“Sonlu”luğun doğal olma hissine karşın “sonsuzluğu” doğal yapmayan şey ne olabilir? Fiziksel anlamda aranan sonlu ve sonsuzluk kavramlarının matematikteki izdüşümünü doğal sayıya indirgeyebilir, daha doğrusu, bunun üzerinden küme-teorik matematik inşa edebiliriz.
Ama “Fiziksel sonlu ve sonsuzluk nedir?” sorusunun yanıtına ulaşmak çok zor gözüküyor!
Kızıl Ordu’nun bir üyesi olan Yuri Gagarin’in 12 Nisan 1961 yılında uzaya gitmesiyle, yani Dünya gezegeninin 300 km ötesine, daha genel bir ifadeyle sonlu bir mesafeye gitmiş olmasıyla, insanlık için yeni çığır açılıyordu. Buna karşın, Cantor’un bu tarihten 70-80 yıl önce hiçbir ekonomik masraf yapmadan insanlığı sonsuzluğa taşımasından çok az insanın haberi vardı ve yaratmış olduğu etki ve heyecan üç beş kişiyle sınırlıydı. Sonsuza gitmek sonluya gitmekten daha mı kolaydı?
Kaplumbağayı yakalayamayan koşucu: Akhilleus
Hareket etmeyene göre çok hızlı hareket etme yeteneğine sahip olan kaplumbağa, insana göre çok yavaş hareket etmesiyle bilinen bir canlıdır. Annesi tanrı babası ölümlü bir kral olan Akhilleus (Aşil) ise Yunan mitolojisinin en önemli kahramanlarından biri olarak bilinmesinin yanında, dünyanın gelmiş geçmiş en büyük savaşçısı olarak da bilinir ve aynı zamanda çok iyi bir koşucudur. Hal böyle olmasına karşın, MÖ 495-430 yılları arasında yaşadığı tahmin edilen ve Parmenides(2) tarafından kurulan Elena okulunun bir üyesi ve MÖ 495-430 yılları arasında yaşamış olan Yunan filozofu Elealı Zeno (kısaca Zeno), Akhilleus’un bir metre önünde hareket eden bir kaplumbağayı bile yakalayamayacağını iddia etmiş ve iddiasını şöyle gerekçelendirmiştir: Kaplumbağanın Akhilleus’ın bir metre önünde durduğunu varsayalım ve bulunduğu ilk noktaya kaplumbağanın birinci konumu, Akhilleus’un bulunduğu noktaya da Akhilleus’un birinci konumu diyelim. Yarış başlasın. Akhilleus’un kaplumbağayı yakaladığı varsayıldığında, onun kaplumbağanın birinci konumuna gelmesi gerekir -buna Akhilleus’un ikinci konumu diyelim- ve geldiği anda da, kaplumbağa hareket etmiş olacağından konumunu değiştirip bir ikinci konumuna gelmiş olacaktır. Bu esnada biz ölçemesek bile ölçülebilir bir zaman geçecektir, buna birinci zaman diyelim. Yine, aynı varsayım altında Akhilleus, kaplumbağanın ikinci konumuna gelmesi gerekecektir ve bu durumda da bir başka zaman geçecektir ve buna da ikinci zaman diyelim. Bu süreç hiç bitmeyecek ve ortaya, birinci zaman, ikinci zaman, üçüncü zaman gibi sonsuz tane zamanlar ortaya çıkacaktır. Akhilleus’un kaplumbağayı yakalayabilmesi için bu zamanların “toplamının” anlamının ne olduğunun bilinmesinin yanında, toplamın, “sonlu” olması da gerekir. Diğer taraftan, elde edilen bu sayıları “toplamak” mümkün olmadığı gibi, toplansa bile elde edilen toplamın “sonlu” olduğu söylenemez. Bu yaklaşımdan koşucunun kaplumbağayı yakalayamayacağı sonucu çıkacaktır. Bu, Zeno’nun Akhilleus-kaplumbağa paradoksu ya da Zeno paradoksu olarak bilinir. Bu paradoks üzerinden Zeno’nun Akhilleus’a iftira attığı ya da kaplumbağaya gereğinden fazla övgü dizdiği bilinmemekle birlikte, öyle olsa bile, günümüzden olaya bakıldığında hayırlı bir iftira olduğu söylenebilir; bu paradoks sonsuzluk kavramını kapsayan limit kavramının kurucu ögelerinden biri olmuştur.
Zeno paradoksuna denk olan paradokslardan bir diğeri, Akhilleus hiç koşmadan bulunduğu yerden hareket etmeyen kaplumbağayı ok atsa bile ok, kaplumbağaya ulaşamaz olup, bu, ok paradoksu olarak bilinir.
Zeno paradoksundan yapılan temel çıkarımlardan biri de, hareketin sadece bir yanılsama olduğu, gerçekte olmadığı biçimindedir.
Akhilleus-kaplumbağa paradoksu tartışmasında yer alan “geçmiş olmak” ve “yakalamış olmak” aynı anlama gelmeyebilir ama aralarındaki ilişki limit kavramının kodlarının neler olabileceğine ilişkin sinyaller verebilir. Dahası, Akhilleus’un hareket ettiği yollarda rasyonel sayıların bir kopyasının sıralandığını ve sadece bunlar üzerinde hareket ettiği varsayıldığında, koşucu, bırakın hareket eden kaplumbağayı yakalamayı, hareket etmeyen, yani sabit duran istediği her rasyonel sayıyı bile yakalayamayabilirdi. Yakalama konusunda çok da kuşkucu ya da olumsuz olmaya gerek olmayabilir; Akhilleus, sadece doğal sayılarla numaralandırılmış taş yollar üzerinde hareket ediyor olsaydı, büyük bir olasılıkla bu taşlardan istediğini yakalayabilecekti.
Akhilleus-kaplumbağa paradoksunda ortaya çıkan anahtar sözcüklerin neler olduğu toplu olarak şu biçimde ifade edilebilir:
– Hareket ediciler,
– İlk konum,
– Konum,
– Yön,
– Uzaklık,
– Hız,
– Bir sonraki,
– “Bir sonraki”nin hiç bitmemesi,
– An.
Bu yaklaşımda geçen “bir sonraki” ve “bir sonrakinin hiç bitmemesi” ikilisi, sonsuzluk kavramının temel iki anahtar kelimesidir, hatta sonsuzluk bu ikili olarak bile ifade edilebilir.
Galileo’nun korkusu, Dedekind-sonsuzluk ve Cantor’un cenneti
Sonsuzluk bu kadar masum olmasına karşın, insanları farklı biçimde korkutmuştu, ama Galileo’yu çok daha farklı biçimde korkutmuştu: 1638 yılında Galileo,
A = {1,2,3,…,n,…}
ve
B= {1,4,9,…,n2,…}
kümelerinin ikisinin de sonsuz, A’nın B’den daha çok olmasına, yani kümesinde bulunan her eleman kümesinde bulunmasına ve kümesine olup kümesinde olmayan birçok eleman olmasına karşın, bu iki kümenin birbirleriyle,
n→ n²
kuralıyla tanımlı A’dan B’ye tanımlı fonksiyonla eşlenebiliyor olmasını fark etmiş, bu durumu tuhaf bulmuş ve “bunu daha fazla kafaya takmayacağım” diyerek çekincesini ve belki de korkusunu dolaylı olarak ifade etmişti.(3) Bu korkuya Dedekind teslim olmamıştı, Dedekind, 1888 yılında, kendine eşit olmayan en az bir altkümesiyle eşlenebilir kümeye “sonsuz” küme denir, diyerek ilk sonsuzluğu tanımlamıştı. Bu tanımlamayla sonsuzluğa kısmi bir anlam yüklemenin yanında fiziksel sonsuzluk kavramından da bir kaçış söz konusu oluyordu. Belki de sonsuzluk kavramı manipüle ediliyordu. Bunun yanında, Dedekind, “sonlu”luğu, sonsuz olmayana referans vererek tanımlıyordu. Bu tanımlama yöntemi görgü ve geleneklere aykırıydı, ama devrimci bir tanımlamaydı; kim derdi ki önce sonsuz anlaşılacak ve ona referans vererek sonluluk anlaşılmaya çalışılacak. Dedekind’den birkaç yıl önce Cantor, doğal sayılar kümesinden “çok” daha büyük olan rasyonel sayılar kümesinin doğal sayılarla eşlenebileceğini, yanı sıra rasyonel sayılar kümesiyle reel sayılar kümesinin eşlenemeyeceğini göstererek, sonsuzluğun tek bir tane olması gerekmediğinin ilk işaretlerini vermiş ve böylece bambaşka bir dünyaya yelken açmıştı. Bu dünyaya Hilbert, “Cantor’un Cenneti” diyordu. Cantor insanlığı, sonluluğa (uzaya) gitmesinden 70-80 yıl önce hiçbir masraf yapmadan sonsuza götürmesine karşın, bu durum sonluluğa gitmenin popülaritesi yanında bir hiç kalıyordu!
Sözü geçen Dedekind-sonsuzluk ve Dedekind-sonluluk kavramını vurgulamak için bir de tanım çerçevesi içinde verelim.
Tanım: Kendisinden farklı en az bir altkümesiyle birebir eşlenebilir kümeye Dedekind- sonsuz küme denir.
Tanım: Dedekind sonsuz olmayan kümeye Dedekind-sonlu küme denir.
Doğal sayılar kümesi Dedekind-sonsuz bir kümedir. En az bir Dedekind-sonlu kümenin olduğunu teorem olarak ifade edelim.
Teorem: Boşküme Dedekind sonlu kümedir.
Dedekind-sonluluk ve Dedekind-sonsuzluk kavramları tadımlık iki teoremle daha geniş bir çerçeveyle anlaşılabilir:
Teorem: Bir A kümesi için aşağıdaki ifadeler birbirlerine denktir:
– Dedekind-sonsuzdur.
– En az bir Dedekind-sonsuz kümeyi kapsar.
– A’nın bir elemanlı herhangi bir kümeyle bileşimi Dedekind-sonsuzdur.
– A kümesinden bir elemanlı herhangi bir kümenin çıkartılmasıyla elde edilen küme Dedekind-sozsuzdur.
Teorem: Bir A kümesi için aşağıdaki ifadeler birbirlerine denktir:
– Dedekind-sonludur.
– En az bir Dedekind-sonlu küme tarafından kapsanır.
– Bir elemanlı herhangi bir kümeyle bileşimi Dedekind-sonludur.
– A kümesinden bir elemanlı herhangi bir kümenin çıkartılmasıyla elde edilen küme Dedekind-sonludur.
Hız nedir?
“Hız”ın, Akhilleus-kaplumbağa paradoksunun anahtar kelimelerinden biri olduğu söylendi. “Hız nedir?” sorusunun yanıtı bir öğrenci ve hoca arasında kurgulanan şu diyalog (alıntı-uyarlama) üzerinden anlamaya çalışılabilir:
– Öğrenci: Bir aracın bir saatte 50 km hız yapması ne demektir?
– Hoca: Aracın bulunduğu iki konumu arasındaki mesafenin bu konumların oluşması sürecinde geçen zamana bölünmesiyle elde edilen sayının 50’ye istenildiği kadar yaklaşmasıdır.
– Öğrenci: Nasıl yani?
– Hoca: Yani, aracın p olarak adlandırılan bir zamanda (anın değil!) almış olduğu yol s(p) ile gösterilmek üzere, verilen her ε > 0 için
t–k < δ olduğunda
t – k
s(t) – s(k) – 50 < f
olacak biçimde bir δ > 0 olmasıdır.
– Öğrenci: !!???
– Hoca: Evet, çarşıdaki hesap evdeki hesabı tutmuyor!
‘Sonlu’luk doğal sayı mı?
Düşünen her insan sonsuzluk kavramına tekrar tekrar dönmekten kurtulamayacaktır ve her dönüşte, iyi bildiğini sandığı sonluluk kavramının “ne olduğu’nu bildiğinden de kuşku duymaya başlayacaktır. Bu, her iki kavramın ne olduğu konusunda, hızın ne olduğu konusunda yukarıda verilen öğrenci-hoca diyaloğu biçiminde yanıtlama denendiğinde, diyalog büyük bir olasılıkla şöyle olacaktır.
– Öğrenci: Sonluluk nedir.
– Hoca: Şey!…
– Hoca: Örneğin bir sayısı sonlu.
– Öğrenci: Bir sayısı ne demek?
– Öğrenci: Ama doğada bir sayısı yok!
– Hoca: Düşünelim.
– Hoca: Yoksa sonluluk diye bir şey yok mu!?
Doğal sonlu küme
“Sonlu”luğun doğal olma hissine karşın “sonsuzluğu” doğal yapmayan şey ne olabilir? Bu sorunun yanıtını, sonluluk kavramının matematik içindeki görüntüsünü oluşturmaya çalışarak vermeyi deneyebiliriz.
Matematikte bir kümenin sonlu olma tanımlarından biri şöyledir:
Tanım: Bir doğal sayı ile birebir eşleşebilen kümeye doğal sonlu küme denir.
Doğal sonlu kavramı böylece doğal sayıya indirgenmiş oluyor. Bu tanıma göre bir sayısına eşlenebilir bir küme, doğal onlu kümedir. O halde, doğal sonsuzun ne olduğunu kavramak için doğal sayının ne olduğunun kavranması gerekiyor. Bu yaklaşım sonsuzu ararken sonsuzu kaybetme riski de oluşturabilir.
Peano doğal sayı
Peano, 1889 yılında doğal sayıları aksiyomlarla şöyle tanımladı:
Tanım: N , bir elemanlar topluluğu ve s:N→N bir fonksiyon olmak üzere, aşağıdaki koşulları sağlayan (N, 0, s) ikilisine Peano sistemi denir.
– 0 ∈ N.
– s , birebir fonksiyondur. Yani, s(n) = s(m) olduğunda n = m olur.
– – 0 = s(n) olacak biçimde n ∈ N yoktur.
– n ∈ N ve n ≠ 0 ise s(m) = n olacak biçimde m ∈ N vardır
– M ⊂ N, 0 ∈ M, ve n ∈ M olduğundan s(n) ∈ M oluyorsa N = M olur
Tanım: Bir Peano sistemi (N, 0, s) için ’nin her elemanına bir Peano doğal sayı denir.(4)
Günümüzün avantajıyla bakıldığında her doğal sayının bir küme ve elemanları sadece ve sadece doğal sayılar olan kümenin bir küme olması gerekiyor. Peano doğal sayı tanımlaması bu açıdan yetersiz, ama mutlak bir öncüldü. Küme teorik tanımlanan doğal sayı yapısının bir Peano sistemi olacağını not edelim.
Zermelo doğal sayı
Zermelo, 1908 yılında doğal sayıyı küme teorik olarak şöyle tanımladı:
Tanım:
– Boşküme Zermelo doğal sayıdır.
– n bir Zermelo doğal sayı ise {n}
bir Zermelo doğal sayıdır.
– Her Zermelo doğal sayı yukarıdaki formdadır.
Bu tanımlamaya göre,
0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {{∅}}, …, oluyordu. Zermelo doğal sayı yapısında olmasına karşın, farklı iki Zermelo doğal sayının ayrık olması ve sonlu kümelerin büyüklüklerinin bu doğal sayılarla ölçülemiyor olmasının yetersizliği nedeniyle bu yapı güncel matematikte kullanılmamaktadır.
Von Neumann doğal sayılar
Güncel ve temel anlamda doğal sayılar iki biçimde tanımlanabilir. Bunlardan biri, doğal sayılar kümesi olarak adlandırılan kümenin her elemanına bir doğal sayı denir, biçimindedir. Daha net biçimde ifade etmek için bir öncül iki tanım verelim:
Tanım: X , bir küme olmak üzere, Y kümesi
s(X) = {x∪{x}:x ∈ X}
olarak tanımlansın. X kümesinden Y kümesine
s(x) = x∪{x}
kuralıyla tanımlı s fonksiyonuna X ‘in ardıl fonksiyonu denir.
Tanım: Boşkümeyi içeren ve ardıl fonksiyonunun görüntü kümesini kapsayan kümeye, tümevarımsal küme denir.
Yani, ∅ ∈ X ve her x ∈ X için x∪{x} ∈ X özelliğindeki X kümesine tümevarımsal küme denir.
Tümevarımsal küme yoksa sonsuz küme yoktur. Diğer taraftan, tümevarımsal bir kümenin varlığı bir aksiyomdur:
Aksiyom: En az bir tümevarımsal küme vardır.
Doğal sayılar kümesinin varlığı aşağıdaki teoremin tanımsal bir sonucudur.
Teorem: Her tümevarımsal küme tarafından kapsanan bir tümevarımsal küme var ve tektir.
Tanım: Bir yukarıda verilen teoremde geçen kümeye von Neumann doğal sayılar kümesi denir.
Von Neumann doğal sayılar kümesi genelde ω ya da N ile gösterilir.
Tanım: ω kümesinin her elemanına bir von Neumann doğal sayı denir.
İlk üç von Neumann doğal sayı aşağıdaki gibi gösterilir:
0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {∅ {∅}}
olarak tanımlanır. Bir n von Neumann doğal sayıdan “hemen sonraki” von Neumann doğal sayı n ∪ {n} olarak tanımlanır ve bu, n + 1 ile gösterilerek von Neumann doğal sayılarda aritmetiğin nasıl olması gerektiği gözlemlenmiş olur. Buna göre, 2’den hemen sonraki von Neumann doğal sayıya üç denilecek ve, 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} olacaktır.
Von Neumann doğal sayılar tepeden inme bir tanımlama olup, tanım gereği bu sayıların topluluğu bir kümedir. Bu yaklaşımla, hem sonlu hem de sonsuz kümenin olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Gerçekten de her von Neumann doğal sayı kendi kendisiyle eşlenebileceğinden bir doğal sonlu kümedir.
Üstelik ω bir von Neumann doğal sayı olmadığı gibi bir doğal sayıyla eşleşemez.
Teorem: ω bir Dedekind-sonsuz kümedir.
Doğal sayıların bağımsız tarifi
Bir n kümesi için s(n) = n∪{n} olmak üzere S(n) = {s(m):m ∈ n} ∪{∅} olarak tanımlansın.
Tanım: s(n) ⊂ S(n) kapsamasını sağlayan kümesine D-doğal sayı denir.
Boşküme bir D-doğal sayıdır ve fazlası olarak, her von Neumann doğal sayı bir D-doğal sayıdır.
Dikkat edilirse bu tanımı bağımsız yapan ve daha genel yapan şey, bir kümenin elemanı olarak tanımlanmaması ve sonsuzluk aksiyomunun kullanılmamadır. Bu, bir avantaj olsa da, sonsuzluk aksiyomu olmadan elemanları sadece ve sadece D-doğal sayılar olan bir kümenin olup ya da olmayacağı kanıtlanamaz. Buna karşın, elemanları sadece ve sadece D-doğal sayılar olan topluluğu olarak göstermek üzere şu teorem verilebilir.
Teorem: Aşağıdakiler denktir.
– Sonsuzluk aksiyomu vardır.
ω = Dω..
– Dω bir küme.
Bu teoremin avantajıyla bu zamana kadar doğal sayıların başına verilen sıfatlar kaldırılarak sadece “doğal sayılar” kullanılır.
Tarski sonlu küme
Doğal sayılar bir kümenin elemanına bağlı olarak tanımlanabildi. Doğal sonlu kümeleriyse doğal sayılar üzerinden tanımlanmıştı. Bağımsız olarak da tanımlanabilir. Önce, bir X kümesinin bütün altkümelerinin topluluğunu P(X) ile göstermek üzere, ZF’deki aksiyomlardan biri olan kuvvet küme aksiyomunu ifade edelim.
Aksiyom: Her X kümesi için P(X) bir kümedir.
Teorem: Bir X kümesi için aşağıdakiler denktir.
– X doğal sonlu kümedir.
– T ⊂ P(X) kümesi,
a) ∅ ∈ T
b) Her A ∈ T ve x ∈ X için
A∪{x} ∈ T
olduğunda T = P(X) olur.
Sonuç olarak: Fiziksel anlamda aranan sonlu ve sonsuzluk kavramlarının matematikteki izdüşümü doğal sayıya indirgendi, daha doğrusu, bunun üzerinden küme-teorik matematik inşa edildi.
Ama “Fiziksel sonlu ve sonsuzluk nedir?” sorusunun yanıtına ulaşmak çok zor gözüküyor!
DİPNOTLAR
1) Yanlış anlaşılmayı engellemek ve bazı vurgular açısından zaman zaman teknik detaylara girilmeden tanım ve teorem başlığında açıklamalar yapılacak. Okurların, bu tür açıklamalara temel düzeyde de olsa okurların aşina olduğu varsayılacak, tıpkı, okurların okuma yazma bildiklerini ve ‘’2+2=4’’ eşitliğine yabancı olmadıkları varsayıldığı gibi. Elbette bu okuma sürecinde temel matematiksel ifadeler olan eleman olma, bir kümenin diğerini kapsaması, kümelerin bileşimi ve kesişimi gibi kavramların okurlar tarafından anlaşılacağı varsayılmıştır. Yazıda sıklıkla geçen ‘’güncel matematik’’ Zermelo-Fraenkel küme teori üzerine inşa edilen matematik olup, bu yapının ne olduğu yazıda yer almayacaktır.
2) MÖ 515-460 yılları arasında yaşamış düşünür. Söylediği şeylerden biri “Varlık var olandır, hiçlik ya da var olamayan var değildir”, ne demekse?
3) Galileo bu gözlemini, Simplicius ve Salviati ile tartışmaya açar. Salviati’nin bu konuda ki bir yorumu şöyledir: Bütün sayıların sonsuz olması gerektiğinden başka bir karara varamıyorum. Karelerin sayısı sonsuz, bütün sayılardan ne az ne de fazla. Sonuç olarak, eşitlik, çoğunluk ve azınlık gibi niteliklerin sonsuzluklar arasında yerleri yok, bunlar yalnızca sonlu nicelikler.
4) Bu tanım, Peano sisteminin tekliği konu edilmediğinden, eksiklik içeriyor. Ancak, Peano sisteminin belirli anlamlarda tek olduğunu not edelim.
