Ali Törün
SAT, üniversitelere kabul için yaygın olarak kullanılan ve uluslararası geçerliliği olan Amerika Birleşik Devletleri merkezli bir test sınavıdır.
1982 SAT’de sorulan yanlış bir matematik sorusu SAT’ye kötü bir şöhret kazandırmakla kalmayıp 300.000 öğrencinin sınav sonuçlarının yeniden değerlendirilmesine yol açar:
“A çemberinin yarıçapı, B çemberinin yarıçapının 1/3’üdür. A çemberi, başlangıç konumuna dönene kadar B çemberi etrafında dönüyor. A çemberi toplamda kaç devir yapmıştır?”
SAT’de dört yanlış bir doğruyu götürmediğinden boş bırakan olmaz ve bu sınava giren herkes bu soruyu yanlış cevaplar; çünkü seçeneklerde doğru cevap yoktur!
Sorunun doğru cevabının seçeneklerde olmadığı sınav sonrasında üç öğrencinin itirazı üzerine anlaşılır ve soru tüm sınav katılımcıları için iptal edilir.
Soruyu hazırlayanlar, küçük çemberin büyük çemberin çevre uzunluğu kadar bir yol kat edeceğini düşünerek cevabı 3 açarak yanılmışlardır.
Eğer küçük çember, düz bir yol boyunca büyük çemberin çevresi kadar bir mesafeyi dönerek kat etmiş olsaydı bu sonuç doğruydu. (Aşağıdaki şekilde 1. durum)
Ama küçük çember büyük çemberin çevresi etrafında döndüğünde durum değişiyor ve 1 tur daha eklenerek sonuç 4 oluyor. (Aşağıdaki şekilde 2. durum)
Bu bir tur fazlalığı görmenin en kolay yolu küçük çemberin başlangıç konumuna gelebilmesi için merkezinin aldığı yolu gözlemlemektir; çünkü küçük çemberin başlangıç noktasına gelebilmesi için aşağıdaki şekilde görülen üç nokta (küçük ve büyük çemberin merkezleri ve değme noktası) doğrusal olmalıdır.
Bu durumda küçük çemberin merkezi yarıçapı 4 birim olan bir çember üzerinde dolaşarak başlangıç noktasına gelir ve dolayısıyla 4 tur atamış olur.
1982 SAT’nin hazırlayanlarını da yanıltan bu soru, sezgisel yaklaşımla matematiksel düşünme arasındaki farka işaret eden ve matematiksel akıl yürütmenin zarif, bazen de sezgisel olmayan doğasını ortaya koyan güzel bir örnek. Belki de bu yüzden yazının başlığını tekrarlamak gerekir: Yanlış da matematiğe dahil!
Beşer şaşar ustalar da şaşar.
Matematik tarihine göz attığımızda birçok büyük matematikçinin “iyi hatalarıyla” karşılaşırız. İyi hatalar yeni fikirlerin üretilmesine, yeni matematik alanlarının doğmasına yol açmıştır. Bu iyi hataların üçünün hikayesi aşağıdaki gibidir.
Bu durumda küçük çemberin merkezi yarıçapı 4 birim olan bir çember üzerinde dolaşarak başlangıç noktasına gelir ve dolayısıyla 4 tur atamış olur.
1982 SAT’nin hazırlayanlarını da yanıltan bu soru, sezgisel yaklaşımla matematiksel düşünme arasındaki farka işaret eden ve matematiksel akıl yürütmenin zarif, bazen de sezgisel olmayan doğasını ortaya koyan güzel bir örnek. Belki de bu yüzden yazının başlığını tekrarlamak gerekir: Yanlış da matematiğe dahil!
Beşer şaşar ustalar da şaşar.
Matematik tarihine göz attığımızda birçok büyük matematikçinin “iyi hatalarıyla” karşılaşırız. İyi hatalar yeni fikirlerin üretilmesine, yeni matematik alanlarının doğmasına yol açmıştır. Bu iyi hataların üçünün hikayesi aşağıdaki gibidir.
Poincare makalesini çekiyor, ödülden vaz geçiyor
19. yüzyılın büyük Fransız matematikçisi Henri Poincare’nin “Üç cisim problemi ve dinamik denklemler” isimli makalesindeki hatanın ortaya çıkışı ve sonrası çok ilginçtir.
İsveç ve Norveç’i yöneten kral II. Oscar 1888’de astrofizik ve matematik dallarına ait kendi adıyla anılan bir ödül koyar. Weierstrass ve Hermite gibi ünlü matematikçiler tarafından hazırlanmış dört problemden herhangi birini çözen ödülün sahibi olacaktır.
Bu sorulardan ilki güneş sistemiyle ilgilidir ve kabaca şöyle ifade edilebilir: Güneş sistemi Newton fiziği yasalarıyla açıklandığı üzere sonsuza dek düzenli olarak işleyebilecek mi, yoksa bir gezegen güneşe veya başka bir gezegene çarpabilir mi? Başka bir deyişle, başlangıçta gezegenlerin kütle, yer, hız, zaman ve hareket yönlerini biliyor olmamız onların “sonsuza dek” nasıl hareket edeceklerini belirlememizi sağlar mı?
Poincaré, hazırladığı makaledeki görüş ve düşünceleriyle bu soruyu kısmen yanıtlayarak 1890’da ödülün sahibi olur. Jüri başkanı Weierstrass, Poincaré’nin çalışması hakkındaki görüşlerini ödül organizasyonunu yapan Mittag-Leffler’e şu cümlelerle bildirir: “Kralınıza, aslında bu çalışmanın öne sürülen soruya tam bir çözüm getirmiş olduğunun kabul edilemeyeceğini, ancak yine de yayımlanması halinde gök mekaniğinde yeni bir dönem başlatacak kadar önemli bir çalışma olduğunu söyleyebilirsiniz.”
Poincaré’nin makalesi gök cisimlerinin hareketlerinin düzenli ve belirlenebilir olduğunu gösteriyordur ama Poincare, günümüzde kelebek etkisi olarak bilinen, başlangıç koşullarına duyarlı bağımlılık kavramını göz ardı ettiğinin farkında değildir.
Bazı gökbilimciler makaledeki bu açık üzerine itiraz ederler ve bir süre sonra Poincaré hatalı olduğunu kabul eder, yaptığı hatanın çalışmasının tümünü çürüttüğünü anlar. Öte yandan, 2500 Kronluk ödülle birlikte altın madalyayı almıştır ve makale enstitünün bülteninde çoktan yayımlanmıştır.
Bülten toplatılır, Poincaré bir yıl sonra yeni bir çalışmayla bu kez tam tersine, zaman içinde gezegenlerin hareketlerinin güvenilir bir şekilde tahmin edilemeyeceğini, çünkü başlangıç değerlerinin sonsuz bir doğruluk derecesiyle bilmenin mümkün olamayacağını savunur. Sonrasında ilginç bir sonuç ortaya çıkar; çünkü Poincaré’nin bu son çalışması günümüzde kaos teorisi olarak bilinen kuramın temellerini oluşturmuştur.
Bu olayda Poincaré’nin bilimsel bakımdan yaşadığı hayal kırıklığının maddi sonuçları da olmuştur. Enstitü, Poincaré’den toplatılıp imha edilen hatalı versiyonun baskı giderlerinin karşılığı olarak 3500 Kron talep eder. Böylece Poincaré, aldığı 2500 Kronluk ödülden 1000 Kron daha fazlasını ödeyerek kaos teorisinin öncüleri arasında yer alır.
Euler’in yanılgısı ve sayılar teorisi
Matematik tarihinin en üretken matematikçisi ve bir matematik dehası olan Leonhard Euler’in sayılar teorisi, sonsuz seriler, limit gibi kavramları kullanırken yaptığı hatalar günümüz matematikçilerine saç baş yolduracak niteliktedir.
Euler, 1769’da bilinen en ünlü teoremlerden biri olan Fermat’nın Son Teoremi’nin bir genellemesi olarak, n>2
a^n+b^n+c^n=d^n
eşitliğini sağlayan a, b, c, d pozitif tamsayılarının bulunamayacağını öne sürer ve özellikle n = 4 için bu denklemin çözümünün olamayacağını ifade eder. Bu sanı 200 yılı aşkın bir süre geçerliliğini korur ama 1988’de Amerikalı matematikçi Noam Elkies dördüncü kuvvetler için Euler’in varsayımına uymayan bir karşı örnek bulur:
26824404^4+153656394^4+187967604^4 = 206156734^4.
Elkies, yukarıdaki sayıların denklemi sağlayan en küçük değerler olduğunu göstermekle birlikte sonsuz sayıda karşı örnek üretmenin yöntemini de yayımlar.
Euler’in bu yanılgısı sayılar teorisinde birçok araştırmanın önünü açarak günümüz matematikçilerinin bu alanda araştırma yapmasına olanak sağlamıştır.
Frege’yi yıkan hata ve entelektüel dürüstlük
Analitik felsefenin ve çağdaş dil felsefesinin kurucuları arasında yer alan Alman asıllı matematikçi ve mantıkçı Gottlob Frege, 1893’te ünlü Aritmetiğin Temelleri adlı yapıtının birinci cildini yayımlar. Bu çalışmasıyla aritmetiğin temelleri üzerine bir mantık sistemi geliştiren Frege beklediği ilgiyi göremez.
Aritmetiğin Temelleri’nin ilk cildinin yayımlanmasından dokuz yıl sonra ikinci cildini tamamlar, baskıya gönderir.
Birkaç gün sonra Bertrand Russell’dan bir mektup alır. Russell, mektubunda Aritmetiğin Temelleri’ni okuduğunu, çok beğendiğini ve çok yararlandığını övgü dolu cümlelerle anlatarak ikinci cildin yayımlanmasını sabırsızlıkla beklediğini belirtir. Sonrasında da keşfettiği bir paradokstan (Russell paradoksu) söz eder.
Frege bu paradoksun önemini büyük bir üzüntüyle hemen kavrayıp üzerinde dokuz yıl boyunca çalışarak ulaştığı sonuçların temellerinin sarsıldığını anlar.
Hayatını adadığı, yıllarca çalışarak ortaya çıkardığı kuramının sağlam olmadığını görür. Kitabın baskı plakaları hazırlanmıştır, temel değişikler yapabilmesi için çok geçtir. Sadece bir sonsöz yazmakla yetinmek zorunda kalır.
Frege, kitabın sön sözünde şu cümlelere yer verir: “Bir biliminsanının başına gelebilecek en talihsiz şey, çalışması bittikten sonra, kurduğu yapının temellerinin sarsılmasıdır. Kitabımın ikinci cildinin tamamlanmasına yakın, Sayın Bertrand Russell’dan aldığım mektupla, ben bu duruma düştüm.”
Sonrasında Russell bu olayla ilgili düşüncelerini şu sözlerle anlatacaktır: “Entelektüel dürüstlük ve doğru sözlülük örneklerini düşündükçe şunu anlıyorum ki, Frege’nin kendini hakikate adanmışlığıyla karşılaştırabilecek bildiğim hiçbir örnek yok. […] Temel varsayımının hatalı olduğunu fark etmesi üzerine kişisel hayal kırıklığını ve duygularını hiç kimselere göstermeden entelektüel bir zevkle bana yanıt verdi. Bu, egemenlik kurma ve tanınma yolunda sığ çabalar harcamak yerine kendini yaratıcı yapıtlara ve bilgiye adaması durumunda insanın nelere kadir olabileceğinin dokunaklı bir göstergesi ve neredeyse insanüstü bir davranış örneğiydi.”
Frege’nin hatası matematik tarihinde dramatik bir dönüm noktasıdır; çünkü Russell Paradoksu olarak adlandırılan, “Kendisini eleman olarak içermeyen tüm kümelerin kümesi kendisini içerir mi?” sorusunun yanıtsız kalmasıyla matematiğin temelleri adeta tehdit altında kalmıştır.
Russell Paradoksundan sonra matematikçiler “Hangi kümelerin var olmasına izin vereceğiz?” sorusunu daha dikkatli sormaya başlarlar ve bu süreç felsefi sonuçlarının yanı sıra, tanımların aşırı dikkatli yazılması, aksiyomların daha açık belirtilmesi ve biçimsel ispat sistemlerinin kurulmasıyla aksiyomatik kümeler kuramının inşası sonucunu doğurur.
Hatalar neden önemli?
Matematikte yapılan hataları sadece “yanlış sonuçlar” olarak değil de matematiğin nasıl geliştiğini anlamanın anahtarı olarak görmek gerekir ve hatta matematik tarihi, bir bakıma yanlış sezgilerin, eksik tanımların, başarısız ispatların, karşı örneklerin giderek daha sağlam yapılara dönüşmesinin tarihidir.
Erken dönem matematiğinde sonsuz seriler, limit, süreklilik, sonsuz küçükler gibi birçok kavram “sezgisel” olarak doğru kabul ediliyordu ve sonrasında bu kabuldeki hataların özellikle Weierstarss, Cauchy, Bolzana gibi matematikçiler tarafından ortadan kaldırılmasıyla matematiksel kesinliğin temelleri üzerinde modern analiz doğdu. Önceki hatalar olmasaydı belki de modern analiz bu denli sağlam bir yapıya kavuşamayacaktı.
19. yüzyıla kadar birçok matematikçi “Doğru görünen şey büyük ihtimalle doğrudur” yaklaşımına daha yakındı ve bu yaklaşımın sonucu olarak hataların artmasıyla tam ispat, açık varsayım matematik yapmanın olmazsa olmazı haline geldi.
Matematikteki hataların pozitif bilimlerdeki hatalardan farklı olarak kesin bir biçimde teşhis edilebilip düzeltilebiliyor olmaları bu hataları daha değerli kılmaktadır.
Sonuç olarak matematik yaparken oluşan hatalar ister bir SAT sınavında ortaya çıksın isterse bir teoremin ispatında veya bir kuramın inşası sürecinde hiç fark etmiyor asla bir “son” değil hep daha derin bir başlangıca yol açıyor.
KAYNAKLAR
1) A. Nesin, A. Törün, Matematikçi Portreleri, Nesin Yayınevi, 2025.
2) https://kskedlaya.org/putnam-archive.
