Bir kümeste 100 civciv halka şeklinde ve huzur içinde otururlarken aniden birbirlerini gagalamaya başlarlar. Her bir civciv solundaki veya sağındaki civcivi gagaladığına göre kaç civcivin gagalanmamış olması beklenir?
Bu soru geçtiğimiz Mayıs ayında Amerika’da düzenlenen bir matematik yarışmasında son soru olarak sorulmuş. 13 yaşındaki 7’inci sınıf öğrencisi Luke Robitaille, sunucunun soruyu okumasını bitirmesini beklemeden 1 saniyeden kısa bir sürede yanıt vererek salondakilerin şaşkın bakışları ve alkışlar arasında şampiyonluğunu ilan etmiş.
Merak ettim yarışmanın videosunu izledim, meğerse Luke’un hız yaptığı ilk soru bu değilmiş. Rakibinden önce butona basarak birçok soruyu 1 saniyede yanıtlamayı başarmış. Bu sorulardan bir kaçını bu yazıda bulabilirsiniz ve eminim ki siz de o sorulara verilen saniyelik cevaplar karşısında çok şaşıracaksınız. Aslında böylesine bir hız matematik yapmanın doğasına aykırı sayılabilir, çünkü matematikle uğraşıyor olmak zamandan bağımsız olarak anlamayı, araştırmayı, keşfetmeyi gerektirir. Hız gerekmez! Ama öte yandan bu tür yarışmalarda öne çıkan isimlerin yetenekleri ve çalışkanlıkları su götürmez bir gerçek. Umarım ki, Luke Robitalle ileride matematikçi olur ve çalışmalarıyla adından söz ettirir.
Yarışma hakkında edindiğim bilgiler şöyle: Altı, yedi ve sekizinci sınıf öğrencilerine açık olan yarışmada önce 224 öğrenciye yazılı bir test uygulanıyor. En yüksek puanı alan 12 öğrenci ertesi gün soruların sözlü olarak okunduğu 1000 kişilik bir salonda yarışıyor. Her bir soruya en çok 45 saniye süre veriliyor. Final bölümünde 4 soruyu doğru yanıtlayan ilk öğrenci yarışmayı kazanıyor. Şampiyon olan 20.000 Dolarlık üniversite bursunu ve uzay kampında konaklama hakkını kazanıyor.
Şampiyon Luke, “civciv problemini” yanıtlamadan önce rakibiyle eşit sayıda soruyu doğru yanıtlamış, yani bu sorudan önce durum 3-3. “Civciv sorusunu” doğru yanıtlayarak 4-3’lük skorla birinciliği kazanmış. Bu sorudan önceki soruyu da 1 saniyede yanıtlıyor. İşte o soru:
Altı basamaklı pozitif tamsayıların kaçı 1000 ile bölünebilirken 400 ile bölünemez?
Luke’un sunucunun soruyu okumasını bitirmesini beklemeden 1 saniyeden kısa bir sürede yanıtladığı bir soru daha:
4x + 5x = 6 x denklemini sağlayan x sayısından küçük en büyük tamsayı kaçtır?
“Beşer şaşar Luke da şaşar” diyelim ve bu kez onun yanlış rakibinin doğru yanıtladığı bir soru yazalım:
Ian bir merdiveni çıkarken her defasında rastgele olarak 1 veya 2 veya 3 adım atmaya karar veriyor. İlk basamaktan adım atmaya başlayan Ian’ın 4’üncü basamağa basma olasılığı kaçtır?
Bu yarışmada sorulan diğer soruları merak eden okur Kaynak 2’de adresini verdiğim videoyu izleyebilir.
Kendini denemek isteyen okurlar olabilir diye soruların çözümlerini özellikle vermedim. Civciv sorusunu çözebildiniz mi? Kaç saniyede? Açıkçası bu satırların yazarı için maalesef dakikalar gerekti. Meraklı okurlar için yukarıdaki soruların çözümlerini veriyorum.
Çözümler
Civciv problemi: Herhangi bir civcivin gagalanmaması olasılığını bulalım. Yüzleri aynı yöne bakan A, B, C olarak sıralanmış üç civcivden ortadaki civciv olan B’nin gagalanmaması için A’nın sağındaki civcivi, C’ninse solundakini gagalaması gerekiyor. A’nın sağındaki civcivi gagalaması olasılığı 1/2, C’nin solundakini gagalaması olasılığı da 1/2 olduğundan bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı
1/2 x 1/2 = 1/4
olur. Bu sonuç bir civcivin (B’nin) gagalanmaması olasılığıdır. 100 civciv içinde gagalanmamış civcivlerin muhtemel sayısı, yani beklenti değeri
100 x 1/4 =25
olur. Burada sözü edilen beklenti değeri olasılık teorisinde yer alan bir kavramdır. Bir olayın beklenti değeri (matematiksel umudu da diyebiliriz) kabaca şöyle hesaplanır: O olayın gerçekleşme olasılığıyla, olayı ifade eden miktarın sayısal değerinin çarpımıdır.
Bu problemin çözümünü şöyle de düşünebiliriz: Her bir civciv için dört seçenek vardır: 1) Sağından gagalanabilir. 2) Solundan gagalanabilir. 3) Hem solundan hem sağından gagalanabilir. 4) Hiç gagalanmayabilir. Dolayısıyla 100 civciv içinde hiç gagalanmayan civcivlerin beklenti değeri 100/4 =25 olur.
Altı basamaklı sayılar problemi: 1000 ile bölünebilen altı basamaklı en küçük sayı 100.000’dir, ama bu sayı 400’e bölünür. 101.000, 1000’e bölündüğü halde 400’e bölünmez, çünkü önce 100’e böldüğümüzde ardından 4’e bölemeyiz. Bu özelliğe sahip sayılar 101, 103,…999 gibi üç basamaklı tüm tek sayıların 1000 katı olan altı basamaklı sayılardır. O halde 100 ile 1000 arasındaki tek sayıların kaç tane olduğunu bulmalıyız: (999-101)/2+1=450.
Denklem: 4x + 5x = 6 x eşitliğinde x=2 alınırsa 41>36, x=3 alınırsa 189<216 olur. O halde x sayısı 2 ile 3 arasındadır. Sorunun cevabı 2 olur.
Olasılık sorusu: Önce Ian’ın 1’inci basamağa basma olasılığını yazalım: 1/3, çünkü başlangıçtan itibaren ya 1, ya 2, ya da 3 basamak kadar adım atıyor.
2’inci basamağa basma olasılığını ise şöyle hesaplayabiliriz: 1’inci basamağa bastıktan sonra ya 2’ye basar ya da doğrudan 2’ye basar. Bu olasılık,
1/3 x 1/3 + 1/3 = 4/9
olur.
3’üncü basamağa basma olasılığını da benzer şekilde hesaplayabiliriz: Önce 1’e sonra 3’e veya önce 2’ye sonra 3’e veya doğrudan 3’e basar. Bu durumda
1/3 x 1/3 + 1/4 x 1/3 + 1/3 = 16/27
bulunur.
4’üncü basamağa basma olasılığı ise yine önce 1’e sonra 4’e veya önce 2’ye sonra 4’e veya önce 3’e sonra 4’e basma olasılıklarının toplamıdır. Bu durumda soruda istenen olasılık
1/3 x 1/3 + 4/9 + 1/3 + 16/27 x 1/3 = 37/81
olarak bulunur. (Bu olasılık problemi Luke’un en fazla zaman harcadığı sorulardan biri olmuş ve yanlış yanıt vererek cevabın 41/81 olduğunu söylemiş. Rakibi ise ondan hemen sonra söz alarak doğru yanıtı söylemiş ve skoru 2-2 yapmış.)
Amerika’da özel bir şirket tarafından düzenlenmiş olan bu yarışma New York Times’a haber olacak kadar ilgi çekmiş. Aklıma, 16’ıncı yüzyılda Avrupa’da düzenlenen halka açık, yüzlerce kişinin izlediği matematik yarışmaları geliyor. Bu yarışmaların birinde üçüncü dereceden denklem yarışmasını kazanan matematikçi Tartaglia’nın bu denklemlerin genel çözümünü keşfettiğini anımsıyorum. Günümüzde de Perelman gibi birçok ünlü matematikçinin orta öğrenim yıllarında katıldıkları yarışma ve olimpiyatlardaki başarılarını hatırlıyorum. Ve umut ediyorum… Bir gün ülkemizde de böylesi matematik yarışmaları ilgiyle karşılanacak ve geleceğin matematikçilerinin keşfedilmesine vesile olacak.
Teşekkür. Yazıda sözü edilen yarışmadan ve “civciv problem”inden beni haberdar eden Doğucan Güncü’ye teşekkür ederim.
Kaynaklar
– https://www.nytimes.com/…/math-counts-national-competiti
– http://hmongbuy.net/video/vFTeN17Z4rc
