Matematiksel düşünmenin zarafetiyle dolu üç güzel oyunu çözümleriyle birlikte paylaşıyorum.
Sayı tahmin oyunu
Arkadaşınız kâğıda yazdığı iki basamaklı doğal sayıyı tahmin etmenizi istiyor. Her tahmin sonrasında doğru olan basamak sayısını 0, 1 ve 2 rakamlarından biriyle söyleyeceğini bildiriyor. Örneğin, kâğıtta 54 yazılı ve siz 24 dediniz. Arkadaşınız “1” diyor, sonrasında 45 dediyseniz bu kez hiçbir basamağın yerini doğru bilemediğiniz için “0” yanıtını veriyor. Elbette, “2” dediğinde sayıyı bildiğinizi söylemiş oluyor.
En az kaç tahminde kâğıttaki sayıyı bulmayı garantilersiniz?
Çözüm. Önce, 10’dan başlayarak ve 11 artırarak şu 9 sayıyı söylemelisiniz: 10, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98. Son söylediğiniz sayıya kadar arkadaşınız susmuş ve 98 dediğinizde “2” demişse kâğıttaki sayı 98’dir. Eğer “1” dediyse 99. Şimdi diğer durumlara bakalım, aradan bir sayıyı alalım. Örneğin 32 sayısını söylediğinizde arkadaşınız “2” dediyse kâğıttaki sayı 32’dir. Eğer “1” dediyse kâğıttaki sayı 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 veya 42, 52, 62, 72, 82, 92 sayılarından biridir. Bu durumda 4’üncü tahmin olarak “33” derseniz, eğer gelen yanıt “2” ise kâğıttaki sayı 33’tür, arkadaşınız “1” dediyse kâğıttaki sayı 34, 35, 36, 37, 38, 39 sayılarından biridir ve bu sayıları teker teker söyleyerek en fazla 5 tahminde kâğıttaki sayıyı bulursunuz. Eğer arkadaşınız “0” dediyse bu kez aradığınız sayı 42, 52, 62, 72, 82, 92 sayılarından biridir ve yine en fazla 5 tahminde kâğıttaki sayı bulunabilir. Böylece başlangıçta 3 tahmin ve ardından 33 diyerek 1 tahmin ve son olarak 5 tahminle toplam 9 tahmin yaparak kâğıttaki sayı bulunur.
Başlangıçta söylenen 9 sayıdan herhangi birini de yukarıdaki gibi incelersek en fazla 9 tahminde kâğıttaki sayının bulunabileceği görülür.
Sayı çıkarma oyunu
A ve B gibi iki oyuncu 1000 sayısından sayılar çıkararak şöyle bir oyun bir oyun oynuyorlar: Önce A, bu sayıdan herhangi bir asal sayının doğal sayı kuvveti (a asal, n doğal sayı olmak üzere an sayıları) olan istediği bir sayıyı çıkarıyor. Sonrasında B, kalan sayıdan yine herhangi bir asal sayının doğal sayı kuvveti olan istediği bir sayıyı çıkarıyor. Sonra yine A kalan sayı için aynı işlemi yapıyor ve oyun sırasıyla bu şekilde devam ediyor. En son sayıyı çıkaran, yani sonucu 0 bulan oyuncu oyunu kazanıyor.
Bu oyunda hangi oyuncu nasıl oynarsa oyunu kazanmayı garantileyebilir?
Çözüm. A şöyle oynarsa daima kazanır: İlk adımda 1000 sayısından 22 = 4 sayısını çıkararak B’ye 996 sayısını bırakmalı. 996’nın 6’ya tam bölünebilen bir sayı olduğuna dikkat edelim, bunun önemini az sonra açıklayacağız. A sonraki adımlarında da B’den kalan sayılardan 20 = 1, 21 = 2, 31 = 3, 22 = 4 veya 51 = 5 sayılarını çıkararak B’ye hep 6’ya tam bölünen bir sayı bırakırsa B’den kalan sayılar 6’ya tam bölünmeyen sayılar olacaktır. Çünkü a asal, n doğal sayı olmak üzere an sayıları 6’nın katı olamaz. (Asallar arasında 2’den başka çift sayı olmadığından hiçbir asalın doğal sayı kuvveti 6’nın katı değildir) Böylece A kazanır, çünkü oyun sonunda B’nin 0’ı elde edecek bir sayıyı çıkarması mümkün olmayacaktır.
Son kâğıt kazandırıyor
A ve B gibi iki oyuncu 50 adet kâğıtla şöyle bir oyun oynuyorlar: A ilk hamlesinde kâğıtları sadece dilediğince iki desteye ayırıyor. Sonrasında B, bu destelerden birini oyun dışında bırakarak masanın kenarına koyuyor ve diğer desteyi iki parçaya ayırıyor. Bu kez A da aynı işlemi yapıyor, yani oyunda kalan son iki desteden birini oyun dışında bırakıp diğerini iki parçaya ayırıyor. Oyun sırasıyla bu şekilde devam ediyor ve son kâğıdı alan oyunu kazanıyor.
Bu oyunu hangi oyuncu nasıl oynarsa kazanır?
Çözüm. Bu oyunu da A şöyle oynarsa kazanır: A’nın amacı B’nin son hamlesini yapacağı iki destenin 2 ve 3 kâğıttan oluşmasını sağlamak olmalı, çünkü eğer B’nin önünde 2 ve 3 kâğıttan oluşan iki deste varsa son hamlesini yaptıktan sonra mutlaka 1 kâğıtlık bir parça olacaktır. Bu durumda A, 1 kâğıtlık parçayı oyun dışında bırakıp diğer destedeki kâğıtları alarak oyunu kazanmış olur.
Şimdi oyunun başına dönelim ve A’nın oyun sonunda B’nin önüne 2 ve 3 kâğıttan oluşan 2 desteyi koymayı nasıl başaracağını görelim. Başlangıçta A, 50 kâğıtlık desteyi 5’le bölündüklerinde 2 ve 3 kalanını veren iki desteye ayırmalı. Örneğin 22 ve 28’lik iki deste olabilir. Bundan sonra B’nin hamlesiyle oluşacak destelerden en az birindeki kâğıt sayısı 5’le bölündüğünde 0, 1 veya 4 kalanını verecektir. Artık A, bu aşamadan sonra önüne koyulan iki desteden birini oyun dışında bırakacak, diğerini de 5’le bölündüğünde 3 ve 2, 3 ve 3 veya 2 ve 2 kalanını veren sayıdaki iki desteye ayıracaktır. Böylece son hamlede B’nin önünde 2 ve 3 kâğıttan oluşan iki deste kalmış olacak ve A kazanacaktır.
