Bu yazıda meslek hayatım boyunca sık sık karşılaştığım bazı soruları dilim döndüğünce yanıtlamaya çalışacağım. Soru sormak matematik öğreniminin olmazsa olmazı. Bildiğinden daha çoğunu öğrenme isteği, merak etmek… Yalnız, aşağıdaki soruların birçoğu matematiğin inşası ve temel matematik hakkındaki bilgi eksikliğinden kaynaklanıyor. Bu yüzden soruyu soran ikna olmayabiliyor. Bunun için işin içine girip araştırmak, tanım, aksiyom ve teorem gibi kavramları doğru öğrenip matematiksel yapılardaki işlevlerini anlamak gerekiyor. Dolayısıyla aşağıdaki sorulara verilen yanıtlar, bir gezi öncesi gezilecek yerler hakkında verilen bilgiler olarak algılanmalıdır. Gezip görmek meraklı okura kalıyor diyerek sorulara geçiyorum.
1’den küçük en büyük sayı 0,999… değil midir?
1’den küçük bir gerçel sayı yoktur, çünkü sayı doğrusu üzerinde 1’e doğru yapacağımız yolcukta aynı uzunlukta ve yeterince adım atarak dilediğimiz kadar uzağa gidebiliriz, yani 1’den küçük her sayıyı aşabiliriz. Bu durum ilk Arşimet tarafından fark edildiğinden matematikte Arşimet Özelliği adıyla bilinir. Bu teoremi Ali Nesin’in taktığı isim çok güzel anlatır: Sabreden derviş yol kat etmiş teoremi! Meraklı okura teoremin kanıtı ve daha fazlası için Kaynak 2’yi öneriyorum.
$latex \frac{9}{10}+\frac{9}{10^{2}}+\frac{9}{10^{3}}+…
(kopyalanmış içerik)
Gelelim 0,999… sayısına. Bu sayı 1’den küçük değil, 1’e eşittir. 0’dan sonra sonsuz sayıda 9 olduğuna dikkat edersek matematiksel analizdeki “limit” kavramıyla karşılaşır ve 1’e eşit olduğunu aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
Bu sayıyı
sersiyle ifade edelim. Bu seri ortak çarpanı olduğundan yakınsaktır. O halde bu toplamı gibi bir gerçel sayıyla gösterebiliriz.
Eşitliğin her iki tarafını ’la çarparsak
olur ki, buradan ve bulunur.
Yukarıdaki işlemleri karışık bulan okur için başka bir yol:
olduğunu bilen okur bu eşitliğin her iki tarafını 3’le çarptığında da, eşitliğiyle karşılaşacaktır, ama burada 1/3 kesrinin 0,333… devirli ondalık sayısına eşit olduğunu da göstermek gerekiyor.
Sonsuz küçük eleman ne demek?
Matematiksel analizin temelini oluşturan “sonsuz küçüklükler” hesabında yer alan bu kavramın17’inci yüzyılda keşfi matematik ve bilimde devrim niteliğinde sonuçlar doğurmuştur.
Arşimet Özelliği bize 0’dan büyük “sonsuz küçük” bir sayının olamayacağını söyler. Matematikçilerin sözünü ettiği ve simgesiyle gösterdikleri sıfırdan büyük ve “sonsuz küçük” bir eleman olarak tanımladıkları bu “sayı” cebirsel bir sayı değildir, yani 0,0001 gibi bir sayıyı göstermez ve adeta başka bir evrende yaşar. Meraklı okura daha fazlası için Kaynak 2’yi öneriyorum.
neden ’e eşit değil?
Matematikçiler tanım yaparken o tanımım içinde bulunduğu sisteme uygun ve tutarlı olmasına, sorun yaratmamasına dikkat ederler. Matematiksel tanımlar bir “Tanrı buyruğu” gibi ortaya çıkmaz, matematiğin işine nasıl geliyorsa öyle var olurlar. Bu yüzden bazı matematiksel yapılarda olarak tanımlanır, bazılarındaysa tanımsız veya belirsizdir. Örneğin cebirde çarpmanın etkisiz elemanın olmasından dolayı alınır, çünkü bir elemanın kendisiyle sıfır defa işleme girmesi o işlemin etkisiz elemanı olarak tanımlanır, yani ’dir. Öte yandan matematiksel analizde tanımsız kabul edilir, çünkü alındığında bazı sorunlar ortaya çıkar, formüller çalışmaz. Ayrıca matematiksel analizde “limit” durumunda belirsizliği de oluşur.
neden eşittir?
Bu soruyu da önceki soru gibi yanıtlamak gerekiyor: Matematikçiler en uygun ve sorunsuz olduğundan sayısını olarak tanımlamışlardır. Eğer sayısını ya da başka bir sayıya eşit olarak tanımlasaydılar birçok sorunla karşılaşacaklardı. Örneğin olarak tanımlansaydı ’nin ’li kombinasyonu ( ) tanımsız olacaktı veya alınsaydı hiçbir işe yaramayacağı gibi birçok formülü ve işlemi çalışmaz hale getirecekti.
Öte yandan sayısının ’e eşit olduğunu kanıtlamaya çalışmak beyhude bir çabadır, çünkü bu eşitlik bir teorem değil tanımdır, tanımlar kanıtlanmaz.
eşitliğinde yerine yazarsak olur ama bu bir kanıt değildir, çünkü bu eşitliğin için geçerli olduğu kanıtlanmamıştır ve eşitliği bilinmeden de kanıtlanamaz.
Sıfır bir doğal sayı mıdır, doğal sayıysa kanıtı nedir?
Bir sayının doğal sayı olup olmadığına matematikçiler karar verir ve günümüz matematik dünyasında matematikçilerin çoğu ’ı doğal sayı kabul eder. Dolayısıyla ’ın doğal sayı olduğunun kanıtı yapıl(a)maz.
Bu soruya Ali Nesin üstadın verdiği yanıtı alıntılamadan geçemeyeceğim: “’ın doğal sayı olup olmadığına biz insanlar karar veririz. ‘ bir doğal sayı mıdır?’ sorusuyla ‘balina bir balık mıdır?’ sorusu arasında bir fark vardır, çünkü balina ve balık bizim dışımızda vardır, balina ve balığın herkes tarafından kabul edilmiş tanımları vardır. Oysa ‘sayı’ daha doğrusu ‘doğal sayı’ kavramının neyi içerip içermediğine biz insanlar karar veririz. Hangi karar işimize gelirse, hangi karar hayatımızı kolaylaştıracaksa o kararı alırız. Matematikçilerin hemen hepsi bugün ’ı bir doğal sayı kabul eder çünkü bu sayede hayat daha kolay oluyor, teoremler daha kolay ifade ediliyor, matematik daha sade ve daha estetik oluyor.”
Sıfır yokluğu ifade ettiğine göre sıfır nasıl olabiliyor?
Sıfırın matematikte nasıl ve nerede yer aldığına bakıldığında bu soru anlamsızlaşır, çünkü sayıların inşası, sayı doğrusu gibi birçok alanda , diğer sayılar gibi “yaratılmış” bir matematiksel nesnenin adıdır. Tıpkı “yokluk” kelimesinin yokluğu ifade etmesi gibi.
Tüm tamsayıların toplamı neden sıfır değildir?
Soru sahibi, pozitif tamsayılarla negatif tamsayıların sonsuza değin sadeleşeceğini düşünerek sonucun sıfır olması gerektiğini düşünüyor ve “neden sıfır değil?” diyor.
Maalesef yıllardır, bu sorudan türemiş birçok soru üniversite sınavlarına hazırlık ve lise yardımcı ders kitaplarında soruldu, soruluyor. Bu soruları hazırlayanlar, sanki “sonsuza” seyahat ederek sonsuz sayıdaki tamsayıyı toplamayı başarıyor! Oysa bu toplam hesaplanamaz. Sonlu toplamlarda yapılan her işlem sonsuz toplamlara uygulanamaz.
Her şeyden önce bu sonsuz tamsayının toplamının sonlu bir sayıya eşit olduğunu (yakınsadığını) biliyor muyuz? Bu soruyu olumlu yanıtlamak mümkün değil; çünkü sonsuz toplamlarda öncelikle toplamın sonlu bir sayıya yakınsayıp yakınsamadığının araştırılması gerekir. Bu hesaplamalar matematiksel analizin “Seriler” bölümünde incelenir. Daha fazlası için Kaynak 3’ü öneririm.
Sonsuz eksi sonsuz neden sıfır değil?
Öncelikle şu soruyu yanıtlamalıyız: “sonsuz eksi sonsuz” () yazılımıyla ne anlatılmak isteniyor? Eğer “sonsuzu” bir matematiksel nesne olarak kabul edip çıkarma işleminden söz ediyorsak, bu imkânsızdır; çünkü “sonsuz” kavramı sayılar, kümeler, fonksiyonlar gibi bir matematiksel nesne değildir. Matematiksel nesnelerin adları vardır. Örneğin sayıları 1, 2, 3 gibi simgelerle adlandırırız. Oysa “sonsuz” sözcüğü veya simgesiyle bir nesnenin adını değil bir durumu anlatırız. Örneğin matematiksel sonsuzun gerçek anlamını bir kenara bırakırsak, bir değişkenin sürekli büyüyor olmasını “sonsuz” sözcüğüyle niteleyebiliriz. Bu yüzden “sonsuz” sözcüğünü matematikçiler ad olarak değil, sıfat olarak kullanırlar. Bunun için “sonsuz eksi sonsuz” demek veya “” yazmak aslında doğru değildir. Ama gösterim kolaylığı yüzünden birçok kitapta “sonsuz eksi sonsuz” () ifadesi yer alır. Aslında bu ifadeyle anlatılmak istenen, “iki farklı değişken sürekli büyüyorsa, bu değişkenlerin farkı” dır.
Sürekli büyüyen (azalan da olabilir) iki farklı değişkenin farkı değişkenlere bağlıdır ve yakınsadığı değerler değişir, hatta” artı sonsuz” veya “eksi sonsuza” ıraksayabilir. Bunun için “sonsuz eksi sonsuz” olarak ifade edilen fark, farklı değişkenlerde farklı sonuçlar verdiğinden belirsizdir. Daha fazlası için Kaynak 3’ü öneririm.
’in bütün kuvvetleri dir. O ha1de üzeri sonsuz neden 1 değildir?
Bu soru da bir önceki sorudaki gibi “sonsuz” kavramının anlaşılmamasından kaynaklanıyor. “Sonsuzu” pozitif bir tamsayı kabul edip ’i sonsuz kez yan yana yazıp çarparak sonucuna ulaşılacağı düşünülüyor. Bu düşünceye göre “sonsuz” bir sayı olarak görüldüğünden üzeri sonsuz da bir sayı ve ’e eşit. Oysa ki matematikte üzeri sonsuz diye bir sayı yok.
üzeri “sonsuz” olarak bilinen ifadeyi belirsizlik olarak incelemeden önce soruyu soranın beklentisini karşılamak üzere ’i ele alalım ve değişkenini sürekli büyütelim. Elde edilen değerler hep dir, ama bu sonuç bize üzeri “sonsuz” gibi bir sayının varlığını göstermez, değişkeni sürekli büyürken ifadesinin sabit kaldığını ve ’e yakınsadığını anlatır.
Eğer bir matematikçi “1 üzeri sonsuz” diyorsa anlatmak istediği şey şudur: Bir üstel fonksiyonun tabanı ’e yakınsarken üssü de “sonsuza” ıraksıyordur. Bu durum bir belirsizlik halidir ve farklı gerçel sayılara yakınsayabileceği gibi “sonsuza” da ıraksayabilir. Daha fazlası için Kaynak 3’ü öneririm.
Öklid geometrisinde noktayı tanımlarken hiçbir parçası olmadığını, boyutsuz, yani boyutunun 0 olduğunu söylüyoruz. Doğrunun ise sonsuz sayıdaki noktadan oluştuğunu, boyutunun 1 olduğunu belirtiyoruz. Nasıl oluyor da boyutu 0 olan noktaların birleşiminden boyutu 1 olan doğru elde ediliyor? Bu durum sonsuz sayıdaki 0’ı toplayarak sonucu 1 bulmaya benziyor. Bir çelişki yok mu?
Öncelikle sorudaki bir yanlışı düzeltelim: Matematikte nokta ve doğru gibi bazı kavramlar tanımsızdır, sadece izah edilebilirler. Bu yüzden yukarıdaki sorunun giriş cümlesinde “noktayı tanımlarken” sözcükleri yerine “noktayı açıklarken” ifadesi kullanılmalıydı.
Matematikte bazı kavramlar temel olarak kabul edilmiştir, tanımlanamazlar ve bunların sayısı mümkün olduğunca az tutulmuştur. Nokta, doğru, düzlem gibi tanımsız elemanların varlık nedeni, “tanım zinciri”nde bir son halkanın bulunmasıdır. Son halkadaki kavramları tanımlamaya kalktığımızda belirsizliklerle ve bir takım problemlerle karşılaşırız. Örneğin noktayı “hiçbir parçası olmayan şey” olarak tanımlarsak bu kez de “parça” kavramını tanımlamamız gerekir ve arkasından başka açıklamalar da yapmak zorunda kalırız. Bunun için matematikte yapılan tanımlar akılda soru bırakmayacak kadar belirgin olmalıdır.
Öklid geometrisindeki birçok kavramın esin kaynağı doğa ve insan yaşantısıdır. Ama ortaya çıkan matematiksel nesneler ussal olup, soyuttur. Örneğin iki farklı yer arasındaki mesafeye gözlerimizi hızlı bir biçimde hareket ettirerek baktığımızda yapmış olduğumuz eylemin hafızamızdaki karşılığı matematiksel soyutlama için önceden edinilmiş önemli bir deneyimdir. Bu soyut bir deneyimdir; çünkü hafızamız adeta orada olmayan bir doğruyu öngörür. Tıpkı Öklid geometrisinin genişliği ve derinliği olmayan doğruları gibi.
Öklid, nokta kavramını da soyutlayarak elde etmiştir. Nokta, doğada ve yaşamda yoktur, bir “düşünce”, bir “idea”dır. Biz günlük yaşamda noktayı kalemin kâğıtta bıraktığı en küçük iz olarak algılarız, ama büyüteçle baktığımızda bizim küçük zannettiğimiz bu izin bir yer kapladığını görürüz ve daha küçük bir iz bırakabiliriz. Daima yapılandan daha küçük bir iz bıraksak bile bu izlerin bir eni, boyu olacaktır. Bizim kalemle kâğıtta bıraktığımız “en küçük iz” noktanın kendisi değil, sadece noktaya ait bir işarettir. Öklid, eni, boyu olmayan “iz”leri düşünerek doğada bulunmayan, uzayda yer kaplamayan nokta kavramına ulaşmıştır. Öklidyen nokta geometrinin düşünsel uzayında yer alır.
Şimdi soruya dönelim. Soru, geometrinin soyut yapısını atlayarak doğada ve günlük yaşantımızdaki sezgilerimiz üzerinden bir çelişkinin olduğunu savlıyor. Oysa Öklid geometrisi yukarıda da anlatmaya çalıştığımız gibi soyuttur. İçinde yaşadığımız dünyada boyutu 0 olan bir nesne yoktur. Dolayısıyla böylesi nesnelerin bir araya getirilmesi söz konusu olamaz. Ama geometride adına nokta dediğimiz boyutu 0 ve soyut olan bir matematiksel nesne vardır ve pekâlâ bu noktaların birleşiminden boyutu 1 olan bir matematiksel nesne elde edebiliriz. Bu sözleri bir örnekle açıklayalım: Bir doğru parçasını üzerinde aldığımız bir noktasıyla ikiye bölerek ve doğru parçalarını elde edelim. Bu durumda noktası hem ’nin hem de ’nin üzerindedir. Oysa az önce ve ’nin birleşiminden oluşan ’nin üzerinde bir tek noktası vardı. Demek ki biz, “doğru, noktaların kümesinden oluşur” derken noktayı bir büyüklük olarak değil, bir yeri belirlemek için kullanıyoruz. Söylemek istediğimiz şey, ”Noktaların uzunlukları toplamından doğru parçasının uzunluğu elde edilir” demek değil.
Tanımsız elemanlar, tanımlar, aksiyomlar ve teoremlerin hepsi geometrinin soyut yapısına uygun ve bu yapı içinde tutarlı matematiksel “gerçekler”dir, bulunduğumuz dünyanın “gerçek”leriyle aynıymış gibi bir arada ele alınamazlar. Birçok paradoksun ortaya çıkışındaki gibi bu soruda da çelişki gibi görünen yan, dış dünyanın nesneleriyle matematiksel nesneler arasında birebir bağ kurarak matematiksel adımların açıklamasını yapma yanlışıdır.
Kaynaklar
– Ali Nesin, Lise 1 Matematik Kitabı, NMK E-Kütüphane- Nesin Matematik Köyü.
– Ali Nesin, Sayıların İnşası I-II, NMK E-Kütüphane- Nesin Matematik Köyü.
– Ali Törün, Matematiğin (M)izahı, Bilim ve Gelecek yayınları, 2015.
