Zafer Ercan
19. yüzyılda Leopold Kronecker (1823-1891) “sayıları (doğal sayılar) Tanrı inşa etti” derken, Kurt Gödel (1906-1978) “Doğal sayıları inşa eden bir sistem tutarlıysa kendi sistemi içerisinde tutarlı olduğunu kanıtlayamaz”ı kanıtladı. Ve bunun yanında, yiyecek bolluğu ve yeme becerisinde olmasının açlıktan ölmesine engel olamayacağını da; çünkü takıntılıydı. Bu veriler altında, Tanrı’nın her şeye muktedir olduğu doğruysa Kronecker yanılıyor olmalıydı. Kronecker doğruysa “Tanrı her şeye muktedir değildir” çıkarımı ortaya çıkıyordu.
Böylesi bir ortamda, Hilbert’in “1000 yıl sonra dirilip gelsem, soracağım ilk soru ‘Riemann Hipotezi ne durumda?’ olurdu”ya el yükseltip, 0=1 olduğu gösterildi mi?” sorusu olabilirdi. Ayrıca, konu edilecek çıkarımın düzeyi, “Ali çalışkan ve Ali çalışkan olduğunda Veli de çalışkan oluyorsa Ali çalışkandır” seviyesinde olacak.
Önerme, teknik olarak, sonlu sayıda sembolün belirli bir dizilimidir ve fonksiyon terimiyle ifade edilir. Konuşma dilinde ise önerme, doğru ya da yanlış değerlerinden sadece biriyle donatılmış bir ifade olarak tanımlanabilir. Yani her önermenin Doğru (1 ile gösterilir) ya da Yanlış (0 ile gösterilir) bir değeri vardır. p ile gösterilen bir önermenin değeri d(p) ile ifade edilir. Önermelerin doğru ve yanlış ile temsil edilmesi George Boole tarafından 1854’te yayınlanan An Investigation of the Laws of Thought adlı eserinde yer almıştır.
Gottlob Frege, 1879’da yayınlanan Begriffsschrift adlı eserinde, mantığı sembolik bir dil ile ifade ederek, koşullu önermeleri ve türetme kurallarını modern matematiksel mantık bağlamında sistemleştirmiştir. Bu üretim genel olarak iki temele indirgenebilir:
A: p bir önerme ise ¬p ile gösterilen ve p’nin değili olarak adlandırılan bir önerme vardır. Bu önermelerin doğruluk değerleri arasındaki ilişki:
d(¬p)=1-d(p)
Bu tanım tepeden inme değildir; yaşamın doğal akışına uyumludur.
Bir diğer önerme biçimi ise şu şekildedir:
B: p ve q iki önermeyi gösteren semboller olmak üzere “ise bağlaçlı ( p ise q ) olarak adlandırılan ve p→ q ile gösterilen bir başka önermedir. Bu önermelerin değerleri arasındaki ilişki,
d(p⟶ q)=1-d(p)+d(p)d(q)
olarak verilir. Bu eşitlik öncelikli olarak, Bertand Russel ve Alferd North Whitehead’ın 1910-1913 tarihli Principia Mathematica eserinde tablolarla yer almış ve yukarıda verilen eşitlik 1930’lı yıllarda Emil Post, Clarence Lewis, Quine tarafından verilmiştir. Bu eşitlik iki öz üzerine kurulmuştur.
Birincisi: Bu doğruluk ilişkisine göre, $p$ önermesinin değeri yanlış ise, q’nın değeri ne olursa olsun, p⟶q önermesinin değeri doğru oluyor ki; bu biraz tuhaflık barındırıyor. Gerçekten de bu, “Doğru çalışan bir düzenekte yanlış bir girdi sonucunda ortaya çıkan her şey doğrudur” sonucunu çağrıştırıyor. Bunun sonucunda, örneğin, “doğru çalışan bir hukuk düzeninde adalet bakanının Akın Gürlek olması nedeniyle ortaya çıkan her karar doğru olacaktır” gibi beklenmedik bir sonuç ve gerginlik yaratıyor.
İkincisi: Düşüncenin atomik yapısının önermeler üzerine kurulu bir temel çıkarım kuralı olduğu söylenebilir: Bu çıkarım kuralı iki öncül ve bir sonuçtan oluşur. Bu kural, önermeler mantığında (sıfır dereceli mantıkta, modus ponens olarak bilinir ve sembolik dilde şöyle ifade edilir:
p ve q p⟶q ise q
Yani,
p ve p⟶q
önermeleri doğru ise q önermesi doğrudur,
olup, B’de verilen eşitliğin özel bir hali olup, bu hayatın akışına uyumlu olmasının çok çok ötesindedir. Bu, sembolik olarak,
p,p⟶ q⊢ q
ile gösterilir. Bu ifadenin kökeni, insanlığı binlerce yıl kölesi yapan,
– Yağmur yağdı.
– Yağmur yağarsa yerler ıslanır.
O halde yerler ıslaktır, biçiminde ifade edilen bir çıkarımıdır. İşte bu, düşüncenin atomik yapısıdır. Bu çıkarım kullanılarak Kurt Gödel şunu kanıtlıyordu: Doğal sayıları tanımlayabilen bir adam tutarlıysa kendi dünyasında (sisteminde) tutarlı olduğunu kanıtlayamaz. Ama elde edilen bu sonuç bu sonuçtan “0=1 olamaz” sonucu elde edilemez.
Verilen p ve q önermeleri üzerinden, sadece koşullu önerme değil, başka öner-
meler de türetilebilir. Örneğin, “ve (˄)”, “veya (˅)” ve bağlaçlarıyla da aşağıdaki
önermeler oluşturulabilir.
p˄q
p˅q
Bu önermelerin değerlerinin,
d(p˄q) = d(p)d(q)
d(p˅q) = d(p)+d(q)–d(p)d(q)
olarak tanımlanmasına hiçbir akıl sahibi itiraz edemez.
p yanlış ise, yani, d(p) = 0 ise q’nın değeri ne olursa olsun, ister doğru ister yanlış, p→q önermesinin değeri doğrudur, yani d(p→q)=1 olur. Bu tahaf bir durumdur. Ama bu tuhaflık, “iki önermenin denk (≡ ile gösterilir ve eşitmiş gibi düşünülebilir) olması”nın ne anlama geldiğinin bilindiği ya da tahmin edilebileceği varsayımıyla, her biri hayatın akışına uygun olan şu adımlar atılarak giderilebilir.
p→q önermesinin değili, yani ¬(p→q) p’nin değili ile q’nin bir arada, yani “ve (ve)” baglayıcıyla yan yana gelmesi”dir, yani bunlar denk olup, şu biçimde yazılabilir.
¬(p→q) ≡ (¬p)˄ q
d(¬(p→q)) = d((¬p)˄ q)
d((¬p)˄ q) = d(¬p)d(q) = (1-d(p))d(q)
d(¬(p→q)) = (1-d(p))d(q) p→q ≡ ¬¬(p→q)
d(p→q) = d(¬¬(p→q))=1-d(¬(p→q)) = 1-(1-d(p))d(q) = 1-d(p)+d(p)d(q).
Tuhaflık giderildi. Ve böylece, p→q önermesinin değerini gönül rahatlığıyla kullanılabilir.
