![\"\"](\"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/\u015fekil-1-002.jpg\")
<\/p>\nJosephus problemi Milattan Sonra 1. Y\u00fczy\u0131lda ya\u015fand\u0131\u011f\u0131 rivayet edilen kanl\u0131 bir olaya ba\u011flan\u0131r. Roma imparatoru Nero Yahudi ayaklanmas\u0131n\u0131n bast\u0131r\u0131lmas\u0131 i\u00e7in general Vespasian\u2019\u0131 g\u00f6revlendirmi\u015ftir. Vespasian\u2019\u0131n emrindeki askerler \u00fcnl\u00fc Yahudi tarih\u00e7isi Flavius Josephus ve 40 arkada\u015f\u0131n\u0131 bir ma\u011farada esir al\u0131rlar. Vespasian esirlerin \u00e7ember \u015feklinde dizilmelerini ve her ki\u015fiye belli bir y\u00f6n takip edilerek 1\u2019den 41\u2019e kadar numara verilmesini ister. 1\u2019inciden ba\u015flayarak 3\u2019e kadar say\u0131p 3\u2019\u00fcnc\u00fc ki\u015finin \u00f6ld\u00fcr\u00fclmesini, daha sonra 4\u2019ten ba\u015flayarak \u00fc\u00e7e kadar say\u0131p 6\u2019\u0131nc\u0131n\u0131n ve b\u00f6ylece sadece iki esir kal\u0131ncaya dek her \u00fc\u00e7 ki\u015fiden birinin \u00f6ld\u00fcr\u00fclmesini emreder. Esirler 3, 6, 9 gibi numaralar\u0131 almak istemezler ama Vespasian taraf\u0131ndan bu numaralar zorla verilir. Bu arada Josephus h\u0131zla yapt\u0131\u011f\u0131 hesaplamayla sona kalacak olan iki numaray\u0131 bularak kendisinin ve yak\u0131n arkada\u015f\u0131n\u0131n hayat\u0131n\u0131 kurtar\u0131r. Sonras\u0131nda Vespasian\u2019\u0131n Roma imparatoru olaca\u011f\u0131 kehanetinde bulunmas\u0131 sayesinde ba\u011f\u0131\u015flan\u0131.
\nHik\u00e2yeden \u00f6\u011frendi\u011fimize g\u00f6re Josephus\u2019un \u00e7ok k\u0131sa bir s\u00fcrede yapt\u0131\u011f\u0131 hesapla ula\u015ft\u0131\u011f\u0131 sona kalan o iki say\u0131n\u0131n 16 ve 31 oldu\u011funu bulmak olduk\u00e7a kolay. Bu konuya yaz\u0131n\u0131n sonunda tekrar d\u00f6nece\u011fiz.
\nBu problemin genel \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc nedir? Ki\u015fi say\u0131s\u0131 n al\u0131n\u0131rsa genel ve kapal\u0131 bir form\u00fcl bulunabilir mi? Yaz\u0131n\u0131n bundan sonraki b\u00f6l\u00fcm\u00fcnde bu sorular\u0131 yan\u0131tlayaca\u011f\u0131z.
\nGraham, Knuth, ve Patashnik, Concrete Mathematics ad\u0131yla yay\u0131mlad\u0131klar\u0131 kitapta Josephus problemini iki ki\u015fiden birinin elendi\u011fi n ki\u015fi aras\u0131nda oynanan bir oyun olarak ele alm\u0131\u015flar. Bu g\u00fczel \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc inceleyelim.
\nProblem. 1\u2019den n\u2019ye kadar numaraland\u0131r\u0131lm\u0131\u015f n ki\u015fi s\u0131rayla (1,2,3\u2026n) bir \u00e7ember etraf\u0131nda s\u0131ralan\u0131yorlar. 1 numaral\u0131 ki\u015fiden ba\u015flay\u0131p belli bir y\u00f6n takip edilerek say\u0131l\u0131yor, her iki ki\u015fiden biri eleniyor. Bu \u015fekilde n-1 ki\u015fi eleninceye dek devam ediliyor. Oyunu kazanan oyuncunun numaras\u0131 ka\u00e7t\u0131r?
\n\u00c7\u00f6z\u00fcm. n sayma say\u0131s\u0131 i\u00e7in oyunu kazanan ki\u015finin numaras\u0131n\u0131 J(n) ile g\u00f6sterelim. Oyuncu say\u0131s\u0131n\u0131 \u00e7ift ve tek olarak iki ayr\u0131 durumda inceleyece\u011fiz. E\u011fer oyun 2n ki\u015fiyle ba\u015flarsa ilk turun sonunda \u00e7ember etraf\u0131nda sadece tek numaral\u0131 oyuncular kalacak (\u015eekil 1) ve bu andan itibaren oyun ba\u015flang\u0131\u00e7taki gibi oynanacakt\u0131r.<\/p>\n
<\/p>\n
\u0130lk oyuncunun numaras\u0131 yine 1, ama ikinci oyuncu \u00f6nceki turun 3 numaral\u0131 oyuncusu olacak. Bu \u015fekilde devam edilirse \u00f6ncekinin 5 numaras\u0131 sonrakinin 3 numaras\u0131, \u00f6ncekinin 7 numaral\u0131s\u0131 sonrakinin 5 numaral\u0131s\u0131 olur. Bu numaralar\u0131 \u00f6nceki-sonraki diye yazarsak 1-1, 3-2, 5-3, 7-4, \u2026 ikililerini genel terimle ifade edersek \u00f6nceki numaral\u0131 2k-1, sonrakileri de k ile g\u00f6sterebiliriz. O halde ikinci turdaki n ki\u015fiyle oynanan oyunu k numaral\u0131 oyuncu kazan\u0131yorsa, ilk turda 2n ki\u015fiyle oynanan oyunu 2k-1 numaral\u0131 oyuncu kazan\u0131r. Buradan, J(n) kazanan oyuncunun numaras\u0131 oldu\u011fundan, n\u22651 i\u00e7in
\nJ(2n)=2J(n)-1 (1)
\ne\u015fitli\u011fi yaz\u0131labilir.
\n\u015eimdi de oyunun 2n+1 ki\u015fiyle oynand\u0131\u011f\u0131n\u0131 varsayal\u0131m. Bu durumda, ilk turun sonunda s\u0131ras\u0131yla 2,4,6,\u2026 ,2n ve 1 numaral\u0131 oyuncular elenecek, \u00e7ember etraf\u0131nda tek numaral\u0131 oyuncular kalacak (\u015eekil \u2013 2) ve bu andan itibaren oyun ba\u015flang\u0131\u00e7taki gibi oynanacakt\u0131r.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/wp-content\/uploads\/2018\/05\/\u015fekil-2-002.jpg\")
<\/p>\n
\u0130lk oyuncunun numaras\u0131 3, ikinci oyuncuysa \u00f6nceki turun 5 numaral\u0131 oyuncusu olacak. Bu \u015fekilde devam edilirse \u00f6ncekinin 7 numaras\u0131 sonrakinin 3 numaras\u0131, \u00f6ncekinin 9 numaral\u0131s\u0131 sonrakinin 4 numaral\u0131s\u0131 olur. Bu numaralar\u0131 \u00f6nceki-sonraki diye yazarsak 3-1, 5-2, 7-3, 9-4, \u2026 ikililerini genel terimle ifade edersek \u00f6nceki numaral\u0131 2k+1, sonrakileri de k ile g\u00f6sterebiliriz. O halde ikinci turdaki n ki\u015fiyle oynanan oyunu k numaral\u0131 oyuncu kazan\u0131yorsa, ilk turda 2n ki\u015fiyle oynanan oyunu 2k+1 numaral\u0131 oyuncu kazan\u0131r. Buradan, J(n) kazanan oyuncunun numaras\u0131 oldu\u011fundan, n\u22651 i\u00e7in
\nJ(2n+1)=2J(n)+1 (2)
\ne\u015fitli\u011fi yaz\u0131labilir.
\n(1) ve (2) e\u015fitlikleri ile oyundaki t\u00fcm durumlar\u0131 tan\u0131mlayabiliriz:
\nJ(1)=1,
\nJ(2n)=2J(n)-1,
\nJ(2n+1)=2J(n)+1. (3)
\nBu form\u00fcllerden yararlanarak J(n) de\u011ferleri hesaplanabilir. \u00d6rne\u011fin
\nJ(16)=2J(8)-1
\nJ(16) =2(2J(4)-1)-1=1
\nolarak bulunur. Ama daha b\u00fcy\u00fck say\u0131lar i\u00e7in bu y\u00f6ntem hi\u00e7 pratik de\u011fil, genel ve kapal\u0131 bir form\u00fcl bulabilmek i\u00e7in n\u2019nin ilk 16 de\u011feri i\u00e7in J(n) de\u011ferlerinin yer ald\u0131\u011f\u0131 a\u015fa\u011f\u0131daki tabloya bakal\u0131m:<\/p>\n
Tablodaki say\u0131lar\u0131 incelersek dikey \u00e7izgilerle ayr\u0131lm\u0131\u015f b\u00f6lmelerde n say\u0131s\u0131 2^k\u2019den 2^(k+1)-1\u2019e kadar de\u011ferler al\u0131rken J, 1,3,5,\u2026 , 2^(k+1)-1 de\u011ferlerini al\u0131yor. \u00d6rne\u011fin dikey \u00e7izgilerle ayr\u0131lm\u0131\u015f b\u00f6lmelerin ikincisine (soldan sa\u011fa sayarsak) ilk n de\u011feri olan 4\u2019\u00fc 2^2+0 olarak yazarsak J(4)=2\u00d70+1 olur. Benzer \u015fekilde ayn\u0131 b\u00f6l\u00fcmdeki di\u011fer n de\u011ferlerine kar\u015f\u0131l\u0131k gelen J\u2019ler a\u015fa\u011f\u0131daki gibi yaz\u0131labilir:
\nJ(5)=J(2^2+1)=2\u00d71+1=3,
\nJ(6)=J(2^2+2)=2\u00d72+1=5,
\nJ(7)=J(2^2+3)=2\u00d73+1=7.
\nDikey \u00e7izgilerle ayr\u0131lan \u00fc\u00e7\u00fcnc\u00fc b\u00f6l\u00fcmdeki n de\u011ferleri bu kez 2\u2019nin 3\u2019\u00fcnc\u00fc kuvvetinin s\u0131ras\u0131yla 0,1,2,3,4,5,6,7 fazlas\u0131 olurken J de s\u0131ras\u0131yla
\nJ(8)=J(2^3+0)=2\u00d70+1=1,
\nJ(9)=J(2^3+1)=2\u00d71+1=3,
\nJ(10)=J(2^3+2)=2\u00d72+1=5,
\nJ(11)=J(2^3+3)=2\u00d73+1=7,
\nJ(12)=J(2^3+4)=2\u00d74+1=9,
\nde\u011ferlerini al\u0131yor. Benzer \u015fekilde J(13), J(14), J(15) hesaplanabilir.
\nArt\u0131k, yukar\u0131daki e\u015fitliklerden yararlanarak a\u015fa\u011f\u0131daki form\u00fcl\u00fc tahmin edebiliriz. J say\u0131lar\u0131n\u0131n hesaplanmas\u0131 bak\u0131m\u0131ndan daha \u00f6nce elde etti\u011fimiz (3) ba\u011f\u0131nt\u0131s\u0131na g\u00f6re olduk\u00e7a kullan\u0131\u015fl\u0131 bir form\u00fcl:
\nm\u22650 ve 0\u2264k\u22642^m olmak \u00fczere
\nJ(2^m+k)=2k+1. (4)
\n\u015eimdi form\u00fcl\u00fcn uygulamas\u0131n\u0131 yapal\u0131m: Oyun 103 ki\u015fiyle oynan\u0131rsa hangi s\u0131radaki oyuncu kazan\u0131r?
\nJ(103)=\u3016J(2\u3017^6+39)=2 .39+1=79.
\nOyunu 79. s\u0131radaki oyuncunun kazanaca\u011f\u0131n\u0131 kolayca bulduk. Kim bilir, belki de Josephus da b\u00f6yle bir form\u00fcl bularak kendisinin ve arkada\u015f\u0131n\u0131n hayat\u0131n\u0131 kurtarm\u0131\u015f olabilir!
\nBu form\u00fcl\u00fc yukar\u0131da da belirtti\u011fimiz gibi tahmini olarak \u00e7\u0131kard\u0131k, kan\u0131tlamam\u0131z gerekiyor. Kan\u0131t\u0131 t\u00fcmevar\u0131mla yapaca\u011f\u0131z.
\nm=0 i\u00e7in k=0 olmal\u0131. Bu de\u011ferleri (4)\u2019te yerine koyarsak J(1)=1 olur.
\n\u015eimdi, m>0 ve 2^m+k=2n+1 iken, yani k tek say\u0131yken,
\nJ(2^m+k)=2k+1
\ne\u015fitli\u011finin do\u011fru oldu\u011funu g\u00f6sterelim. m \u00fczerine t\u00fcmevar\u0131m yapaca\u011f\u0131z, yukar\u0131daki e\u015fitlikte m yerine m-1 yazal\u0131m:
\nJ(2^(m-1)+k)=2k+1. (5)
\n\u015eimdi art\u0131k (3) ve (5)\u2019ten a\u015fa\u011f\u0131daki e\u015fitlikleri yazabiliriz.
\nJ(2^m+k)=2J(2^(m-1)+(k-1)\/2)+1
\nJ(2^m+k)= 2( 2(k-1)\/2 )+1
\n=2k+1.
\nB\u00f6ylece k tek say\u0131 iken kan\u0131t tamamland\u0131. Benzer \u015fekilde k\u2019n\u0131n \u00e7ift olma durumu da kan\u0131tlanarak tahmini olarak \u00e7\u0131kard\u0131\u011f\u0131m\u0131z (4) form\u00fcl\u00fc kesinle\u015fmi\u015f olur.
\nSon olarak yaz\u0131n\u0131n ba\u015f\u0131ndaki hik\u00e2yeye d\u00f6nersek\u2026 Her 3 ki\u015fiden biri eleniyordu. Bu t\u00fcrdeki problemler matemati\u011fin kombinatorik alan\u0131nda genel olarak \u201cJosephus i\u015flemi\u201d ad\u0131 alt\u0131nda ele al\u0131n\u0131yor ve hik\u00e2yedeki \u00e7e\u015fitlemesi i\u00e7in tersinden s\u0131ralamay\u0131 (Inverse Permutat\u0131on) ifade eden Josephus[n,m] g\u00f6sterimi kullan\u0131yor.[1] Bilgisayar program\u0131yla yap\u0131lacak listeyle kazanan oyuncunun numaras\u0131 bulunuyor. Bu g\u00f6sterime g\u00f6re \u00e7ember etraf\u0131na n ki\u015fi s\u0131ralan\u0131yorsa ve her m ki\u015fiden biri eleniyor. \u00d6rne\u011fin n=41 ve m=3 al\u0131n\u0131rsa Josephus[41, 3] ile g\u00f6sterilir, a\u015fa\u011f\u0131daki listeyle Josephus ve arkada\u015f\u0131n\u0131n numaralar\u0131 olan 16 ve 31 say\u0131lar\u0131 bulunur.
\n3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,
\n1,5,10,14,19,23,28,32,37,41,7,13,20,26,
\n34,40,8,17,29,38,11,25,2,22,4,35,16,31.<\/p>\n
Kaynaklar<\/strong> Josephus problemi Milattan Sonra 1. Y\u00fczy\u0131lda ya\u015fand\u0131\u011f\u0131 rivayet edilen kanl\u0131 bir olaya ba\u011flan\u0131r. Roma imparatoru Nero Yahudi ayaklanmas\u0131n\u0131n bast\u0131r\u0131lmas\u0131 i\u00e7in general Vespasian\u2019\u0131 g\u00f6revlendirmi\u015ftir. Vespasian\u2019\u0131n emrindeki askerler \u00fcnl\u00fc Yahudi tarih\u00e7isi Flavius Josephus ve 40 arkada\u015f\u0131n\u0131 bir ma\u011farada esir al\u0131rlar. Vespasian esirlerin \u00e7ember \u015feklinde dizilmelerini ve her ki\u015fiye belli bir y\u00f6n takip edilerek 1\u2019den 41\u2019e kadar numara […]<\/p>\n","protected":false},"author":375,"featured_media":25304,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[169,38,25,514,510],"tags":[3235,208,3236],"class_list":["post-25303","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-132-sayi","category-dergi-sayilari","category-matematik","category-matematik-sohbetleri","category-surekli-bolumler","tag-josephus","tag-matematik","tag-problem"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t
\n1) Petkovic, M, Famous Puzzles of Great Mathematicians, AMS, 2009.
\n2) Nesin, A, Sayma, Nesin Yay\u0131nlar\u0131, 2009.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"