İki öğrenci atışıyorlardı:
– Sen boşkümesin,
– Ben değil, asıl boşküme sensin
Öğretmen araya girdi:
– Üzülmeyin, ikiniz de boşküme değilsiniz, ama boşkümeye haksızlık ediyorsunuz. Sadece bir tane boşküme var. Oysa bir ve birden çok elemanı olan kümelerin sürüsüne bereket. Bu yüzden boşküme diğer kümelere göre daha kıymetli!
Bu diyalogun ardından koyu bir boşküme sohbeti başladı.
– “Boşkümeyi boşlamayalım!” Ali Nesin, Sezgisel Kümeler Kuramı isimli kitabında böyle yazmış. Gerçekten, boşküme matematikte hiç elemanı olmayan küme olmanın ötesinde bir öneme sahip. Tamsayıların inşası sıfır sayısının boşküme olarak tanımlanmasıyla başlar.
– Peki, boşkümeye günlük hayattan ne gibi örnekler verilebilir?
– Dostoyevski’nin Karamazov Kardeşler romanını beş dakikada okuyabilen okurlar kümesi, yüz metreyi iki saniyede koşabilen kişiler kümesi gibi birçok örnek sayabiliriz. Ama sadece bir tane boşküme vardır.Tabii bu bir önerme ve sezgilerimiz doğru olduğunu söylüyor. Ama kanıtlayabiliriz. Nasıl?
– Çelişki yöntemiyle kanıtlasak, yani hiç elemanı olmayan iki tane küme olduğunu varsayalım.
– Çok iyi, sonra…
– Hiç elemanı olmayan bu iki kümeye A ve B diyelim. A=B eşitliğini kanıtlarsak sadece bir tane boşküme var demektir. Şimdi, A ve B kümelerinin birbirine eşit olmadığını varsayalım. Bu durumda ikisinden birinde, diğerinde olmayan, en az bir eleman bulunur; çünkü aksi halde bu kümeler birbirine eşit olurdu. Oysa bu kümelerin hiç elemanı yok! Bu yüzden ikisinden birinde, diğerinde olmayan eleman bulunamaz. O halde bu kümeler birbirine eşitmiş, yani sadece bir tane boşküme varmış.
– Güzel… Ama kanıtta kümelerin eşitliğinden söz ettin, bunu bir aksiyom olarak belirtseydin iyi olurdu. Şimdi size oldukça garip gelebilecek bir teoremden söz edeyim: Boşkümenin her elemanı π’ye eşittir.
– Ama nasıl olur, boşkümenin hiç elemanı yok ki!
– İşte tam da bu yüzden bu önerme bir teorem, yani kanıtlanabilir.
– Anlamadım, hiç elemanı olmayan boşkümenin her elemanı π’ye nasıl eşit olabilir? Biraz değil çok tuhaf!
– Evet, tuhaf görünüyor ama kanıtı var. Şöyle ki: Yine çelişki yöntemini kullanalım. Varsayalım ki teorem yanlış, yani boşkümenin her elemanı π’ye eşit değil. Bu durumda boşkümede π’ye eşit olamayan en az bir eleman vardır. Ama boşkümede hiç eleman yok! Bu yüzden boşkümede π’ye eşit olmayan bir eleman olamaz. Böylece başlangıçta varsaydığımız önermenin olumsuzu olan bir sonuca ulaştık. O halde boşkümenin her elemanı π’ye eşit!
– Hocam, tamam ama “matematik bizi kandırıyor”. Hem boşkümenin hiç elemanı yok diyor, sonra da kalkıp her elemanın π’ye eşit olduğunu söylüyor. O zaman boşkümenin her elemanın herhangi bir sayıya eşit olduğu da kanıtlanmış oluyor.
– Elbette, ama boşkümenin hiç elemanı yok! Bu yüzden her elemanı birçok özelliği sağlar. Günlük mantık üzerinden baktığımızda aklımıza yatmayan böylesi önermeler matematiğin tutarlılığı ve ileriki adımlar için gereklidir.
– Bu duruma günlük hayattan şöyle bir örnek geliyor aklıma: Örneğin ben Ekim ayında yapılacak sözlü sınavlardan en az 50 alacağım iddiasında bulunuyorum, ama Ekim’de sözlü sınav yapılmıyor. Bu durumda iddiam geçerliliğini kaybetmiyor, yani boşkümenin her elemanı herhangi bir reel sayıya eşit!
– Olabilir, ama matematik dünyası soyuttur. Bu yüzden gerçekler dünyasındaki olaylarla bir teoremi açıklamak doğru değildir. Bu teoremin önemini, kümeler kuramını, sayıların inşasını incelediğimizde daha iyi anlayabiliriz. Örneğin boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bağıntıların arasında boş küme ({}) de vardır ve bu bağıntı simetri, ters simetri, geçişme gibi özellikleri sağlar. Bu örnekte de gördüğümüz gibi matematik dünyasında dolaştıkça boşkümenin her elemanın birçok özelliği sağladığı önermesinin önemini daha iyi anlayabiliriz. Nasıl ki, içmeden karadut şerbetinin tadının ne olduğunu bilemiyoruz, matematik dünyasına girmeden de bir teoremin önemini anlayamayız. Salt sezgilerimiz bizi aldatabilir, matematiksel düşünmenin yolundan ayrılabiliriz.
Zekâ sorularındaki matematiksel düşünme
Geçen sayıda bazı zekâ testlerinden seçtiğim soruları paylaşmıştım. Aşağıda bu soruların yanıtlarını veriyoruz.
Bilinmeyen nedir? Verilenler neler? Koşullar nedir? Bu sorularla ve bazı sıra dışı adımlarla keşfe çıkmak zekâ sorularıyla matematiğin ortak alanları olduğundan aşağıda verilen yanıtların çoğunda matematiksel düşünmenin ipuçlarını bulmak mümkün.
Soru 1. İkiz kardeş olan A ve B gibi iki kişiden A doğum gününü kutladıktan 2 gün sonra B doğum gününü kutluyor. Bu nasıl olur?
Yanıt. A, 28 Şubat gece yarısı 12’ye 5 kala, B’de 12’yi 5 geçe doğar, dolayısıyla B’nin doğum tarihi 1 Mart’tır. Soruda sözü edilen doğum günlerinin kutlandığı yıl Şubat 29 çektiğinden B, doğum gününü A’dan iki gün sonra 1 Mart’ta kutlar.
Soru 2. Ocak – Şubat – Nisan – Temmuz – Kasım – Nisan – ?
Yukarıda aylar bir kurala göre sıralanmıştır. Soru işareti yerine hangi ay gelmeli?
Yanıt. Ocak’tan Şubat’a geçerken ay atlanmamış, Şubat’tan Nisan’a geçerken bir ay (Mart) atlanmış, Nisan’dan Temmuz’a iki ay (Mayıs, Haziran), Temmuz’dan Kasım’a üç ay (Ağustos, Eylül, Ekim), Kasım’dan Nisan’a dört ay (Aralık, Ocak, Şubat, Mart) atlanarak bir örüntü oluşturulmuş. Nisan’dan sonra beş ay atlanırsa yanıt Ekim olur.
Soru 3. Bir torbada 50 adet bilye vardır. Bu bilyelerden en az birinin mavi renkte ve ayrıca, rastgele çekilecek iki bilyeden en az birinin kesinlikle yeşil renkte olduğunu biliyoruz. Torbada kaç yeşil bilye vardır?
Yanıt. 49 yeşil bilye vardır.
Soru 4. Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi, 6 yeşil bilye vardır. Bu torbadan en az kaç bilye çekilirse kesinlikle 2 kırmızı veya 3 yeşil bilye çekilmiş olur?
Yanıt. 2 kırmızı veya 3 yeşil bilye çekmeyi garantilemek istediğimizden ilk çektiğimiz 5 bilyenin mavi olduğunu varsaymalıyız. Sonrasında 2 bilye çekersek, 2’si de kırmızı gelebilir ama kesin değil, 2’si de yeşil olabilir. Bu durumda istenen sağlanmaz. 5 mavinin ardından 3 bilye çekersek de istenen olmayabilir ( 1 kırmızı 2 yeşil). Ama 4 bilye çektiğimizde 2 kırmızı veya 3 yeşil garantilenir. Bu yüzden en az 5 + 4 = 9 bilye çekilmeli.
Soru 5. 4, 5, 4, 5, 5, 7, 6, 7, 5, 4, 5, ? dizisinde soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir?
Yanıt.Bu dizideki sayılar Ocak, Şubat, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran, Temmuz Ağustos, Eylül, Ekim, Kasım sözcüklerindeki harf sayısını gösteriyor. Aralık sözcüğündeki harf sayısı sorunun yanıtıdır: 6.
Soru 6. 30a + 28b + 31c = 365 eşitliğini sağlayan a, b, c pozitif tamsayılarını bulunuz.
Yanıt. 4 ay 30, 1 ay 28, 7 ay 31 çektiğinden a = 7, b = 1, c = 7.
Soru 7. Bir kızın erkek kardeşlerinin sayısı kız kardeşlerinin sayısına eşittir. Öte yandan her erkeğin kız kardeşlerinin sayısı erkek kardeşlerinin sayısının iki katıdır. Bu ailede kaç kız kaç erkek kardeş vardır?
Yanıt.Sorunun ilk cümlesinden bu ailede kız kardeşlerin sayısının erkek kardeş sayısından 1 fazla olduğunu anlıyoruz. İkinci cümle, kız kardeş sayısının erkek kardeş sayısının 1 eksiğinin 2 katına eşit olduğunu söylüyor. Buradan 4 kız, 3 erkek kardeş olduğu sonucuna ulaşırız.
Soru 8.A, B, C, D ve E gibi 5 öğrenci müdür odasının camını kırdıkları için müdür tarafından sorgulanmaktadırlar. Camı kıran topa kimin vurduğunu öğrenmek isteyen müdüre öğrencilerden sadece 3’ü doğruyu söylüyor. Aşağıdaki ifadelere göre doğruyu söyleyen 3 öğrenci hangileridir?
A: “Topa D vurdu.”
B: “Ben vurmadım.”
C: “Topa E vurmadı.”
D: “A yalan söylüyor.”
E: “B doğru söylüyor.”
Yanıt.Aşağıdaki tabloda sütunlar öğrencilerin ifadelerine göre olası doğru olabilecek durumların + işaretiyle gösterilmesiyle oluşturulmuştur. Tablodan topa vuran öğrencinin E olduğunu anlayabiliriz, çünkü soruda sadece 3 öğrencinin doğruyu söylediği veriliyor ve tabloda sadece E’nin bulunduğu satırda 3 tane + işareti var. Demek ki 4 + işareti olan sütunlardaki öğrenciler doğruyu söylemiş: B, D ve E.
Soru 9. Kahve içerek düşünmeyi seven okurların hoşlanacağı bir soru!
Sade kahveyle dolu bir bardak kahvenin üçte birini içiyorsunuz.
Sonrasında, bardağa içtiğiniz kahve kadar (bardaktaki sade kahvenin üçte biri kadar) süt koyup karıştırıyorsunuz.
Daha sonra bardaktaki sütlü kahve karışımının yarısını içiyorsunuz.
Son olarak içmiş olduğunuz sütlü kahve karşımı kadar miktarda sütü bardağa boşaltıyor ve karıştırıyorsunuz.
Bu kez, elde ettiğiniz sütlü kahve karışımının altı da birini içiyorsunuz.
Daha sonra az önce içmiş olduğunuz miktar kadar sütü bardağa boşaltıyor ve karıştırıyorsunuz. Ve nihayet bardaktaki karışımın tümünü içiyorsunuz.
Soru şöyle: Sonuçta toplam olarak daha çok süt mü, daha çok kahve mi içtiniz?
Yanıt. Süt ve kahveyi aynı miktarda içmiş olursunuz. Şöyle ki: Başlangıçta bardakta sadece kahve var. Sonrasındaki adımlarda bardağa döktüğünüz süt miktarına bakalım; sırasıyla dolu bardağın 1/3’u, 1/2’si ve 1/6’sı. Bu sayıların toplamı 1. Demek ki bardağa bir bardak dolusu süt dökmüşsünüz. Başlangıçta bardak kahveyle dolu olduğuna göre sonuçta bir bardak kahve, bir bardak süt içmiş olursunuz.
Soru 10. Her gün saat 17.00’da trenden inen bir kişiyi istasyona tam 17.00’da gelen eşi karşılıyor ve birlikte otomobille eve dönüyorlar. Bir gün bu kişi trenden saat 16.00’da iniyor, eve doğru yürümeye başlıyor; yolda, istasyona erken geldiğinden haberi olmayan ve otomobille 60 km/s hızla istasyona doğru gelen eşine rastlıyor, otomobille eve dönüyorlar. Bu kişi eve her zamankinden 10 dakika önce vardığına göre yürürken ki hızı kaç km/s tir?
Yanıt. Eşini karşılamak için otomobille gelen kişinin her gün saat 17.00’da istasyonda olması sorunun püf noktası. Eve 10 dakika erken döndüklerine göre otomobil karşılaştıkları yerden istasyona 10 dakikada gidip gelebiliyor. Demek ki otomobil karşılaştıkları yerden istasyona 5 dakikada gidebiliyor, yani 16.55’te karşılaşmışlar ve trenden inen kişi 55 dakika yürümüş. Otomobilin 5 dakikada gittiği yolu yürüyen kişi 55 dakikada gitmiş. O halde yürüyen kişinin hızı 60/11 km/s’tir.
Soru 11. Her biri diğerlerine yollarla bağlı olan A, B, C gibi 3 şehirden A’dan B’ye (C’den geçen yollar da dahil) 82 farklı şekilde ulaşılabiliyor. B’den C’ye ( A’dan geçenler de dahil) 62 farklı yol var. A’dan C’ye (B’den geçenler de dahil) en az kaç farklı yoldan gidilebilir?
Yanıt. A’dan B’ye, B’den C’ye ve C’den A’ya doğrudan gidilebilecek yolların sayısını sırasıyla a, b ve c ile gösterelim. A’dan B’ye doğrudan ya da C’ye uğrayarak gidilebilir. Bu durumda A’dan B’ye giden toplam yol sayısı a + bc = 82 olur. Benzer şekilde B’den C’ye giden toplam yol sayısı b + ac = 62’dir. Bu eşitlikleri taraf tarafa çıkarırsak
(b–a)(c–1) = 20
eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte c–1, 20’nin pozitif tam bölenleridir. Bu bölenlere göre c’nin alabileceği değerler 2, 3, 5, 6, 11, 21’dir, ancak c’ye 5, 6 ve 21 değerlerini verdiğimizde a ve b tamsayı olmuyor. Geriye kalan 2, 3 ve 11 sayıları arasında A’dan C’ye gidilebilecek yol sayısını en az yapan c değeri 11’dir. Buradan b = 7, a = 5 olur. A’dan C’ye gidilebilecek en az yol sayısı ise 11 + 7 × 5 = 46 bulunur.
Soru 12. Öğretmen öğrencilerine şöyle bir duyuru yapar: “Önümüzdeki hafta sınav olacaksınız ama hangi gün sınav olacağınızı bir önceki gün bilemeyeceksiniz”. Öğretmen hangi gün sınav yapmış olabilir?
Yanıt.Öğretmen hiçbir gün sınav yapamaz; çünkü eğer Perşembe günü sınav yapılmamışsa öğrenciler Cuma günü sınav yapılacağını anlarlar. Bu yüzden haftanın son gününde (Cuma) sınav yapılamaz. Bu akıl yürütmeyle geriye doğru gidersek, Perşembe, Çarşamba ve diğer günler için de sınav yapılamayacağı sonucuna ulaşırız. Bu bir paradokstur.
Soru 13.
Yukarıdaki şekilde 12 kibrit çöpüyle 6 eşkenar üçgenden oluşan bir altıgen çizilmiştir.
A) 4 kibrit çöpünü oynatarak 3 eşkenar üçgen oluşturunuz.
B) 3 kibrit çöpünü oynatarak 4 eş paralelkenar oluşturunuz.
C) 4 kibrit çöpünü oynatarak 4 eş paralelkenar oluşturunuz.
Yanıt.
Soru 14. 6 kibrit çöpüyle 4 eşkenar üçgen nasıl oluşturulur?
Yanıt. Eşkenar üçgen piramit.
Soru 15.
Yukarıdaki şekilde toplam üçgen sayısı kaçtır? Bu hesaplamayı yapabilmek için bir yöntem geliştiriniz. ( Kombinasyon formülünü kullanmamanız gerekiyor.)
Yanıt. Şekildeki üçgen sayısını hesaplamak için birçok yöntem bulunabilir. Bu yollardan birisi şöyle: Üçgenin yataydaki kenarından (tabanı) başlayarak yukarıya doğru oluşan üçgenleri sayabiliriz. En aşağıda kalan ve tepe noktası tabana en yakın olan 1 üçgen vardır. Sonra, tepe noktası en aşağıdaki üçgenin hemen üstünde olan üçgendeki toplam üçgen sayısı bulunur:
1×1+2×2+3×1 = 8.
Aynı yolla tepe noktası aşağıdan yukarıya doğru üçüncü sırada olan üçgenin içindeki üçgenlerin sayısı bulunur:
1×1+2×2+3×3+4×2+5×1 = 27.
Bu yolla şekilde verilen üçgenin tepe noktası dikkate alınırsa aradığımız sayı:
1×1+2×2+3×3+4×4+5×3+6×2+7×1 = 64.
Dikkat edilirse üçgen sayıları ve ’ün küpü oluyor. Dolayısıyla genel bir çalışma yapılarak toplam üçgen sayısını veren formül, üçgenin yan kenarlarının bölüntü sayısının küpü olabilir.
