Bu yazıda ilginç bir problemi hayali bir hikâyeyle ele alacağız.
İnsan ömrünün en az 100 yıl olduğu bir ülkede Conway isimli matematikçi ve matematiksever bir postacı arasında ilginç bir olay yaşanır.
Postacı, Conway’e gelen bir mektubu teslim etmek üzere eline aldığında çok şaşırır, çünkü zarfın her tarafında “Doğum günün kutlu olsun” cümlesi yazılıdır. Evin zilini çalar, ama kapı açılmaz. Birkaç dakika sonra içeriden Conway’in sesi duyulur:
– Meşgulüm, kapıyı açamam, ne istediniz?
Postacı: Mektubunuz var, kapının altından atıyorum, bu arada doğum gününüzü kutlamak isterim.
Conway: Teşekkürler.
Postacı: Kaç yaşına giriyorsunuz?
Conway: Yaşları toplamı evimin kapı numarasına eşit ve yaşları çarpımı benim yaşıma eşit olan çocuklarım var. Çocuklarımın yaşı birer tamsayı.
Postacı: Yok artık daha neler… Yaşını ve kaç çocuğunun olduğunu söylersen, çocuklarının yaşlarını bulabilirim.
Conway: Söylemeyeceğim, ama zaten yaşımı ve kaç çocuğumun olduğunu bilmen çocuklarımın yaşlarını bulman için yeterli değil.
Postacı durup düşünmeye başlar, problem çözme tutkusu alevlenmiştir, çantasından kâğıt kalem çıkartarak yaptığı hesaplamalar sonrasında, “Tamam, işte bu! Senin kaç yaşında olduğunu buldum” cevabını verir.
Bu gerçeküstü hikâyeden çıkan soru şöyle: Postacıyla Conway arasındaki bu diyalogun izini sürerek Conway’in evinin kapı numarasını bulabilir misiniz?
Bu bilmece yaşayan en büyük matematikçilerden biri olarak kabul edilen John H. Conway tarafından kurgulanmıştır. Orijinalinde hikâye kahramanı bir büyücüdür. (Bkz Kaynak) Bu yazıda kahramanın Conway olmasını istediğimden orijinal kurguyu değiştirdim.
Conway bu problemi gençliğinde kurgulayıp, yıllar sonra, 2009’da matematikçi arkadaşı Tanya Khovanova’ya e-postayla göndermiş. Khovanova ertesi gün doğru cevabı bulmasına rağmen, Conway’in yüzündeki ifade “Çözümünden emin misin?” sorusunu yansıtıyormuş. Gerçekten de problem göründüğünden daha ilginç bir özelliğe sahip, çünkü bulduğunuz sonucun problemin tek çözümü olduğunu göstermeniz gerekiyor. Çözüme geçelim.
Çözüm için atılacak ilk adım, postacı ve Conway arasındaki konuşmayı çok iyi irdelemekten geçiyor, özellikle de son sözleri… Postacı, Conway’in yaşı ve kaç çocuğu olduğu bilgisine sahip olursam çocukların yaşlarını bulabilirim diye düşünüyor, ama Conway bu bilgilerin çocuklarının yaşlarını bulabilmek için yeterli olmayacağını söylediğinde postacı “Tamam işte bu!” diyerek çocukların yaşlarını değil, ama Conway’in yaşını buluyor. Demek ki Conway’in yaşını ifade eden sayının doğal sayı çarpanlarının toplamı kapı numarasını veriyor, ama bu toplamı oluşturan çarpanlar tek bir şekilde yazılamıyor. Örneğin kapı numarasının 13 ve Conway’in 3 çocuğunun olduğunu varsayalım. Bu durumda Conway’in yaşı 36’dır, çünkü 36 toplamları 13 olan 3 çarpana ayrıldığında iki farklı şekilde yazılabilir: 1×6×6 veya 2×2×9. Bu durumda iki seçenek oluştuğundan postacı Conway’in ona söylediği gibi çocukların yaşlarını bulamaz. Ama Conway’in yaşını bulur. O halde bulmacanın cevabı 13 mü? Maalesef hayır, çünkü çocuk sayısının 3 olduğunu varsaydık, postacı çocuk sayısını bilmiyor. Örneğin çocuk sayısının 5 olduğunu varsayalım. Çocukların yaşları 1, 2, 2, 2 ve 6 ya da 1, 1, 3, 4 ve 4 olabilir. Bu durumda kapı numarası yine 13’tür, ama bu kez Conway’in yaşı 48 olur. 3 çocuk için 36 iken, 5 çocukta 48 de olabiliyor. Bu yüzden kapı numarası 13 değildir.
Çocuk sayısı 2’den fazla olmalıdır. Eğer tek bir çocuk olsaydı, çocuğun yaşı, kapı numarası ve Conway’in yaşı aynı olurdu. Ki bu durum gerçeğe uymazdı. Örneğin kapı numarası 6 iken 1 çocuk olduğunu varsayalım. Bu durumda hem çocuğun hem de Conway’in yaşı 6 olur! Ama bir matematik problemi gerçeğe uymak zorunda değildir. Burada önemli olan tek bir çocuk olsaydı, Conway son söz olarak, “Söylemeyeceğim, ama zaten yaşımı ve kaç çocuğumun olduğunu bilmen çocuklarımın yaşlarını bulman için yeterli değil” diyemezdi, yani postacı çocukların yaşlarını bilebilirdi. Asıl bu yüzden Conway’in 1 çocuğu olamaz. Aynı durum 2 çocuk olduğunda da geçerlidir. Bu yüzden Conway en az 3 çocuk sahibi olmalıdır.
Problemi deneme yoluyla çözebilir miyiz? Bazı sayıları kapı numarası olarak seçip Conway’in “Söylemeyeceğim” diye başlayan cümlesine uygun olan sayıyı bulabilir miyiz? Oldukça zor, ama de- neyelim. Örneğin kapı numarasını 14 alalım ve 3 çocuk olduğunu varsayalım. Bu durumda Conway’in yaşı eğer 72 ise çocukların yaşları tek bir şekilde yazılamaz (ki bu bizim istediğimiz bir durum). Çocukların yaşları 3, 3, 8 ya da 2, 6, 6 olabilir. Ama buna rağmen postacı Conway’in yaşının 72 olduğunu söyleyemez, çünkü başka bir seçenek daha var: Conway’in yaşı 40, çocuklarının yaşları da 2, 2, 10 ya da 1, 5, 8 olabilir. Bu seçenekte de kapı numarası 14, ama Conway’in yaşı bu kez 40 olarak değişmiş oldu. Demek ki kapı numarası 14 değilmiş. Bir sayıyı eledik!
Akıl dolu, pırıltı bir hamle
14 sayısındaki gibi sayıları tek tek denemek ruh sağlımızı bozabilir, ama şimdi akıl dolu pırıltılı bir hamleyle probleme “beyaz bayrak sallatacağız”.
14’ten bir sonraki sayıyı 15’i deneyelim. Korkmayın, yukarıdaki gibi hesaplamalar yapmayacağız. Conway’in yaşı yine belli değildir, çünkü Conway’in yaşları 1, 3, 3, 8 ya da 1, 2, 6, 6 olan 4 çocuğu olabilir. Ki bu durumda Conway’in yaşı 72’dir. Ayrıca yaşları 1, 2, 2, 10 ya da 1, 1, 5, 8 olan 4 çocuğu da olabilir. Ki bu seçenek için bu kez Conway’in yaşı 40 olur. Postacı Conway’in yaşını bulamaz.
Yukarıda, sayı seçiminde bir şey dikkatinizi çekti mi? Kapı numarasının 14 olduğu durumdaki seçeneklere yaşı 1 olan birer çocuk daha ekledik. Böylece çocuk sayısını ve çocukların yaşları toplamını 1 artırdık, ama yaşların çarpımı değişmedi. O halde kapı numarası 14 değilse (ki 14 olmadığını göstermiştik) 15 de değildir, çünkü Conway’in yaşı için yine aynı iki seçenek var: 72 ve 40.
Bu şekilde 1 yaşında 1 çocuk ekleyerek kapı numarasını 1 artırarak şu mükemmel sonucu çıkarabiliriz: Kapı numarası n iken postacı için iki farklı yaş seçeneği ortaya çıkıyorsa, aynı iki yaş seçeneği kapı numarası n+1 olduğunda da geçerli olacaktır. Bu yüzden 14 ve 14’ten büyük sayıları kontrol etmemiz gerekmez, yani n < 14 olmalıdır.
Böylece artık, problemin çözümü sonlu sayıdaki denemeyle yapabilir. 14 sayısına kadar olan bütün sayma sayılarını deneyerek cevabı bulabiliriz, hatta daha önce 13’ün de kapı numarası olamayacağını gösterdiğimizden sadece 12 ve 12’den küçük sayılara bakmalıyız.
Artık ağzımızdaki baklayı çıkarıp cevabı söyleyelim: 12. Belli bir sistemde yazarak 3 çocuk için 12 sayısını çarpımları aynı olan iki farklı şekilde yazmak mümkün olmuyor. Ama 4 çocuk için mümkün. İşte o sayılar: 2, 2, 2 ve 6 ya da 1, 3, 4 ve 4. Böylece Conway’in yaşı her iki seçenek için 48 çıkar. Tabii burada 5 ve daha fazla çocuk için 12’nin çarpımları aynı olan sayılarla iki farklı şekilde yazılamayacağını, yazılsa da Conway’in yaşının yine 48 olacağını göstermek gerekir. Ayrıca 12’den küçük sayma sayıları da incelenerek bu sayıların problemin cevabı olamayacağı kanıtlanmalı. Bu incelemeleri meraklı okura bırakıyoruz.
Kaynak
https://arxiv.org/pdf/1210.5460.pdf
