{"id":28147,"date":"2018-08-01T00:00:36","date_gmt":"2018-07-31T21:00:36","guid":{"rendered":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/?p=28147"},"modified":"2018-08-02T10:45:44","modified_gmt":"2018-08-02T07:45:44","slug":"olasilik-kuraminin-dogumu","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/2018\/08\/01\/olasilik-kuraminin-dogumu","title":{"rendered":"Olas\u0131l\u0131k kuram\u0131n\u0131n do\u011fumu"},"content":{"rendered":"

\u00dcnl\u00fc Frans\u0131z matematik\u00e7isi Laplace\u2019\u0131n bir s\u00f6 z\u00fcd\u00fcr: \u201c\u015eans oyunlar\u0131 \u00fczerinden ba\u015flayan bir bilim dal\u0131n\u0131n insan bilgi da\u011farc\u0131\u011f\u0131n\u0131n en \u00f6nemli par\u00e7alar\u0131ndan biri olmas\u0131 kayda de\u011fer bir \u015feydir\u201d.<\/p>\n

Klasik olas\u0131l\u0131k kavram\u0131, yani kesir \u00e7izgisinin pay\u0131na \u201cuygun haller say\u0131s\u0131n\u0131n\u201d paydas\u0131na da \u201cm\u00fcmk\u00fcn haller say\u0131s\u0131n\u0131n\u201d yaz\u0131lmas\u0131 d\u00fc\u015f\u00fcnce tarihi kadar eskidir elbette. Olas\u0131l\u0131k kavram\u0131n\u0131n kurama d\u00f6n\u00fc\u015fmesinin ilk i\u015faretleri 1654\u2019te Antoine Gombaud ad\u0131ndaki bir \u015f\u00f6valyenin b\u00fcy\u00fck Frans\u0131z matematik\u00e7isi Blaise Pascal\u2019a kumar ve bahisle ilgili sordu\u011fu sorulard\u0131r. Bu sorular Laplace\u2019\u0131n da vurgulad\u0131\u011f\u0131 gibi, matematik\u00e7ilerin \u015fans oyunlar\u0131ndaki olas\u0131l\u0131klar\u0131 hesaplama \u00e7abas\u0131 devasa bir matematiksel kuram\u0131n olu\u015fmas\u0131na yol a\u00e7m\u0131\u015ft\u0131r.<\/p>\n

Profesyonel bir kumarc\u0131 olan Gombaud\u2019nun kafas\u0131na tak\u0131lan sorulardan biri \u015f\u00f6yledir: Zarla oynanan iki farkl\u0131 oyunu kazanma olas\u0131l\u0131klar\u0131n\u0131 hesaplar ve her iki olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 e\u015fit bulur, ama bu oyunlar\u0131 uzun s\u00fcreli oynad\u0131\u011f\u0131nda birinde kazan\u0131r, di\u011ferindeyse kaybeder. Pascal\u2019a bu \u00e7eli\u015fkinin nereden kaynakland\u0131\u011f\u0131n\u0131 sorar.<\/p>\n

Birinci oyun. Hilesiz bir zar 4 kez at\u0131l\u0131yor. En az bir kez 6 gelirse oyuncu kumarhaneye kar\u015f\u0131 oyunu kazan\u0131yor.<\/p>\n

\u0130kinci oyun. Hilesiz iki zar 24 kez at\u0131l\u0131yor. En az bir kez 6-6 gelirse oyuncu kumarhaneye kar\u015f\u0131 kazan\u0131yor.<\/p>\n

Gombaud, uzun s\u00fcre oynad\u0131\u011f\u0131nda birinci oyunu kazand\u0131\u011f\u0131n\u0131n, ikinci oyunuysa kaybetti\u011finin fark\u0131na var\u0131r. Oysa ki, iki oyunu kazanma olas\u0131l\u0131- \u011f\u0131n\u0131n e\u015fit oldu\u011funu hesaplar. \u015e\u00f6yle ki:<\/p>\n

Birinci oyunu kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131: 4\u00d71\/6=2\/3<\/p>\n

\u0130kinci oyunu kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131: 24\u00d71\/36=2\/3<\/p>\n

Elbette bu \u00e7\u00f6z\u00fcmler yanl\u0131\u015f! Pascal, do\u011fru \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc yaparak Gombaud\u2019nun uzun s\u00fcre oynad\u0131\u011f\u0131nda neden birinci oyunu kazan\u0131rken ikinciyi kaybetti\u011fini izah eder. Merakl\u0131 okurun kolayca yapabilece\u011fi bu \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc k\u0131saca veriyoruz. (\u0130kinci oyunu kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 birinci oyunu kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131ndan k\u00fc\u00e7\u00fck!)<\/p>\n

Birinci oyunu kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131: 1-(5\/6)^4\u22450,5177.<\/p>\n

\u0130kinci oyunu kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131: 1-(35\/36)^24\u22450,4914<\/p>\n

Bir soru ve sonras\u0131<\/strong><\/p>\n

Gombaud\u2019nun kafas\u0131na tak\u0131lan bir soru daha vard\u0131r ve yine Pascal\u2019a ba\u015fvurur. Pascal, problemin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fcnde belli bir a\u015famaya gelir, ama yapt\u0131\u011f\u0131 \u00e7al\u0131\u015fmalara katk\u0131da bulunabilecek birinin yard\u0131m\u0131na ihtiya\u00e7 duyar. Bir meslekta\u015f\u0131n\u0131n tavsiyesi \u00fczerine \u00fcnl\u00fc Frans\u0131z matematik\u00e7i Pierre de Fermat\u2019ya dan\u0131\u015f\u0131r ve sonras\u0131nda aralar\u0131ndaki yaz\u0131\u015fmalarla problem \u00e7\u00f6z\u00fcl\u00fcr. B\u00f6ylece matematikte yepyeni bir kuramsal alan a\u00e7\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r: Olas\u0131l\u0131k Teorisi.<\/p>\n

Matematiksel olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n ortaya \u00e7\u0131k\u0131\u015f\u0131na ilham kayna\u011f\u0131 olan bu problemle daha \u00f6nce Gerolamo Cardano, Luca Pacioli gibi matematik\u00e7iler u\u011fra\u015fm\u0131\u015flar ama yanl\u0131\u015f \u00e7\u00f6z\u00fcmlere varm\u0131\u015flard\u0131r. Matematik tarihinde \u201cPayla\u015f\u0131m Problemi\u201d veya \u201cPuanlar Problemi\u201d olarak adland\u0131r\u0131lan bu soruyu Fermat, \u00f6nce \u00f6zel \u00e7\u00f6z\u00fcmle ele alm\u0131\u015f; daha sonra Pascal\u2019la birlikte farkl\u0131 yakla\u015f\u0131mlarla genel \u00e7\u00f6z\u00fcme ula\u015fm\u0131\u015flard\u0131r.<\/p>\n

\"\"
Blaise Pascal (1623-1662)<\/figcaption><\/figure>\n

Payla\u015f\u0131m Problemi<\/strong>. E\u015f beceriye sahip iki kumarbaz \u00f6nceden belirlenen puana ilk ula\u015fan oyuncunun ortadaki paran\u0131n t\u00fcm\u00fcn\u00fc kazand\u0131\u011f\u0131 bir oyun oynuyorlar. Ama oyun, bir sebepten dolay\u0131 sonlanamay\u0131p ortada kal\u0131yor. Kumarbazlar\u0131n oyunun yar\u0131m kald\u0131\u011f\u0131 andaki puanlar\u0131 ve oyunu kazanmalar\u0131 i\u00e7in gereken puanlar belli oldu\u011funa g\u00f6re ortadaki para kumarbazlar aras\u0131nda nas\u0131l payla\u015f\u0131l\u0131r? Bu soruyu daha \u00f6zel ve say\u0131sal de\u011ferlerle hik\u00e2yele\u015ftirerek a\u015fa\u011f\u0131daki gibi de sorabiliriz.<\/p>\n

Pascal ve Fermat\u2019n\u0131n Payla\u015f\u0131m Problemi<\/strong>. Pascal ile Fermat ge\u00e7irdikleri yorucu bir g\u00fcn\u00fcn ard\u0131ndan Paris\u2019te bir kafeteryaya u\u011frarlar. Yorgunluk atmak i\u00e7in oyunlar\u0131n en kolay\u0131 olan, para atma oyununu oynamaya karar verirler. E\u011fer tura gelirse Fermat, yaz\u0131 gelirse Pascal bir puan alacakt\u0131r. \u0130lk kez 10 puan alan oyunu kazanacakt\u0131r. Her biri ortaya 50 Frank para koyar, b\u00f6ylece ortada 100 Frank olur. 100 Frank, kazanan\u0131n olacakt\u0131r. Oyuna ba\u015flarlar, ama bir s\u00fcre sonra beklenmedik bir geli\u015fme olur. Fermat, 8\u2019e kar\u015f\u0131 7 \u00fcst\u00fcn durumdayken bir arkada\u015f\u0131n\u0131n hasta oldu\u011funa dair bir mesaj al\u0131r, acilen Toulouse\u2019a gitmesi gerekir. Mesaj\u0131 getiren ki\u015fi hemen hareket etmek ko\u015fuluyla onlar\u0131 Toulouse\u2019ya g\u00f6t\u00fcrebilece\u011fini s\u00f6yler. Tabii ki Pascal durumu anlay\u0131\u015fla kar\u015f\u0131lar, ama ortadaki 100 Frank\u0131 nas\u0131l payla\u015facaklard\u0131r?<\/p>\n

Fermat, Pascal\u2019a g\u00f6nderdi\u011fi bir mektupta payla\u015f\u0131m probleminin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fcn\u00fc yapm\u0131\u015ft\u0131r. Yukar\u0131daki hayali hik\u00e2ye de bu \u00f6zel \u00e7\u00f6z\u00fcme g\u00f6re kurgulanm\u0131\u015ft\u0131r. A\u015fa\u011f\u0131daki kurmaca mektupta Fermat\u2019n\u0131n \u00f6zel \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc bulunmaktad\u0131r.<\/p>\n

De\u011ferli Blaise,<\/em><\/p>\n

100 Frank\u0131 b\u00f6l\u00fc\u015ft\u00fcrme probleminin senin de adil oldu\u011funu d\u00fc\u015f\u00fcnece\u011fin bir \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fcn\u00fc buldum. Benim sadece 2, senin de 3 puana ihtiyac\u0131n oldu\u011funu d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcrsek, oyun en fazla 4 at\u0131\u015fta bitecekti. Bu 4 at\u0131\u015fta, e\u011fer galibiyet i\u00e7in gereken 3 puan\u0131 alamazsan, bu benim kazanmam i\u00e7in gereken 2 puan\u0131 ald\u0131\u011f\u0131m anlam\u0131na gelir. Benzer yolla, e\u011fer ben 2 puan\u0131 alamazsam, sen kazanman i\u00e7in gerekli olan en az 3 puan\u0131 alm\u0131\u015f ve kazanm\u0131\u015fs\u0131n demektir. A\u015fa\u011f\u0131ya bir madeni paran\u0131n 4 kez at\u0131lmas\u0131yla elde edilen m\u00fcmk\u00fcn halleri eksiksiz yazd\u0131\u011f\u0131ma inan\u0131yorum. Benim kazand\u0131\u011f\u0131m durumlar\u0131 parantez i\u00e7inde g\u00f6sterdim.<\/em><\/p>\n

(tttt), (ttty), (ttyt), (ttyy),( tytt), (tyty), (tyyt), tyyy, (yttt), (ytty), (ytyt), ytyy, (yytt),yyty, yyyt, tyyy. Bu 16 durumun her birinin ger\u00e7ekle\u015fme olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131n e\u015fit oldu\u011funu kabul etti\u011fini d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcyorum. Bu y\u00fczden, paran\u0131n 11\/16\u2019ini benim, 5\/16 \u2019ini de senin alman gerekti\u011fine inan\u0131yorum, yani ben 100. 11\/16=68.75 Frank almal\u0131y\u0131m ve tabii sen de 31.25 Frank. Paris\u2019te her \u015feyin yolunda olmas\u0131 temennisiyle,<\/em><\/p>\n

Pierre,<\/em><\/p><\/blockquote>\n

Genel \u00e7\u00f6z\u00fcm<\/strong><\/p>\n

Pascal\u2019\u0131n \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc. Pascal problemin genel \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc i\u00e7in \u00f6nce \u015fu ad\u0131mlar\u0131 atar: Kesintiden sonra hedef puana ula\u015fabilmek i\u00e7in 1\u2019inci oyuncunun n, 2\u2019inci oyuncunun m puana ihtiyac\u0131 olsun. P(n,m), 1\u2019inci oyuncunun n puana m kay\u0131ptan \u00f6nce ula\u015fma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 ifade etsin. Bu durumda do\u011fal olarak, e\u011fer 1\u2019inci oyuncunun s\u0131f\u0131r puana ihtiyac\u0131 varsa kazan\u0131r, yani P(0,m) = 1, ayn\u0131 \u015fekilde 2\u2019inci oyuncunun s\u0131f\u0131r puana ihtiyac\u0131 oldu\u011funda da P(n, 0) = 0 olacakt\u0131r. Ayr\u0131ca P(t,t) = 1\/2 olur. \u015eimdi, kesintiden sonraki ilk oyun sonras\u0131 i\u00e7in P(n,m) olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 yazal\u0131m.<\/p>\n

P(n,m)=\u00a0 1\/2\u2219P(n-1,m)+<\/p>\n

Pascal, yukar\u0131daki olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 yazarken \u015f\u00f6yle d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcr: Kesintiden sonraki ilk oyunda 1\u2019inci oyuncunun kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 ve sonras\u0131nda (kesinti sonraki ilk oyundan sonra) kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 P(n\u20131, m), dolay\u0131s\u0131yla 1\u2019inci oyuncunun kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 bulmak i\u00e7in 1\/2 ile P(n\u20131, m)\u2019i \u00e7arp\u0131lmal\u0131, ama kesinti sonras\u0131 ilk oyunu 2\u2019inci oyuncu da kazanabilir. Ki bu olas\u0131l\u0131k da 1\/2\u2019dir. Bu durumda 1\u2019nci oyuncunun kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 ise \u00bd ile P(n, m\u20131)\u2019in \u00e7arp\u0131m\u0131d\u0131r. O halde P(n, m), yani 1\u2019inci oyuncunun kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 bu olas\u0131l\u0131klar\u0131n toplam\u0131 olur.<\/p>\n

\"\"
Pierre de Fermat (1601-1665)<\/figcaption><\/figure>\n

\u015eimdi, yukar\u0131daki (I) e\u015fitli\u011fini kullanarak Fermat\u2019n\u0131n \u00f6zel \u00e7\u00f6z\u00fcmle ula\u015ft\u0131\u011f\u0131 sonucu Pascal\u2019\u0131n y\u00f6ntemiyle bulal\u0131m.<\/p>\n

P(n, m)\u2019de n = 2, m = 3 almal\u0131y\u0131z. Bu de\u011ferleri (I)\u2019de yerine koyal\u0131m,<\/p>\n

P(2,3)=\u00a0 1\/2\u2219P(1,3) (II) olur.<\/p>\n

P(2,2)\u2019nin 1\/2 oldu\u011funu biliyoruz. P(1,3)\u2019\u00fc hesaplayal\u0131m.<\/p>\n

P(1,3)=\u00a0 1\/2\u2219P(0,3)+<\/p>\n

P(0,3)\u2019\u00fcn 1\u2019e e\u015fit oldu\u011funu biliyoruz. P(1,2)\u2019yi hesaplayal\u0131m.<\/p>\n

P(1,2)=\u00a0 1\/2\u2219P(0,2)+<\/p>\n

P(1,2)=\u00a0 1\/2\u22191+<\/p>\n

P(1,2)\u2019yi (III)\u2019te yerine koyarsak P(1,3) = 7\/8 olur. P(1,3)\u2019\u00fc (II)\u2019de yerine koyarsak P(2,3) = 11\/16 olarak bulunur.<\/p>\n

G\u00f6r\u00fcld\u00fc\u011f\u00fc gibi Pascal\u2019\u0131n bu y\u00f6ntemi olduk\u00e7a uzun hesaplamalar gerektiriyor ve genel \u00e7\u00f6z\u00fcm i\u00e7in hi\u00e7 pratik de\u011fil, ama Pascal bu \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131yla g\u00fcn\u00fcm\u00fczde ko\u015fullu olas\u0131l\u0131k ad\u0131yla bilinen (conditional probability) alan\u0131 ke\u015ffetmi\u015ftir.<\/p>\n

Pascal, ba\u015fka bir yol dener ve g\u00fcn\u00fcm\u00fcz matemati\u011finde \u201c kombinatorik\u201d olarak bilinen teorinin temellerini atar. \u015e\u00f6yle ki, oyun iki ki\u015fiden birincinin n, ikincinin de m puana ula\u015fmas\u0131 gerekirken yar\u0131da kal\u0131yor; o zaman oyun en fazla n+m\u20131 kez oynanacakt\u0131r, bu da toplam n+m\u20131 puan demektir. \u015eimdi \u015fu soruyu soral\u0131m: 2\u2019inci oyuncunun kaybetmesi i\u00e7in n+m\u20131 oyunun ka\u00e7\u0131nda yaz\u0131 gelmeli? ( Yaz\u0131, 2\u2019inci oyuncuya puan getiren durumdu.) E\u011fer n+m\u20131 oyunda 0 veya 1 veya 2 veya … m\u20131 kez yaz\u0131 gelirse 2\u2019inci oyuncu kaybeder, 1\u2019inci kazan\u0131r; \u00e7\u00fcnk\u00fc 2\u2019inci oyuncunun m puana ihtiyac\u0131 oldu\u011funda en \u00e7ok m\u20131 kez yaz\u0131 gelmesi halinde 2\u2019inci oyuncu kaybeder. n+m\u20131 oyunda en \u00e7ok m\u20131 kez yaz\u0131 gelme durumlar\u0131n\u0131n say\u0131s\u0131n\u0131 da kombinasyonla hesaplayaca\u011f\u0131z. T\u0131pk\u0131, n+m\u20131 nesneyi A ve B gibi iki ki\u015fiden en \u00e7ok m\u20131 tanesini B\u2019ye vermek gibi. Elbette bu i\u015flemi kombinasyonla yapaca\u011f\u0131z:<\/p>\n

((n+m-1)\u00a60)+((n+m-1)\u00a61)+((n+m-1)+\u2026 \u2026+((n+m-1)\u00a6(m-1)).<\/p>\n

M\u00fcmk\u00fcn haller say\u0131s\u0131 2^(n+m-1) oldu\u011fundan 1\u2019inci oyuncunun kazanma olas\u0131l\u0131\u011f\u0131n\u0131 \u015fu \u015fekilde yazabiliriz:<\/p>\n

P(n,m)=(((n+m-1)\u00a60)+((n+m-1)\u00a61)+<\/p>\n

Bu olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 toplam sembol\u00fcn\u00fc kullanarak a\u015fa\u011f\u0131daki gibi de ifade edebiliriz:<\/p>\n

P(n,m)=\u00a0 1\/2^(n+m-1)<\/p>\n

Yukar\u0131daki e\u015fitlikte n=2,m=3 al\u0131n\u0131rsa ba\u015flang\u0131\u00e7taki problem Fermat\u2019n\u0131n \u00f6zel \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fcnden farkl\u0131 bir yolla daha \u00e7\u00f6z\u00fclm\u00fc\u015f olur:<\/p>\n

P(2,3)=\u00a0 1\/2^4<\/p>\n

Fermat\u2019n\u0131n \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc.\u00a0 Fermat problemi genel \u00e7\u00f6z\u00fcme kavu\u015ftururken zekice bir yol izler: 1\u2019inci oyuncu kesintiden sonra kendisi i\u00e7in gerekli olan n puan\u0131,n\u2019inci veya n+1\u2019inci veya\u2026 n+m-1\u2019inci oyunda elde etmelidir. n puan\u0131 kesintiden sonraki k\u2019inci oyunda (n\u2264k\u2264n+m-1) kazanmas\u0131 i\u00e7in k-1 oyundan toplam n-1 puan elde etmesi, n\u2019inci puana ise k\u2019inci oyunda ula\u015fmas\u0131 gerekmektedir. Bu olas\u0131l\u0131k a\u015fa\u011f\u0131daki gibi ifade edilebilir:<\/p>\n

P(n,m)=(1\/2)^n+(n\u00a6(n-1))<\/p>\n

Pascal ve Fermat\u2019n\u0131n Payla\u015f\u0131m Problemine getirdikleri bu genel \u00e7\u00f6z\u00fcmlerin sonu\u00e7lar\u0131, perm\u00fctasyon, kombinasyon, ko\u015fullu olas\u0131l\u0131k gibi kavramlarla olas\u0131l\u0131k teorisinin do\u011fumuna yol a\u00e7m\u0131\u015f olmas\u0131n\u0131n \u00f6tesinde diferansiyel ve integral hesap, limit gibi matemati\u011fin farkl\u0131 alanlar\u0131na da uygulanm\u0131\u015ft\u0131r. Bir kumar probleminin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc, \u015fans oyunlar\u0131, sigortac\u0131l\u0131k, i\u015f planlamas\u0131, t\u0131p gibi alanlar\u0131n \u00e7ok \u00f6tesine ge\u00e7mi\u015f, gelecekle ilgili t\u00fcm dallara damgas\u0131n\u0131 vurmu\u015ftur.<\/p>\n

Kaynaklar<\/strong><\/p>\n

1) Petkovic, M, Famous Puzzles of Great Mathematicians, AMS, 2009.<\/p>\n

2) \u00c7apar, U, Olas\u0131l\u0131k Kuram\u0131n\u0131n Geli\u015fimi, Matematik D\u00fcnyas\u0131, say\u0131 105.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00dcnl\u00fc Frans\u0131z matematik\u00e7isi Laplace\u2019\u0131n bir s\u00f6 z\u00fcd\u00fcr: \u201c\u015eans oyunlar\u0131 \u00fczerinden ba\u015flayan bir bilim dal\u0131n\u0131n insan bilgi da\u011farc\u0131\u011f\u0131n\u0131n en \u00f6nemli par\u00e7alar\u0131ndan biri olmas\u0131 kayda de\u011fer bir \u015feydir\u201d. Klasik olas\u0131l\u0131k kavram\u0131, yani kesir \u00e7izgisinin pay\u0131na \u201cuygun haller say\u0131s\u0131n\u0131n\u201d paydas\u0131na da \u201cm\u00fcmk\u00fcn haller say\u0131s\u0131n\u0131n\u201d yaz\u0131lmas\u0131 d\u00fc\u015f\u00fcnce tarihi kadar eskidir elbette. Olas\u0131l\u0131k kavram\u0131n\u0131n kurama d\u00f6n\u00fc\u015fmesinin ilk i\u015faretleri 1654\u2019te Antoine […]<\/p>\n","protected":false},"author":375,"featured_media":28307,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[3782,38,514,510],"tags":[3817,1668,3816],"class_list":["post-28147","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-174-sayi","category-dergi-sayilari","category-matematik-sohbetleri","category-surekli-bolumler","tag-fermat","tag-olasilik","tag-pascal"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28147","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/375"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=28147"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28147\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/28307"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=28147"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=28147"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=28147"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}