\u0131n d\u00fczlemsel d\u00f6\u015femeleri simetri gruplar\u0131yla s\u0131n\u0131fland\u0131rmas\u0131n\u0131 dikkatle not etti. Polya\u2019n\u0131n bunun Fedorov taraf\u0131ndan 30 y\u0131ldan daha \u00f6nce yap\u0131ld\u0131\u011f\u0131ndan habersiz oldu\u011fu a\u00e7\u0131kt\u0131r. Escher sezgisel olarak Polya\u2019n\u0131n bahsetti\u011fi uyumu koruyan d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcmlerden haberdard\u0131, ama simetri gruplar\u0131na dair tart\u0131\u015fmalardan hi\u00e7bir \u015fey anlamam\u0131\u015ft\u0131. Onun esas olarak vuruldu\u011fu Polya\u2019n\u0131n 17 d\u00fczlemsel simetri grubunu tasvir eden tam sayfa tablosuydu (Fig\u00fcr 1). Escher bu 17 \u00e7izimi tek tek defterine kopyalad\u0131, baz\u0131lar\u0131n\u0131 renklendirdi. Bunlar\u0131n aras\u0131nda, El Hamra\u2019da kaydetmedi\u011fi simetrileri i\u00e7erenler de vard\u0131. Bunlar \u00f6teleme haricindeki i\u00e7erdikleri simetriler, \u00f6telemeli yans\u0131malar ya da d\u00f6rtte bir (90 derece) ve yar\u0131m d\u00f6n\u00fc\u015flerden (180 derece) ibaret olanlard\u0131. Bir ay s\u00fcren \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131n ard\u0131ndan Escher, ilk kez d\u00f6rtte bir d\u00f6n\u00fc\u015fl\u00fc simetriler i\u00e7eren \u00e7izimlerini tamamlad\u0131: D\u00f6rt aya\u011f\u0131n birle\u015fti\u011fi yerde bir d\u00f6n\u00fc\u015f olu\u015fan, her seferinde birbiriyle ba\u011flant\u0131l\u0131 d\u00f6rt kertenkele. Bu \u00e7izimlerinden bir par\u00e7ay\u0131, ayn\u0131 ay i\u00e7erisinde tamamlanan Development I (Geli\u015fim I) isimli ah\u015fap bask\u0131s\u0131n\u0131n merkezinde kulland\u0131.<\/p>\n

Escher, Polya\u2019n\u0131n \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131n kendisine sa\u011flad\u0131klar\u0131na o kadar minnettard\u0131 ki, matematik\u00e7iye te\u015fekk\u00fcr etmek ad\u0131na ona bir mektup yazd\u0131. Polya\u2019ya Development I isimli \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131n bir bask\u0131s\u0131n\u0131 g\u00f6nderdi ve matematik\u00e7iye konu hakk\u0131nda uzman olmayanlar i\u00e7in, makalenin umut ettirdi\u011fi \u00fczere, simetri hakk\u0131nda bir kitap yaz\u0131p yazmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 sordu. Bir yazar Polya\u2019n\u0131n umut edilen kitab\u0131n yaz\u0131lmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 s\u00f6yleyen yan\u0131t\u0131n\u0131 kibar ama resmi olarak nitelendirse de, Polya 1977\u2019de bana Escher ile birden \u00e7ok kez yaz\u0131\u015ft\u0131\u011f\u0131n\u0131 ve 1940\u2019da Amerika\u2019ya g\u00f6\u00e7 etmesi nedeniyle onunla ba\u011flant\u0131y\u0131 kaybetmekten \u00f6t\u00fcr\u00fc pi\u015fman oldu\u011funu yazm\u0131\u015ft\u0131. \u015eimdi Polya\u2019n\u0131n Stanford \u00dcniversitesi\u2019ndeki ar\u015fivinde bulunan notlar\u0131, mektuplar\u0131 ve \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131yla dolu unutulmu\u015f bir bavulun yak\u0131n zamandaki ke\u015ffi, onun Escher\u2019e, Escher benzeri bir \u00e7izim denemesini bile g\u00f6nderdi\u011fini g\u00f6stermi\u015ftir. Bu belgeler aras\u0131nda Polya\u2019n\u0131n y\u0131lan desenli bir \u00e7izimi, Escher\u2019in 1937 -1940 aras\u0131nda ya\u015fad\u0131\u011f\u0131 adresiyle ve \u201cMCE\u2019ye g\u00f6nder\u201d alt notuyla bulunuyordu. Ayr\u0131ca Polya\u2019n\u0131n hi\u00e7bir zaman bitirilememi\u015f kitab\u0131 \u201cS\u00fcslemenin Simetrisi\u201dnin bir tasla\u011f\u0131, planlanan kitap ve 1924 y\u0131l\u0131ndaki makalesi i\u00e7in \u00e7ok say\u0131da \u00e7izim tasla\u011f\u0131 da ar\u015fivde bulunuyordu.<\/p>\n

Bir matematik ara\u015ft\u0131rmac\u0131s\u0131 olarak Escher<\/strong><\/p>\n

Escher 1937\u2019den 1941\u2019e kadar, sadece matematiksel ara\u015ft\u0131rmayla tan\u0131mlanabilecek bir y\u00f6ntemsel sorgulamaya dald\u0131. Haag\u2019\u0131n makalesi ona \u201cd\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi\u201d gibi bir tan\u0131m sa\u011flam\u0131\u015ft\u0131 ve Polya\u2019n\u0131n makalesi bir\u00e7ok \u015feklin bunlar\u0131 \u00fcretebilece\u011fini g\u00f6stermi\u015fti. Daha fazlas\u0131n\u0131 bulmak ve tan\u0131mlamak istedi. Kendi tekniklerini kullanarak kovalad\u0131\u011f\u0131 sorular \u015funlard\u0131:<\/p>\n

1) Her \u015feklin etraf\u0131 ayn\u0131 \u015fekilde sar\u0131l\u0131 olacak \u015fekilde d\u00fczlemi uyumlu bir \u015fekilde dolduracak d\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi i\u00e7in olas\u0131 \u015fekiller nelerdir?<\/p>\n

2) B\u00f6yle bir \u015feklin kenarlar\u0131 hangi yollarla izometriler ile ili\u015fkilenebilir?<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 2: Escher\u2019in, d\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi ara\u015ft\u0131rmalar\u0131nda kulland\u0131\u011f\u0131 y\u00f6ntemi g\u00f6steren bir defter sayfas\u0131.<\/figcaption><\/figure>\n

Escher\u2019in bir fig\u00fcr\u00fc kom\u015fu bir fig\u00fcre ba\u011flarken kullan\u0131lmas\u0131na izin verdi\u011fi izometriler sadece \u00f6telemeler, d\u00f6n\u00fc\u015fler ve \u00f6telemeli yans\u0131malard\u0131; kulland\u0131\u011f\u0131 canl\u0131 fig\u00fcr\u00fcn\u00fcn bir y\u00fcz\u00fcn\u00fcn do\u011fal durumunun kullan\u0131lamad\u0131\u011f\u0131, d\u00fcz bir kesit olmas\u0131 gerekti\u011fi yans\u0131malar. 1941-1942\u2019de d\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi, bunlar\u0131n nas\u0131l \u00fcretilebilece\u011fi ve renklendirilebilece\u011fine dair bir\u00e7ok bulu\u015funu, kendisinin ki\u015fisel ansiklopedisi olan nihai bir Defter\u2019e kaydetti. Defter\u2019in iki b\u00f6l\u00fcm\u00fc vard\u0131. Kapa\u011f\u0131nda, \u201cD\u00fczlemin asimetrik uyumlu \u00e7okgenlere d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi; I D\u00f6rt Kenarl\u0131 Sistemler MCE 1-1941 Ukkel; II \u00dc\u00e7 Kenarl\u0131 Sistemler X-1942, Baarn\u201d yaz\u0131yordu.<\/p>\n

Escher\u2019in d\u00f6rtkenarl\u0131 sistemler \u00fczerine olan \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131 \u00e7ok geni\u015fti. Bu d\u00f6\u015femeleri, sembolik olarak, her bir fig\u00fcr bir paralelkenar\u0131 temsil edecek \u015fekilde bir uyumlu paralelkenarlar a\u011f\u0131 olarak g\u00f6sterdi. Bu a\u011flar\u0131 her paralelkenar kar\u015f\u0131t renkli di\u011feriyle bir k\u00f6\u015fe payla\u015facak \u015fekilde dama tahtas\u0131 tarz\u0131nda g\u00f6lgelendirdi. Asimetrik fig\u00fcrler ilgisini \u00e7ekiyordu (ne de olsa onun canl\u0131 fig\u00fcrleri esas olarak asimetrikti) ve asimetriyi sa\u011flamak i\u00e7in her paralelkenar\u0131n i\u00e7erisine bir \u00e7engel yerle\u015ftirdi. \u00c7engel y\u00f6nlendirmeyi sa\u011flarken fig\u00fcr\u00fcn s\u0131n\u0131r\u0131ndaki k\u00fc\u00e7\u00fck \u00e7emberler ve kareler fig\u00fcr\u00fcn, kom\u015fu fig\u00fcre d\u00f6nebilece\u011fi iki katl\u0131 veya d\u00f6rt katl\u0131 merkezleri g\u00f6steriyordu. Escher kesin simetrinin \u00f6zel paralelkenar a\u011flar\u0131 gerektirdi\u011finin fark\u0131ndayd\u0131 ve bu y\u00fczden 5 de\u011fi\u015fik kategori belirledi: Herhangi bir paralelkenar, e\u015fkenar d\u00f6rtgen, dikd\u00f6rtgen, kare ve ikizkenar dik \u00fc\u00e7gen (k\u00f6\u015fegenlerin \u00e7izildi\u011fi kareler a\u011f\u0131). Bunlar\u0131 s\u0131rayla A\u2019dan E\u2019ye isimlendirdi. \u0130ki soruya cevap arad\u0131\u011f\u0131ndan birka\u00e7 okul defterini, i\u015fe yaramayanlar\u0131 veya tekrar olanlar\u0131 y\u0131rtarak, d\u00f6\u015feme fig\u00fcrlerini temsil eden i\u015faretlenmi\u015f a\u011f taslaklar\u0131yla doldurdu. D\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesini temsil eden i\u015faretlenmi\u015f bir a\u011f\u0131 her buldu\u011funda kaydetti ve d\u00f6\u015femenin \u015fekil-fig\u00fcr kullanarak bir \u00f6rne\u011fini k\u00f6\u015felerini harflerle i\u015faretleyerek yapt\u0131.<\/p>\n

\"\"
Escher\u2019in matematik\u00e7i Coxeter ile
yaz\u0131\u015fmalar\u0131na konu olan Circle Limit III adl\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131.<\/figcaption><\/figure>\n

Her fig\u00fcr k\u00f6\u015fesinin ayn\u0131 fig\u00fcrle veya kom\u015fu bir fig\u00fcrle nas\u0131l ili\u015fkili oldu\u011funu h\u0131zl\u0131ca kaydetmek i\u00e7in Escher kendi i\u015faretini icat etti: = \u201c\u00f6teleme ile ili\u015fkili\u201d demekti, II \u201c\u00f6telemeli yans\u0131ma ile ili\u015fkili\u201d demekti. K\u00f6\u015fesinde bir S \u201c180 derece d\u00f6n\u00fc\u015f ile ili\u015fkili\u201d ve L \u201c90 derece d\u00f6n\u00fc\u015f ile ili\u015fkili\u201d anlam\u0131na geliyordu. Fig\u00fcr 2, sol taraf\u0131nda 5 de\u011fi\u015fik \u201ckare sistemleri\u201dni ve sa\u011f taraf\u0131nda bu sistemlerden ikisinin \u015fekil i\u00e7eren fig\u00fcrlerini g\u00f6stermektedir. Escher\u2019in sayfan\u0131n alt\u0131ndaki \u201cVorbeeld maken!\u201d notu dikkat \u00e7ekicidir: \u201cBir \u00f6rnek yap!\u201d Sonu\u00e7lar\u0131, kelimelere ihtiya\u00e7 olmadan g\u00f6rsel olarak kaydedilmi\u015fti. Nihayetinde 10 de\u011fi\u015fik d\u00f6\u015feme s\u0131n\u0131f\u0131 bulmu\u015f ve bunlar\u0131 I-X olarak numaraland\u0131rm\u0131\u015ft\u0131. Defter, \u00e7izimlerin hem g\u00f6rsel hem tan\u0131mlay\u0131c\u0131 versiyonlar\u0131n\u0131 i\u00e7ermektedir.<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 3: Escher\u2019in \u00f6teleme i\u015flemi \u015f\u00f6yle geli\u015fiyor: a) bir 2-renkli (koyu gri-beyaz) \u00e7ini d\u00f6\u015femenin k\u00f6\u015feleri ve kenarlar\u0131n\u0131n orta noktalar\u0131 etraf\u0131nda 180 derece d\u00f6nd\u00fcr\u00fcl\u00fcyor, b) bir 3-renkli \u00e7ini (koyu gri-a\u00e7\u0131k gri-beyaz), c) 2- renkli (koyu gri-beyaz) bir \u00e7ini kenarlar\u0131n\u0131n orta noktalar\u0131 etraf\u0131nda
180 derece d\u00f6nd\u00fcr\u00fcl\u00fcyor.<\/figcaption><\/figure>\n

Di\u011fer d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmeleri, haritaland\u0131rmak i\u00e7in 3 rengin gerektirdiklerini h\u00e2l\u00e2 ke\u015ffetmek ad\u0131na Escher, \u201cge\u00e7i\u015f\u201d ad\u0131n\u0131 verdi\u011fi bir teknik uygulad\u0131. Fig\u00fcr 3, onun \u00f6rneklerinden birinin tekrar \u00e7izimidir. 10 kategorisinden 2 renkli al\u0131\u015f\u0131lageldik bir tanesiyle ba\u015fl\u0131yordu. Bu kategorilerde her seferinde 4 fig\u00fcr bir d\u00fc\u011f\u00fcm noktada birle\u015fiyor ve sadece iki renge ihtiya\u00e7 duyuyordu. Daha sonra bir desen ve k\u00f6\u015felerden birini (B diyelim) bir di\u011fer dikkatle se\u00e7ilmi\u015f (A diyelim) s\u0131n\u0131r noktas\u0131na birle\u015ftiren, d\u00f6\u015femenin d\u00fc\u011f\u00fcm\u00fc olmayan bir s\u0131n\u0131r par\u00e7as\u0131n\u0131 se\u00e7iyordu. A\u2019y\u0131 bir dayanak noktas\u0131 olarak kullan\u0131yor, A ile B\u2019yi birle\u015ftiren s\u0131n\u0131r par\u00e7as\u0131n\u0131 d\u00f6nd\u00fcrerek (bazen esneterek) B k\u00f6\u015fe noktas\u0131n\u0131n s\u0131n\u0131r \u00fczerinde kayarak yeni bir noktada durmas\u0131n\u0131 sa\u011fl\u0131yordu (C noktas\u0131). Ayn\u0131 i\u015flemin b\u00fct\u00fcn desenlerin e\u015fle\u015fen s\u0131n\u0131r par\u00e7alar\u0131nda tekrar edilmesi \u00fc\u00e7 renkle g\u00f6sterilebilecek yeni bir desen yarat\u0131yordu (Fig\u00fcr 3b). \u0130\u015flem yeni AC kesitinde C\u2019yi orijinal desenin d\u00fc\u011f\u00fcm noktas\u0131na kadar s\u0131n\u0131r boyunca hareket ettirerek s\u00fcrd\u00fcr\u00fclebiliyordu. Bu tekrar 2 renge ihtiya\u00e7 duyan yeni bir desen olu\u015fturuyordu (Fig\u00fcr 3c). (3 renkli) orta safhada fig\u00fcrlerin k\u00f6\u015feleri kesinlikle \u00f6zg\u00fcn olan ile homeomorfik de\u011fildi, ancak \u015fa\u015f\u0131rt\u0131c\u0131 olan sonu\u00e7ta elde edilen (2 renkli) safhadaki yeni a\u011f da \u00f6zg\u00fcn ile homeomorfik olamayabiliyordu. Escher orta safhan\u0131n hem ba\u015flang\u0131\u00e7taki hem sonraki 2 renkli desenlerden bile\u015fenler ta\u015f\u0131d\u0131\u011f\u0131n\u0131 d\u00fc\u015f\u00fcnerek onu her iki safhan\u0131n ismini kullanarak isimlendirdi. Fig\u00fcr 3\u2019te, IIA sistemi IIA-IIIA\u2019ya, o da IIIA\u2019ya d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcyor. Bu anda, son desendeki fig\u00fcrlerin 4 de\u011fil 3 k\u00f6\u015fesi var ve bir d\u00fc\u011f\u00fcm noktas\u0131nda 6 tanesi birle\u015fiyor, Escher bunun bir istisna oldu\u011funu not etmi\u015fti.<\/p>\n

Escher bu ke\u015fiflerini kelimelere d\u00f6kmedi, ama Defter\u2019inde 16 sayfa boyunca bu 10 kategorinin tamam\u0131n\u0131 kapsayan d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcmlerin dikkatli tasvirlerini \u00e7izdi. Bir\u00e7ok seferinde ayn\u0131 desenin bir belirgin d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm\u00fcnden fazlas\u0131n\u0131 ke\u015ffetti. Bug\u00fcn\u00fcn terminolojisini kullan\u0131rsak, tek bir izohedral d\u00f6\u015femesinden yola \u00e7\u0131karak de\u011fi\u015fik izohedral tiplerinin nas\u0131l \u00fcretilebilece\u011fini ke\u015ffetmi\u015fti. Ayr\u0131ca bir \u00e7izelgede 10 kategorisinden hangilerinin di\u011ferlerine \u00f6nc\u00fcl\u00fck etti\u011fini kaydetmi\u015fti. Bu \u00e7izelge, onun d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm i\u015fleminin bir desenin topolojik ve kombinatorik \u00f6zelliklerini d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fcrebilece\u011fini ama simetri grubunu de\u011fi\u015ftiremeyece\u011fini a\u00e7\u0131kl\u0131\u011fa kavu\u015fturmu\u015ftu.<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 4: Sky and Water I, -G\u00f6k ve Su 1-,1938 (Ah\u015fap bask\u0131, 435 cm x 439 cm).<\/figcaption><\/figure>\n

Escher\u2019in \u201cd\u00f6rtkenarl\u0131 sistemler\u201de dair \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131n son b\u00f6l\u00fcm\u00fc, \u201c2 motifli\u201d d\u00f6\u015femeler olarak adland\u0131rd\u0131klar\u0131yla ilgili 10 sayfadan olu\u015fuyordu. 2 veya 3 renkli normal bir b\u00f6l\u00fcnmeyle ba\u015flay\u0131p her fig\u00fcr\u00fc (ayn\u0131 \u015fekilde) iki ayr\u0131 \u015fekil olu\u015fturacak ve iki renkle g\u00f6sterilebilecek \u015fekilde ikiye b\u00f6lerek devam ediyordu. Bu ara\u015ft\u0131rma, \u201cd\u00fcalite\u201d olarak adland\u0131rd\u0131\u011f\u0131na olan ilgisinden destekleniyordu; bir\u00e7ok \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131 fig\u00fcr ile zeminin oynad\u0131\u011f\u0131 rol\u00fc de\u011fi\u015ftirme ya da kar\u015f\u0131tlar\u0131n biti\u015fikli\u011fi fikriyle yap\u0131lm\u0131\u015ft\u0131. Sky and Water I (G\u00f6k ve Su I) ve Circle Limit IV – Angels and Devils) (\u00c7ember Limit IV – Melekler ve \u015eeytanlar) \u00fcnl\u00fc \u00f6rneklerdir.<\/p>\n

\u00d6rne\u011fin Sky and Water I\u2019de (Fig\u00fcr 4) merkezdeki yatay olarak kenetlenmi\u015f beyaz bal\u0131k ve siyah ku\u015flar s\u0131ras\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmay\u0131 \u00fcst ve alt yar\u0131lara ay\u0131r\u0131r (g\u00f6k ve su). Bu merkez s\u0131radaki bal\u0131k fig\u00fcr, ku\u015f zemin olabilir, tersi de ge\u00e7erlidir. Ancak g\u00f6z bu fig\u00fcr s\u0131ras\u0131ndan yukar\u0131lara kayd\u0131k\u00e7a varl\u0131klar birbirinden ayr\u0131l\u0131r ve ayr\u0131 roller elde eder. Beyaz bal\u0131klar eriyip g\u00f6ky\u00fcz\u00fcn\u00fc olu\u015ftururken siyah ku\u015flar y\u00fckselerek \u00fc\u00e7 boyutlu olurlar. Bal\u0131k u\u00e7an ku\u015flar\u0131n arka plan\u0131na d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcr. G\u00f6z merkez fig\u00fcr s\u0131ras\u0131ndan a\u015fa\u011f\u0131ya kayd\u0131k\u00e7a, tam tersi bir d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcm ger\u00e7ekle\u015fir. Bu sefer bal\u0131k \u00fc\u00e7 boyutlu bir \u015fekil kazan\u0131r, siyah ku\u015flar \u00e7\u00f6z\u00fclerek bal\u0131klar\u0131n y\u00fczece\u011fi suya d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcr. Matematikte \u00e7ift nesne fikrinin \u00f6z\u00fc, birinin di\u011ferini tamamen tan\u0131mlamas\u0131d\u0131r, bir k\u00fcme ve e\u015fleni\u011fi ya da bir \u00f6nerme ve negatifi gibi. Fig\u00fcr-zemin d\u00fcalitesinin yan\u0131 s\u0131ra ayn\u0131 resimde ba\u015fka \u00e7e\u015fit d\u00fcaliteler de temsil edilmektedir: siyah ve beyaz, g\u00f6ky\u00fcz\u00fc ve deniz gibi. Ve kar\u015f\u0131tlar: ku\u015f ve bal\u0131k \u00e7o\u011funlukla kar\u015f\u0131tl\u0131\u011f\u0131 ifade ederler ve \u00e7al\u0131\u015fmada her ku\u015f, suyun g\u00f6r\u00fcnmez y\u00fcz\u00fc ayna rol\u00fc oynarken, bir bal\u0131\u011f\u0131n tamamen kar\u015f\u0131s\u0131na konmu\u015ftur.<\/p>\n

Escher\u2019in Defter\u2019inin ikinci b\u00f6l\u00fcm\u00fc k\u0131sad\u0131r, \u201c\u00fc\u00e7gen sistemler\u201d olarak adland\u0131rd\u0131klar\u0131yla ilgilidir; 120 derece d\u00f6n\u00fc\u015f merkezleri olan d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmeler (A sistemi), ya da 60 derece, 120 derece ve 180 derece d\u00f6n\u00fc\u015f merkezleri olanlar (B sistemi). D\u00f6n\u00fc\u015f merkezlerinin yerle\u015fimini a\u00e7\u0131klad\u0131ktan sonra, sadece 20 farkl\u0131 d\u00f6\u015femeyi kaydeder; \u00e7o\u011funlu\u011fu iki motiflidir ve hepsi dikkatlice simetriye uygun olarak renklendirilmi\u015ftir. \u00c7o\u011funlu\u011fu 3 renge ihtiya\u00e7 duyar. D\u00f6rtkenarl\u0131 sistemlerinin aksine fig\u00fcrlerinden baz\u0131lar\u0131 d\u00f6n\u00fc\u015f simetrisine sahiptir ve bunlardan bir ya da iki motifli di\u011fer fig\u00fcrleri elde eder.<\/p>\n

1941\u2019de bu ara\u015ft\u0131rmalar\u0131n\u0131n sonuna yakla\u015f\u0131rken Escher ve ailesi, \u00f6mr\u00fcn\u00fcn kalan son 2 y\u0131l\u0131 haricindeki tamam\u0131n\u0131 ge\u00e7irmek \u00fczere Hollanda\/Baarn\u2019a ta\u015f\u0131nd\u0131lar. Takip eden y\u0131llarda, her biri numaral\u0131 ve dikkatlice \u00e7izilmi\u015f, fig\u00fcrleri m\u00fcrekkeple \u00e7izilmi\u015f, renklendirmesi suluboyayla yap\u0131lm\u0131\u015f 100 d\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi \u00f6rne\u011fi \u00fcretti. Simetri \u00e7izimleri portfolyosu geni\u015fledik\u00e7e bunlar\u0131 \u201c\u00e7izim deposu\u201d olarak adland\u0131rmaya ba\u015flad\u0131. Bu \u00e7izimlerden baz\u0131 b\u00f6l\u00fcmlere bir\u00e7ok \u00e7al\u0131\u015fmada, not kart\u0131nda, duyurularda, boyanm\u0131\u015f ve d\u00f6\u015fenmi\u015f kamusal \u00e7al\u0131\u015fmalarda ve hatta bir k\u00fcre \u00fczerinde bile yer verildi. Hepsinde 134 numaraland\u0131r\u0131lm\u0131\u015f simetri \u00e7izimleri ve bir\u00e7ok numaraland\u0131r\u0131lmam\u0131\u015f taslak bulunuyordu.<\/p>\n

Escher sanat\u0131nda etkiler yaratmak ad\u0131na ba\u015fka bir\u00e7ok k\u00fc\u00e7\u00fck matematik ara\u015ft\u0131rmas\u0131 y\u00fcr\u00fctt\u00fc. Baz\u0131 sonu\u00e7lar D\u00fczlemin D\u00fczenli B\u00f6l\u00fcnmesi: Soyut Motifler, Geometrik Problemler ba\u015fl\u0131kl\u0131 bir deftere kaydedildi, di\u011ferleri k\u00fc\u00e7\u00fck yapraklarda topland\u0131. Bir\u00e7ok Ma\u011fribi tarz\u0131 desenle u\u011fra\u015ft\u0131 ve ba\u011flant\u0131l\u0131 halkalar \u00fczerine \u00e7al\u0131\u015ft\u0131 (son \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131 Y\u0131lanlar\u2019da g\u00f6r\u00fclebilir). Banknotlar tasarlarken benzer \u00fc\u00e7genlerden olu\u015fan \u00e7ok say\u0131da desen kulland\u0131. Ayr\u0131ca a\u00e7\u0131k\u00e7a ke\u015ffetti\u011fi ama ispatlayamad\u0131\u011f\u0131 iki teoremi kay\u0131t alt\u0131na ald\u0131. Bir tanesi \u00fc\u00e7gendeki kesi\u015fen kenarlarla ilgiliydi, di\u011feriyse \u00f6zel bir alt\u0131gen fig\u00fcr\u00fcn\u00fcn kesi\u015fen k\u00f6\u015fegenleriyle ilgiliydi. Talebimle birlikte birinci teorem A. Liu ve M. Klamkin taraf\u0131ndan, ikincisi ise J. F. Rigby taraf\u0131ndan do\u011fruland\u0131.<\/p>\n

Escher\u2019in matematik\u00e7ilerle etkile\u015fimleri<\/strong><\/p>\n

1954\u2019e kadar Hollanda d\u0131\u015f\u0131nda \u00e7ok az matematik\u00e7i Escher\u2019i tan\u0131yordu. O y\u0131l, Uluslararas\u0131 Matematik\u00e7iler Kongresi Amsterdam\u2019da yap\u0131ld\u0131 ve N. G. de Bruijn, Stedelijk M\u00fczesi\u2019nde Escher\u2019in bask\u0131lar\u0131n\u0131, simetri \u00e7izimlerini ve oyulmu\u015f toplar\u0131n\u0131 i\u00e7eren bir sergi d\u00fczenledi. Katalog\u2019da \u201cMuhtemelen matematik\u00e7ilerin sadece geometrik motifler ilgisini \u00e7ekmeyecek, genel olarak matematikte de ortaya \u00e7\u0131kan ve bir\u00e7ok b\u00fcy\u00fck matematik\u00e7inin konular\u0131na ait al\u0131\u015f\u0131lmad\u0131k cazibe kayna\u011f\u0131 olan oyunculuk da \u00f6nemli bir etken olacak\u201d diye yaz\u0131yordu.<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 5: Penrose\u2019un \u00fc\u00e7geni.<\/figcaption><\/figure>\n

Roger Penrose sergiyi ziyaret etti\u011finde \u015fa\u015f\u0131rm\u0131\u015f ve meraklanm\u0131\u015ft\u0131. Escher\u2019in \u201cG\u00f6relilik\u201d isimli bask\u0131s\u0131 \u00f6zellikle g\u00f6z\u00fcne \u00e7arpm\u0131\u015ft\u0131. Bir\u00e7ok farkl\u0131 bak\u0131\u015f noktas\u0131ndan g\u00f6r\u00fclebilecek \u015fekilde, birka\u00e7 insan\u0131n yer\u00e7ekimi kanununa kafa tutarak imk\u00e2ns\u0131z bir \u015fekilde ayn\u0131 anda t\u0131rmand\u0131\u011f\u0131 veya indi\u011fi \u00fc\u00e7gen formda d\u00fczenlenmi\u015f \u00fc\u00e7 merdiveni (ve daha k\u00fc\u00e7\u00fck merdivenleri) g\u00f6steriyordu. Penrose\u2019a, par\u00e7alar\u0131 kendi ba\u015f\u0131na tutarl\u0131 ama birle\u015fti\u011finde \u201cimk\u00e2ns\u0131z\u201d bir yap\u0131 bulmak i\u00e7in ilham oldu. \u0130ngiltere\u2019ye d\u00f6nd\u00fckten sonra \u015fimdi \u00fcnl\u00fc olan, birle\u015ferek bir \u00fc\u00e7gen olu\u015fturur gibi g\u00f6r\u00fcnen kar\u015f\u0131l\u0131kl\u0131 olarak dik \u00e7ubuklar i\u00e7eren Penrose \u00fc\u00e7geni fikriyle ortaya \u00e7\u0131kt\u0131 (Fig\u00fcr 5). Bundan sonra babas\u0131, k\u00e2\u011f\u0131t \u00fczerinde \u00e7izilebilen ama in\u015fa edilmesi imk\u00e2ns\u0131z bir di\u011fer nesneyi, \u201csonsuz merdiven\u201di buldu. Penrose, bu imk\u00e2ns\u0131z nesnelerin taslaklar\u0131n\u0131 Escher\u2019e g\u00f6ndererek ke\u015fif halkas\u0131n\u0131 tamamlad\u0131. Escher Waterfall (\u015eelale) isimli eserinde aral\u0131ks\u0131z hareketi, Ascending and Descending\u2019te (\u00c7\u0131k\u0131\u015f ve \u0130ni\u015f) ke\u015fi\u015flerin bitmeyen y\u00fcr\u00fcy\u00fc\u015f\u00fcn\u00fc kullanacakt\u0131.<\/p>\n

Penrose 1962\u2019de Escher\u2019in evini ziyaret etti ve 60 derecelik \u00f6zde\u015f e\u015fkenar d\u00f6rtgenden t\u00fcretilmi\u015f ah\u015fap puzzle par\u00e7alar\u0131 hediye etti. Escher daha sonra Penrose\u2019a par\u00e7alar\u0131n bir araya getirilebildi\u011fi tek yolu i\u00e7eren puzzle\u2019\u0131n \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fcn\u00fc g\u00f6nderdi. Burada uyumlu fig\u00fcrler iki farkl\u0131 \u015fekilde sar\u0131lm\u0131\u015ft\u0131. 1971\u2019de Escher d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnme olmayan bir fig\u00fcrle (bug\u00fcn 2-izohedral olarak adland\u0131r\u0131l\u0131r) tek desenini yapt\u0131. Penrose\u2019un puzzle\u2019\u0131n\u0131n kurallar\u0131na g\u00f6re d\u00fczlemi dolduran k\u00fc\u00e7\u00fck hayaletiyle bu \u00e7izim, Escher\u2019in numaraland\u0131r\u0131lm\u0131\u015f simetri \u00e7izimlerinin sonuncusuydu.<\/p>\n

H. S. M. Coxeter de ilk kez 1954\u2019te Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131n\u0131 g\u00f6rm\u00fc\u015ft\u00fc ve Kanada\u2019ya d\u00f6nd\u00fc\u011f\u00fcnde Escher\u2019e bir mektup yazarak sanat\u00e7\u0131n\u0131n \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131na duydu\u011fu minnettarl\u0131\u011f\u0131 ifade etmi\u015fti. 3 y\u0131l sonra, sanat\u00e7\u0131n\u0131n simetri \u00e7izimlerinden ikisini, Kanada Kraliyet Toplulu\u011fu\u2019na yazaca\u011f\u0131 bir makaleyi resimlendirmek i\u00e7in kullan\u0131p kullanamayaca\u011f\u0131n\u0131 sormak i\u00e7in tekrar Escher\u2019e yazd\u0131. Makale \u00d6klit uzay\u0131nda ve hiperbolik d\u00fczlemin ve k\u00fcre y\u00fczeyinin Poincar\u00e9 disk modelinde simetriyi tart\u0131\u015f\u0131yordu. Escher seve seve kabul etti ve daha sonra makalenin bir kopyas\u0131 eline ula\u015ft\u0131\u011f\u0131nda Coxeter\u2019e \u201cBaz\u0131 \u00e7izimler ve \u00f6zellikle sayfa 11\u2019deki fig\u00fcr bana b\u00fcy\u00fck bir \u015fok ya\u015fatt\u0131\u201d diye yazd\u0131. Fig\u00fcr\u00fcn boyutlar\u0131 k\u00fc\u00e7\u00fclen ve bir \u00e7emberin s\u0131n\u0131rlar\u0131nda teorik olarak sonsuza kadar tekrar eden \u00fc\u00e7gen \u015fekilleriyle hiperbolik d\u00f6\u015femesi, Escher\u2019in sonsuzlu\u011fu s\u0131n\u0131rl\u0131 bir alanda yakalamak i\u00e7in tam olarak arad\u0131\u011f\u0131 \u015feydi.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 6: Coxeter\u2019in fig\u00fcr\u00fc.<\/figcaption><\/figure>\n

Escher fig\u00fcr \u00fczerinde pergel ve cetvelle \u00e7al\u0131\u015ft\u0131 ve \u00f6nemli noktalar\u0131 \u00e7ember i\u00e7erisine ald\u0131 (Fig\u00fcr 6). Buradan Circle Limit I (\u00c7ember Limit I) isimli eserini \u00fcretebilecek kadar geometriyi ay\u0131rt etti. Ancak daha fazla \u00f6\u011frenmek istiyordu ve Coxeter\u2019e ne anlad\u0131\u011f\u0131n\u0131, yani 6 \u00e7emberin merkezlerinin yerlerini i\u015faretleyerek g\u00f6nderdi (Fig\u00fcr 7). Bu mektupta Coxeter\u2019den kibarca \u201climite ula\u015fana kadar merkezlere (s\u0131n\u0131r\u0131 belirleyen \u00e7embere) d\u0131\u015far\u0131dan yakla\u015fan (geriye kalan) \u00e7emberleri olu\u015fturmak i\u00e7in bir basit a\u00e7\u0131klama\u201d talep etti. Ayr\u0131ca \u201cbir \u00e7emberin limitine ula\u015fan bunun d\u0131\u015f\u0131nda ba\u015fka bir sistem\u201d olup olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 sordu. Coxeter, Escher\u2019in ilk sorusuna k\u0131sa bir yan\u0131t verdi:<\/p>\n

\u201c\u00c7iziminizde sayfan\u0131n arkas\u0131nda k\u0131rm\u0131z\u0131 bir \u2018o\u2019 [+ i\u015fareti] ile i\u015faretledi\u011fim nokta, \u00e7emberlerinizden merkezleri 1, 4, 5 olanlarla birlikte uzan\u0131yor. Dolay\u0131s\u0131yla bu merkezler (solgunca k\u0131rm\u0131z\u0131 ile \u00e7izdi\u011fim) [kesik \u00e7izgi ile] d\u00fcz bir \u00e7izgi \u00fczerinde uzan\u0131yorlar ve k\u0131rm\u0131z\u0131 nokta [+ i\u015fareti] i\u00e7erisinden ge\u00e7en d\u00f6rd\u00fcnc\u00fc \u00e7emberin de merkezi bu ayn\u0131 \u00e7izgi \u00fczerinde olmal\u0131.\u201d<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 7: Sanat\u00e7\u0131n\u0131n ne ke\u015ffetti\u011fini ortaya \u00e7\u0131karan Coxeter\u2019e g\u00f6nderdi\u011fi grafik. Orijinal \u00e7izim, kopya k\u00e2\u011f\u0131d\u0131na kur\u015funkalemle \u00e7izilmi\u015f ve silik. Bu yazar taraf\u0131ndan tekrar \u00e7izilmi\u015f olan\u0131 ve Coxeter\u2019in kesik \u00e7izgili i\u015faretlerini g\u00f6steriyor.<\/figcaption><\/figure>\n

Escher\u2019in b\u00fct\u00fcn \u015femay\u0131 buradan olu\u015fturmas\u0131 gerekiyordu. Tam tersine, Coxeter ikinci soruya, ba\u015f\u0131nda \u201cEvet, sonsuz kadar \u00e7ok!\u201d diyerek uzun bir yan\u0131t verdi ve daha sonras\u0131nda Generators and Relations (\u00dcreticiler ve \u0130li\u015fkiler) metnine referansla hangi desenlerin var oldu\u011funu a\u00e7\u0131klad\u0131.<\/p>\n

Escher bu yan\u0131ttan dolay\u0131 hayal k\u0131r\u0131kl\u0131\u011f\u0131na u\u011fram\u0131\u015ft\u0131, ama bu sadece konular\u0131 anlamak noktas\u0131ndaki kararl\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 art\u0131rm\u0131\u015ft\u0131. O\u011flu George\u2019a \u015funlar\u0131 yazd\u0131:<\/p>\n

\u201c[Coxeter] her \u015fey i\u00e7in 3 ve 7 de\u011ferlerini kulland\u0131\u011f\u0131 bir \u00f6rnek g\u00f6ndermi\u015f. Ama bu tek say\u0131 7 benim i\u00e7in tamamen i\u015fe yaramaz; ben iki ve d\u00f6rd\u00fc (ya da d\u00f6rt ve sekizi) arzuluyorum. Bu \u00e7e\u015fit resimlere kar\u015f\u0131 olan ilgim ve bu \u00e7al\u0131\u015fmay\u0131 kovalamak i\u00e7in sahip oldu\u011fum kararl\u0131l\u0131k belki de sonu\u00e7ta tatmin edici bir \u00e7\u00f6z\u00fcme neden olacak. (\u2026) \u00d6yle g\u00f6r\u00fcn\u00fcyor ki, Coxeter i\u00e7in bir \u2018alayl\u0131\u2019n\u0131n anlayabilece\u011fi \u015fekilde yazmak \u00e7ok zor. Sonu\u00e7 olarak ne kadar zor olursa olsun b\u00f6yle bir problemi kendi sakar tarz\u0131mda \u00e7\u00f6zmekten daha b\u00fcy\u00fck tatmin alaca\u011f\u0131m.\u201d<\/p>\n

Escher kendi hiperbolik desen \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131na, kendi tan\u0131mlad\u0131\u011f\u0131 \u015fekliyle \u201cCoxeterle\u015ftirme\u201d i\u015flemine ba\u015far\u0131yla devam etti ve 1959-1960\u2019ta \u00fc\u00e7 farkl\u0131 Circle Limit bask\u0131s\u0131 \u00fcretti. Coxeter Circle Limit I\u2019i ald\u0131\u011f\u0131nda Escher\u2019i \u201ca\u00e7\u0131 koruyan\u201d desene dair anlay\u0131\u015f\u0131 i\u00e7in \u00f6vd\u00fc. 1960\u2019ta da karma\u015f\u0131k Circle Limit III\u2019\u00fc ald\u0131\u011f\u0131nda Escher\u2019e, i\u00e7ine semboller serpi\u015ftirilmi\u015f, bir\u00e7ok teknik metne referans i\u00e7eren, \u00e7al\u0131\u015fman\u0131n matematiksel i\u00e7eri\u011fini a\u00e7\u0131klayan 3 sayfal\u0131k bir mektup g\u00f6nderdi. Escher George\u2019a \u00fcmitsizlikle \u201cBenim ger\u00e7ekte ne yapt\u0131\u011f\u0131ma dair 3 sayfal\u0131k bir a\u00e7\u0131klama\u2026 Hi\u00e7bir \u015fey, tamamen hi\u00e7bir \u015fey anlamamam ne yaz\u0131k\u201d diye yazm\u0131\u015ft\u0131.<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 8: Escher\u2019in Square Limit -Kare Limit- i\u00e7in geometrik a\u011flar\u0131.<\/figcaption><\/figure>\n

Coxeter 1960\u2019ta Escher i\u00e7in \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131yla ilgili Toronto \u00dcniversitesi\u2019nde iki ders ayarlad\u0131 ve onu evinde a\u011f\u0131rlad\u0131. Coxeter-Escher yaz\u0131\u015fmas\u0131 birka\u00e7 y\u0131l boyunca devam etti. 1964 Mart\u2019\u0131nda Coxeter, \u201c\u00c7al\u0131\u015fma duvar\u0131mdaki Circle Limit III\u2019e tekrar tekrar bakt\u0131k\u00e7a, sonunda fark ettim ki, ekte, kitab\u0131na ili\u015fkin Mathematical Reviews\u2019daki yorumumda g\u00f6rebilece\u011fin gibi, onun sonsuzlu\u011funa dair olumsuz d\u00fc\u015f\u00fcncemin yanl\u0131\u015f anlamamdan kaynakland\u0131\u011f\u0131n\u0131 fark ettim\u201d diye yazd\u0131. \u201c\u00c7al\u0131\u015fmana bakt\u0131k\u00e7a daha \u00e7ok hayran oluyorum\u201d diye ekledi. Bu yorumla Coxeter ilk kez, bal\u0131klar\u0131n omurgalar\u0131n\u0131 olu\u015fturan beyaz kemerlerin onun ve ba\u015fkalar\u0131n\u0131n farz etti\u011fi gibi k\u00f6t\u00fc bir \u015fekilde birle\u015ftirilmi\u015f hiperbolik \u00e7izgiler de\u011fil, e\u015fit uzakl\u0131ktaki e\u011frilerin dallar\u0131 oldu\u011funu ortaya \u00e7\u0131kard\u0131. 1979\u2019ta ve tekrar 1995\u2019te, bu beyaz kemerlere adanm\u0131\u015f daire \u00e7evresini ayn\u0131 a\u00e7\u0131da, yani 80 derecede kesmesi gerekti\u011fini (ve ger\u00e7ekten b\u00fcy\u00fck bir do\u011frulukla kesti\u011fini) anlatan makaleler yay\u0131mlad\u0131. Yani Escher\u2019in sezgiye dayanan \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131, herhangi bir hesaplama olmadan, m\u00fckemmeldi.<\/p>\n

Coxeter di\u011fer makalelerde Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131na dair matematiksel analizler yapt\u0131 ve sanat\u00e7\u0131n\u0131n baz\u0131 bulu\u015flar\u0131n\u0131n \u00f6n\u00fcn\u00fc a\u00e7t\u0131\u011f\u0131n\u0131 i\u015faret etti. 1964 May\u0131s\u2019\u0131nda Escher Coxeter\u2019e Square Limit (Kare Limit) isimli \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 g\u00f6nderdi ve arkas\u0131nda yatan kendili\u011finden benzer \u00fc\u00e7genler a\u011f\u0131n\u0131 bir diyagramla a\u00e7\u0131klad\u0131 (Fig\u00fcr 8). Escher\u2019in, k\u0131rm\u0131z\u0131 ve mavi (a\u00e7\u0131k ve koyu griyle g\u00f6r\u00fcl\u00fcyor) kalemle yap\u0131lm\u0131\u015f a\u00e7\u0131klay\u0131c\u0131 tasla\u011f\u0131 grafik k\u00e2\u011f\u0131d\u0131 \u00fczerindeydi. B\u00f6lme i\u015fleminin sonsuza kadar s\u00fcrd\u00fcr\u00fclebilece\u011fini g\u00f6stermek i\u00e7in merkez kareyi saran ilk \u00fc\u00e7 halkay\u0131 g\u00f6steriyordu. Bu fraktal yap\u0131y\u0131 kendili\u011finden tasarlad\u0131 ve bir \u00d6klid yap\u0131s\u0131n\u0131n d\u00fcz par\u00e7alar\u0131na sahip olsa da, Circle Limits \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131nda istenen \u00f6zelli\u011fi g\u00f6steriyordu; s\u0131n\u0131rlayan kareye ula\u015ft\u0131k\u00e7a fig\u00fcrler k\u00fc\u00e7\u00fcl\u00fcyordu. Diyagram\u0131n ortas\u0131ndaki 90 derece d\u00f6n\u00fc\u015f, k\u0131rm\u0131z\u0131 (a\u00e7\u0131k gri) \u015fekilleri maviye (koyu gri), mavileri (koyu gri), k\u0131rm\u0131z\u0131ya (a\u00e7\u0131k gri) ve beyazlar\u0131 beyaza g\u00f6nderen bir renk simetrisiydi. Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131nda \u00fc\u00e7genler bal\u0131kla yer de\u011fi\u015ftirmi\u015fti.<\/p>\n

Escher\u2019in di\u011fer matematik\u00e7ilerle de k\u0131sa etkile\u015fimleri olmu\u015ftu, ama hi\u00e7biri onun \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 Polya, Penrose ve Coxeter kadar etkilemedi. A. Speiser\u2019in doktora \u00f6\u011frencisi Edith M\u00fcller, bana, Escher\u2019in kendisinin El Hamra \u00e7inileri \u00fczerine yapt\u0131\u011f\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmadan haberdar oldu\u011funu ve onu 1948\u2019te Z\u00fcrih\u2019te \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 tart\u0131\u015fmak \u00fczere ziyaret etti\u011fini s\u00f6ylemi\u015fti. Ona, Speiser\u2019in simetriyi daha iyi anlamak i\u00e7in nas\u0131l dantel yapmay\u0131 \u00f6\u011frendi\u011fini anlatm\u0131\u015ft\u0131.<\/p>\n

Speiser\u2019\u0131n bir di\u011fer \u00f6\u011frencisi Heinrich Heesch 1930 ortalar\u0131nda \u00e7iniler \u00fczerine geni\u015f ara\u015ft\u0131rmalar y\u00fcr\u00fctm\u00fc\u015f, ancak 1960\u2019lara kadar yay\u0131mlamam\u0131\u015ft\u0131. O da d\u00fczenli \u00e7inileri, her fig\u00fcr\u00fcn ayn\u0131 \u015fekilde sar\u0131l\u0131 oldu\u011fu, benzer fig\u00fcrlerle d\u00fczlem doldurma olarak tan\u0131mlam\u0131\u015ft\u0131. Ayr\u0131ca Escher gibi bu \u015fekilde ba\u011flant\u0131land\u0131r\u0131lan ve yans\u0131ma simetrisi olmayan asimetrik fig\u00fcrlerin k\u00f6\u015felerindeki ko\u015fullar\u0131 karakterize etmekle ilgiliydi. Tam olarak 28 \u00e7e\u015fit bu t\u00fcr fig\u00fcr oldu\u011funu ispatlad\u0131 ve 1963\u2019te Otto Kienzle ile birlikte yazd\u0131\u011f\u0131 kitab\u0131nda, bunlar\u0131n bir g\u00f6rsel \u00e7izelgesini g\u00f6sterdi. Kitab\u0131, o d\u00f6nemde \u00e7ok hasta olan Escher\u2019e g\u00f6nderdi; fakat Escher i\u00e7in bu bilgi kendi ke\u015fiflerinden 20 sene sonra gelmi\u015fti.<\/p>\n

Escher\u2019in ya\u015fam\u0131n\u0131n kalan iki y\u0131l\u0131nda, matematik \u00f6\u011fretmeni Hans de Rijk, sanat\u00e7\u0131yla, \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131n arka plan\u0131nda yatan matemati\u011fi \u00f6zel bir dikkat g\u00f6stererek yorumlayan bir kitap yazmak i\u00e7in i\u015fbirli\u011fi yapt\u0131. Her pazar ka\u00e7\u0131rmadan birlikte zaman ge\u00e7irdiler. Bu kitab\u0131n ve Escher\u2019in grafik \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131na dair a\u00e7\u0131klay\u0131c\u0131 bir katalogun her ikisi de 1976\u2019da, sanat\u00e7\u0131n\u0131n \u00f6l\u00fcm\u00fcnden 4 y\u0131l sonra yay\u0131mland\u0131 ve Escher\u2019in baz\u0131lar\u0131 geometrik birer mucize olan bask\u0131lar\u0131n\u0131n zahmetli ilksel \u00e7izimleri ilk kez g\u00f6zler \u00f6n\u00fcne serildi.<\/p>\n

Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131 matematiksel fikirlerin \u00f6\u011fretilmesinde kullan\u0131ld\u0131<\/strong><\/p>\n

Escher \u00f6\u011fretmenlik rol\u00fcn\u00fc seviyordu; farkl\u0131 t\u00fcrden dinleyicilere dersler verdi; bilimsel toplant\u0131larda, \u00f6\u011frencilere, m\u00fcze ziyaret\u00e7ilerine, hatta Rotary Kul\u00fcpleri\u2019nde bile. Derste kulland\u0131\u011f\u0131 poster (Fig\u00fcr 9), be\u015f farkl\u0131 tasvirde bir fig\u00fcr\u00fc ba\u015fka bir fig\u00fcre d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fcr\u00fcrken \u00f6telemelerin, d\u00f6n\u00fc\u015flerin ve \u00f6telemeli yans\u0131malar\u0131n etkinli\u011fini nas\u0131l anlatt\u0131\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6sterir. Say\u0131lar bir fig\u00fcr\u00fcn \u00e7e\u015fitli y\u00f6nlerini tan\u0131mlar, \u00e7emberler ve kareler iki katl\u0131 ve d\u00f6rt katl\u0131 d\u00f6n\u00fc\u015f merkezlerini s\u0131ras\u0131yla tan\u0131mlar ve kom\u015fu kesik \u00e7izgiler bir fig\u00fcr\u00fcn kayabilece\u011fi ve (e\u015fit uzakl\u0131kta bir \u00e7izgide) daha sonra yans\u0131yabilece\u011fi raylar olarak rol oynar. Escher izometrilerin nas\u0131l hareket etti\u011fini g\u00f6sterebilmek i\u00e7in bu fig\u00fcrlerin \u015fekillerinde d\u00fczle\u015ftirilmi\u015f tel ask\u0131larda parlak renkli mukavva kesiklerini kullanm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 9: Escher\u2019in d\u00fczlemin d\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnmesi derslerinin slayt\u0131, 5 tane \u201cd\u00f6rtkenarl\u0131 sistem\u201d g\u00f6steriliyor.<\/figcaption><\/figure>\n

Escher\u2019in kitab\u0131 1960\u2019ta Hollanda\u2019da yay\u0131mland\u0131\u011f\u0131nda \u00f6ns\u00f6zde kristalograf P. Terpstra\u2019n\u0131n, simetriye ve 17 d\u00fczlemsel simetri gruplar\u0131na dair k\u0131sa bir yaz\u0131s\u0131 bulunuyordu. \u0130ngilizce \u00e7eviride yay\u0131mlanan bu yaz\u0131 ayr\u0131 bir kitap\u00e7\u0131k gibiydi, Amerikan bask\u0131s\u0131nda hi\u00e7 bulunmuyordu. A\u00e7\u0131kt\u0131r ki yay\u0131nc\u0131, Escher gibi, \u00e7ok teknik oldu\u011funu d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcyordu.<\/p>\n

Amsterdam \u00dcniversitesi\u2019nden kristalograf Caroline MacGillavry, Escher\u2019in sanat\u0131n\u0131n bir metinde \u00f6\u011fretim arac\u0131 olarak kullan\u0131lma ihtimalini g\u00f6ren ilk biliminsan\u0131yd\u0131. 1950\u2019lerin sonlar\u0131nda st\u00fcdyosunu ilk kez ziyaret etti\u011finde hayranl\u0131k duydu: \u201c\u2018Alayl\u0131 teorisi\u2019ni not etti\u011fi defteri benim i\u00e7in vahiy gibi oldu. Pratikte, \u00f6telemeli yans\u0131ma i\u00e7ersin veya i\u00e7ermesin, 2, 3 ve 6 renkli b\u00fct\u00fcn d\u00f6n\u00fc\u015fsel iki boyutlu gruplar\u0131 i\u00e7eriyordu.\u201d Bu ziyaret, \u00f6\u011frenime yeni ba\u015flayan jeoloji \u00f6\u011frencilerine renkli periyodik desenlerin simetrilerine g\u00f6re s\u0131n\u0131fland\u0131r\u0131lmas\u0131n\u0131 \u00f6\u011fretmek i\u00e7in Escher ile i\u015fbirli\u011fi yapma fikrinin do\u011fmas\u0131na yol a\u00e7t\u0131. Uluslararas\u0131 Kristalografi Birli\u011fi yay\u0131na sponsor olmay\u0131 kabul etti. MacGillavry kitab\u0131n \u00f6ns\u00f6z\u00fcnde \u015funu not etti:<\/p>\n

\u201cEscher\u2019in periyodik \u00e7izimleri, simetriyi \u00f6\u011fretmek i\u00e7in harika bir materyal. Bu desenler, kristalografi s\u0131n\u0131flar\u0131n\u0131n \u00f6\u011fretmenleri taraf\u0131ndan tahtaya \u00e7izilen atom rol\u00fc yapan beceriksiz k\u00fc\u00e7\u00fck \u00e7emberler dizisiyle belirsizle\u015fmi\u015f \u00f6teleme ve di\u011fer simetrilerin temel kavramlar\u0131n\u0131, a\u00e7\u0131k\u00e7a tasvir etmek i\u00e7in yeterliydi. Di\u011fer taraftan tasar\u0131mlar\u0131n \u00e7o\u011funlu\u011fu alanda yeni ba\u015flayan bir \u00f6\u011frenci i\u00e7in \u00e7ok b\u00fcy\u00fck zorluk g\u00f6stermiyordu.\u201d<\/p>\n

Escher\u2019in periyodik \u00e7izimler deposunu g\u00f6zden ge\u00e7irirken hi\u00e7bir renk simetrisi olmayan en basit simetri gruplar\u0131ndan birinin temsil edilmedi\u011fini fark etti. Onun iste\u011fi \u00fczerine Escher bo\u015flu\u011fu doldurmak \u00fczere yeni bir simetri \u00e7izimi \u00fcretti. Ayr\u0131ca gene talep edilen bir ba\u015fka tipi \u00fcretti ve baz\u0131 ba\u015fkalar\u0131n\u0131 yay\u0131mlanmas\u0131 i\u00e7in tekrar \u00e7izdi.<\/p>\n

Coxeter muhtemelen (Hollanda d\u0131\u015f\u0131nda) Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 bir matematik metnini tasvir etmek i\u00e7in kullanan ilk matematik\u00e7iydi. Introduction to Geometry (Geometri\u2019ye Giri\u015f) 1961\u2019de ilk yay\u0131mland\u0131\u011f\u0131nda, Escher\u2019in simetri \u00e7izimleriyle tasvir etti\u011fi simetriyi ve d\u00fczlemsel mozaikleri i\u00e7eren, standart olmayan konular\u0131yla al\u0131\u015f\u0131lmad\u0131k bir kitapt\u0131. Martin Gardner Scientific American\u2019daki \u201cMatematik Oyunlar\u0131\u201d k\u00f6\u015fesinin bir tanesini kitab\u0131n tan\u0131t\u0131m\u0131na ay\u0131rd\u0131 ve \u00e7izimleri tekrar yay\u0131mlayarak Escher\u2019in \u00e7izimlerini bilim d\u00fcnyas\u0131n\u0131n ilgisine sundu. Bu, \u00e7e\u015fitli d\u00fczeylerde matematik \u00f6\u011fretmeye y\u00f6nelik metinlerin ve makalelerin Escher\u2019in periyodik \u00e7izimlerini kullanmas\u0131ndan \u00e7ok \u00f6nce de\u011fildi. D\u00fczlemsel izometriler, benzerlikler ve simetrinin temel kavramlar\u0131 Escher\u2019in simetri \u00e7izimlerinin harika tasvirler sa\u011flad\u0131\u011f\u0131 belirgin konulard\u0131, ama \u00e7izimler soyut cebir ve grup teorisinin y\u00fcksek d\u00fczey kavramlar\u0131n\u0131n \u00f6\u011fretilmesinde de kullan\u0131labiliyordu. Majorie Senechal, Escher\u2019in periyodik \u00e7izimlerindeki renkli simetri gruplar\u0131n\u0131 \u00e7al\u0131\u015farak bir grubun tan\u0131m\u0131n\u0131, de\u011fi\u015fmeli olup olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131, grup etkisini, y\u00f6r\u00fcngeleri (orbitleri), \u00fcrete\u00e7leri, altgruplar\u0131, kosetleri, e\u015flenikleri, normal altgruplar\u0131, stabilizat\u00f6rleri, perm\u00fctasyonlar\u0131 ve perm\u00fctasyon g\u00f6sterimlerini ve grup geni\u015flemelerini \u00f6\u011frencilerin nas\u0131l daha iyi anlayabilece\u011fini tart\u0131\u015f\u0131yordu.<\/p>\n

Matematik ve bilim \u00f6\u011fretmenleri (ve metinleri) Escher\u2019in bask\u0131lar\u0131n\u0131, matematiksel nesnelerin (d\u00fc\u011f\u00fcmler, M\u00f6bius \u015feritleri, spiraller, loksodromlar, fraktallar, \u00e7oky\u00fczl\u00fcler, uzay b\u00f6l\u00fcmleri) sanatsal tasvirleri i\u00e7in ve soyut matematiksel kavramlar (sonsuzluk, d\u00fcalite, yans\u0131ma, g\u00f6relilik, kendine g\u00f6ndergeli \u00f6nerme, rek\u00fcrsiyon, topolojik de\u011fi\u015fim gibi) i\u00e7in ilgi \u00e7ekici g\u00f6rsel metaforlar sa\u011flamak amac\u0131yla kullan\u0131yor. Pulitzer \u00d6d\u00fcl\u00fc kazanan G\u00f6del, Escher, Bach: Bir Ebedi G\u00f6k\u00e7e Belik adl\u0131 kitab\u0131nda Douglas Hofstadter, rek\u00fcrsiyon ve kendine g\u00f6ndergeli \u00f6nerme kavramlar\u0131n\u0131 ifade etmek i\u00e7in Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 kulland\u0131. Daha bir\u00e7ok yazar Escher\u2019in bask\u0131lar\u0131n\u0131 alg\u0131 ve ill\u00fczyona ait karma\u015f\u0131k fikirleri tasvir etmek i\u00e7in kulland\u0131.<\/p>\n

Sanat\u0131 yorumlayanlar yorumlar\u0131na sanat\u00e7\u0131lar\u0131n niyet okumalar\u0131n\u0131 eklerler. Matematik\u00e7ilerin Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 sonsuzluk fikrini ve di\u011fer matematiksel kavramlar\u0131 tasvir etmek i\u00e7in kullanmas\u0131 sorgulanabilir. Ancak Escher\u2019in bu kavramlarla el alt\u0131ndan u\u011fra\u015ft\u0131\u011f\u0131 ve bir\u00e7ok \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131 olu\u015ftururken kulland\u0131\u011f\u0131 not edilmelidir. Sonsuzlu\u011fa duydu\u011fu hayranl\u0131k ve onu nas\u0131l yakalayabilece\u011fi tekrar tekrar d\u00f6nd\u00fc\u011f\u00fc bir konuydu. Sorgulamas\u0131n\u0131 \u201cSonsuzlu\u011fa Yakla\u015f\u0131mlar\u201d isimli eserinde ustal\u0131kla anlatm\u0131\u015ft\u0131r:<\/p>\n

\u201c\u0130nsan\u0131n elinden zaman\u0131n bir g\u00fcn durabilece\u011fini hayal etmek gelmez. Bizim i\u00e7in, bu d\u00fcnya kendi ekseni etraf\u0131nda ve G\u00fcne\u015f\u2019in etraf\u0131nda d\u00f6nmeyi b\u0131raksa da, art\u0131k g\u00fcnler ve geceler, yazlar ve k\u0131\u015flar olmasa da, zaman sonsuza kadar akmaya devam edecek.<\/p>\n

\u201cDurmadan daha ileriye ve daha ileriye, hem zaman hem uzayda sonsuzlu\u011fa dalan kimse sabit noktalara, kilometre ta\u015flar\u0131na ihtiya\u00e7 duyar; yoksa hareketi dura\u011fanl\u0131ktan ay\u0131rt edilemez. Takip edebilece\u011fi y\u0131ld\u0131zlar, hareketini \u00f6l\u00e7mek i\u00e7in deniz fenerlerine ihtiya\u00e7 vard\u0131r. Evrenini verilen uzunluklarda uzakl\u0131klara b\u00f6lmeli, bitmez bir ard\u0131\u015f\u0131kl\u0131kla tekrarlayan b\u00f6lmelere ay\u0131rmal\u0131d\u0131r. Bir b\u00f6lmeden di\u011ferine ge\u00e7erken saati tik-tak eder.\u201d<\/p>\n

Escher i\u00e7in matematiksel kavramlar, \u00f6zellikle sonsuzluk ve d\u00fcalite, sanatsal ilham i\u00e7in sabit birer kaynakt\u0131.<\/p>\n

Escher\u2019den etkilenmi\u015f ve ilham alm\u0131\u015f matematiksel ara\u015ft\u0131rmalar<\/strong><\/p>\n

Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131n\u0131n \u00e7e\u015fitli y\u00f6nleri bilim toplulu\u011funun \u00fcyelerine teorik ara\u015ft\u0131rmalarda on y\u0131llard\u0131r yol g\u00f6sterici olmaktad\u0131r. Ve \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131ndan baz\u0131lar\u0131 matematiksel ara\u015ft\u0131rmalara do\u011frudan ilham vermi\u015ftir. Buraya bu ara\u015ft\u0131rmalar\u0131n bir k\u0131sm\u0131n\u0131 (zorunlu olarak k\u0131saca) not ediyoruz.<\/p>\n

\u201cD\u00fczenli\u201d desenlerin fig\u00fcrlerin k\u00f6\u015felerine ba\u011fl\u0131 ili\u015fkilere g\u00f6re s\u0131n\u0131fland\u0131r\u0131lmas\u0131 Escher\u2019in ve ayn\u0131 zamanda H. Heesch\u2019in y\u00f6ntemiydi, ancak yans\u0131ma olmayan simetri gruplar\u0131 i\u00e7eren asimetrik fig\u00fcrler ve desenlerle s\u0131n\u0131rl\u0131yd\u0131. 1970\u2019lerde Branko Gr\u00fcnbaum ve Geoffrey Shephard desenin simetri grubuna g\u00f6re ge\u00e7i\u015flilik \u00f6zelli\u011fine ili\u015fkin \u00e7ok \u00e7e\u015fitli desenlerin sistematik s\u0131n\u0131fland\u0131rmas\u0131n\u0131 \u00e7al\u0131\u015ft\u0131 – izohedral (fig\u00fcr-ge\u00e7i\u015fli), izogonal (tepe ge\u00e7i\u015fli), izotoksal (k\u00f6\u015fe ge\u00e7i\u015fli). Y\u00f6ntemleri, her fig\u00fcr\u00fcn etraf\u0131n\u0131n nas\u0131l sar\u0131ld\u0131\u011f\u0131n\u0131 kaydetmek i\u00e7in biti\u015fiklik ve olu\u015fum sembolleri kullanmaya dayan\u0131yordu; ge\u00e7i\u015flilik \u015fart\u0131 her fig\u00fcr\u00fcn etraf\u0131n\u0131n ayn\u0131 \u015fekilde sar\u0131lmas\u0131n\u0131 gerektiriyordu. \u00c7al\u0131\u015fmalar\u0131, desenlerin t\u00fcm y\u00f6nleriyle ilgili temel referans kitab\u0131 olarak kalm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

2 renkli ve 2 motifli desenler Escher\u2019in d\u00fcaliteyi anlatmak i\u00e7in kulland\u0131\u011f\u0131 yollard\u0131. 2 renk simetri gruplar\u0131n\u0131n ilk s\u0131n\u0131fland\u0131rmas\u0131n\u0131n 1936\u2019da tekstil tasar\u0131mlar\u0131 i\u00e7in bu siyah beyaz mozaiklerle ilgilenen H. J. Woods taraf\u0131ndan yap\u0131ld\u0131\u011f\u0131n\u0131 not etmek (neredeyse ayn\u0131 zamanlarda Escher kendi ba\u011f\u0131ms\u0131z ara\u015ft\u0131rmas\u0131n\u0131 yap\u0131yordu) ilgin\u00e7tir. Monohedral (bir fig\u00fcrl\u00fc) desen iki renkli olarak kullan\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda ve desenin simetrisi, fig\u00fcrleri ve renkleri de\u011fi\u015ftirildi\u011finde buna \u201ckar\u015f\u0131t de\u011fi\u015fme simetrisi\u201d diyordu (\u00d6rne\u011fin d\u00fczlemin satran\u00e7 tahtas\u0131 gibi karelerle renklendirildi\u011fi bir desende, desenin, bir kare s\u00fctununun k\u00f6\u015fesindeki yans\u0131mas\u0131 kar\u015f\u0131 de\u011fi\u015fme simetrisidir). Bilim toplulu\u011fu ve Escher\u2019in, Woods\u2019\u0131n \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131ndan haberi yoktu. Daha sonra, Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131nda da \u00e7ok bask\u0131n olan bu t\u00fcr simetri, Rus kristalograflar taraf\u0131ndan \u201canti-imetri\u201d olarak adland\u0131r\u0131ld\u0131. Bu terminoloji g\u00fcn\u00fcm\u00fczde kullan\u0131lmamaktad\u0131r. Escher baz\u0131 kristolograflar\u0131n antisimetri kavram\u0131n\u0131 kabul etme konusunda sorunlar\u0131 oldu\u011funu, ama kendisinin onsuz yapamad\u0131\u011f\u0131n\u0131 not etmi\u015fti.<\/p>\n

\"\"
Fig\u00fcr 10: Atl\u0131\u2019n\u0131n ba\u015flang\u0131c\u0131.<\/figcaption><\/figure>\n

Escher\u2019in, fig\u00fcrleri 2 motifli desenler elde etmek i\u00e7in b\u00f6lmesinin g\u00fc\u00e7l\u00fc bir y\u00f6ntem oldu\u011fu g\u00f6sterilmi\u015ftir. Bug\u00fcn, 2-izohedral terimi desenin simetri grubunun iki y\u00f6r\u00fcnge yaratt\u0131\u011f\u0131 desenleri tan\u0131mlamak i\u00e7in kullan\u0131l\u0131r – desenin simetri grubuna g\u00f6re birbirinden ayr\u0131 2 fig\u00fcr s\u0131n\u0131f\u0131 bulunmaktad\u0131r. Her 2-izohedral desenin, bir izohedral desen ile ba\u015flan\u0131p kesme ve yap\u0131\u015ft\u0131rma i\u015flemleriyle t\u00fcretilebilece\u011fi ispatlanm\u0131\u015ft\u0131r ve bu ayn\u0131 i\u015flem k-izohedral desenler \u00fcretmek i\u00e7in geni\u015fletilebilir. Andreas Dress ve ben bu desenlerin di\u011fer y\u00f6nleriyle ilgili \u00e7al\u0131\u015ft\u0131k.<\/p>\n

Renk simetrisi 1950\u2019lere kadar kristalograflar\u0131n ciddi bir ilgi alan\u0131 de\u011fildi; sonralar\u0131 bile kolayl\u0131kla benimsenmedi ve renk simetri gruplar\u0131n\u0131n sistematik olarak \u00e7al\u0131\u015f\u0131lmas\u0131 i\u00e7in uzun y\u0131llar gerekti. Kristalograflar ve matematik\u00e7iler renk simetri gruplar\u0131n\u0131 ara\u015ft\u0131rmaya ba\u015flad\u0131klar\u0131nda tasvirler ve ke\u015fifler i\u00e7in (Caroline MacGillavry gibi) Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131na d\u00f6nd\u00fcler. Bug\u00fcn bile renk simetri gruplar\u0131 i\u00e7in birbiriyle yar\u0131\u015fan notasyonlar vard\u0131r.<\/p>\n

Metamorphosis ya da topolojik de\u011fi\u015fim Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131ndaki anahtar temalardan biriydi. Birbirlerine ba\u011flanm\u0131\u015f varl\u0131klar\u0131 \u00e7o\u011funlukla paralel kenar olarak ba\u015fl\u0131yordu; kareler, \u00fc\u00e7genler ya da alt\u0131genler, Plate I\u2019deki g\u00f6rsel g\u00f6sterimindeki gibi sorunsuz bir \u015fekilde arkada yatan \u00f6rg\u00fcy\u00fc koruyarak tan\u0131d\u0131k \u015fekillere d\u00f6n\u00fc\u015f\u00fcyordu. Ba\u015fka eserlerde varl\u0131klar\u0131n metamorfozu, Metamorphosis III\u2019te g\u00f6r\u00fclebilece\u011fi gibi \u00f6rg\u00fcy\u00fc de de\u011fi\u015ftiriyordu. William Huff\u2019\u0131n tasar\u0131m st\u00fcdyosu \u00f6rg\u00fc yap\u0131s\u0131n\u0131 koruyan ilgi \u00e7ekici \u201cparke deformasyonu\u201d \u00f6rnekleri \u00fcretmi\u015ftir ve daha yak\u0131n bir zamanda Craig Kaplan, Escher taraf\u0131ndan yap\u0131lan deformasyon \u00e7e\u015fitlerini ara\u015ft\u0131rm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

Y\u00fczeyleri simetrik desenlerle kaplama Escher\u2019in tutkusuydu -\u00d6klid d\u00fczlemi, hiperbolik d\u00fczlem, k\u00fcre y\u00fczeyleri ve silindirler- ve her zaman bu kaplamalar desenli y\u00fczeylerin \u00f6nemsiz olmayan simetri gruplar\u0131n\u0131 temsil ediyordu. Douglas Dunham, Escher tarz\u0131 hiperbolik d\u00fczlem desenlerini ve onlar\u0131 bilgisayarda nas\u0131l g\u00f6sterebilece\u011fini ara\u015ft\u0131rd\u0131. Ba\u015fkalar\u0131 farkl\u0131 y\u00fczeylerin nas\u0131l periyodik tasar\u0131mlarla kaplanabilece\u011fini \u00e7al\u0131\u015ft\u0131 ve bazen \u201cHangi simetri gruplar\u0131 bu kaplamalar\u0131 temsil ediyor?\u201d diye sordular.<\/p>\n

Escher\u2019in dekore edilmi\u015f karelerle desenler \u00fcretme algoritmas\u0131, matematik\u00e7ilere ve bilgisayar bilimcilerine \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131n\u0131 tetkik etmek ve sorulara yan\u0131t vermek i\u00e7in kombinatorik teknikleri ve bilgisayar tekniklerini kullanma konusunda ilham verdi. Ba\u015fka sorular da sorulmu\u015f ve yan\u0131tlanm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

Fig\u00fcr \u015fekiller \u00fcretmek Escher\u2019in neredeyse bir saplant\u0131s\u0131yd\u0131. D\u00fczenli bir b\u00f6l\u00fcnme \u00fcretebilece\u011fini bildi\u011fi tek bir fig\u00fcrle ba\u015flayabiliyordu (\u00e7o\u011funlukla bir \u00e7ok kenarl\u0131yla) ve sonra s\u0131n\u0131r\u0131 b\u00fcy\u00fck zahmetle tan\u0131nan bir \u015fekle \u00e7eviriyordu. Escher\u2019den ba\u015fka kim Fig\u00fcr 10\u2019daki \u00e7okgeni mi\u011fferli bir atl\u0131ya benzetebilirdi ki?<\/p>\n

\u201c\u0130ki kom\u015fu \u015fekil aras\u0131ndaki s\u0131n\u0131r \u00e7izgisinin ikili bir i\u015flevi vard\u0131r, b\u00f6yle bir \u00e7izginin izini s\u00fcrmek karma\u015f\u0131k bir i\u015ftir. Her iki taraf\u0131nda da, ayn\u0131 anda, bir tan\u0131n\u0131rl\u0131k ortaya \u00e7\u0131kar. Ancak insan g\u00f6z\u00fc ve zihni ayn\u0131 anda iki \u015feyle me\u015fgul olamaz ve bu y\u00fczden bir taraftan di\u011ferine h\u0131zl\u0131 ve s\u00fcrekli bir atlama olmal\u0131d\u0131r.\u201d(5)<\/sup><\/p>\n

Escher\u2019in i\u015flemini bir bilgisayar program\u0131yla ger\u00e7ekle\u015ftiren ilk ki\u015fi Kevin Lee\u2019ydi. Craig Kaplan ve David Salesin tamamlay\u0131c\u0131 bir soruya kar\u015f\u0131l\u0131k olarak bir bilgisayar program\u0131 olu\u015fturdular; herhangi bir \u015fekille ba\u015flanarak, bu \u015fekil kibarca deforme edilerek (h\u00e2l\u00e2 tan\u0131n\u0131r \u015fekilde) izohedral desen olu\u015fturabilecek bir fig\u00fcre d\u00f6n\u00fc\u015ft\u00fcr\u00fclebilir mi?<\/p>\n

D\u00fczenlili\u011fin yerel ve k\u00fcresel tan\u0131m\u0131 Escher\u2019in ilgi alan\u0131nda de\u011fildi, her fig\u00fcr\u00fcn ayn\u0131 \u015fekilde \u00e7evrelenebilece\u011fi y\u00f6n\u00fcndeki yerel kural\u0131 takip etti. Ancak Escher\u2019in \u201cd\u00fczenli b\u00f6l\u00fcnme\u201dlerinin her biri bir izohedral desendi; simetri grubunun fig\u00fcrler \u00fczerinde ge\u00e7i\u015fli oldu\u011fu y\u00f6n\u00fcndeki evrensel d\u00fczenlilik \u015fart\u0131n\u0131 sa\u011fl\u0131yordu. Bir izohedral desen yerel d\u00fczenlili\u011fe sahip olmak zorunda m\u0131d\u0131r, bu iki tan\u0131m denk midir? \u00d6klid d\u00fczleminde, evet, en az\u0131ndan asimetrik fig\u00fcrler ve \u00e7okgenlerle k\u00f6\u015feden k\u00f6\u015feye desenler i\u00e7in, ama hiperbolik d\u00fczlemlerde veya daha y\u00fcksek boyutlarda oldu\u011fu gibi de\u011fil. P. Engel de bu soruya yan\u0131t arar.<\/p>\n

Kendi deseniyle simetri \u00fcreten bir fig\u00fcr\u00fcn simetrisiyle Escher taraf\u0131ndan y\u00fczle\u015filmi\u015f ve not edilmi\u015fti. Yans\u0131ma simetrisine sahip bir fig\u00fcr kulland\u0131\u011f\u0131nda (ejderha gibi), desenlerin simetrileri benzeri yans\u0131malara neden olmu\u015ftu. Fig\u00fcr\u00fcn simetrik oldu\u011funu not etmi\u015f ve s\u0131n\u0131fland\u0131rma sembol\u00fcn\u00fcn yan\u0131na bir y\u0131ld\u0131z i\u015fareti koymu\u015ftu. Ancak birka\u00e7 \u00f6rnekte fig\u00fcr\u00fcn neredeyse simetrik (ya da k\u00fc\u00e7\u00fck bir de\u011fi\u015fimle simetrik olabilecek) oldu\u011fu, ancak fig\u00fcr i\u00e7in yans\u0131ma \u00e7izgisinin desenlerden herhangi biri i\u00e7in yans\u0131ma \u00e7izgisi olmad\u0131\u011f\u0131 bir desen yaratt\u0131. Branko Gr\u00fcnbaum bu tarz fig\u00fcrlere \u201chipersimetrik\u201d ad\u0131n\u0131 vermi\u015f ve karakterize edilip edilemediklerini sorgulam\u0131\u015ft\u0131r. Bu yan\u0131tlanmam\u0131\u015f bir sorudur.<\/p>\n

Simetri gruplar\u0131 taraf\u0131ndan olu\u015fturulmayan d\u00fczenlilik Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131nda en az\u0131ndan iki kez ortaya \u00e7\u0131km\u0131\u015ft\u0131r: Azalan boyutlardaki karelerin fraktal konstr\u00fcksiyonunda ve kombinatorik olarak kusursuz ama renk simetrisi olarak kusursuz olmayan kelebeklerle yapt\u0131\u011f\u0131 en karma\u015f\u0131k tasar\u0131mlar\u0131ndan birinde. Branko Gr\u00fcnbaum sadece simetri gruplar\u0131 taraf\u0131ndan tan\u0131mlananlar haricinde, di\u011fer desenlerde ve \u00e7izimlerde farkl\u0131 \u201cd\u00fczenlilik\u201dlerle ilgili ciddi \u00e7al\u0131\u015fmalar yapm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

Escher\u2019in litograf\u0131 \u201cPrint Gallery\u201dyi tamamlamak H. Lenstra ve B. de Smit i\u00e7in yak\u0131n d\u00f6nemde bir matematiksel meydan okuma oldu. Arka planda yatan geometrik \u201ca\u011f\u201d\u0131 nas\u0131l anlad\u0131klar\u0131, nas\u0131l \u00e7\u00f6zd\u00fckleri, \u00e7\u00f6z\u00fclm\u00fc\u015f \u00e7izimdeki eksik harfleri nas\u0131l tamamlad\u0131klar\u0131 ve tekrar nas\u0131l olu\u015fturduklar\u0131 bir makalede anlat\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

1960\u2019ta Escher \u201cger\u00e7ek bilimlerde hem \u00f6\u011fretim hem bilgi olarak cahil olsam da, meslekta\u015f\u0131m sanat\u00e7\u0131lara k\u0131yasla matematik\u00e7ilerle daha \u00e7ok ortak noktam bulunuyor\u201d demi\u015fti. Bir \u00f6\u011frenci olarak matematikle \u00e7at\u0131\u015fm\u0131\u015f olsa da, bir grafik sanat\u00e7\u0131s\u0131 oldu\u011funda matematiksel ara\u015ft\u0131rma y\u00fcr\u00fctmeye, yeni geometrik fikirler \u00f6\u011frenmeye, matematiksel kavramlar\u0131 tasvir etmeye ve matematikle ilgili sorular sormaya itilmi\u015fti. \u00c7al\u0131\u015fmalar\u0131n\u0131n bilim toplulu\u011fu i\u00e7in yaratt\u0131\u011f\u0131 etkinin \u00f6l\u00e7e\u011fini tahmin bile edemezdi.<\/p>\n

Dipnotlar<\/strong><\/p>\n

1) G. Escher, \u201cM. C. Escher at work\u201d; H. S. M. Coxeter, M. Emmer, R. Penrose, and M. L. Teuber, eds. M. C. Escher: Art and Science, North-Holland, Amsterdam, 1986 i\u00e7inde, s.1-11.<\/p>\n

2) F. H. Bool, J. R. Kist, J. L. Locher, and F. Wierda, M. C. Escher: His Life and Complete Graphic Work, Harry N. Abrams, New York, l982, Abradale Press, 1992, s.15.<\/p>\n

3) Escher\u2019in \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131ndan olu\u015fan 1995\u2019de Ottawa\u2019da Kanada Ulusal Galerisi\u2019nde d\u00fczenlenen bir serginin ba\u015fl\u0131\u011f\u0131 \u201cM. C Escher: Do\u011fa Manzaralar\u0131ndan Fikir Manzaralar\u0131na\u201dyd\u0131.<\/p>\n

4) ) Escher\u2019in renkli d\u00fczlem doldurma \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131 mozaik, periyodik \u00e7izimler, \u00e7ini ve simetri \u00e7izimleri olarak adland\u0131r\u0131l\u0131yor; ben simetri \u00e7izimleri tan\u0131m\u0131n\u0131 tercih ediyorum.<\/p>\n

5) C. H. MacGillavry, Symmetry Aspects of M. C. Escher\u2019s Periodic Drawings, Oosthoek, Utrecht, 1965, s.7.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Escher \u201cGer\u00e7ek bilimlerde hem \u00f6\u011fretim hem bilgi olarak cahil olsam da, meslekta\u015f\u0131m sanat\u00e7\u0131lara k\u0131yasla matematik\u00e7ilerle daha \u00e7ok ortak noktam bulunuyor\u201d demi\u015fti. Bir \u00f6\u011frenci olarak matematikle \u00e7at\u0131\u015fm\u0131\u015f olsa da, bir grafik sanat\u00e7\u0131s\u0131 oldu\u011funda matematiksel ara\u015ft\u0131rma y\u00fcr\u00fctmeye, yeni geometrik fikirler \u00f6\u011frenmeye, matematiksel kavramlar\u0131 tasvir etmeye ve matematikle ilgili sorular sormaya itilmi\u015fti. \u00c7al\u0131\u015fmalar\u0131n\u0131n bilim toplulu\u011fu i\u00e7in yaratt\u0131\u011f\u0131 etkinin […]<\/p>\n","protected":false},"author":463,"featured_media":20990,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[173,1464,25,562],"tags":[2528,208,370,695],"class_list":["post-20989","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-136-sayi","category-dosya","category-matematik","category-sanat","tag-escher","tag-matematik","tag-resim","tag-sanat"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t