Ünlü Fransız matematikçisi Laplace’ın bir sö züdür: “Şans oyunları üzerinden başlayan bir bilim dalının insan bilgi dağarcığının en önemli parçalarından biri olması kayda değer bir şeydir”.
Klasik olasılık kavramı, yani kesir çizgisinin payına “uygun haller sayısının” paydasına da “mümkün haller sayısının” yazılması düşünce tarihi kadar eskidir elbette. Olasılık kavramının kurama dönüşmesinin ilk işaretleri 1654’te Antoine Gombaud adındaki bir şövalyenin büyük Fransız matematikçisi Blaise Pascal’a kumar ve bahisle ilgili sorduğu sorulardır. Bu sorular Laplace’ın da vurguladığı gibi, matematikçilerin şans oyunlarındaki olasılıkları hesaplama çabası devasa bir matematiksel kuramın oluşmasına yol açmıştır.
Profesyonel bir kumarcı olan Gombaud’nun kafasına takılan sorulardan biri şöyledir: Zarla oynanan iki farklı oyunu kazanma olasılıklarını hesaplar ve her iki olasılığı eşit bulur, ama bu oyunları uzun süreli oynadığında birinde kazanır, diğerindeyse kaybeder. Pascal’a bu çelişkinin nereden kaynaklandığını sorar.
Birinci oyun. Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. En az bir kez 6 gelirse oyuncu kumarhaneye karşı oyunu kazanıyor.
İkinci oyun. Hilesiz iki zar 24 kez atılıyor. En az bir kez 6-6 gelirse oyuncu kumarhaneye karşı kazanıyor.
Gombaud, uzun süre oynadığında birinci oyunu kazandığının, ikinci oyunuysa kaybettiğinin farkına varır. Oysa ki, iki oyunu kazanma olasılı- ğının eşit olduğunu hesaplar. Şöyle ki:
Birinci oyunu kazanma olasılığı: 4×1/6=2/3
İkinci oyunu kazanma olasılığı: 24×1/36=2/3
Elbette bu çözümler yanlış! Pascal, doğru çözümü yaparak Gombaud’nun uzun süre oynadığında neden birinci oyunu kazanırken ikinciyi kaybettiğini izah eder. Meraklı okurun kolayca yapabileceği bu çözümü kısaca veriyoruz. (İkinci oyunu kazanma olasılığı birinci oyunu kazanma olasılığından küçük!)
Birinci oyunu kazanma olasılığı: 1-(5/6)^4≅0,5177.
İkinci oyunu kazanma olasılığı: 1-(35/36)^24≅0,4914
Bir soru ve sonrası
Gombaud’nun kafasına takılan bir soru daha vardır ve yine Pascal’a başvurur. Pascal, problemin çözümünde belli bir aşamaya gelir, ama yaptığı çalışmalara katkıda bulunabilecek birinin yardımına ihtiyaç duyar. Bir meslektaşının tavsiyesi üzerine ünlü Fransız matematikçi Pierre de Fermat’ya danışır ve sonrasında aralarındaki yazışmalarla problem çözülür. Böylece matematikte yepyeni bir kuramsal alan açılmıştır: Olasılık Teorisi.
Matematiksel olasılığın ortaya çıkışına ilham kaynağı olan bu problemle daha önce Gerolamo Cardano, Luca Pacioli gibi matematikçiler uğraşmışlar ama yanlış çözümlere varmışlardır. Matematik tarihinde “Paylaşım Problemi” veya “Puanlar Problemi” olarak adlandırılan bu soruyu Fermat, önce özel çözümle ele almış; daha sonra Pascal’la birlikte farklı yaklaşımlarla genel çözüme ulaşmışlardır.
Paylaşım Problemi. Eş beceriye sahip iki kumarbaz önceden belirlenen puana ilk ulaşan oyuncunun ortadaki paranın tümünü kazandığı bir oyun oynuyorlar. Ama oyun, bir sebepten dolayı sonlanamayıp ortada kalıyor. Kumarbazların oyunun yarım kaldığı andaki puanları ve oyunu kazanmaları için gereken puanlar belli olduğuna göre ortadaki para kumarbazlar arasında nasıl paylaşılır? Bu soruyu daha özel ve sayısal değerlerle hikâyeleştirerek aşağıdaki gibi de sorabiliriz.
Pascal ve Fermat’nın Paylaşım Problemi. Pascal ile Fermat geçirdikleri yorucu bir günün ardından Paris’te bir kafeteryaya uğrarlar. Yorgunluk atmak için oyunların en kolayı olan, para atma oyununu oynamaya karar verirler. Eğer tura gelirse Fermat, yazı gelirse Pascal bir puan alacaktır. İlk kez 10 puan alan oyunu kazanacaktır. Her biri ortaya 50 Frank para koyar, böylece ortada 100 Frank olur. 100 Frank, kazananın olacaktır. Oyuna başlarlar, ama bir süre sonra beklenmedik bir gelişme olur. Fermat, 8’e karşı 7 üstün durumdayken bir arkadaşının hasta olduğuna dair bir mesaj alır, acilen Toulouse’a gitmesi gerekir. Mesajı getiren kişi hemen hareket etmek koşuluyla onları Toulouse’ya götürebileceğini söyler. Tabii ki Pascal durumu anlayışla karşılar, ama ortadaki 100 Frankı nasıl paylaşacaklardır?
Fermat, Pascal’a gönderdiği bir mektupta paylaşım probleminin çözümünü yapmıştır. Yukarıdaki hayali hikâye de bu özel çözüme göre kurgulanmıştır. Aşağıdaki kurmaca mektupta Fermat’nın özel çözümü bulunmaktadır.
Değerli Blaise,
100 Frankı bölüştürme probleminin senin de adil olduğunu düşüneceğin bir çözümünü buldum. Benim sadece 2, senin de 3 puana ihtiyacın olduğunu düşünürsek, oyun en fazla 4 atışta bitecekti. Bu 4 atışta, eğer galibiyet için gereken 3 puanı alamazsan, bu benim kazanmam için gereken 2 puanı aldığım anlamına gelir. Benzer yolla, eğer ben 2 puanı alamazsam, sen kazanman için gerekli olan en az 3 puanı almış ve kazanmışsın demektir. Aşağıya bir madeni paranın 4 kez atılmasıyla elde edilen mümkün halleri eksiksiz yazdığıma inanıyorum. Benim kazandığım durumları parantez içinde gösterdim.
(tttt), (ttty), (ttyt), (ttyy),( tytt), (tyty), (tyyt), tyyy, (yttt), (ytty), (ytyt), ytyy, (yytt),yyty, yyyt, tyyy. Bu 16 durumun her birinin gerçekleşme olasılığının eşit olduğunu kabul ettiğini düşünüyorum. Bu yüzden, paranın 11/16’ini benim, 5/16 ’ini de senin alman gerektiğine inanıyorum, yani ben 100. 11/16=68.75 Frank almalıyım ve tabii sen de 31.25 Frank. Paris’te her şeyin yolunda olması temennisiyle,
Pierre,
Genel çözüm
Pascal’ın çözümü. Pascal problemin genel çözümü için önce şu adımları atar: Kesintiden sonra hedef puana ulaşabilmek için 1’inci oyuncunun n, 2’inci oyuncunun m puana ihtiyacı olsun. P(n,m), 1’inci oyuncunun n puana m kayıptan önce ulaşma olasılığını ifade etsin. Bu durumda doğal olarak, eğer 1’inci oyuncunun sıfır puana ihtiyacı varsa kazanır, yani P(0,m) = 1, aynı şekilde 2’inci oyuncunun sıfır puana ihtiyacı olduğunda da P(n, 0) = 0 olacaktır. Ayrıca P(t,t) = 1/2 olur. Şimdi, kesintiden sonraki ilk oyun sonrası için P(n,m) olasılığını yazalım.
P(n,m)= 1/2∙P(n-1,m)+
Pascal, yukarıdaki olasılığı yazarken şöyle düşünür: Kesintiden sonraki ilk oyunda 1’inci oyuncunun kazanma olasılığı ve sonrasında (kesinti sonraki ilk oyundan sonra) kazanma olasılığı P(n–1, m), dolayısıyla 1’inci oyuncunun kazanma olasılığını bulmak için 1/2 ile P(n–1, m)’i çarpılmalı, ama kesinti sonrası ilk oyunu 2’inci oyuncu da kazanabilir. Ki bu olasılık da 1/2’dir. Bu durumda 1’nci oyuncunun kazanma olasılığı ise ½ ile P(n, m–1)’in çarpımıdır. O halde P(n, m), yani 1’inci oyuncunun kazanma olasılığı bu olasılıkların toplamı olur.
Şimdi, yukarıdaki (I) eşitliğini kullanarak Fermat’nın özel çözümle ulaştığı sonucu Pascal’ın yöntemiyle bulalım.
P(n, m)’de n = 2, m = 3 almalıyız. Bu değerleri (I)’de yerine koyalım,
P(2,3)= 1/2∙P(1,3) (II) olur.
P(2,2)’nin 1/2 olduğunu biliyoruz. P(1,3)’ü hesaplayalım.
P(1,3)= 1/2∙P(0,3)+
P(0,3)’ün 1’e eşit olduğunu biliyoruz. P(1,2)’yi hesaplayalım.
P(1,2)= 1/2∙P(0,2)+
P(1,2)= 1/2∙1+
P(1,2)’yi (III)’te yerine koyarsak P(1,3) = 7/8 olur. P(1,3)’ü (II)’de yerine koyarsak P(2,3) = 11/16 olarak bulunur.
Görüldüğü gibi Pascal’ın bu yöntemi oldukça uzun hesaplamalar gerektiriyor ve genel çözüm için hiç pratik değil, ama Pascal bu çalışmasıyla günümüzde koşullu olasılık adıyla bilinen (conditional probability) alanı keşfetmiştir.
Pascal, başka bir yol dener ve günümüz matematiğinde “ kombinatorik” olarak bilinen teorinin temellerini atar. Şöyle ki, oyun iki kişiden birincinin n, ikincinin de m puana ulaşması gerekirken yarıda kalıyor; o zaman oyun en fazla n+m–1 kez oynanacaktır, bu da toplam n+m–1 puan demektir. Şimdi şu soruyu soralım: 2’inci oyuncunun kaybetmesi için n+m–1 oyunun kaçında yazı gelmeli? ( Yazı, 2’inci oyuncuya puan getiren durumdu.) Eğer n+m–1 oyunda 0 veya 1 veya 2 veya … m–1 kez yazı gelirse 2’inci oyuncu kaybeder, 1’inci kazanır; çünkü 2’inci oyuncunun m puana ihtiyacı olduğunda en çok m–1 kez yazı gelmesi halinde 2’inci oyuncu kaybeder. n+m–1 oyunda en çok m–1 kez yazı gelme durumlarının sayısını da kombinasyonla hesaplayacağız. Tıpkı, n+m–1 nesneyi A ve B gibi iki kişiden en çok m–1 tanesini B’ye vermek gibi. Elbette bu işlemi kombinasyonla yapacağız:
((n+m-1)¦0)+((n+m-1)¦1)+((n+m-1)+… …+((n+m-1)¦(m-1)).
Mümkün haller sayısı 2^(n+m-1) olduğundan 1’inci oyuncunun kazanma olasılığını şu şekilde yazabiliriz:
P(n,m)=(((n+m-1)¦0)+((n+m-1)¦1)+
Bu olasılığı toplam sembolünü kullanarak aşağıdaki gibi de ifade edebiliriz:
P(n,m)= 1/2^(n+m-1)
Yukarıdaki eşitlikte n=2,m=3 alınırsa başlangıçtaki problem Fermat’nın özel çözümünden farklı bir yolla daha çözülmüş olur:
P(2,3)= 1/2^4
Fermat’nın çözümü. Fermat problemi genel çözüme kavuştururken zekice bir yol izler: 1’inci oyuncu kesintiden sonra kendisi için gerekli olan n puanı,n’inci veya n+1’inci veya… n+m-1’inci oyunda elde etmelidir. n puanı kesintiden sonraki k’inci oyunda (n≤k≤n+m-1) kazanması için k-1 oyundan toplam n-1 puan elde etmesi, n’inci puana ise k’inci oyunda ulaşması gerekmektedir. Bu olasılık aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
P(n,m)=(1/2)^n+(n¦(n-1))
Pascal ve Fermat’nın Paylaşım Problemine getirdikleri bu genel çözümlerin sonuçları, permütasyon, kombinasyon, koşullu olasılık gibi kavramlarla olasılık teorisinin doğumuna yol açmış olmasının ötesinde diferansiyel ve integral hesap, limit gibi matematiğin farklı alanlarına da uygulanmıştır. Bir kumar probleminin çözümü, şans oyunları, sigortacılık, iş planlaması, tıp gibi alanların çok ötesine geçmiş, gelecekle ilgili tüm dallara damgasını vurmuştur.
Kaynaklar
1) Petkovic, M, Famous Puzzles of Great Mathematicians, AMS, 2009.
2) Çapar, U, Olasılık Kuramının Gelişimi, Matematik Dünyası, sayı 105.
