{"id":30517,"date":"2018-11-01T00:00:45","date_gmt":"2018-10-31T21:00:45","guid":{"rendered":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/?p=30517"},"modified":"2019-03-14T11:15:56","modified_gmt":"2019-03-14T08:15:56","slug":"pinin-rasgelelikteki-gizemi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/bilimvegelecek.com.tr\/index.php\/2018\/11\/01\/pinin-rasgelelikteki-gizemi","title":{"rendered":"Pi’nin rasgelelikteki gizemi"},"content":{"rendered":"

Pi say\u0131s\u0131 matematik bah\u00e7esinin en zarif \u00e7i\u00e7eklerinden birisidir. Archimedes\u2019den beri y\u00fczlerce y\u0131ld\u0131r matematik\u00e7ilerin ve di\u011fer biliminsanlar\u0131n\u0131n merak ve ilgiyle koklad\u0131klar\u0131 bir \u00e7i\u00e7ek olagelmi\u015ftir. Bu say\u0131n\u0131n bir\u00e7ok \u00f6zelli\u011fi vard\u0131r: Transandant (a\u015fk\u0131n) yani katsay\u0131lar\u0131 tam say\u0131 olan polinomun k\u00f6k\u00fc olamayan say\u0131d\u0131r. Bunun ispat\u0131 1882\u2019de Ferdinand von Lindemann taraf\u0131ndan yap\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r. \u0130spat\u0131, iki y\u00fcz y\u0131ll\u0131k \u00f6nemli matematiksel katk\u0131lar\u0131 temel alm\u0131\u015ft\u0131r. Matematik literat\u00fcr\u00fcnde kar\u015f\u0131m\u0131za \u00e7\u0131kan ve matematik\u00e7iler taraf\u0131ndan estetik \u00f6zelli\u011finden pek \u00e7ok s\u00f6z edilen e<\/em>i\u03c0<\/em>+1 = 0 e\u015fitli\u011fi, matemati\u011fin en \u00f6nemli sabit say\u0131lar\u0131 olan e, i<\/em>,pi, 1 ve 0 say\u0131lar\u0131n\u0131 i\u00e7ermesi a\u00e7\u0131s\u0131ndan olduk\u00e7a ilgin\u00e7tir. pi\u2019nin hesab\u0131 i\u00e7in \u00e7ok de\u011fi\u015fik y\u00f6ntemler kullan\u0131lmakla birlikte g\u00fcn\u00fcm\u00fczde yak\u0131nsak sonsuz seriler, \u00e7arp\u0131mlar ve ard\u0131\u015f\u0131k yineleme ba\u011f\u0131nt\u0131lar\u0131 kullan\u0131lmaktad\u0131r. Kaynak\u00e7adan bu y\u00f6ntemlere eri\u015filebilir.<\/p>\n

Binlerce y\u0131ld\u0131r insanlar Pi\u2019nin daha \u00e7ok ondal\u0131k basama\u011f\u0131n\u0131 hesaplamaya \u00e7al\u0131\u015fmaktad\u0131r ve bu ondal\u0131k basamaklar\u0131n nas\u0131l bir da\u011f\u0131l\u0131m g\u00f6sterdi\u011fi merak konusudur.<\/p>\n

pi\u2019ye duyulan bu ilgi nereden kaynaklanmaktad\u0131r? pi\u2019nin bug\u00fcne kadar bilinen \u00f6zelliklerinden daha ba\u015fka ke\u015ffedilmeye haz\u0131r hangi \u00f6zellikleri vard\u0131r? Matematik bah\u00e7esinin en zarif \u00e7i\u00e7e\u011fi orada durmakta ve belki de sonsuz \u00f6zelliklerini sunmaya haz\u0131r bir sevgili gibi beklemektedir.<\/p>\n

Hemen hemen t\u00fcm matematik kitaplar\u0131nda, \u00f6zellikle matemati\u011fe ilgi duyan ki\u015filerin okumas\u0131 i\u00e7in yaz\u0131lan kitaplarda \u00a0pi\u2019nin \u00f6zelliklerinden s\u00f6z edilmeden ge\u00e7ilmemi\u015ftir.Pi\u2019nin geometri, olas\u0131l\u0131k, diferansiyel ve integral hesaplamalar\u0131nda nas\u0131l farkl\u0131 bir bi\u00e7imde kullan\u0131ld\u0131\u011f\u0131n\u0131 g\u00f6rmek ger\u00e7ekten ilgin\u00e7tir.<\/p>\n

Niye biri bug\u00fcn s\u00fcper bilgisayarlarla yap\u0131ld\u0131\u011f\u0131 gibi, pi\u2019nin de\u011ferini milyarlarca basama\u011fa kadar hesaplamak istesin? Pi\u2019nin ondal\u0131k basamaklar\u0131na kar\u015f\u0131 bu ilginin kayna\u011f\u0131 nedir? Bu, s\u00fcper bilgisayarlar\u0131n donan\u0131m ve yaz\u0131l\u0131mlar\u0131n\u0131n kapasitelerinin \u00f6l\u00e7\u00fclmesinde kullan\u0131l\u0131r. Hesaplama y\u00f6ntemleri, yeni d\u00fc\u015f\u00fcncelerin ve kavramlar\u0131n ortaya \u00e7\u0131kmas\u0131n\u0131 sa\u011flayabilir. Pi\u2019nin bir d\u00fczeni, kal\u0131b\u0131 yok mu? Sonsuz \u00e7e\u015fitlilikte kal\u0131plar m\u0131 i\u00e7eriyor? Pi\u2019nin i\u00e7indeki baz\u0131 say\u0131lara daha s\u0131k m\u0131 raslan\u0131yor? Bu say\u0131lar tam da rasgele da\u011f\u0131lm\u0131\u015f de\u011fil mi acaba? Belki de matematik\u00e7ilerin y\u00fczy\u0131llar boyunca Pi\u2019ye duyduklar\u0131 ilgi ve hayranl\u0131k, da\u011fc\u0131lar\u0131 hep daha y\u00fckseklere t\u0131rmanmaya y\u00f6nelten g\u00fc\u00e7l\u00fc istek ve duygulara benzetilebilir.<\/p>\n

Asl\u0131nda t\u00fcm bu sorular\u0131n yan\u0131tlar\u0131 hen\u00fcz a\u00e7\u0131k bir \u015fekilde verilebilmi\u015f de\u011fildir. Her g\u00fcn pi ile ilgili yeni bir ara\u015ft\u0131rma yaz\u0131s\u0131 yay\u0131nlanmaktad\u0131r. \u0130nsan\u0131n merak ve tutkusu s\u00fcrd\u00fc\u011f\u00fc s\u00fcrece pi\u2019de yeni bir estetik y\u00f6n bulma arzusu sonsuza dek devam edecek gibi g\u00f6r\u00fcnmektedir. Bu yaz\u0131, rasgele dizi kavram\u0131 \u00e7er\u00e7evesinde pi\u2019nin ondal\u0131k basamaklar\u0131n\u0131 ele almakta, bu ondal\u0131k basamaklar\u0131n rasgele dizi tan\u0131m\u0131na uygunlu\u011funun tart\u0131\u015f\u0131lmas\u0131 amac\u0131n\u0131 ta\u015f\u0131maktad\u0131r. Ayr\u0131ca, bu ondal\u0131k basamaklar kullan\u0131larak nas\u0131l sim\u00fclasyon yap\u0131laca\u011f\u0131na dair \u00f6rnekler verilmi\u015ftir.\"\"<\/p>\n

Evrende olup bitenleri anlama ve anlatma \u00e7abas\u0131 i\u00e7inde olan insan, ilgilendi\u011fi olay ve s\u00fcre\u00e7lerle ilgili \u00e7e\u015fitli matematiksel modeller kurar ve bu modeller \u00fczerinde \u00e7al\u0131\u015farak gelecekte ne gibi durumlar ortaya \u00e7\u0131kabilece\u011fini bilmeye \u00e7al\u0131\u015f\u0131r. Model, ger\u00e7ek d\u00fcnyadaki bir sistemin yap\u0131 ve i\u015fleyi\u015finin, ilgili oldu\u011fu bilim sahas\u0131n\u0131n kavram ve kanunlar\u0131na ba\u011fl\u0131 olarak ifade edilmesidir. Model ger\u00e7ek d\u00fcnyadaki bir olgunun bir anlat\u0131m\u0131d\u0131r, temsilidir. Modeller ger\u00e7e\u011fin kendileri de\u011fildir ve ne kadar karma\u015f\u0131k g\u00f6r\u00fcnseler de ger\u00e7e\u011fin eksik anlat\u0131m\u0131d\u0131rlar. K\u0131saca model denilen \u015fey model kurucunun ger\u00e7e\u011fi \u201canlay\u0131\u015f\u0131n\u0131n\u201d bir \u00fcr\u00fcn\u00fcd\u00fcr. Modellerin ge\u00e7erlili\u011fini test etmek amac\u0131yla \u00e7e\u015fitli deneyler yap\u0131l\u0131r, baz\u0131 durumlarda deney yapmak olduk\u00e7a g\u00fc\u00e7 ve pahal\u0131 olabilir. B\u00f6yle durumlarda model \u00fczerinde deney yapmak anlam\u0131na gelen sim\u00fclasyon i\u015flemleri yap\u0131l\u0131r. Sim\u00fclasyon benzetim, taklit anlam\u0131na gelen bir s\u00f6zc\u00fckt\u00fcr. G\u00fcn\u00fcm\u00fczde moda bir s\u00f6zc\u00fck olarak kullan\u0131ld\u0131r. Modellemede insan akl\u0131n\u0131n en g\u00fc\u00e7l\u00fc iki arac\u0131 matematik ve istatistiktir. \u0130statistik \u00f6zellikle, rasgelelik i\u00e7eren olgular\u0131n modellenmesinde \u00f6n plana \u00e7\u0131kar. Bu durumda \u201crasgelelik\u201d nedir sorusu \u00f6nem ta\u015f\u0131r. \u201cRasgelelik\u201d tart\u0131\u015fmas\u0131na burada girilmeyecektir. \u201cRagelelik\u201d bilim, felsefe ve sanat alanlar\u0131nda tart\u0131\u015f\u0131lan ba\u015fl\u0131ca konulardand\u0131r. Bu kavramla ilgili geni\u015f bilgiye ula\u015fmak i\u00e7in kaynak\u00e7adaki makalelerden yararlan\u0131labilir.<\/p>\n

Ekonometri, Say\u0131sal \u00c7\u00f6z\u00fcmleme, \u015eifreleme, Bilgisayar Programlama, Deneysel Fizik, \u0130statistik… gibi bir\u00e7ok uygulamal\u0131 bilim alan\u0131nda rasgele say\u0131lar sim\u00fclasyon a\u015famas\u0131nda kullan\u0131l\u0131r. Sim\u00fclasyon; rasgelelik i\u00e7eren olay, sistem ve s\u00fcre\u00e7lerin bilgisayar ortam\u0131nda model \u00fczerinde deneyinin yap\u0131lmas\u0131d\u0131r. Son y\u0131llarda sim\u00fclasyon, \u00f6zellikle e\u011fitim alan\u0131nda kullan\u0131lan y\u00f6ntemlerin ba\u015f\u0131nda gelmektedir. Sim\u00fclasyonun temelinde rasgele say\u0131lar yatar. Yap\u0131lan sim\u00fclasyon i\u015fleminin ger\u00e7ek d\u00fcnyadaki olay\u0131 iyi bir \u015fekilde taklit edebilmesi istenir, e\u011fer taklit iyi yap\u0131lam\u0131yorsa deney ger\u00e7ek d\u00fcnyadaki olay\u0131 iyi temsil edemeyecektir. Bu nedenlerle rasgele dizi kavram\u0131n\u0131n uygulama a\u00e7\u0131s\u0131ndan \u00f6nemi b\u00fcy\u00fckt\u00fcr. \u0130statistiksel da\u011f\u0131l\u0131mlardan g\u00f6zlem almak i\u00e7in (0,1) aral\u0131\u011f\u0131nda d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131l\u0131ma sahip rasgele de\u011fi\u015fkenlerin \u00e7e\u015fitli fonksiyonlar\u0131 kullan\u0131l\u0131r. E\u011fer (0,1) aral\u0131\u011f\u0131ndaki d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131l\u0131mdan rasgele say\u0131 \u00fcretilemiyorsa do\u011fal olarak di\u011fer da\u011f\u0131l\u0131mlardan da say\u0131 \u00fcretmek m\u00fcmk\u00fcn olmayacakt\u0131r. Bunun i\u00e7in \u00e7e\u015fitli \u00fcrete\u00e7ler (fonsiyonel ili\u015fki) kullan\u0131lmakta ve \u00e7e\u015fitli istatistiksel \u00f6zellikleri sa\u011flayan \u00fcrete\u00e7ler rasgele say\u0131 \u00fcrete\u00e7leri olarak kullan\u0131l\u0131r. Bu say\u0131lar belirli matematiksel kurallara g\u00f6re \u00fcretildiklerinden \u201cs\u00f6zde rasgele say\u0131\u201d olarak bilinir. Bilgisayar ortam\u0131nda bu say\u0131lar\u0131 \u00fcretmek i\u00e7in pek \u00e7ok y\u00f6ntem kullan\u0131l\u0131r. Bu y\u00f6ntemlerin ba\u015f\u0131nda do\u011frusal e\u015flenik \u00fcrete\u00e7leri gelmektedir. Bunlar, x(k+1)=a*x(k)+c (mod m) \u015feklindedir. x(0) ba\u015flang\u0131\u00e7, de\u011feri a, c ve m say\u0131lar\u0131 belirlenerek ard\u0131\u015f\u0131k olarak say\u0131lar \u00fcretilir. Burada \u00f6nemli olan say\u0131lar\u0131n birbirini tekrar etmemesi ve istenildi\u011fi kadar \u00fcretilebilmesidir.<\/p>\n

\u00dcretilen bu say\u0131lar\u0131n baz\u0131 istatistiksel \u00f6zellikleri de sa\u011flamas\u0131 istenir. Bu \u015fekilde \u00fcretilen say\u0131lara \u201cs\u00f6zde rasgele\u201d say\u0131 denilir. Biz bilgisayarda x(0) ba\u015flang\u0131\u00e7 de\u011ferini a, c, m say\u0131lar\u0131n\u0131 bilmedi\u011fimizden ve bunlar baz\u0131 testleri ge\u00e7ti\u011finden rasgele say\u0131 olarak g\u00f6r\u00fcr\u00fcz. Ger\u00e7ek rasgele say\u0131lar, rasgelelik i\u00e7eren deneyler sonucunda ya da elektronik ara\u00e7lar sayesinde \u00fcretilir. Kolayl\u0131k olsun diye bilgisayarda bu s\u00f6zde rasgele say\u0131lar kullan\u0131l\u0131r. Bu rasgele say\u0131lar\u0131 \u00fcretmek ayr\u0131 bir uzmanl\u0131k alan\u0131d\u0131r.<\/p>\n

Pi \u00a0say\u0131s\u0131 rasgele say\u0131lar kullan\u0131larak da hesaplanabilir. (x,y) koordinat sisteminde \u20131\u2264x\u22641 ve \u20131\u2264y\u22641 karesini ele alal\u0131m ve bu b\u00f6lgeye S diyelim. Yine bu koordinat sistemindeki birim \u00e7emberi d\u00fc\u015f\u00fcnelim. Birim \u00e7emberin olu\u015fturdu\u011fu b\u00f6lgeye de A diyelim. Bu kareye rasgele oklar f\u0131rlatal\u0131m. Oklar\u0131n birim \u00e7emberin i\u00e7ine d\u00fc\u015fmesi ancak x2+y2\u22641 e\u015fitli\u011fi sa\u011fland\u0131\u011f\u0131nda ger\u00e7ekle\u015fir. Karenin alan\u0131 4, \u00e7emberin alan\u0131 \uf070 oldu\u011fundan rasgele f\u0131rlat\u0131lan bir okun birim \u00e7emberin i\u00e7ine d\u00fc\u015fmesi olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 P(A)=Alan(A)\/Alan(S)=\/4 olarak bulunur. P(A) de\u011ferini yap\u0131lan ok at\u0131\u015flar\u0131yla ya da rasgele say\u0131 kullanarak hesaplayabiliriz. Oklar \u00e7ok kez bu kareye at\u0131l\u0131r ve \u00e7emberin i\u00e7ine d\u00fc\u015fenler say\u0131l\u0131r, buna ba\u015far\u0131lar\u0131n say\u0131s\u0131 denilirse, toplam ba\u015far\u0131 say\u0131s\u0131n\u0131n deneme say\u0131s\u0131na oran\u0131 kullanarak hesaplayabiliriz. Oklar \u00e7ok kez bu kareye at\u0131l\u0131r ve \u00e7emberin i\u00e7ine d\u00fc\u015fenler say\u0131l\u0131r, buna ba\u015far\u0131lar\u0131n say\u0131s\u0131 denilirse, toplam ba\u015far\u0131 say\u0131s\u0131n\u0131n deneme say\u0131s\u0131na oran\u0131 bize bu olasl\u0131kla ilgili bir fikir verir.\"\"<\/p>\n

Toplam ba\u015far\u0131 say\u0131s\u0131na m, deneme say\u0131s\u0131na n denilirse m\/n = \/4 e\u015fitli\u011finden =4 m\/n bulunur. Deneme say\u0131s\u0131 belli oldu\u011fundan sadece m say\u0131s\u0131n\u0131 bulmak i\u015fimizi g\u00f6recektir. Bulunan bu sonu\u00e7lardan \uf070 de\u011feri yakla\u015f\u0131k olarak hesaplanabilir. Buffon\u2019un \u0130\u011fne Problemi; (Do\u011fa bilimci Louis Leclers – Buffon Kontu, 1777)\u2019nin bir geometrik olas\u0131l\u0131k probleminin \u00e7\u00f6z\u00fcm\u00fc sonucunda ortaya \u00e7\u0131kmas\u0131 a\u00e7\u0131s\u0131ndan \u00f6zellikle ilgin\u00e7tir. Bu deney herkes taraf\u0131ndan kolayca yap\u0131labilir ve pi i\u00e7in bir tahmin elde edilebilir. Bir d\u00fczlem, aralar\u0131 d birim olan paralel \u00e7izgilerle ayr\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r. Uzunlu\u011fu l <\/em>olan olan bir i\u011fne, bu \u00e7izgili y\u00fczeye rasgele d\u00fc\u015f\u00fcr\u00fcl\u00fcr. E\u011fer i\u011fne bir \u00e7izginin \u00fczerine d\u00fc\u015ferse iyi at\u0131\u015f olarak kabul edilir. \u00a0\u0130yi at\u0131\u015f yap\u0131lmas\u0131 olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 2l\/d pi<\/em> dir. l=d<\/em>=1 al\u0131nd\u0131\u011f\u0131nda olas\u0131l\u0131k 2\/pi olacakt\u0131r. Deney n kez yap\u0131l\u0131r ve ba\u015far\u0131lar\u0131n say\u0131s\u0131 m olursa, pi= m<\/em>\/2n<\/em> olarak hesaplan\u0131r. \u0130nternette bu deneyin sim\u00fclasyonunu yapan sayfalar bulmak m\u00fcmk\u00fcnd\u00fcr.<\/p>\n

Teorik fizik\u00e7i R. Pagels \u201crasgelelik nedir?\u201d sorusuna yan\u0131t vermeye \u00e7al\u0131\u015f\u0131rken, matematiksel ve fiziksel rasgelelik problemleri aras\u0131nda ayr\u0131m yapman\u0131n \u00f6nemine de\u011finmi\u015ftir. \u201cMatematiksel problem, say\u0131lar veya fonksiyonlar\u0131n rasgele s\u0131ras\u0131n\u0131n ne anlama geldi\u011fini tan\u0131mlayan bir mant\u0131ksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi ger\u00e7ek fiziksel olaylar\u0131n rasgelelik konusundaki matematiksel kriterlere uyup uymad\u0131\u011f\u0131n\u0131 belirlemektir. Rasgeleli\u011fin matematiksel bir tan\u0131m\u0131na sahip olana kadar, do\u011fal olaylar\u0131n bir dizisinin ger\u00e7ekten rasgele olup olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131 belirleyemeyiz. Bir kere b\u00f6yle bir tan\u0131m\u0131m\u0131z olunca, o zaman, ger\u00e7ek olaylar\u0131n b\u00f6yle bir tan\u0131ma kar\u015f\u0131l\u0131k gelip gelmedi\u011fini belirleme konulu ek deneysel bir problemimiz olur.\u201d\"\"<\/p>\n

Yaz\u0131-Tura atma deneyini d\u00fc\u015f\u00fcnelim ve yaz\u0131ya 0, turaya 1 de\u011ferini verelim. 0000000000, 1111111111, 0101010101, 0010100110 dizilerinin ortaya \u00e7\u0131kma olas\u0131l\u0131klar\u0131 teorik olarak e\u015fit olmakla birlikte d\u00f6rd\u00fcnc\u00fc dizi hari\u00e7 di\u011ferlerinin rasgele olmad\u0131\u011f\u0131 a\u00e7\u0131kt\u0131r. \u0130\u00e7inde 0\u2019dan 9\u2019a kadar numara verilmi\u015f toplardan olu\u015fan bir kavanozdan iadeli olarak 10 top \u00e7ekilmesi deneyinde, s\u0131ras\u0131yla; 0123456789 ve 0082167489 dizilerinin ortaya \u00e7\u0131kmas\u0131 olas\u0131l\u0131klar\u0131 teorik olarak e\u015fit olmas\u0131na ra\u011fmen yine birinci dizide rasgelelikten ku\u015fku duyulmaktad\u0131r.<\/p>\n

Elemanlar\u0131 belli bir say\u0131 sisteminin rakamlar\u0131ndan olu\u015fan diziler i\u00e7in rasgele dizi tan\u0131m\u0131 \u015fu \u015fekilde verilir: Dizideki elemanlar ard\u0131\u015f\u0131k k<\/em>\u2019l\u0131lar \u015feklinde ele al\u0131nd\u0131\u011f\u0131nda bu k<\/em>\u2019l\u0131lar\u0131n k <\/em>boyutlu birim k\u00fcpte da\u011f\u0131l\u0131\u015flar\u0131 d\u00fczg\u00fcn ise bu diziye k<\/em>-d\u00fczg\u00fcn\u2019d\u00fcr denir. \u00d6rne\u011fin, k<\/em>=1 i\u00e7in b baz\u0131na g\u00f6re rakamlardan olu\u015fan dizinin 1 d\u00fczg\u00fcn olmas\u0131 demek her bir rakam\u0131n dizide yer almas\u0131n\u0131n g\u00f6reli frekans\u0131n\u0131n 1\/b\u2019ye yak\u0131nsamas\u0131 demektir. Bir dizisinin kendisi ve t\u00fcm alt dizileri her k i\u00e7in k-d\u00fczg\u00fcn ise bu diziye rasgele dizi denir. 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0 dizisi 1-d\u00fczg\u00fcn, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 1-d\u00fczg\u00fcn de\u011fil, 1,0,1,0,0,1,1,1,0,1 dizisi 1-d\u00fczg\u00fcn, 2-d\u00fczg\u00fcnd\u00fcr. k <\/em>= 1, b = 10 baz\u0131na g\u00f6re rakamlardan olu\u015fan dizinin 1-d\u00fczg\u00fcn olmas\u0131 demek her bir rakam\u0131n dizide yer almas\u0131n\u0131n g\u00f6reli frekans\u0131n\u0131n 1\/10\u2019a yak\u0131nsamas\u0131 demektir. Sim\u00fclasyonda sonlu say\u0131da elemanl\u0131 diziler s\u00f6z konusu oldu\u011funda b\u00f6yle sonlu elemanl\u0131 diziler i\u00e7in rasgelelik nas\u0131l sa\u011flanacakt\u0131r? Dizi sonlu elemanl\u0131 oldu\u011fundan b\u00fcy\u00fck k<\/em>\u2019lar i\u00e7in k<\/em>-d\u00fczg\u00fcnl\u00fckten hi\u00e7 s\u00f6z edilemeyecektir.\"\"<\/p>\n

Pi say\u0131s\u0131n\u0131n ondal\u0131k basamaklar\u0131 \u00fczerinde yap\u0131lan \u00e7al\u0131\u015fmalarda bu say\u0131lar\u0131n istatistiksel (rasgelelik) testlerin hepsinden ge\u00e7ti\u011fi g\u00f6r\u00fclm\u00fc\u015ft\u00fcr. \u015eunu da belirtmek gerekir ki yeni bir istatistiksel test geli\u015ftirilebilir ve bu say\u0131lar bu testten kalabilir. Bu ondal\u0131k basamaklarda herhangi bir d\u00fczen olmad\u0131\u011f\u0131 g\u00f6r\u00fcld\u00fc\u011f\u00fc halde (bug\u00fcne kadar bulunamad\u0131) bir d\u00fczen olabilece\u011fi varsay\u0131m\u0131 alt\u0131nda ara\u015ft\u0131rmac\u0131lar \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131n\u0131 s\u00fcrd\u00fcrmektedir.<\/p>\n

Pi say\u0131s\u0131n\u0131n basamaklar\u0131n\u0131n hesaplanmas\u0131 i\u00e7in bir\u00e7ok y\u00f6ntem geli\u015ftirilmi\u015f ve halen geli\u015ftirilmeye devam edilmektedir. Acaba bu basamaklarda istatistiksel baz\u0131 \u00f6zellikler var m\u0131d\u0131r? Fazla istatistik bilgisine girmeden bunlar\u0131 g\u00f6zlemlemeye \u00e7al\u0131\u015faca\u011f\u0131z. \uf070 say\u0131s\u0131n\u0131n basamaklar\u0131 bir dosyada var olsun (kullanaca\u011f\u0131m\u0131z basamak say\u0131s\u0131 33.554.400, bu yaz\u0131 ile ilgili programlar, pi hesaplay\u0131s\u0131 ve di\u011fer d\u00f6k\u00fcmanlar leventmodelleme.com adresinden bulunabilir.) Acaba 0,1,2,\u2026,9 say\u0131lar\u0131ndan ka\u00e7ar tane yer almaktad\u0131r. E\u011fer bunlar d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131l\u0131ma sahipseler, yakla\u015f\u0131k olarak ayn\u0131 oranlarda bulunacakt\u0131r. Yani, 0,1,2,\u2026,9 say\u0131lar\u0131n\u0131n her birinden yakla\u015f\u0131k 3.355.440 tane bulunmas\u0131 gerekecektir. Bu say\u0131lardan ka\u00e7 tane bulundu\u011fu k\u0131sa bir bilgisayar program\u0131 ile hesaplanabilir. Sonu\u00e7lar\u0131n grafiklerini \u00e7izip g\u00f6rsel olarak g\u00f6rebiliriz. Buna g\u00f6re basamak say\u0131lar\u0131 s\u0131ras\u0131yla 3355085 3355565 3356623 3355072 3357257 3356378 3353816 3354630 3354113 3355861 olarak bulunur ve \u015eekil 1\u2019deki grafik elde edilir. Sonu\u00e7tan g\u00f6r\u00fcld\u00fc\u011f\u00fc gibi 0,1,2,\u20269, rakamlar\u0131n\u0131n say\u0131lar\u0131 birbirine olduk\u00e7a yak\u0131nd\u0131r. Bu rakamlar, 1\/10 olas\u0131l\u0131kla d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131lm\u0131\u015f olsalard\u0131 herbirinden 3.355.440 tane \u00e7\u0131kmas\u0131 beklenirdi. Bu beklenen de\u011ferlerle, g\u00f6zlenen (say\u0131lan) de\u011ferler kullan\u0131larak istatistikte Kikare de\u011feri hesaplanabilir (buna bir da\u011f\u0131l\u0131ma uyum iyili\u011fi testi denir). Bu hesapland\u0131\u011f\u0131nda g\u00f6zlenen de\u011ferlerin 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 de\u011ferlerini 1\/10 olas\u0131l\u0131kla alan d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131l\u0131m oldu\u011fu hipotezi kabul edilir. Dosyada bulunan rakamlar yan yana d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcl\u00fcrse yani, 00, 01,02,\u2026,99 say\u0131lar\u0131ndan ka\u00e7ar tane yer almaktad\u0131r? Bunun i\u00e7in de basit bir bilgisayar program\u0131 yaz\u0131p sonu\u00e7lar\u0131n grafi\u011fi \u00e7izilirse \u015eekil 2\u2019deki gibi bir grafik elde edilir. Rakamlar yan yana d\u00fc\u015f\u00fcn\u00fcld\u00fc\u011f\u00fcnde toplam 33554400\/2= 16.777.200 kadar ikili vard\u0131r. 00, 01,\u2026,99 say\u0131lar\u0131ndan 16.777.200\/100= 167.772 tane olmas\u0131n\u0131 bekleriz. \u015eekilden g\u00f6r\u00fcld\u00fc\u011f\u00fc gibi ikililerin say\u0131s\u0131 167.772 civar\u0131nda yer almaktad\u0131r. Buradaki beklentimizin nedeni de 00,01,\u202699 say\u0131lar\u0131n\u0131n da\u011f\u0131l\u0131m\u0131n\u0131n 1\/100 olas\u0131l\u0131kla d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131l\u0131m olmas\u0131d\u0131r. Yine benzer \u015fekilde Kikare hipotez testi yap\u0131lm\u0131\u015f ve bunlar\u0131n d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131l\u0131ma sahip oldu\u011fu g\u00f6r\u00fclm\u00fc\u015ft\u00fcr.\"\"\"\"\"\"\"\"<\/p>\n

Benzer \u015fekilde \u00fc\u00e7l\u00fclerin toplam say\u0131s\u0131 11.184.800 ve herbir \u00fc\u00e7l\u00fc i\u00e7in beklenilen de\u011fer 11.184 iken d\u00f6rtl\u00fclerin say\u0131s\u0131 8.388.600 ve beklenen de\u011fer 838 dir (\u015eekil 3 ve 4). Bunlar i\u00e7in de hipotez testi yap\u0131lm\u0131\u015f ve d\u00fczg\u00fcn da\u011f\u0131l\u0131ma sahip oldu\u011fu g\u00f6r\u00fclm\u00fc\u015ft\u00fcr. B\u00f6ylece 1-2-3-4 d\u00fczg\u00fcnl\u00fck sa\u011flanm\u0131\u015ft\u0131r. Akl\u0131m\u0131za acaba daha fazla say\u0131da d\u00fczg\u00fcnl\u00fck, \u00f6rne\u011fin, 100, 1000 d\u00fczg\u00fcnl\u00fck istatistiksel olarak sa\u011flan\u0131yor mu sorusu gelebilir. Bunun i\u00e7in elimizdeki 33.554.400 adet basamak yetmeyecek, milyarlarca trilyonlarca basama\u011f\u0131n hesaplanmas\u0131 gerekecektir. Bu kadar basama\u011f\u0131 hesaplamak daha \u00e7ok matematik ile birlikte bilgisayar donan\u0131m\u0131 ve yaz\u0131l\u0131m\u0131 gerektirir.<\/p>\n

Bu basamaklar\u0131 hesaplamak hem matematiksel bilgiyi hem de iyi derecede algoritma tasar\u0131m\u0131n\u0131 gerektirir ve bu algoritmalar zaman da yeni geli\u015ftirilen bilgisayarlar\u0131n h\u0131zlar\u0131n\u0131 test etmek amac\u0131yla kullan\u0131l\u0131r. Pi \u2019nin milyarlarca basama\u011f\u0131 cd\u2019lere kaydedilerek baz\u0131 durumlarda sim\u00fclasyon \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131nda do\u011fal rasgele say\u0131 olarak
\nkullan\u0131l\u0131r. \u015eimdiye kadar bu basamaklar rasgelelikle ilgili t\u00fcm istatistik testlerinden ge\u00e7mi\u015ftir.<\/p>\n

\u015eimdi Pi say\u0131s\u0131n\u0131n basamaklar\u0131n\u0131 kullanarak bir sim\u00fclasyon \u00e7al\u0131\u015fmas\u0131 yapal\u0131m. Bilgisayardaki rasgele say\u0131 \u00fcrete\u00e7lerini kullanmadan a\u015fa\u011f\u0131da tarif edildi\u011fi gibi ger\u00e7ekle\u015ftirilebilir. Belirli bir ba\u015flang\u0131\u00e7 noktas\u0131nda 1000 tane \u00e7ekirge bulunsun ve her biri e\u015fit olas\u0131l\u0131kla kuzey-g\u00fcney- do\u011fu-bat\u0131 y\u00f6nlerine do\u011fru 1 birim uzunlukta hareket etsin. S\u0131ras\u0131 gelen \u00e7ekirge bu y\u00f6nlerden birisini se\u00e7sin ve hareket etsin. 1000 tanesi 1 birim hareket ettikten sonra bulunduklar\u0131 yerden yine e\u015fit olas\u0131l\u0131klabu rasgele hareketi s\u00fcrd\u00fcrs\u00fcn. \u00c7ekirgelerin y\u00f6n se\u00e7imi ile ilgili bu rasgele hareketten sim\u00fclasyon ile nas\u0131l g\u00f6zlem al\u0131nacakt\u0131r? Pi say\u0131s\u0131n\u0131n basamaklar\u0131n\u0131n 2 d\u00fczg\u00fcnl\u00fck testinden ge\u00e7ti\u011fini biliyoruz. O halde bu basamaklar\u0131 kullanrak bu y\u00f6n se\u00e7imi i\u00e7in bir kural koyulabilir. 00,01,\u2026,24 i\u00e7in kuzey, 25,26,\u2026,49 i\u00e7in g\u00fcney, 50,51,\u2026,74 i\u00e7in do\u011fu, 75,76,\u2026,99 i\u00e7in bat\u0131 y\u00f6nleri se\u00e7ilebilir. \u00c7ekirgeler buna g\u00f6re z\u0131plad\u0131klar\u0131nda gittikleri yerler i\u015faretlendi\u011finde a\u015fa\u011f\u0131daki gibi g\u00fczel bir g\u00f6r\u00fcnt\u00fc ortaya \u00e7\u0131kar. Bu k\u00fc\u00e7\u00fck bir bilgisayar program\u0131 ile yap\u0131labilir ve animasyon \u015feklinde g\u00f6r\u00fclebilir. E\u015fit olas\u0131l\u0131kla hareket etmeselerdi \uf070 say\u0131s\u0131n\u0131n basamaklar\u0131 kullan\u0131lamayacakt\u0131. Sonu\u00e7 olarak, \u00e7ekirgeler bir tarlan\u0131n ortas\u0131na konulur ve e\u015fit olas\u0131l\u0131k ile rasgele hareket ederlerse tarladaki \u00fcr\u00fcn\u00fcn tamam\u0131n\u0131 belirli bir s\u00fcre sonunda t\u00fcketeceklerdir.\"\"<\/p>\n

Bunun gibi de\u011fi\u015fik sonu\u00e7lar\u0131 g\u00f6rmek i\u00e7in de\u011fi\u015fik d\u00fc\u015f\u00fcnceler geli\u015ftirilip farkl\u0131 ara\u015ft\u0131rmalar yap\u0131labilir. Pi say\u0131s\u0131n\u0131n basamaklar\u0131n\u0131n resmi \u00e7izilebilir, m\u00fczi\u011fi yap\u0131labilir.<\/p>\n

1415926535897932384626433832795028841971693993751058 20974944592307816406286208998628 basamaklar\u0131n\u0131 tekrar ele alal\u0131m. 1\u2019den bir ad\u0131m sonra 1\u2019le kar\u015f\u0131la\u015f\u0131l\u0131r, buna ba\u015far\u0131 diyelim. Ba\u015far\u0131 olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 1\/10 olan bir basket\u00e7inin ilk ba\u015far\u0131y\u0131 elde edene kadar yapt\u0131\u011f\u0131 at\u0131\u015flar\u0131n say\u0131s\u0131 olarak g\u00f6r\u00fclebilir. Acaba bu basket\u00e7inin ilk ba\u015far\u0131y\u0131 elde edene kadar yapt\u0131\u011f\u0131 at\u0131\u015flar\u0131n ortalamas\u0131 ne olur? \u00d6rne\u011fin bu ba\u015far\u0131dan 33 at\u0131\u015ftan sonra tekrar basket atacak, bundan sonra da 18 kez at\u0131\u015f yapacakt\u0131r. Bu d\u00fc\u015f\u00fcnceyi geni\u015fletmek olanakl\u0131d\u0131r. Bunlar\u0131 g\u00f6zle saymak olduk\u00e7a g\u00fc\u00e7t\u00fcr; basit k\u00fc\u00e7\u00fck bir bilgisayar program\u0131 yap\u0131larak ilk ba\u015far\u0131y\u0131 elde edene kadar yap\u0131lan at\u0131\u015flar\u0131n say\u0131s\u0131n\u0131n da\u011f\u0131l\u0131m\u0131 ortaya \u00e7\u0131kar\u0131labilir. Di\u011fer 0,2,\u2026,9 rakamlar\u0131 i\u00e7in de benzer ad\u0131m say\u0131mlar\u0131 yap\u0131labilir. D\u00f6k\u00fcmanlardan elde edece\u011finiz Pi say\u0131s\u0131n\u0131n basamaklar\u0131n\u0131 kullanarak \u00e7e\u015fitli \u00f6zellikler ke\u015ffedebilir ve y\u00fcz\u00fcn\u00fczde g\u00fczel g\u00fcl\u00fcmsemeler olu\u015fturabilirsiniz. Bu, say\u0131larla u\u011fra\u015fman\u0131n, sadece beyninizde de\u011fil, bedeninizdeki yans\u0131man\u0131n da bir g\u00f6r\u00fcnt\u00fcs\u00fc olacakt\u0131r.<\/p>\n

Kaynaklar<\/strong><\/p>\n

1) Blatner, D. (2003), \u00a0Co\u015fkusu, T\u00fcbitak Yay.<\/p>\n

2) Pagels, H. R. (1992), Kozmik Kod, Do\u011fan\u0131n Dili\/Kuantum Fizi\u011fi, Sarmal Yay.<\/p>\n

3) Morgan, B. J. T. (1992), Elements of Simulation, Chapman and Hall.<\/p>\n

4) Deak, I. (1990), Random Number Generators and Simulation, Akademiai Kiado.<\/p>\n

5) Dodge, Y. (1996), A Natural Random Number Generator, International Statistical Review, 329-344.<\/p>\n

6) Jaditz, T. (2000), Are the Digits of \u00a0an Independent and Identically Distributed Sequence?, The American Statistician, Vol.54, No.1, 12-16.<\/p>\n

7) Lange, L. J. (1999), An elegant Continued Fraction for , The American Mathematical Mountly, Vol.106, N.5, 456-458.<\/p>\n

8) Osler, T. J. (1999), The Union of Vieta\u2019s and Wallis\u2019s Product for Pi, The American Mathematical Mountly, Vol.106, N.8, 774-776.<\/p>\n

9) \u00d6zt\u00fcrk, F., \u00d6zbek, L. (2015). Matematiksel Modelleme ve Sim\u00fclasyon, Pigeon Yay.<\/p>\n

10) \u00d6zbek, L. (2016), Reflections and Comments on Randomness, Econometrics Letters Volume (3), pp. 28-33.<\/p>\n

11) \u00d6zbek, L., Babacan, E. K. ve Ba\u015fk\u0131r B. (2013), Algoritma tasar\u0131m\u0131na giri\u015f, Matematiksel ve \u0130statistiksel Uygulamalar, Gazi Yay.<\/p>\n

12) Bailey, D. H., Borwein, JH ve Ploufle, S. (1996), The Quest for pi, The Mathematical Intelligencer.<\/p>\n

13) Borwein, P. (2000), The amazing number , NAW 5\/1, nr.3, 42-46.<\/p>\n

14) Ganz, R. E. (2014), The Decimal Expansion of \u03c0 Is Not Statistically Random, Experimental Mathematics, 23:99\u2013104, 2014<\/p>\n

15) Bailey, D. H., M. Borwein, JH. ve di\u011f. (2012), An Empirical Approach to the Normality of \u03c0, <\/em>Experimental Mathematics, 21(4):375\u2013384.<\/p>\n

16) Ganz, R. E. (2017), Reply to \u201cReproducibility in Computational Science: A Case Study: Randomness of the Digits of Pi\u201d, Experimental Mathematics, Vol. 26, No:3, 306-307.<\/p>\n

17) Bailey, D. H., M. Borwein, J. H. Ve di\u011f. (2017), Reproducibility in Computational Science: A Case Study: Randomness of the Digits of Pi, Experimental Mathematics, Vol. 26, No:3, 298-305.<\/p>\n

18) P. Borwein, ki\u015fisel web sayfas\u0131 http:\/\/www.cecm.sfu.ca\/personal\/pborwein.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Pi say\u0131s\u0131 matematik bah\u00e7esinin en zarif \u00e7i\u00e7eklerinden birisidir. Archimedes\u2019den beri y\u00fczlerce y\u0131ld\u0131r matematik\u00e7ilerin ve di\u011fer biliminsanlar\u0131n\u0131n merak ve ilgiyle koklad\u0131klar\u0131 bir \u00e7i\u00e7ek olagelmi\u015ftir. Bu say\u0131n\u0131n bir\u00e7ok \u00f6zelli\u011fi vard\u0131r: Transandant (a\u015fk\u0131n) yani katsay\u0131lar\u0131 tam say\u0131 olan polinomun k\u00f6k\u00fc olamayan say\u0131d\u0131r. Bunun ispat\u0131 1882\u2019de Ferdinand von Lindemann taraf\u0131ndan yap\u0131lm\u0131\u015ft\u0131r. \u0130spat\u0131, iki y\u00fcz y\u0131ll\u0131k \u00f6nemli matematiksel katk\u0131lar\u0131 temel […]<\/p>\n","protected":false},"author":1762,"featured_media":30518,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[4215,38],"tags":[],"class_list":["post-30517","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-177-sayi","category-dergi-sayilari"],"acf":[],"aioseo_notices":[],"aioseo_head":"\n\t\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t