Bu yazıda kısa bir hikâyesi olan ilginç bir olasılık sorusunu ele alacağız.
Bir üniversitenin mezuniyet töreninde üniversite yönetimi olası protestoları engellemek amacıyla her öğrenciye bir numara vererek herkesin kendi numarasına ait koltuğa oturması kuralını koyar. 500 kişilik konferans salonunun giriş kapısında 500 öğrenci numaralarına göre sıralanır, ilk sırada 1, ikinci sırada 2 numaralı öğrenci ve diğer öğrenciler de bu şekilde sıralanarak en sonda 500 numaralı öğrencinin bulunduğu uzun bir kuyruk oluşur. Öğrencilerden salona sıra numaralarına göre girmeleri istenmiştir. İlk sıradaki 1 numaralı öğrenci 1 numaralı, 2 numaralı öğrenci 2 numaralı koltuğa ve bu şekilde her öğrenci önündeki öğrencinin kendi koltuğuna oturmasından sonra salona girerek, kendi numarasına ait olan koltuğa oturmalı duyurusu yapılır.
Salona girmek için bekleyen öğrenciler bu akıl dışı uygulamaya polisiye tedbirler yüzünden tepki vermekten korkarlar, ama bu sırada 1 numaralı öğrenci 2 numaralı öğrencinin kulağına şu sözleri fısıldar: “Koltuk numaralarına bakmaksızın rastgele bir koltuğa oturarak küçük bir oyun oynayacağım. Belki de kendi koltuğuma, yani 1 numaralı olana otururum, bilemiyorum. Böylece yönetici amcaların isteklerinin gerçekleşme olasılığı 500 de 1 olacak”. Bu muzip öğrenci dediğini yaparak rastgele bir koltuğa oturur ve sonra gelen öğrenciler ceza alma korkusuyla itaatkâr davranıp, kendi numaralarına ait koltuk boşsa o koltuğa, boş değilse rastgele bir koltuğa otururlar.
Kuyruğun sonuna, son sıradaki 500’üncü öğrenciye gelirsek… Matematik bölümünün en parlak öğrencilerinden biri olan bu mezun, 1 numaralı öğrencinin verdiği kararın ve sonra gelen öğrencilerin kendi numaralarına ait koltuk boşsa o koltuğa, boş değilse rastgele bir koltuğa oturduklarının haberini almıştır. Salona girmeyi beklerken kafasına şu soru takılır: Acaba benim kendi koltuğuma oturma olasılığım kaç?
Hikâyeleştirdiğimiz bu ilginç olasılık problemini özetleyerek şöyle soralım: 500 öğrenciden ilk öğrenci rastgele bir koltuğa oturuyor. Sonra sırasıyla gelen öğrenciler eğer kendi koltukları boş ise kendi yerlerine, boş değilse rastgele bir yere otururlarsa 500’üncü öğrencinin kendi koltuğuna oturma olasılığı kaçtır?
Zor gibi görünen bu problemin oldukça basit bir çözümü var: Son öğrencinin salona girmesinden önce sadece iki koltuktan biri boş olabilir: 1’inci veya 500’üncü koltuklar, çünkü bu koltuklar dışındaki yerlere ya sahipleri ya da başkaları oturmuş olacak. O halde son öğrenci ya kendi koltuğuna ya da 1’inci koltuğa oturabilir, dolayısıyla istenen olasılık 1/2’dir.
Bu cevaba anlaşılmadığı yolunda haklı itirazlar gelebilir. Yukarıdaki çözümü daha açık hale getirebilmek için öğrenci sayısını küçültelim. Örneğin A, B, C, D gibi dört öğrencinin koltuk numaraları sırasıyla 1, 2, 3, 4 olsun ve salona A, B. C, D sırasıyla girsinler.
A = 1 ise yani A, 1 nolu koltuğa oturmuşsa B = 2, C = 3, D = 4 olacaktır.
Eğer A = 2 ise aşağıdaki gibi 4 seçenek ortaya çıkar.
A = 2, B = 1, C = 3, D = 4,
A = 2, B = 3, C = 1, D = 4,
A = 2, B = 3, C = 4, D = 1,
A = 2, B = 4, C = 3, D = 1.
Eğer A = 3 ise aşağıdaki gibi 2 seçenek vardır.
A = 3, B = 2, C = 1, D = 4,
A = 3, B = 2, C = 4, D = 1.
Eğer A = 4 ise B = 2, C = 3, D = 1 olacaktır.
Dikkat edilirse yukarıda 4 öğrenci için yaptığımız analizde son kişi olan D, hep ya 1 ya da 4 numaralı koltuğa oturuyor. Çünkü son öğrencinin kendi koltuğuna oturma olasılığı, salona daha önce giren öğrencilerden herhangi birinin 1’inci veya 4’üncü koltuğa oturup oturmadığına bağlı. Eğer daha önce 1 numaralı koltuğa oturulmuşsa son kişi kendi koltuğuna, daha önce 4 numaralı koltuğa oturulmuşsa bu kez son öğrenci 1 numaralı koltuğa oturmak zorunda kalıyor. Bunun nedeniyse 1 veya 4’ten herhangi birine oturulduğunda diğer iki koltuğun (2 ve 3’ün) dolduruluyor olması. Ayrıca unutmayalım ki, salona son girecek kişiden önceki öğrencilerin her birinin 1 veya 4 numaralı koltuğa oturma olasılılığı aynı.
Çözüm 1. Yukarıdaki çözümleme 500 öğrencide de aynı olacaktır. Örneğin salona ilk giren öğrencinin 200 numaralı koltuğa oturduğunu varsayalım. Sonra gelen ilk 198 kişi (2, 3, 4, 5, … 199) kendi yerlerine oturacaklardır. Eğer 200’üncü kişi 1 numaralı koltuğa oturursa 201 ve 201’den sonraki numaralı öğrenciler kendi yerlerine oturacaklarından 500’üncü öğrenci de kendi koltuğuna oturmuş olur. Şimdi de 200’üncü kişinin 1 numaraya değil de 200’den daha büyük numaralı bir koltuğa oturduğunu varsayalım. Örneğin 498 numaralı koltuğa otursun. Bu durumda sonradan salona giren 297 kişi (201, 202, 203, … 497) kendi koltuklarına oturacağından 498 numaralı öğrenciye 1, 499 ve 500 numaralı koltuklar kalır. Böylece
498 numaralı öğrenci bu üç koltuktan hangisine oturursa otursun son gelen kişi ya 1 ya da 500 numaralı koltuğa oturacağından istenen olasılık ½ olur. Buradaki püf nokta, yukarıda seçtiğimiz 498 sayısını daha küçük alsak da son kişi salona girmeden önce sadece 1 ya da 500 numaralı koltuklardan sadece birinin boş kalacağıdır.
Çözüm 2. Salona ilk giren öğrenci için 3 farklı seçenek var: ya kendi koltuğuna, yani 1 numaralı yere oturur, ya 500 numaralı koltuğa ya da ne 1 ne de 500 numaralı koltuklara oturur. Kendi koltuğuna oturma olasılığı 1/500’dür. Bu durumda son öğrencinin kendi koltuğuna oturma olasılığı 1 olur. 500 numaralı koltuğa
oturursa son öğrencinin kendi yerine oturma olasılığı 0 olur. 1 ve 500’den farklı bir koltuğa oturma olasılığı 498/500’dür. Bu durumda son kişinin kendi koltuğuna oturma olasılığı 1/2 olur. Bu seçeneklerle istenen olasılık aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
1/500.1+1/500.0+498/500.1/2-1/2
Genel çözüm 1. Salonda N koltuk ve n kişi olduğunu varsayarak herhangi bir kişinin kendi koltuğuna oturma olasılığını hesaplayalım. Önce herhangi bir kişinin kendisine ait olan bir koltuğa oturmama olasılığını bulup bu sayıyı 1’den çıkaracağız.
Öğrenciler kümesini {A1, A2, A3,… An} ile koltuk numaralarının kümesini de {1, 2, 3, …n} ile gösterelim.
A1 rastgele bir koltuğa oturduğunda, k ≥ 2 olmak üzere Ak öğrencisinin kendi numarasına ait olan koltuğun dolu olma olasılığını bulmalıyız. Daha önce de gördüğümüz gibi Ak öğrencisi kendi koltuğuna oturmaya geldiğinde 2, 3, …, k–1 numaralı koltuklar dolu olacak. Ayrıca, geriye kalan n–k+2 koltuktan birine de A1, A2, A3, …, Ak–1 öğrencilerinden biri oturacak. O halde k’inci koltuğa Ak öğrencisinden başka bir öğrencinin oturma olasılığı 1/n-k+2 olur. Buradan Ak öğrencisinin kendi koltuğuna oturma olasılığı
P(A_(k ) )=1-1/(n-k+2 olarak bulunur. Yukarıdaki kesirde n = k alınırsa salona son giren öğrencinin kendi koltuğuna oturma olasılığı 1/2 olur.
Genel çözüm 2. Salonda yine N koltuk ve n kişi olsun (n ≥ 2). Eğer, her k < n için ilk k öğrenci kendi koltuklarına oturursa (grup olarak, tek tek değil), bundan sonra gelen herkes, son öğrenci de dâhil, kendi yerine oturur. Ayrıca, eğer ilk k öğrenciden biri son öğrencinin koltuğuna oturmuşsa, son öğrenci kendi koltuğuna oturamaz. Şimdi şöyle düşünelim: Eğer 1 numaralı öğrenci numarası k’den büyük olan bir koltuğa oturmuşsa k’inci öğrenci kendi koltuğuna oturacaktır. Eğer 1 numaralı öğrenci numarası k’den küçük veya eşit bir koltuğa oturduysa bu durumda k’inci öğrencinin seçenekleri arasında 1’inci ve sonuncu koltuklar da olacaktır. Ki böylece k’inci öğrencinin tercihi eşit olasılıkla yukarıda sözünü ettiğimiz iki durumdan birine dönüşmüş olur. Bu şekilde k’yi artırarak N’ ye eşitlersek son öğrenci için 1 veya n numaralı koltuklardan başka bir seçeneğin olamayacağı sonucuna ulaşmış oluruz.
