{"id":23494,"date":"2015-03-01T17:18:39","date_gmt":"2015-03-01T15:18:39","guid":{"rendered":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/?p=23494"},"modified":"2018-04-17T17:18:52","modified_gmt":"2018-04-17T14:18:52","slug":"torbada-kac-top-kalir-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/2015\/03\/01\/torbada-kac-top-kalir-2","title":{"rendered":"Torbada ka\u00e7 top kal\u0131r?"},"content":{"rendered":"<p>Matematik K\u00f6y\u00fc\u2019nde matematik yapman\u0131n a\u015fk\u0131nl\u0131\u011f\u0131n\u0131n ya\u015fand\u0131\u011f\u0131 bir ak\u015fam yeme\u011finde Ali Nesin sormu\u015ftu bu soruyu: <em>\u0130\u00e7inde n\u00a0<\/em><em>\u00a0tane siyah, n<\/em><em>\u00a0tane beyaz top bulunan bir torbadan birer birer rastgele top \u00e7ekiyoruz. Torbada sadece bir renkten top ya da toplar kald\u0131\u011f\u0131nda duruyoruz. Bu durumda torbada ka\u00e7 top kal\u0131r? n<\/em><em>\u00a0\u00e7ok b\u00fcy\u00fck bir say\u0131 oldu\u011funda torbada kalan top say\u0131s\u0131 a\u015fa\u011f\u0131 yukar\u0131, yakla\u015f\u0131k olarak ka\u00e7t\u0131r?<\/em><\/p>\n<p>Yemekte, sonucu sezgisel olarak tahmin etmeye \u00e7al\u0131\u015fm\u0131\u015ft\u0131k, ama hesaplar i\u00e7in k\u00e2\u011f\u0131t kalem gerekiyordu. Daha sonra bu soruyu Matematik D\u00fcnyas\u0131 dergisinde Ali Nesin\u2019in Evsel At\u0131k mahlas\u0131yla ele ald\u0131\u011f\u0131n\u0131 ve sorunun Serdar Bozta\u015f taraf\u0131ndan bir e-posta grubunda sorulup \u00e7\u00f6z\u00fcm \u00fczerine tart\u0131\u015f\u0131ld\u0131\u011f\u0131n\u0131 \u00f6\u011frendim. Merakl\u0131s\u0131 i\u00e7in e\u015fsiz g\u00fczellikte olan bu \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fcn bir b\u00f6l\u00fcm\u00fcn\u00fc baz\u0131 ekler yaparak Bilim ve Gelecek okurlar\u0131yla payla\u015fmak istiyorum.<\/p>\n<p>\u00d6ncelikle belirtmek gerekir ki, \u00a0torbada ortalama ka\u00e7 top kalaca\u011f\u0131n\u0131 hesaplama y\u00f6nteminin matematiksel ad\u0131 <em>beklentidir<\/em>. \u00a0Bu oyundaki beklentiyi \u015f\u00f6yle hesaplayaca\u011f\u0131z: Oyunun belli bir an\u0131nda torbada ayn\u0131 renkteki top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 p ve kalan top say\u0131s\u0131 k ise beklenti p x k\u2019dir.<\/p>\n<p>\u015eimdi, n tane siyah, n tane beyaz top olan torbaya d\u00f6nelim ve ortalama kalan top say\u0131s\u0131n\u0131, yani beklentiyi B(n) ile g\u00f6sterelim. Oyunda en az bir top kalaca\u011f\u0131ndan B(n)\u22651 olur. Ayr\u0131ca, B(n) ortalama top say\u0131s\u0131n\u0131 ifade etti\u011finden daima tamsay\u0131 olmayabilir.<\/p>\n<p>\u00d6nce, beklentiyi hesaplamaya k\u00fc\u00e7\u00fck say\u0131larla ba\u015flayal\u0131m. n=1 ise, yani torbada 1 siyah 1 beyaz top varsa ilk \u00e7eki\u015ften sonra 1 top kalaca\u011f\u0131ndan beklenti 1 olur. O halde B(1)=1\u2019dir.<\/p>\n<p>n=2 i\u00e7in torbada 2\u2019si siyah, 2\u2019si beyaz 4 top olur. Bu durumda torbada ayn\u0131 renkten 2 ya da 1 top kal\u0131r. 2 siyah topun kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 hesaplayal\u0131m. Toplar\u0131 torbadan \u00e7\u0131kar\u0131p BB <strong>SS <\/strong>olarak s\u0131ralad\u0131\u011f\u0131m\u0131z\u0131 varsayarsak ilk iki \u00e7ekili\u015fte beyaz \u00e7ekmeliyiz, bu olas\u0131l\u0131k<\/p>\n<p>2\/4 x 1\/3 = 1\/6<\/p>\n<p>olur. Ayn\u0131 \u015fekilde torbada 2 beyaz topun kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 da 1\/6 olaca\u011f\u0131ndan, torbada ayn\u0131 renkten iki top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 1\/3 t\u00fcr.<\/p>\n<p>\u015eimdi, son kalan topun siyah olma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 hesaplayal\u0131m. Toplar\u0131 bu kez SBB<strong>S<\/strong> ya da BSB<strong>S<\/strong> \u015feklinde s\u0131ralamal\u0131y\u0131z. Burada, sondaki siyah toptan \u00f6nce mutlaka bir beyaz topun gelmesi gerekti\u011fine dikkat etmeliyiz, \u00e7\u00fcnk\u00fc bu kez sonda 2 siyah top kalmas\u0131n\u0131 istemiyoruz. SBB<strong>S<\/strong> olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 hesaplarsak,<\/p>\n<p>2\/4 x 2\/3 x 1\/2=1\/6<\/p>\n<p>bulunur. Benzer \u015fekilde BSB<strong>S <\/strong>olma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 da 1\/6 olur. O halde torbada 1 siyah topun kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 1\/3 t\u00fcr. Beyaz top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 da ayn\u0131 \u015fekilde 1\/3 olaca\u011f\u0131ndan, torbada 1 top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 2\/3 t\u00fcr.<\/p>\n<p>Art\u0131k, n=2 i\u00e7in beklentiyi bulabiliriz:<\/p>\n<p>1\/3 x 2 + 2\/3 x 1 = 4\/3<\/p>\n<p>B\u00f6ylece B(2)=4\/3 bulduk. Acaba B(3) ka\u00e7? Biraz daha karma\u015f\u0131k bir hesapla bu soruyu da yan\u0131tlayal\u0131m.<\/p>\n<p>n=3 i\u00e7in torbada 3\u2019\u00fc siyah, 3\u2019\u00fc beyaz 6 top olur. Bu durumda torbada ayn\u0131 renkten 3,2 ya da 1 top kal\u0131r. \u00d6nce 3 siyah topun kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 hesaplayal\u0131m. Toplar BBB<strong>SSS <\/strong>olarak s\u0131ralanaca\u011f\u0131ndan istedi\u011fimiz olas\u0131l\u0131k<\/p>\n<p>3\/6 x 2\/5 x 1\/4 = 1\/20<\/p>\n<p>olur. 3 beyaz topun kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 da ayn\u0131 \u015fekilde hesaplanarak 1\/20 bulunaca\u011f\u0131ndan, torbada sonda ayn\u0131 renkten 3 top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 1\/10 dur.<\/p>\n<p>\u015eimdi, 2 siyah top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 bulal\u0131m. Bu kez toplar\u0131 BSBB<strong>SS <\/strong>\u015feklinde s\u0131ralamal\u0131y\u0131z. Oyun, torbada ayn\u0131 renkten toplar kald\u0131\u011f\u0131nda duraca\u011f\u0131ndan, 2 siyah top kalmadan oyunun sonlanmamas\u0131 i\u00e7in sondaki 2 siyah toptan \u00f6nce mutlaka bir beyaz topun gelmesi gerekiyor. Bu y\u00fczden ilk 3 topun renkleri, 2 beyaz, 1 siyah olmal\u0131d\u0131r. Bu durumdaki s\u0131ralamalar\u0131n (BSB, SBB, BBS) say\u0131s\u0131 3!\/2=3 t\u00fcr. BSBB olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 bulup 3\u2019le \u00e7arpal\u0131m:<\/p>\n<p>3\/6 x 3\/5 x 2\/4 x 1\/3 x 3 = 3\/20<\/p>\n<p>Torbada 2 beyaz topun kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 da ayn\u0131 yolla hesaplanarak 3\/20 bulunaca\u011f\u0131ndan, sonda ayn\u0131 renkten 2 top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 3\/10 dur.<\/p>\n<p>\u015eimdi, torbada 1 siyah top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 bulal\u0131m. Bu kez toplar\u0131 BBSSB<strong>S<\/strong> \u015feklinde s\u0131ralamal\u0131y\u0131z. Burada da sondaki siyah toptan \u00f6nce mutlaka bir beyaz topun gelmesi gerekiyor. Bu y\u00fczden ilk 4 topun renkleri, 2 beyaz, 2 siyah olmal\u0131d\u0131r. Bu durumdaki s\u0131ralamalar\u0131n say\u0131s\u0131<\/p>\n<p>4!\/2!2! = 6<\/p>\n<p>olaca\u011f\u0131ndan BBSSB olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 bulup 6 ile \u00e7arparak sonda 1 siyah top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 bulabiliriz.<\/p>\n<p>3\/6 x 2\/5 x 3\/4 x 2\/3 x 1\/2 x 6 = 3\/10<\/p>\n<p>Torbada 1 beyaz topun kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 da ayn\u0131 yolla hesaplanarak 3\/10 bulunaca\u011f\u0131ndan, oyunun kural\u0131na g\u00f6re sonda 1 top kalma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 3\/5 tir.<\/p>\n<p>Art\u0131k, n=3 i\u00e7in beklentiyi hesaplayabiliriz:<\/p>\n<p>1\/10 x 3 x 3\/10 x 2 x 3\/5 x 1 = 3\/2<\/p>\n<p>Burada dural\u0131m ve buldu\u011fumuz beklenti say\u0131lar\u0131n\u0131 yazal\u0131m:<\/p>\n<p>n=1 i\u00e7in B(1) =1,<\/p>\n<p>n=2 i\u00e7in B(2) =4\/3,<\/p>\n<p>n=3 i\u00e7in B(3) =3\/2,<\/p>\n<p>n=4 i\u00e7in yapt\u0131\u011f\u0131m hesab\u0131 buraya aktarmadan sonucu yaz\u0131yorum,<\/p>\n<p>B(4) = 8\/5,<\/p>\n<p>\u015eimdi a\u015fa\u011f\u0131daki say\u0131lara bakal\u0131m:<\/p>\n<p>1, 4\/3, 3\/2, 8\/5<\/p>\n<p>Acaba bu say\u0131lar bir B(n) dizisinin elemanlar\u0131 m\u0131d\u0131r? \u00a0Pozitif tamsay\u0131lardan reel say\u0131lara tan\u0131ml\u0131 bir B(n) fonksiyonu bulabilir miyiz? Elbette, bu a\u015famada bu sorulara matematiksel bir yan\u0131t vermemiz m\u00fcmk\u00fcn de\u011fil. Ama sezgisel, hatta uyduruk bir \u015fekilde bir kural bulmaya \u00e7al\u0131\u015fal\u0131m: Torbada kalan ortalama top say\u0131s\u0131n\u0131n yar\u0131s\u0131n\u0131n beyaz, di\u011fer yar\u0131s\u0131n\u0131n siyah toplara ait oldu\u011funu bildi\u011fimizden yukar\u0131daki say\u0131lardan pay\u0131 \u00e7ift say\u0131 olmayanlar\u0131 2 ile geni\u015fleterek bu say\u0131lara bir kez daha bakal\u0131m.<\/p>\n<p>2\/2, 4\/3, 6\/4, 8\/5<\/p>\n<p>Bu kesirleri paylar\u0131n\u0131 e\u015fit iki say\u0131ya ay\u0131rarak yazal\u0131m:<\/p>\n<p>1\/2+1\/2, 2\/3+2\/3, 3\/4+3\/4, 4\/5+4\/5<\/p>\n<p>Payla payda aras\u0131nda ili\u015fkiye bakarak n tane siyah, n tane beyaz top i\u00e7in<\/p>\n<p>n+n\/n+1 = 2n\/n+1<\/p>\n<p>ba\u011f\u0131nt\u0131s\u0131n\u0131n oldu\u011funu s\u00f6yleyebilir miyiz, hatta buradan torbada kalan ortalama top say\u0131s\u0131n\u0131 beyaz ve siyah top say\u0131s\u0131na g\u00f6re a\u015fa\u011f\u0131daki gibi g\u00f6sterebilir miyiz? ((n, n) ikilisinde<br \/>\nilk n, beyaz top say\u0131s\u0131n\u0131, ikincisi ise siyah top say\u0131s\u0131n\u0131 ifade etsin.)<\/p>\n<p>B(n,n) = n\/n+1 + n\/n+1 . (1)<\/p>\n<p>Elbette, yukar\u0131da sordu\u011fumuz sorunun yan\u0131t\u0131 matematiksel ba\u011flamda olumlu de\u011fil, ilk 4 deney i\u00e7in do\u011fru olan bu sonucun sonraki deneyler i\u00e7in do\u011fru olaca\u011f\u0131n\u0131 bilemeyiz.<\/p>\n<p>\u015eimdi, problemi matematiksel yakla\u015f\u0131mla ele alal\u0131m. Torbada kalan ayn\u0131 renk top say\u0131s\u0131<\/p>\n<p>B(n, n)<\/p>\n<p>olsun. \u00c7ekilen ilk topun beyaz olma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 1\/2\u00a0dir. \u0130lk top \u00e7ekildikten sonra torbada n-1 tane beyaz top kalaca\u011f\u0131ndan beklenti B(n\u20131, n)\u00a0olur. Ayn\u0131 \u015fekilde 1\/2\u00a0olas\u0131l\u0131kla \u00e7ekilen ilk top siyah ise torbada n\u20131\u00a0tane siyah top kalaca\u011f\u0131ndan beklenti\u00a0B(n, n\u20131) olur. O halde,<\/p>\n<p>B(n,n)=1\/2+B(n-1,n)+1\/2xB(n,n-1).\u00a0 (2)<\/p>\n<p>Problemin simetrisinden dolay\u0131 B(n\u20131, n) = B(n, n\u20131)\u00a0oldu\u011fundan<\/p>\n<p>B(n, n) = B(n\u20131, n) (3)<\/p>\n<p>bulunur. Bu a\u015famada (1)\u2019i (2)\u2019nin sa\u011f taraf\u0131na uygularsak (i\u015flemleri yapm\u0131yoruz) (3)\u2019\u00fc elde ediyoruz. O halde sezgisel olarak buldu\u011fumuz (1)\u00a0\u00f6nermesi do\u011fruymu\u015f, dolay\u0131s\u0131yla bu oyundaki beklenti<\/p>\n<p>B(n)=2n\/n+1<\/p>\n<p>olur. n \u00e7ok b\u00fcy\u00fckken bu say\u0131 2\u2019ye yak\u0131nd\u0131r, yani bu oyun \u00e7ok say\u0131da topla oynand\u0131\u011f\u0131nda en sonda ortalama 2 top kal\u0131r.<\/p>\n<p><strong>Kaynak<\/strong><\/p>\n<p>1) At\u0131k, E, Ayn\u0131 Renk Top Beklentisi, <em>Matematik D\u00fcnyas\u0131 <\/em>2013-II.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Matematik K\u00f6y\u00fc\u2019nde matematik yapman\u0131n a\u015fk\u0131nl\u0131\u011f\u0131n\u0131n ya\u015fand\u0131\u011f\u0131 bir ak\u015fam yeme\u011finde Ali Nesin sormu\u015ftu bu soruyu: \u0130\u00e7inde n\u00a0\u00a0tane siyah, n\u00a0tane beyaz top bulunan bir torbadan birer birer rastgele top \u00e7ekiyoruz. Torbada sadece bir renkten top ya da toplar kald\u0131\u011f\u0131nda duruyoruz. Bu durumda torbada ka\u00e7 top kal\u0131r? n\u00a0\u00e7ok b\u00fcy\u00fck bir say\u0131 oldu\u011funda torbada kalan top say\u0131s\u0131 a\u015fa\u011f\u0131 yukar\u0131, [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":375,"featured_media":23496,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[170,514],"tags":[208,1668],"class_list":["post-23494","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-133-sayi","category-matematik-sohbetleri","tag-matematik","tag-olasilik"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23494","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/375"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=23494"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/23494\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/23496"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=23494"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=23494"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=23494"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}