Matematik Köyü’nde matematik yapmanın aşkınlığının yaşandığı bir akşam yemeğinde Ali Nesin sormuştu bu soruyu: İçinde n tane siyah, n tane beyaz top bulunan bir torbadan birer birer rastgele top çekiyoruz. Torbada sadece bir renkten top ya da toplar kaldığında duruyoruz. Bu durumda torbada kaç top kalır? n çok büyük bir sayı olduğunda torbada kalan top sayısı aşağı yukarı, yaklaşık olarak kaçtır?
Yemekte, sonucu sezgisel olarak tahmin etmeye çalışmıştık, ama hesaplar için kâğıt kalem gerekiyordu. Daha sonra bu soruyu Matematik Dünyası dergisinde Ali Nesin’in Evsel Atık mahlasıyla ele aldığını ve sorunun Serdar Boztaş tarafından bir e-posta grubunda sorulup çözüm üzerine tartışıldığını öğrendim. Meraklısı için eşsiz güzellikte olan bu çözümün bir bölümünü bazı ekler yaparak Bilim ve Gelecek okurlarıyla paylaşmak istiyorum.
Öncelikle belirtmek gerekir ki, torbada ortalama kaç top kalacağını hesaplama yönteminin matematiksel adı beklentidir. Bu oyundaki beklentiyi şöyle hesaplayacağız: Oyunun belli bir anında torbada aynı renkteki top kalma olasılığı p ve kalan top sayısı k ise beklenti p x k’dir.
Şimdi, n tane siyah, n tane beyaz top olan torbaya dönelim ve ortalama kalan top sayısını, yani beklentiyi B(n) ile gösterelim. Oyunda en az bir top kalacağından B(n)≥1 olur. Ayrıca, B(n) ortalama top sayısını ifade ettiğinden daima tamsayı olmayabilir.
Önce, beklentiyi hesaplamaya küçük sayılarla başlayalım. n=1 ise, yani torbada 1 siyah 1 beyaz top varsa ilk çekişten sonra 1 top kalacağından beklenti 1 olur. O halde B(1)=1’dir.
n=2 için torbada 2’si siyah, 2’si beyaz 4 top olur. Bu durumda torbada aynı renkten 2 ya da 1 top kalır. 2 siyah topun kalma olasılığını hesaplayalım. Topları torbadan çıkarıp BB SS olarak sıraladığımızı varsayarsak ilk iki çekilişte beyaz çekmeliyiz, bu olasılık
2/4 x 1/3 = 1/6
olur. Aynı şekilde torbada 2 beyaz topun kalma olasılığı da 1/6 olacağından, torbada aynı renkten iki top kalma olasılığı 1/3 tür.
Şimdi, son kalan topun siyah olma olasılığını hesaplayalım. Topları bu kez SBBS ya da BSBS şeklinde sıralamalıyız. Burada, sondaki siyah toptan önce mutlaka bir beyaz topun gelmesi gerektiğine dikkat etmeliyiz, çünkü bu kez sonda 2 siyah top kalmasını istemiyoruz. SBBS olasılığını hesaplarsak,
2/4 x 2/3 x 1/2=1/6
bulunur. Benzer şekilde BSBS olma olasılığı da 1/6 olur. O halde torbada 1 siyah topun kalma olasılığı 1/3 tür. Beyaz top kalma olasılığı da aynı şekilde 1/3 olacağından, torbada 1 top kalma olasılığı 2/3 tür.
Artık, n=2 için beklentiyi bulabiliriz:
1/3 x 2 + 2/3 x 1 = 4/3
Böylece B(2)=4/3 bulduk. Acaba B(3) kaç? Biraz daha karmaşık bir hesapla bu soruyu da yanıtlayalım.
n=3 için torbada 3’ü siyah, 3’ü beyaz 6 top olur. Bu durumda torbada aynı renkten 3,2 ya da 1 top kalır. Önce 3 siyah topun kalma olasılığını hesaplayalım. Toplar BBBSSS olarak sıralanacağından istediğimiz olasılık
3/6 x 2/5 x 1/4 = 1/20
olur. 3 beyaz topun kalma olasılığı da aynı şekilde hesaplanarak 1/20 bulunacağından, torbada sonda aynı renkten 3 top kalma olasılığı 1/10 dur.
Şimdi, 2 siyah top kalma olasılığını bulalım. Bu kez topları BSBBSS şeklinde sıralamalıyız. Oyun, torbada aynı renkten toplar kaldığında duracağından, 2 siyah top kalmadan oyunun sonlanmaması için sondaki 2 siyah toptan önce mutlaka bir beyaz topun gelmesi gerekiyor. Bu yüzden ilk 3 topun renkleri, 2 beyaz, 1 siyah olmalıdır. Bu durumdaki sıralamaların (BSB, SBB, BBS) sayısı 3!/2=3 tür. BSBB olasılığını bulup 3’le çarpalım:
3/6 x 3/5 x 2/4 x 1/3 x 3 = 3/20
Torbada 2 beyaz topun kalma olasılığı da aynı yolla hesaplanarak 3/20 bulunacağından, sonda aynı renkten 2 top kalma olasılığı 3/10 dur.
Şimdi, torbada 1 siyah top kalma olasılığını bulalım. Bu kez topları BBSSBS şeklinde sıralamalıyız. Burada da sondaki siyah toptan önce mutlaka bir beyaz topun gelmesi gerekiyor. Bu yüzden ilk 4 topun renkleri, 2 beyaz, 2 siyah olmalıdır. Bu durumdaki sıralamaların sayısı
4!/2!2! = 6
olacağından BBSSB olasılığını bulup 6 ile çarparak sonda 1 siyah top kalma olasılığını bulabiliriz.
3/6 x 2/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 x 6 = 3/10
Torbada 1 beyaz topun kalma olasılığı da aynı yolla hesaplanarak 3/10 bulunacağından, oyunun kuralına göre sonda 1 top kalma olasılığı 3/5 tir.
Artık, n=3 için beklentiyi hesaplayabiliriz:
1/10 x 3 x 3/10 x 2 x 3/5 x 1 = 3/2
Burada duralım ve bulduğumuz beklenti sayılarını yazalım:
n=1 için B(1) =1,
n=2 için B(2) =4/3,
n=3 için B(3) =3/2,
n=4 için yaptığım hesabı buraya aktarmadan sonucu yazıyorum,
B(4) = 8/5,
Şimdi aşağıdaki sayılara bakalım:
1, 4/3, 3/2, 8/5
Acaba bu sayılar bir B(n) dizisinin elemanları mıdır? Pozitif tamsayılardan reel sayılara tanımlı bir B(n) fonksiyonu bulabilir miyiz? Elbette, bu aşamada bu sorulara matematiksel bir yanıt vermemiz mümkün değil. Ama sezgisel, hatta uyduruk bir şekilde bir kural bulmaya çalışalım: Torbada kalan ortalama top sayısının yarısının beyaz, diğer yarısının siyah toplara ait olduğunu bildiğimizden yukarıdaki sayılardan payı çift sayı olmayanları 2 ile genişleterek bu sayılara bir kez daha bakalım.
2/2, 4/3, 6/4, 8/5
Bu kesirleri paylarını eşit iki sayıya ayırarak yazalım:
1/2+1/2, 2/3+2/3, 3/4+3/4, 4/5+4/5
Payla payda arasında ilişkiye bakarak n tane siyah, n tane beyaz top için
n+n/n+1 = 2n/n+1
bağıntısının olduğunu söyleyebilir miyiz, hatta buradan torbada kalan ortalama top sayısını beyaz ve siyah top sayısına göre aşağıdaki gibi gösterebilir miyiz? ((n, n) ikilisinde
ilk n, beyaz top sayısını, ikincisi ise siyah top sayısını ifade etsin.)
B(n,n) = n/n+1 + n/n+1 . (1)
Elbette, yukarıda sorduğumuz sorunun yanıtı matematiksel bağlamda olumlu değil, ilk 4 deney için doğru olan bu sonucun sonraki deneyler için doğru olacağını bilemeyiz.
Şimdi, problemi matematiksel yaklaşımla ele alalım. Torbada kalan aynı renk top sayısı
B(n, n)
olsun. Çekilen ilk topun beyaz olma olasılığı 1/2 dir. İlk top çekildikten sonra torbada n-1 tane beyaz top kalacağından beklenti B(n–1, n) olur. Aynı şekilde 1/2 olasılıkla çekilen ilk top siyah ise torbada n–1 tane siyah top kalacağından beklenti B(n, n–1) olur. O halde,
B(n,n)=1/2+B(n-1,n)+1/2xB(n,n-1). (2)
Problemin simetrisinden dolayı B(n–1, n) = B(n, n–1) olduğundan
B(n, n) = B(n–1, n) (3)
bulunur. Bu aşamada (1)’i (2)’nin sağ tarafına uygularsak (işlemleri yapmıyoruz) (3)’ü elde ediyoruz. O halde sezgisel olarak bulduğumuz (1) önermesi doğruymuş, dolayısıyla bu oyundaki beklenti
B(n)=2n/n+1
olur. n çok büyükken bu sayı 2’ye yakındır, yani bu oyun çok sayıda topla oynandığında en sonda ortalama 2 top kalır.
Kaynak
1) Atık, E, Aynı Renk Top Beklentisi, Matematik Dünyası 2013-II.
