2015 Abel Ödülü’nün sahipleri John Nash ve Louis Nirenberg, onlara bir kutlama hediyesi paketlemeye çalışan herkese sempati duyacaklardır. Bu ikili, hediye paketleme probleminin matematiksel çeşitlemelerini çözmeye, yani düz uzayların matematiksel yüzeylere yerleştirilmesi meselesine yaptıkları katkılarla biliniyor.
Eğer kaplayacak güzel ve düz kenarlı bir objeniz yoksa, düz bir kâğıt parçası ile objenin etrafını düzgün bir biçimde sarmak biraz uğraş isteyecektir. Örneğin, bir topu kaplamaya çalıştığınızda; kâğıt önce küçük bir alana yumuşakça oturmaya başlayacak olsa da, ilerleyen süreçte daha çok katlama yapmaya ihtiyaç duyulacaktır, kâğıtsa giderek daha çok toplanmaya başlayacaktır.
Buradaki zorluk kör edici derecede açık gözükebilir: Topun yüzeyi eğimli, kâğıt parçası ise düzdür. Fakat Nash ve Nirenberg; Öklit uzayındaki (ki bu uzay, düz bir kâğıt parçasının geometrisini herhangi sayıdaki boyuta genelleştirir) bu çeşit izometrik gömülmelere – özellikle de düzgünce kıvrılan yüzeylere (ve manifoldlara, yani bu yüzeylerin daha üst boyuttaki eşleniklerine)- dair birçok ilerleme kaydetti. (Eğer daha teknik bir açıklamayı tercih ederseniz; izometrik gömülme, metrik bir uzaydan diğerine mesafe korunarak yapılan sürekli enjeksiyonun adıdır.)
Manifold, sıradan Öklit uzayında yakından bakılan bir matematiksel objedir. Bölgesel olarak düz bir 2B düzlem gibi görünen bir küre ya da torustur (simit- örneğin bir topun ya da halka çöreğin yüzeyi gibi). Bunun yanında, birbirini dik kesen üç koordinat ekseninin oluşturduğu 3B Öklit uzayına yakından bakışla görülen 3B manifoldlar da vardır. Ve Öklit uzayını istediğimiz sayıda boyutta düşünebilmek (bunun için üçten fazla n koordinatı kullanmak kâfidir) matematiksel olarak mümkün olduğundan dolayı, istenen boyutta manifoldun olabileceğinden de bahsedilebilir.
Biz sıradan 3B Öklit uzayına oturan yüzeyleri sezgisel olarak tasavvur etsek de; manifoldlar, oturdukları daha büyük uzaya bağımlı olmadıkları daha soyut bir şekilde nitelenebilirler. Bu örnekte, manifolddaki noktalar arasındaki uzaklık, aradaki en kısa mesafe, yine manifoldun içinde olduğu için esas olarak belirlenebilir. Örneğin Dünya yüzeyi üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi üç boyutlu bir nesneyi ölçer gibi değil, fakat geniş bir çemberin üzerindeki iki nokta arasını ölçercesine belirleyebiliriz. Esas mesafeleri bütün manifold çevresinden belirlenen böylesi manifoldlara Riemann manifoldu denir.
İki manifold herhangi bir germe ya da büzüştürme işlemine tabi tutulmadan birbirine dönüştürülebiliyorsa bunlar izometriktir. (Belirtmeli ki, mesafelerin bozulup bozulmadığına dair bir fikir vermesi açısından, bu yalnızca Riemann manifoldları için geçerli bir önermedir.) Örneğin dörtgen bir kâğıt parçası, bir silindirin izometriğidir. Çünkü herhangi bir germe ya da büzüştürme işlemi yapmadan, kâğıt parçasının iki ucunu birleştirerek silindir elde edebiliriz. Bu izometri, iki yüzeyde ölçülen mesafelerin ve açıların aynı olduğunu tanıtlar.
Eğer silindirin iki ucundan birleştirirsek bir torus (simit) elde ederiz. Fakat bu işlemi yapmak için silindirin, simitin dış çeperine denk gelen yerleri gerilir, iç tarafları ise büzüşür. Bu da demektir ki; simitin iç yüzünden ve dış yüzünden birer çift nokta seçildiyse, önceden birbirlerine aynı mesafede olan silindir üzerindeki noktalar, simit olduktan sonra farklı mesafelerle ayrılabilir. Yani, simit (torus) silindirin izometriği değildir, üstüne üstlük, simit karenin de izometriği değildir.
Benzer şekilde; küre yakından bakıldığında düz gözükse de, düz bir kâğıt parçasını germeden ya da büzüştürmeden (tıpkı kaplama kâğıdı ile bir topu kaplamaya çalıştığımızda yapmak zorunda olduğumuz katlamalar ve topaklanmalarda olduğu gibi) bir küre haline getirmek imkânsızdır. Önceden de belirttiğimiz üzere, küre kavislidir (tanımladığımız üzere; pozitif eğriliğe sahiptir), kâğıt ise düzdür (eğriliği sıfırdır) ve bu eğrilik farkı bu ikisinin neden izometrik olmadığını açıklar. Simitin (torus) toplam eğriliği esasen kâğıt parçasının toplam eğriliğine eşit olsa da, iç kısmındaki lokal negatif eğriliği ve dış kısmındaki pozitif eğriliği üzerindeki noktalar arasındaki mesafeyi büzüştürme ve germe yoluyla değiştirerek izometriyi bozar. Eğer düz ve sert bir parça kâğıttan, mesafeleri koruyarak bir simit yapmaya çalışırsanız bazı noktalarda kâğıdın bükülmeler ve buruşmalara uğradığını görürsünüz.
Küre ve simit 2B Öklit uzayında izometrik olmasalar da, Nash ve Nirenberg’in çalışmaları birçok kanıt sunmuştur ki, düz uzayda bu çeşit yüzeyleri izometrik olarak birbirlerine gömebilirsiniz (örneğin Riemann manifoldları). Nash ve Nirenberg’in çalışmalarında; düz uzayı germeden ya da büzüştürmeden bükmek için yöntemler bulunmuştur; böylece ulaşılmak istenen kavisli şekle en yakın sonucu keskin bükülmeler ve buruşmalara uğramadan erişilebilir. Bu şaşırtıcı gelebilir, fakat düz uzayı çokça buruşturarak ve birbirine kenetlemek bunu imkânlı kılmaktadır.
Hevea Simiti (torusu) düz 2B uzaya izometrik gömülmenin bir örneğidir. Bu çeşit bir simit, oluklandırılmış düz uzaydan meydana gelmiştir: Dış taraftaki gerilmiş kıvrılmalar ve iç taraftaki büzüşmüş kıvrılmalar, simit şeklini almasına izin verir ve bu olurken, aynı zamanda düz uzay geometrisi (mesafeler ve açılar) korunmaktadır. Bu çeşit bir gömme işlemi, istenilen şekle en yakın sonuca ulaşıncaya kadar, daha fazla buruşma yaratarak ya da buruşmaların boyutlarını küçülterek devam ettirilebilir.
Hevea simitindeki buruşmalar, kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin sonuçlarından meydana gelmektedir. Bu matematiksel araç esasında fiziksel süreçlerin değişim oranlarıyla ilişkilendirilmiştir. Bu aracın, mevzubahis soyut geometrik düzenekte kullanılmasına öncülük edenler Nash ve Nirenberg olmuştur. Bu nedenle Abel Ödül Komitesi; bu sonuçlara ulaşabildikleri ve bu geometrik problemleri analiz edecek teknikleri geliştirebildikleri için ikiliye ödüllerini takdim etmiştir. Komite’ye göre: “İkilinin atılımları, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemleri etüt etmekteki başlıca araçları oluşturan bu çeşitli ve güçlü teknikleri geliştirmiştir. Etkileri teorinin bütün dallarında hissedilebilir.”
Ve belki de ikilinin bu çalışmaları, güncel paketleme sorunlarıyla boğuşan bizlere yardım edebilir. Şimdi izninizle, Noel’e yetiştirmek üzere yumuşak buruşuk kaplama kâğıdının patentini almaya gidiyorum!
Çeviren: Alp Atamanalp
ODTÜ Kentsel Politika Planlaması Blm YL
Kaynak: Rachel Thomas, https://plus.maths.org/content/abel-prize-2015-all-wrapped
