Gerçeküstü sayılabilecek bu yarışmada iki kişilik bir ekip yarışıyor. Yarışmacılardan birinin kulağına pozitif bir tamsayı, diğerinin kulağına da bu sayının ardışığı (bir eksiği ya da bir fazlası) olan pozitif tamsayı fısıldanıyor. Aralarında iletişim kurmalarına izin verilmeyen yarışmacılardan gong sesini duyduklarında birbirlerinin sayılarını tahmin etmeleri isteniyor. Gong bir dakika arayla çalıyor ve tahminlerini sadece gong çaldıktan sonra açıklayabiliyorlar, ama kaçıncı gong sesinde açıklama yapacaklarına kendileri karar veriyor, yani sessiz kalma hakları var. Örneğin gongun ilk elli çalışında sessiz kalıp, elli birincide birbirlerinin sayılarını söyleyebilirler. Yanlış yanıt verdiklerindeyse yarışmayı kaybediyorlar.
Bu yarışmaya mantık problemlerine meraklı bir arkadaşınızla katılsanız şansınıza güvenmeden her defasında kazanabilir misiniz?
Şansınıza güveniyorsanız ve çok çok çok şanslıysanız, herhangi iki ardışık pozitif tamsayıyı atarak tutturur, ilk gong sesinden sonra kazanırsınız, ama {1, 2, 3, …n} kümesinde n’yi sonsuza götürdüğümüzde belli ardışık iki sayıyı bulma olasılığı sıfıra yaklaşıyor. Şans faktörü yok denebilecek kadar zayıf. Peki, bu yarışmayı daima kazanabilir miyiz? Yarışmacılar birbirlerinin sayılarını bulabilmek için nasıl bir yol izlemeliler?
Sorudaki püf noktasının gong sesi olduğunu fark etmişsinizdir sanırım. Eğer yarışmacıların gong çaldığında susma hakları bulunmasaydı, aralarında iletişim kurmalarına da izin verilmediğinden yarışmayı kazanmaları neredeyse imkânsız olacaktı. Ama gong sesi sayesinde sorunun güzel bir çözümü var, üstelik hoş bir matematiksel sürprizle karşılaşacağız: Tümevarımla kanıt!
Çözüm. Yarışma ekibi A ve B gibi iki kişiden oluşsun. Çözümün ilk ve basit adımı olarak, A’nın kulağına 1, B’nin kulağına da 2 sayısının fısıldandığını varsayalım. Bu durumda yarışmacılar çok kolay kazanır, çünkü A, kendisine 1 söylendiği için B’nin sayısının 2 olduğunu bilir ve ilk gong sesinin ardından B’deki sayının 2 olduğunu açıklar.
A’ya 2, B’ye de 3 sayısının söylendiğini varsayarsak: İlk gong sesinden sonra sessizlik olacaktır. Çünkü A, B’deki sayının 1 ya da 3 olduğunu bildiğinden, B’nin ilk gong sesinden sonra herhangi bir açıklama yapıp yapmayacağına bakacak ve şöyle düşünecektir: Eğer B’de 1 olsaydı ilk gong çaldığında bendeki sayının 2 olduğunu söyleyecekti, ama sustuğuna göre demek ki B’ye 1 değil 3 sayısı söylenmiş. Böylece A’nın ikinci gong sesinden sonra B’deki sayının 3 olduğunu söylemesiyle yarışmayı kazanır.
A’ya 3, B’ye de 4 sayısının fısıldandığını varsayarsak: Bu kez ilk gong sesinden sonra sessizlik olacaktır, çünkü söylenen sayıların 1 ve 2 olmadığını biliyorlar. İkinci gongta da ses çıkmaz, ama A üçüncü gongtan sonra açıklamasını yapar. Şöyle düşünmüştür: B’ye ya 2 ya da 4 söylendi. Eğer B’ye 2 sayısı söylenmişse, o zaman B ikinci gongtan sonra açıklamasını yapardı, çünkü bende 1 olmadığını bildiği için 2 diyecekti. (A’ya 2, B’ye 3 söylendiği bir önceki durumda A’nın yaptığı gibi.) Ama B, ikinci gongtan sonra sustuğuna göre demek ki ona 2 değil, 4 sayısı söylenmiş. Böylece A üçüncü gongtan sonra B’deki sayının 4 olduğunu bilir ve kazanırlar.
Dikkat edilirse, A’ya 3, B’ye 4 sayısının söylenmesi durumunda ikinci gongtan sonra A’nın susma nedeni, B’de 2 olduğunu varsaydığında kendisinin pozisyonunun, bir önceki durumda, yani A’ya 2, B’ye 3 söylendiğindeki B’nın pozisyonuyla aynı olmasından kaynaklanıyor. Bu şekilde düşünerek A(4) – B(5) durumunda üçüncü gong çaldığında da sessizlik olacaktır, çünkü o an, A(3) – B(4)durumuna göre A, B’nin, B de A’nın pozisyonunda bulunuyor.
A(4) – B(5) durumunda dördüncü gong çaldığında A açıklamasını yapıyor ve kazanıyorlar. Bu akıl yürütmeyi sürdürürsek A(5) – B(6) durumunda da ilk dört gong sesinde susacaklar ve A beşinci gong sesinden sonra B’ye söylenen sayıyı söyleyerek yarışmayı kazanacaklar. Bu şekilde devam edersek A(6) – B(7) durumunda da A(5) – B(6)’daki gibi düşünerek altıncı gong sesinden sonra A, B’nin sayısını bilecektir. Bu düşünceyle diğer bütün durumlar için A’nın kaçıncı gong sesinden sonra B’deki sayıyı bilebileceğini söyleyebiliriz.
Bu yöntemi genelleştirirsek şu sonuca ulaşırız: A(n) – B(n+1) durumunda ilk n–1 gong sesinden sonra susan yarışmacılardan A, n’inci gong sesinin ardından B’ye söylenen sayıyı açıklayarak A – B ekibi yarışmayı kazanmış olacaktır.
Şimdi burada duralım, kendimize şu soruyu soralım: Problemi çözdük mü? Evet, sezgisel olarak ulaştığımız bir çözüm var elimizde ama maalesef matematiksel değeri çok zayıf. Çünkü hiçbir matematikçi yukarıda A(n) – B(n+1) durumu için çıkardığımız sonucu kabul etmeyecektir. Bir matematikçi için bir önermenin ilk altı durum için sağlanıyor olması ve bundan sonraki durumlar için de sezgilerimizle sağlanacağını görmemiz, o önermenin doğru olduğunu göstermez. Sezgilerimizde kuşkucu olmalıyız. Yukarıdaki genel sonuca ulaştığımızı söyleyebilmemiz için gerekli olan matematiksel cihaz kanıttır, adeta kesinliğin belgesi gibi.
İmdadımıza yetişen yöntem: Tümevarımla kanıt!
A(n) – B(n+1) durumu için ulaştığımız sonucu matematikte tümevarım yöntemi adı verilen yolla kanıtlayabiliriz. Tümevarımla kanıt, domino taşlarından birine dokunulmasıyla tüm taşların yıkılmasına benzetilir. n pozitif bir tamsayı olmak üzere önermesinin doğruluğunu kanıtlamak için aşağıdaki iki adım izlenir:
Adım 1. A1 önermesinin doğru olduğu gösterilir.
Adım 2. An önermesinin doğru olduğu varsayılarak An+1 önermesinin doğru olduğu gösterilir.
Adım 2’yle An önermesinin doğruluğu kanıtlanmış olur. Bu yöntemde, A20’nin doğru olduğunu A19’un doğru olduğundan hareketle gösteririz. Aynı şekilde A19’un doğru olduğu A18’in doğruluğundan yola çıkılarak gösterilir. Bu şekildeki adımlarla A1’in doğruluğuna kadar gelebiliriz. Böylece A1 doğru olduğundan A20 de doğrudur. Bu yüzden önce A1’in doğru olduğu gösterilir. Adım 2’yle de An+1 önermesinden adım adım A1’e kadar gelinebileceği gösterilmiş olur. Tıpkı An+1 numaralı domino taşına dokunduğumuzda A1’e kadar olan taşların yıkılması gibi.
Şimdi tekrar probleme dönelim ve ulaştığımız sonucu teorem olarak yazıp tümevarımla kanıtlayalım.
Teorem. A(n) – B(n+1) durumunda ilk n–1 gong sesinden sonra susan yarışmacılardan A, n’inci gong sesinin ardından B’ye söylenen sayıyı bilir.
Kanıt: Yazının başında teoremin n = 1, hatta 2 ve 3 için kanıtını yapmıştık. Adım 1’i geçiyoruz.
Adım 2: Teoremin n için doğru olduğunu varsayıp, n+1 için doğru olduğunu kanıtlayalım. Teorem, n için, “A(n) – B(n+1) durumunda ilk n–1 gong sesinden sonra susan yarışmacılardan A, n’inci gong sesinin ardından B’ye söylenen sayıyı bilir.” diyor.
Burada n yerine n+1 yazarsak, A(n+1) – B(n+2) durumunda ilk n gong sesinden sonra susan yarışmacılardan A, n+1’inci gong sesinin ardından B’ye söylenen sayıyı bilir. Bu durumda A, B’deki sayının n veya n+2 olacağını düşünür.
Eğer n ise, B’yi A’nın pozisyonunda düşünelim. Bu durumda teoremi n için doğru varsaydığımızdan B, n’inci gong sesinden sonra A’daki sayıyı açıklamalıydı, ama kendisine n+2 söylendiğinden n’inci gong sesinden sonra sessiz kalır. Bu durumda A, n’inci gong sesinden sonra B’deki sayının n olmadığını anlar ve n+1’inci gongtan sonra B’ye n+2’nin söylendiğini bilir. Böylece Adım 2 ve teorem kanıtlanmış olur.
