“Simetri doğanın bir kusursuzluk, bir kalite mührüdür diyebiliriz. Ama bu mühür birimlere bir defaya mahsus olarak değil, sürekli olarak, ‘beşikten kabre kadar’ vurulmaktadır. Yani simetri, doğanın sürekli kontrol aracıdır.”
Doç. Dr. İsmihan Yusubov
Sakarya Üni. Mühendislik Fak. Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Macar asıllı, ünlü Amerikan matematikçi Paul Halmos, “Matematik makalelerini nasıl yazmalı?” yazısında, şu noktalara dikkat edilmesini önermişti: Yazı dağınık olmamalı, ideal durumda, onun yalnızca bir toparlanma, odak (limit) noktasının olması lazım. Halmos’a göre, odak noktalarının çok olması veya hiç olmaması, aynı derecede kötü sayılmalıdır; çünkü her iki durumda da okurun kafası karışır ve yazının amacını algılamakta zorlanır.
Hemen belirtelim ki, Halmos’un tavsiyesi çok güzel olsa da; ele aldığımız bu yazıda odak noktalarımızın sayısı birden fazla olacak. Bunun esas nedeni, ele alınan konunun çok geniş alanı kapsaması.
“Uzaktan bakana, dövüş kolay gelir” derler ya, simetriye de uzaktan bakınca, bir hamlede yazıla-çizilebilir diye düşündüm. Fakat kalemi ele alıp ona yaklaştıkça, muhteşem olduğunu fark ettim ve amacımın olanaklarımı aşması durumu ortaya çıktı. Simetrinin bazı yönleri (yorumları) hakkında kısa etütlerle yetinmeye karar verdim.
Aslında ben, “Oğlan fili nasıl tarttı?” adlı, küçük ve tatlı bir Çin hikâyesinin adsız kahramanı gibi davranmaya özen göstermek istiyorum. Fili tartacak kocaman tartı bulunamadığından, bizim oğlan filin bir tekneye bindirilmesini istemiş ve tekne üzerinde suyun yüksekliğini, yani teknenin su üzerindeki kısmının alt sınırını işaretlemiş. Daha sonra filin indirilmesini ve su, teknedeki işaretlenmiş yüksekliği bulana kadar tekneye taşlar doldurulmasını istemiş. Son olarak da, teknedeki taşlar birer birer tartılarak sonuçlar toplanmış ve böylece filin ağırlığına ulaşılmış. Şimdi bizim kısa etütler, “simetri filini” tartmak için gereken taşlar olarak algılanırsa; tekne rolünü okur belleğinin; kırmızı işaret hattını çizerek, toplama işlemini yapmayı ise, onun merak, mantık w tahayyülünün, yani hayal gücünün üstlenmesi bekleniyor.
Acaba bir yazının veya söyleşinin hiçbir odak noktası olmayabilir mi? Bazı okurların beynini kurcalayabilecek böyle bir soruya verilen “Evet” yanıtını, çağdaş Azeri Yazarı Anar’ın. 1966 yılında basılmış. Molla Nasreddin-66 kitabında bulabiliriz. Adından da belli olduğu gibi, latife türü hikâyelerden oluşan bu kitabın bir fıkrasında, bir ihtiyarın 150. yaş günü kutlanıyor. Hemen belirtiliyor ki, üç sene önce 120. yaş günü muhteşem bir şekilde kutlanmıştı. “Bu uzun ve manalı hayatınızdan bir şeyler anlatır mısınız, lütfen” ricası üzerine sözlerine başlayan ihtiyar, sohbetin bir yerinde “balta” sözünü kullanır. Aniden, “Balta demişken, iyi bir şey hatırladım” diyerek başka bir konuya atlar. Orada da daha güzel bir anısını anımsatan “orak” sözüne rastlayınca, hemen yeni konuya zıplar vs. Dolayısıyla, bu söyleşinin hiçbir konusunda bir sonuca varılmaz, bu da sohbetin tamamının odak noktasının olmadığı anlamına gelir. Elbette biz, bu duruma düşmemeye özen göstereceğiz.
Okur meselesine gelince, Halmos bu konuda da şu tavsiyede bulunmuştur: “Konuyu anlatırken, belli bir okur türünü (hitap ettiğin kişileri) göz önünde bulundurmak gerekmektedir”. Bu yazıda benim hitap etmek istediğim insanlar, çevresini merak eden, mantık ve tahayyül gücünden yoksun olmayan insanlardır. Örneğin “Şeffaf Cisimler” konusu yazar tarafından anlatılıp, bazı örneklerle verildikten sonra; kendisi de yeni örnekler bulmak isteyen ve bulabilen okurları kastediyorum. Örnek olarak Nasreddin Hoca çocukluğunda, kapının anahtar deliğini bulmuştu ve bu gerçekten de bir buluştu. Kapının arkasında olup-bitenler ancak buradan gözlemlenebilir; büyük ihtimalle küçük Nasreddin bunu defalarca denemiş ki, şeffaf cisim örneği bulmakta pek zorlanmamış.
Başka bir fıkrada (aslında latifeye dönüşmüş gerçek olay) ise, köylülere değirmeni çalıştıracak elektrik motorunun tüm özellik ve güzellikleri şemalarla anlatıldıktan sonra, köylüler durum değerlendirmesini şöyle yapıyor: “Her şeyi açık ve net olarak algılamış durumdayız. Yalnız bir karanlık nokta kaldı, o da şu: Acaba su bu motora hangi delikten verilecek?” Bu da bir anlama tarzı. Görünen o ki, onlar aslında anlatılanları dinlememiş ve sürekli olarak beyinlerini kurcalayan son soruyu düşünmüşler; doğal olarak da bir yere varamamışlar.
Mantıksız düşünce tarzıyla bağlı olan ilginç bir olaya ise, bir tele-eğlence programında rastladım. Altı kişinin ellerindeki 1’den 6’ya kadar numaralanmış kutuların birinde yıldızlı biletler var; canlı telefon bağlantısıyla programa katılan seyirci bu yıldızı bulursa, araba kazanır. Program sunucusu, son yardım olarak 3 ve 5 numaralı kişileri öne aldı (yıldız bunlardan birindedir anlamında) ve seyirciden seçim yapmasını istedi. Ama arabayı kaybetmek istemeyen korkak ve -sonradan belli olduğu üzere- hem de mantıksız seyirci yeniden yardım için direnince; sunucu son çare olarak 5 numarayı 6 numara ile değiştirdi ve seçimin hemen yapılmasını istedi. Asıl mantıksızlık komedisi de işte o zaman yaşandı: Seyirci 6 numaralı kişiyi seçti ve kaybetti.
Bu ilginç olay, bazı insanların, özgürce hakkını talep etmek değil, hatta sadaka şeklinde olsa bile, birilerinden bir şeyler edinmekten yana olduğunu göstermektedir. İşte bu psikoloji, mantıklı düşünebilme yeteneğini felç ederek, onu sadaka isteyen dilenci durumuna sokmuştur, diye düşünürüm.
Tahayyül meselesine gelince, karga yavrusu örneği yerinde olur zannımca. Bu yavru, annesinin “Adam aşağı eğildiyse bil ki, seni vurmak için taş alıyor olmalı, hemen oradan uzaklaş!” tavsiyesini daha da ileri götürerek, “Yaklaşan adam görünce kaçmam lazım, belki taş onun elinde veya cebindedir” diyor. Bu da düşünen karga yavrusunun mantığı veya mantıklı karga yavrusunun düşünce tarzı. Buna tasavvur değil, tahayyül (hayal etmek) denilir ve bunsuz hiçbir yaratıcı çalışma yapılamaz.
Simetri kavramına genel bir bakış
Simetri sözü etimolojik olarak eşit ölçülü anlamına gelir ki; buradan yola çıkarak, eşit olması gereken nesnelerin türlerini değiştirmekle, çeşitli simetri örneklerine ulaşabiliriz. Simetri sözü aynı zamanda harmani, düzen ve güzellik kavramlarını çağrıştırıyor hafızalarda ve elbette bunun nedenleri vardır.
İsterseniz bir basit örnekten yola çıkalım. 3 m uzunluğunda homojen, yani her yerinde aynı özelliğe sahip olan bir çubuğu, orta noktası omzumuza denk gelmesi koşuluyla omuzlarsak, çubuğun bu durumu simetrik olarak algılanacaktır (omuza göre). Peki burada eşit olan nesneler nedir? Bunlar 1,5 m uzunluğundaki yarım çubuklardır. Buradan göründüğü gibi, geometrik, görsel simetriklik, homojenlikle birlikte hem de bir denge meselesidir. Eğer çubuğun uçlarından 5 ve 10 kg ağırlığında yükler asılmış olsaydı, dengeli durumu elde etmek için, çubuğu 10:5 = 2:1 oranında bölen noktasından yakalamak lazımdı. Acaba bu durumda dengeye neden olan eşit nesneler neymiş? Göründüğü üzere, bu ne uzunluk, ne de ağırlık olamaz. Bu nesne, ağırlıkla (genelde kuvvet) uzunluğun çarpımıdır ve ona fizikte kuvvet momenti denir: 5 kg x 2 m = 10 kg x 1 m = 10 kg m. Demek ki, burada eşit olan, omzun her iki tarafındaki kuvvet momenti oldu.
Bu örnekten yola çıkarak, figürün simetriklik derecesine de değinebiliriz: Bir figürün simetriklik derecesi onun dengeli durumlar sayısı ile karakterize olunabilir. Bu bakımdan bir küpün dayanıklı denge sayısı 6 (yüzler), dayanıksız denge sayısı ise 8 (tepeler) olmakla yeterince simetrik sayılabilir. Bu sayılar, Platon Figürleri olarak adlanan diğer düzgün çok yüzlülerde tetraeder için (4, 4), oktaeder için (8, 6), dodekaeder için (12, 20), ikosaeder için ise (20, 12) oluyor ve bu sayılar onların simetriklik derecesine belli ölçüde ışık tutabilir.
Yeri gelmişken bu figürlerin, hatta genel olarak konveks çokyüzlülerin hepsini kapsayan bir teoreme (yani değişmez buluşu) göre, bunların tepe ve yüzey sayılarının toplamı ayrıt sayısından iki kadar fazladır. Eğer bu sayıları uygun olarak T, Y ve A gibi işaret edersek, Euler Teoremi adını taşıyan bu önerme, sembolik olarak T + Y = A + 2 gibi yazılır. Yine yeri gelmişken kaydedelim ki; Platon Figürleri sayısının toplam 5 tane olması da, bu teoremin yardımıyla ispatlanabilir.
“Gel gelelim”, hepimizin iyi tanıdığı küreye. Kürenin tüm noktaları onun için dayanıksız denge noktalarıdır, yani onun dengeli durum sayısı sonsuzdur ve büyük ihtimalle bizim açımızdan onun kusursuz mükemmelliği işte bu durumla bağlantılıdır. Bu açıdan bakılınca, küre biçiminde olduğu kabul gören Dünya’nın merkezinin, tam da Nasreddin Hoca’nın ayaklarının altında olması gerçeği, o kadar da tuhaf olmasa gerek.
Söz ettiğimiz bu simetrilerin statik dengeyle bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz. Bunun dışında bir de dinamik dengeye dayalı simetriler var. Örneğin sabit ısıda tutulan belli bir gaz kütlesinin hacmini küçültmeye çalışırsak, basıncı artacaktır. Fakat bu değişme sırasında da değişmeyen bir nesne var ki, o da hacimle basıncın çarpımıdır. Dinamik olan bu dengeli durum sembolik olarak HxB = sabit gibi yazılabilir. Bu yasadan fizikçiler Boyle-Mariott Yasası olarak söz ediyorlar.
İki örnek de astronomiden verelim. Kepler’in 1. Yasası’na göre, gezegenlerin yörüngesi, odak noktalarından birinde Güneş olan elipslerdir. Burada dinamik dengeyi, yani değişmeyeni oluşturan nesne ise, gezegenin Güneş ve ikinci odak noktasından olan mesafelerinin toplamıdır ki, her gezegen için sabit kalıyor. Bu, mesafe ile bağlı olan dengedir. Bir de gezegenin hızıyla bağlı dinamik denge mevcuttur ki, bu da Kepler’in 2. Yasası’nda saptanmıştır. Belli olmuştur ki, gezegen, yörüngesinin Güneş’e yakın olan kısmında hızını artırıyor; ama bu değişmenin de bir değişmeyeni var: Gezegeni Güneş’le birleştiren hayali doğru parçasının eşit zaman aralıklarında uzayda “süpürdüğü” alanlar, bir başka deyişle gezegenin “alansal hızı” değişmiyor. Bu da sizin için ikinci dinamik denge.
Anlattıklarımızdan göründüğü gibi, simetri denilen şey, doğa (fizik) yasalarıyla sürekli ve sıkı işbirliği içindedir. Tesadüfi değildir ki, Kepler haklı olarak kendi adını taşıyan meşhur yasalarını bulmak için, genel olarak simetri prensibini, özel olarak da Platon Figürleri’ni kullanmıştır. Hemen belirtelim ki prensip, yasalarla kıyaslamada, olay ve yapıtların daha derin katmanlarında saklanmış özelliklerle bağıntılıdır. Bu bakımdan bir prensip bir sürü yasanın temel taşını oluşturabilir. Örneğin ışığın iki nokta arasındaki yollardan, en kısa zaman gerektiren yolu tercih etmesi gibi Fermat prensibinden; yansıma, kırılma ve ışık olaylarıyla bağlı diğer deneysel yasalar, geometrik olarak kolayca bulunabilir.
Bazı (çoğu) durumlarda önce yasalar bulunur, daha sonra bunların temelinde yatan prensip. Bu prensibin bulunması, bir yandan mevcut yasaların kaldırdığı tozu-dumanı yatıştırarak, herkesi layık olduğu yere oturtur ve çalışmanın verimli olarak sürdürülebilmesi için gereken şeffaflığı temin eder. Öte yandan bu şeffaflık ortamında, elde bulunmuş “prensip lambası” olmakla yeni yasalara ulaşmak, onları keşfetmek kat kat kolaylaşır. Basit bir benzetme gerekirse, örneğin bir tavla zarının simetrik yapısı, “600 atıştan yaklaşık 100 tanesinde 2 sayısı gelecek” gibi bir hükmü, hemen ve imanla söyleyebilmemizi sağlıyor. Halbuki simetri özelliği olmayan bir 6 yüzlü hakkında, benzer hükmü, aynı inançla söyleyemeyiz. Bu 6 yüzlü hakkında herhangi bir söz, yalnızca uzun süren seri deneylerden sonra söylenebilir ki; bu mesele de olasılığın istatistiksel olarak tanımlanmasıyla bağlantılıdır.
Sonuç olarak söyleyebiliriz ki, simetri bir denge meselesi olmakla, mevcut olmanın temel taşlarından, vazgeçilmez şartlarından biridir. Nereye göz atarsak, mutlaka simetriyle, simetrinin bir tezahür formuyla karşılaşırız. İster göklerde uçan kuşlar, ister deryalarda yüzen balıklar, isterse de ip üzerinde oyun çıkaran cambaz olsun; hepsinin statik-donuk veya dinamik-aktif denge-simetrisinin izlerini taşıdığına tanık oluruz.
“Anladığım kadarıyla, fizikçilerin tüm apriori hükümlerinin kaynağı simetridir”. Bu sözler, simetri alanında uzun yıllar söz sahibi olmuş ve hayatta olmamasına rağmen yine de söz sahibi olmaya devam eden, ender rastlanan matematikçi-pedagog Hermann Weyl’e aittir. Yani simetri doğru yolu bulmamıza yardımcı olan bir Ariadna ipi olmakla, öldürülen Minotavr cahillik, kavuştuğumuz güzel ise bilgidir ve bu yolu tercih eden Tesey-insan kâmilleşme yolunda.
İnsanın simetrik fizyolojisi ve simetriyi algılaması
Son olarak tüm bu olayların merkezinde ve de kendisine layık olan yükseklikte yer alan insana geldiğimizde, demek lazım ki, onun da doğanın bir parçası olarak belli simetri özellikleri vardır elbette. Bunların bazılarını hayatta kazandığımız halde, büyük çoğunluğuna diğer canlılar gibi doğuştan sahip oluruz. Örneğin iki kulak, iki göz ve diğer iç ve dış çift organlarımız, kendimize ait denge-simetri örnekleridir. Bunlar büyük ihtimalle bizim simetriyi duyma, algılama, kavrama ve soyutlama yeteneklerimizin fizyolojik temellerini oluşturmanın yanı sıra, pratikte işimize de yarıyor. Örneğin gözümüzün iki tane olması görme dışında, cisimlerin uzaklığını; iki kulak ise ses kaynağının yönünü kolayca belirlemeye yardımcı oluyor. “Neden iki kulak ve yalnızca bir ağız?” gibi tuhaf bir soruya, çoğu zaman, “Çok dinleyip, az konuşmak için” gibi, hiç de tuhaf olmayan yanıt verilir. Bana göre ağızla bağlı kısmını, “Aralarında kavga çıkmasın diye” biçiminde yanıtlamak da mümkün; çünkü kavgaların çoğu, ağızdan çıkarılan yersiz sözler ve ağzın durmadan talep ettiği nimetlerden çıkar.
Hayatta kazanılan denge örneği olarak, iç kulaktaki denge mekanizmasını alabiliriz. Belli olduğu üzere, bu mekanizma çocuklarda daha olgunlaşmadığından, ilk yürüme döneminde onların sürekli düştüğünü gözleriz. Hemen belirtelim ki bu eksiklik, kemiklerde minerallerin çok az olmasından dolayı, lastik gibi elastik bir yapıda olmalarıyla dengelenir. Kemikler sertleştikçe, denge mekanizmamız da “sertleşir”, yani daha hassas olur. Ama bu hassaslık, sarhoşluk ve sualtında takla atmakla kolayca bozulabilir. Herkesin bildiği sarhoşluk olayına fazla değinmeden belirtmek isterim ki, sualtında takla atma sonucunda insan yukarı-aşağı kavramını karıştırır ve bunun sonucunda yüzeye yönelmek yerine, daha da derinlere dalarak boğulma tehlikesiyle karşı karşıya kalabilir.
Bu arada insanda simetriklik duygusu (sezisi) o kadar hassas ve güçlüdür ki, her canlıda veya cansızda simetri bozuntusunu hemen fark eder ve bu onu endişelendirir. Örneğin eğer almak istediğimiz beyaz eşyanın üzerinde küçük bir çizgi (beyazlığın, yani bu durumda düzenin bozukluğu) varsa, biz bu eşyaya kuşkuyla yanaşırız ve seçim şansımız varsa, kesinlikle onu tercih etmeyiz. Bunun nedeni, sadece onun dış estetiğinin, dış simetrisinin bozulması değildir elbette; bize öyle gelir ki, onun içinde de ne olduğunu göremediğimiz bir uygunsuzluk, standart dışı bir şey var ve mükemmel değil. İnsanın doğuştan belki sahip olduğu bir sezgi, altıncı veya yedinci duyu ile taa kadim zamanlardan form (dış görüntü) ile içerik (mahiyet) arasında bir bağ olduğunu fark etmiştir. Ebul Ferec’in meşhur Meraklı Olaylar Kitabı adlı eserinde, kişinin dış görüntüsüyle, onun karakteri arasındaki bağıntıyı konu alan hikâyeler bu sezginin sonucu olsa gerek.
Simetrinin bir denge meselesi olarak ele alındığı bu bölüme Nasreddin Hoca’nın bir latifesiyle son verelim. “Neden insanlar farklı yönlere yöneliyor, değişik yönleri tercih ediyorlar?” sorusuna Hoca’nın yanıtı, “Dünyanın dengesi bozulmasın diye!” olmuştur. Göründüğü üzere, ortada kusursuz bir yanıt var ve Hoca, her zaman olduğu gibi en önemli noktaya temas etmiş.
Simetrinin türleri
Bu bölümde üç tür simetri üzerine dayanmak istiyoruz (Aslında bildiğimiz de bu kadardır): kayma, ayna ve dönme simetrileri. Önce kaymadan, bir başka deyişle paralel göçürmeden başlayalım. Eğer düzlem üzerinde veya uzayda bir figür belli bir vektörün belirlediği paralel göçürme sonucunda, kendisine geçiyorsa, ona kayma simetrisi olan figür denir. Vektörün yönüne de onun simetriklik yönü denilebilir. Bunun anlamı şu: Figürün tüm noktaları, aynı yönde eşit uzaklığa kaydığında yeni durumunun eski durumundan farkı olmuyor. Hemen belirtmemiz gerekiyor ki, bu tür simetriye sahip figürün, simetri yönünde sonsuz devam etmesi şart. Fakat pratikte bu imkânsız olduğundan, biz bu figürü hayali olarak devam ettiriyor ve onu potansiyel sonsuz olarak algılıyoruz. Örneğin belli bir yönde düzgün adımlarla yürüyen adamın ayak izleri (sağ-sol, sağ-sol, …) böyle bir simetriye sahiptir diyebiliriz. Yani bu tür simetri oluşturmak için herhangi bir nakış (sağ-sol ayak izi) aynı doğrultuda aralıksız veya aralık bırakmaksızın tekrar edilmelidir.
Eğer figürün iki farklı simetri yönü varsa (ki bu durumda potansiyel olarak düzlemi doldurmak zorunda), doğal olarak ona, bir yönü olan figüre göre daha yüksek derecede simetrik figür gibi bakmamız lazım. Örneğin basit halılar, genelde bu özelliğe sahip oluyor. Maddelerin, özellikle minerallerin kristalik kafes yapısı, bu tür özelliğe sahip üç boyutlu örnek olarak gösterilebilir.
Sanırım burada simetrinin tanımına bir ekleme yaparsak, onun kapsama alanını daha da genişletmiş oluruz. Aslında simetri sözü, eski Yunanca benzer (similar), ölçülü anlamına geliyor ve hatta geometrinin dedesi sayılan Öklit, bu sözü orantı anlamında da kullanmıştır. Bu bakımdan, eğer her yeni tekrarda, bir şeklin kendisi değil de, belli orantıda benzeri alınırsa, oluşan yeni simetriye benzer-kayma simetriği adı verilebilir. Böylece eğer çağdaş gökdelenler kayma simetrisi alanına giriyorduysa, kadınların saç örüğü ve meşhur Babil Kulesi de benzer-kayma simetrisine sahiplerdir diyebiliriz.
Kolayca görebiliyoruz ki, bitkilerin çoğu bu simetriye sahiptir. Bunun nedeni örneğin ağaç dallarından ikincisinin, birinci ile üçüncü arasındaki mesafeyi “altın kesim” (aurea sectio) denilen, oranında bölmesidir. Hemen kaydedelim ki, doğayla iç içe olan bu ilginç sayının sürekli (veya zincir) kesir ayrılışının ardışık değerleri, aynı derecede ilginç olan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Fibonacci Sayıları ile bağlantılıdır. Göründüğü gibi, bu dizide üçüncüden başlayarak her sayı kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir. Yukarıda söz ettiğimiz ardışık değerlerin her biri ise, iki ardışık Fibonacci Sayısı’nın oranına eşit oluyor.
İkinci olarak dönme simetrisini ele alalım. Eğer bir figür, belli eksen etrafında belli açı kadar döndürülünce kendisi ile çakışıyorsa, bu figür dönme simetrisine sahiptir denir. Örneğin bir eşkenar üçgeni, onun düzlemine dik olarak ağırlık merkezinden (G) geçen eksen etrafında 1200 döndürürsek, önümüzde yine ayın figürü buluruz. 2400 ve 3600 döndürdüğümüz zaman da, aynı sonuca varırız. Bunun dışında üçgeni, düzleminde yerleşen ve onun yüksekliğinin (açıortay veya kenarortayının) belirlediği eksen etrafında 1800 döndürürsek de aynı sonuçla karşılaşırız. Böylece eşkenar üçgen, 4 tane simetri eksenine sahiptir; bunlardan biri etrafındaki 3, diğer üçünün her biri etrafında 2 (1800 ve 3600) döndürme, onun durumunu değiştirmez. İşte bu eksenlerin ve dönmelerin sayıları da, sonuçta eşkenar üçgenin simetriklik derecesini bir ölçüde belirlemektedir.
Düzgün çokgenlerin taraflarının sayısının artmasıyla, yukarıda söz ettiğimiz anlamda onların simetriklik derecelerinin arttığı da kolayca gözlemlenebilir. Okur bunu, kare ve düzgün altıgen için kontrol edebilir. Aynı hesap-kitabı, elbette üçboyutlu Platon Figürleri için de yapabiliriz. Tabii burada hesap yapmak bir o kadar zor olabilir. Küre meselesinde ise yukarıda söz ettiğimiz gibi, hiçbir hesaba gerek yok. Merkezden geçen her doğru onun simetri ekseni olur, tüm dönme açıları da değişmezliği sağlar. Yani ortada sonsuz dereceli mükemmel bir simetri örneği vardır diyebiliriz ve sağduyuya da ters düşmeyiz. Daire için de benzeri şeyler söylenebilir.
Ayna Simetriği’ne gelince, aslında onu eksen etrafında 1800 dönme simetrisi veya düzleme göre simetri gibi nitelendirebiliriz. Bu simetri biçiminin yayılma alanı çok geniştir; doğada aşağı-yukarı tüm normal bitki ve canlılar, dış görünüş itibarıyla bu simetriye sahiptir. Yalnız burada simetrikliğin tam olması için, sağ-sol ayrımı yapmamak lazım. Sonradan malum olduğu üzere, aslında bu ayrımı yapmamız imkansız. Yani direkt olarak göstermeden, hangi elimizin sol, hangisinin ise sağ olduğunu tasvir etmek fiziksel olarak olanaksızdır. Bununla bağlı ilginç bir olayı hatırlatmakta yarar olur diye düşünüyorum.
1918 senesinde Türk askeri Azerbaycan’ı, özellikle de Bakü’yü, Rus, İngiliz ve Ermeni işgalinden kurtarmak amacıyla geldiğinde, yerli ahaliden “başıbozuk” denilen desteler oluşturmuş ve onlara askeri eğitim vermiş, fakat Çar Rusya’sı döneminde askere alınmayan Azeri Türkleri’nin bazıları sağını-solunu pek tanımadığından, komutanlar çıkış yolunu onların sağ omzuna sarımsak, sol omzuna ise soğan bağlamakta görmüşler, bu da sağ ve solu direkt olarak göstermek anlamına gelmektedir.
Bu bölümde son olarak iki şeye değinmek istiyorum. Bunlardan birincisi, düzgün beşgenin simetri meselesidir. Kolayca göründüğü gibi, bu figürün her tepesinden karşı kenara indirilen dikmeler onun simetri eksenleridir. Aynı zamanda onun merkezinden geçen ve düzlemine dik olan doğru da, 720’nin katları olan dönme açılarına sahip simetri eksenidir. Dolayısıyla bu figür, 10 farklı dönme simetrisine sahiptir diyebiliriz. Düzgün beşgenin köşegenlerinin çizilmesiyle oluşan beş köşeli yıldızın da aynı simetri özelliklerini taşıyacağı açık. Aynı zamanda belirtmemiz gerekiyor ki, doğada yaygın olan simetri türü parça, üçgen, dörtgen ve altıgen türündendir, beşgen türü hemen-hemen yok derecesindedir. Bu açıdan bakıldığında, Hermann Weyl’e göre, ABD Savunma Bakanlığı Pentagon’un (Düzgün Beşgen) bina yapısı, onu düşman tarafından uzaydan hemen fark edilebilen hedef haline getirmiştir. “Acaba adamlar neden kendilerini böyle bir riske sokmuş olabilir?” sorusuna yanıtı ise, galiba Musa Peygamber’in insanları doğru yola davet eden ve taş üzerine kazılmış ünlü “On Emir”inde veya daha akla yakın olarak, Faust’un Mefistofel’i defetmek için kullandığı “pentograma”da aramak lazım.
Düzlem ve uzayı boşluk bırakmadan aynı figürle doldurmak…
Söz etmek istediğim ikinci konu ise, düzlem veya uzayın boşluk bırakmaksızın aynı figürlerle doldurulabilmesidir. Düzlemin eşkenar üçgenler ve karelerle doldurulması açık olmakla, düzgün altıgenlerle de doldurulabildiğini görmek için bir arı kovanına göz atmak yeterli olacak. Uzayı da kolayca piramitler ve küplerle doldurabiliriz. Ama uzayı dolduracak figürün hacminin sabit tutulması koşulunda, yüzey alanının en az olması koşulunu da koyarsak, Lord Kelvin’in ihtimaline göre, tetrakaydekaeder adlı figür bu iş için yarar. Eğer dodekaederin 6 tepesini simetrik olarak kesersek, 6 kare ve 8 düzgün altıgenle sınırlanmış bir 14 yüzlü elde edilir ki, sözünü ettiğimiz figür işte budur. Bu figür Arşimet’in bulduğu 13 yarım düzgün çokyüzlülerden biri olmakla, 2 bin yıl sonra Rus bilim adamı, kristalografi uzmanı Fedorov tarafından yeniden keşfedilmiştir. Düzlemin çeşitli düzgün figürlerle doldurulması örneklerini ise, minerallerin uzaysal kafes yapısının izdüşümü (veya düzlemle arakesiti) biçiminde seyredebiliriz.
Bu alanda Arapların ulaştığı zirveleri ayrıca kaydetmemiz lazım. Onlar düzlemin, küre (kubbe) ve silindir (minare) yüzeylerini, boşluk bırakmaksızın tekrarlanan yazı birimleriyle doldurma alanında çok büyük mesafeler kat etmişlerdi ve bu bilgiler İslam dini aracılığıyla tüm Müslüman ülkelerde, o sıradan Türk Cumhuriyetleri’nde ve Türkiye’de geniş biçimde yayılmıştır. İstanbul, Semarkand ve Buhara Şehirleri’ni insanlar için cazip kılan sadece tarihi abideler değil, aynı zamanda bu abidelerin yüzeylerini süsleyen yazılardır dersek, sanırım yanılmayız. Meşhur Hollandalı ressam M. C. Escher, yazıları şekillerle, bazen de renkli şekillerle değiştirerek, Arapların bu sanatına yeni bir boyut kazandırmış oldu. Şimdi çeşitli bilim ve sanat dallarında simetrinin tezahür formları ve kullanımına kısaca değinerek, bu yeterince uzamış yazıya son vermeye çalışalım.
Simetri, düzen ve yaşam
Yukarıda da değindiğimiz gibi canlı varlıklar simetri özelliğine sahiptir; yaşamları boyu bu simetriyi, bir başka deyişle sahip oldukları bu düzeni korumaya çalışmaktadırlar. Öte yandan doğada tüm prosesler düzenin bozulması, kaosun artması yönünde cereyan etmektedir. Ünlü fizikçi, Nobel Ödüllü Ervin Schrödinger’e göre, canlılar, eninde-sonunda onları ölüme götürecek olan bu bozulmaya karşı koymak için, sürekli olarak antikaos, yani düzen kabul etmek zorundalar. Bu düzeni ise, yalnızca başka canlı ve bitkilerde bulabilirler. Böylece beslenme meselesine, Schrödinger’e göre enerji kabulü değil, simetri-düzen kabulü gibi bakmamız lazım. Böylece yaşamın temelinde, düzenden düzen oluşturulması prosesi yatmaktadır diyor ünlü fizikçi.
Fiziğe simetri ilkeleriyle bakmanın katkıları
Öncelikle belirtmemiz gerekiyor ki, fizik bilim dalı, doğadaki olayları anlamak ve sonuçlarını önceden görebilmek için bize ışık tutan yasalar topluluğudur. Bu yasaları fizik binasının yapıtaşları gibi algılarsak, bunların arasında bazıları, temel taşlar olarak gözükmektedir. Bunlar korunma yasalarıdır. Bu yasalara ters düşen olaylar ve yasaların olması imkânsızdır. İşte bu temel taşlarının temelindeyse, Gamel’in gösterdiği gibi simetri ilkeleri yatmaktadır.
Alman matematikçisi Emmi Nöter, 1918’de, korunma yasalarının uzay ve zamanın simetriklik özelliklerinden çıkarılabilirliği hakkında genel teoremi ispatladı. Şöyle ki, uzayın homojenliği, yani paralel göçürmeye göre simetrikliği, dürtünün korunmasını, izotropluğu, tüm yönlerin aynı derecede makbul (dönmeye göre simetri) olmasıysa, hareket miktarı momentinin korunmasını sağlamaktadır. Son olarak zamanın homojenliği (simetrikliği), enerjinin korunma yasasının nedeni olarak ortaya çıkıyor. Dolayısıyla hangi yasaların bulunacağı belli olmasa da, bulunacak yasaların uyduğu simetri ilkeleri bizlerce bilindiğinden, arama alanı daralıyor ve yasanın bulunma ihtimali de doğal olarak artıyor.
Bu ilkelerin (veya onların sonucu olan koruma yasalarının) nasıl işe yaradığını göstermek açısından iki örnek vermek istiyorum. İngiliz fizikçi Paul Dirac bu ilkelere dayalı olarak oluşturduğu ve elektronun durumunu tasvir eden denklemini inceleyerek iki çözüm buldu. Bunlardan bir tanesi elektronu tasvir ettiği halde, bir diğeri kütlesi elektronunki ile aynı, fakat elektrik yükü pozitif olan bir parçacığın temsilcisiydi; bu parçacık çok sonraları bulunarak pozitron adını aldı.
İtalyan atom fizikçisi, sonraları ABD’nin Şikago Kenti’nde ilk atom kazanını kuran ve “kaynatan” (1943) Enrico Fermi, Beta Parçalanması denilen bir olayı gözlemlerken, bir miktar enerjinin kaybolduğunu fark etti. Korunma yasasından yola çıkan Fermi, bu enerjiyi çalan bir “hırsız parçacığın” olması varsayımını ortaya attı ve onun özelliklerini (kütlesi, elektrik yükü, dönme momenti) tasvir etti. Daha sonra bulunan bu parçacığa da, küçük nötron anlamına gelen nötrino adı takıldı.
Simetri ve güzellik
Yukarda değindiğimiz gibi, simetri hem de bir düzen olduğundan, kusursuz simetri güzellikten daha ziyade bir güven duygusu uyandırmaktadır. Örneğin İstanbul’daki Süleymaniye ve Sultan Ahmet Külliyatı, Hindistan’daki Taç Mahal, Semerkant’taki Şiri-Dor Medresesi, Moskova Devlet Üniversitesi gibi muhteşem yapıtlar, güzellikten çok bir güven, sonsuza dek varoluş duygusu uyandırmaktadır.
Güzellik duygusunun kaynağını ise, diğer bilinen ve bilinmeyen nedenlerin yanı sıra, simetri ile sıkı bir biçimde bağıntılı olan, asimetri oluşturuyor bence. Asimetri, simetri içeren bir düzensizlik veya bilerekten, amaca yönelik şekilde simetrinin bozulması gibi algılanabilir; ki bunun sonucunda, iç dinamiklere bağlı bir gerilim, eski statik duruma dönme beklentisi ortaya çıkıyor. Güzellik duygularını uyandıran nesne de, işte bu olsa gerek.
Örneğin, bir silindiri süsleyen nakışların yönü doğuranla belli açı oluşturduğunda, doğuran yönünde olduğundan daha estetik bir görünüşe sahiptir. Veya bir kadın portresinde, kadın boynunu hafifçe yana eğerek, yüzünü de az yana döndürmüşse, portrenin cazibesi ve güzelliği artar; bu da söylediklerimizin nedensiz olmadığını gösterir.
Matematik-simetri ilişkisi
Simetri kavramı bir anlamda, ilk olarak matematiğin önemli ve temel bir bölümü olan geometride “vatandaşlık statüsü” kazandığından, ilişkilerinin çok sıkı olmasının doğal olacağı açık. Burada ters yönde etkili olan iki tür ilişkiden söz edebiliriz. Şöyle ki, ele alınan meselenin simetrikliği, çözümün de simetrik olmasını beraberinde getirdiğinden, çözüm arama alanı fizikte olduğu gibi daralır ve onun bulunması bir ölçüde kolaylaşmış olur. Örneğin bir küpün, onun cisim köşegenine, orta noktasından dik olarak geçirilen düzlemle arakesitinin bir altıgen olması kolayca tasavvur edilebilir. Veya tepeleri yine bir küpün tepelerinde, ayrıtları ise küpün yan yüzlerinin köşegenleri olan iki tetraederin arakesitinin bir oktaeder olacağı, bir kadar zor da olsa, yine tasavvura tabidir ve bu tasavvuru mümkün kılan, alınan figürlerin simetrik olmasıdır elbette.
Öte yandan matematik de simetriye borçlu kalmıyor, onu sınıflandırmaya ve daha derinden anlamaya yardımcı oluyor. Bu alanda matematiğin kullandığı muhteşem “alet”, Gruplar Teorisi’dir. Bu teorinin temelleri, 5 ve daha yüksek dereceli cebri denklemlerin çözümleri için genel formülün bulunmadığının ispatı yolunda, Fransız Evarist Galois ve Norveç Niels Abel tarafından atılmıştır. Daha sonra ünlü Alman matematikçisi Felix Klein, henüz 26 yaşındayken, Erlangen Üniversitesi’nde savunduğu “Geometrilerin temelinde yatan prensipler hakkında” adını taşıyan tezinde, çeşitli geometrileri sınıflandırmak için grupları kullanmıştır.
Klein’a göre her bir geometri (Öklid, Rieman, Lobachevski, afin, projektif vs.), objelerin, grup oluşturan belli dönüşümlerin etkisi altında, değişmeyen özelliklerini araştırmakla meşgul oluyor. Dolayısıyla her geometri kendisine bağlı, dönüşüm grubunun değişmezlerini incelemektedir diyebiliriz. Bu bakımdan bağlı grubun yapısını öğrenmekle, uygun geometrinin yapısı hakkında önemli bilgiler edinmek mümkün oluyor. Tıpkı “Bana dostunu söyle, senin kim olduğunu söyleyeyim” atasözünde olduğu gibi.
“Erlangen Programı” adına layık görülmüş Klein’ın bu eseri sonraları da çok verimli olmuş, onun fikirleri, kristal kafeslerdeki simetrilerin, dolayısıyla kristallerin sınıflandırılmasında önemli roller üstlenerek, krisalografi araştırmalarına kolaylık sağlamıştır. Ekleyelim ki, Gruplar Teorisi, simetrinin büyük önem taşıdığı Temel Parçacıklar Teorisi’nde de benzer bir şekilde uygulanmaktadır.
Sonuç
Son olarak ilave edelim ki, simetri denilen şey, bildiğimiz-bilmediğimiz tüm nesneleri kapsayabilen potansiyel ve güce sahip. Sözün hüküm alanı filolojide de söz sahibi olmayı başarmıştır. Örneğin şiirde çok önemli olan vezin ve kafiye meselesi, simetrinin iki tezahür formu olan denge ve güzelliğin temsilcileri olsa gerek. Klasik şiirlerde, şairin bunların her ikisini göz önünde bulundurması şarttı. Ama bu arada sözün taşıdığı mana da unutulmamalı, onu bozacak değişikliklerden kaçırılmalıdır. Maalesef sevimli Nasreddin Hocamız, bir zamanlar ödüllenme arzusuyla çırpınarak, ipin ucunu kaçırmıştır.
Şiir yarışmasına katılan Hoca’nın, “Bir yılan gördüm bugün bahçede başını kaldırmış göğe / Bir çubuk vurdum ki, başını eğe!” beyitini sunuşundan sonra padişahın, “Hocam burada kafiye yerinde olsa da, bir vezin bozukluğu var galiba” iradını, ödülün elden kaçacağından endişelenen Hoca, şöyle yanıtlamış: “Padişahım, şiir ki var, şairin elinde an mumu gibi bir şeydir, istediği kadar çekip uzatabilir. Vezin meselesini halletmek çok kolay, bunun için beyitin ikinci satırını şöyle bir değiştirelim: ‘Bir çubuk vurdum ki, başını, şını, şını, şını… ‘ Gerekirse yine uzatabilirim”.
Simetrinin şiirdeki tezahür formları sadece vezin ve kafiye ile sınırlı değildir tabii. Onların hepsine değinecek halimiz ve hakkımız yok şimdi. Ama bir konuya, şiirin fonetiği (sesi) konusuna eğilmek isterim. Homeros’un İlyada ve Odessa eserlerini inceleyen araştırmacılar fark etmişler ki, olayı ifade etmek için kullanılan sözler öyle seçilmişler ki, sözlerdeki sesler olaya ters düşmesin, ona eşlik edebilsin. Yani bir dövüş sahnesinin tasvirinde kullanılan sözlerin seslerinin, kalkana indirilen kılıcın sesine benzemesi, bir sevgi sahnesinin sözlerindeki seslerin ise, çok ince ve hazin olması lazım. Bu halde, sözün ifade ettiği manayla kullandığı ses arasında bir ahenk, bir harmani yaratılmış olur ki, bu da simetrinin şiirdeki tezahür formlarından biri gibi algılanabilir bence.
Bunun dışında, özellikle âşık edebiyatında yaygın olan şiirin teçnis formu ile, renkli paralel göçürme simetrisi arasında bir benzerlik gözlenmektedir; bu da simetrinin yeni bir boy gösteri formu gibi algılanabilir. Örneğin, “Yatağımı salmışım son zamanlar divana / Kendimi tamam verdim şiir, gazel, divana / Korkarım böyle gitse olum deli-divana / Elimden hata çıka, çekilim ben divana/Ben de insanoğluyum, doğurmayıp dev ana” beşli teçnisindeki beş defa tekrarlanan divana kelimesindeki mana değişmesini, aynı bir resmin boya geçişleri gibi algılarsak, ortada bir anlamda renkli paralel göçürme simetrisinin olduğu açıklık kazanır.
Son söz olarak, simetri doğanın bir kusursuzluk, bir kalite mührüdür diyebiliriz. Ama bu mühür birimlere bir defaya mahsus olarak değil, sürekli olarak, “beşikten kabre kadar” vurulmaktadır. Yani simetri hem de doğanın sürekli kontrol aracıdır. Yolu açık olsun…
* Bu makale, Azerbaycan’ın bağımsızlığı ve Karabağ uğrunda mücadelenin ön saflarında yer almış, kristalografi alanında söz sahibi değerli bilim adamı, rahmetli Hudu Memmedov’un aziz hatırasına ithaf olunur.
KAYNAKLAR
1) Y. A. Danilov, İ. Kepler ve Onun “Evrenin Harmanisi” Eseri, (Rusça), Moskova, 1978.
2) W. Gilde, Ayna Evreni, (Rusça), Moskova, Mir, 1979.
3) A. S. Kompaneets, Mikro ve Makro Âlemde Simetri, (Rusça), Moskova, 1978.
4) G. Linder, Çağdaş Fiziğin Görüntüleri, (Rusça), Moskova, Mir, 1977.
5) H. Memmedov, İ. Amiraslanov vb., Nakışların Hafızası, Bakü, Azerneşr, 1981.
6) Molla Nasreddin Latifeleri, Bakü, Azerneşr, l 959.
7) Patterns of Symmetry, Edited by M. Senechal and G. Fleck, University of Massachusetts Press, Amherst, 1977.
8) E. Schrödinger, Yaşam Nedir?, (Rusça), Moskova, Atom Basımevi, l 972.
9) H. Weyl, Symmetry, Princeton University Press, New Jersey, 1952.
10) E. P. Wigner, Simetri Hakkında Etütler, (Rusça), Moskova, Mir, 1971.
