Bu yazının ele alınmasının sadece bir nedeni olduğunu söyleyebilirim, o da Sn. Sait Başer Bey’in Toplumsal Aklı Anlamak kitabını daha iyi anlamak ve mümkün olursa başkalarının anlamasına da bir ölçüde katkıda bulunmaktır. Mesele şurada, herhangi bir şey anlatılırken, kafada var olan (inşa edilmiş veya hazır) belli bir modelden yola çıkılır genelde. Anlamak isteyen kişi de o modelin benzerini inşa etmekle uğraşır anlama süreci boyunca ve eğer inşa edebildiyse, anlamış demektir. Yani bu bilgiyi başkasına aktarmak için kendi modeline sahiptir artık. Ama bu model, anlatanın yola çıktığı modelden farklı olabilir ve olur da genelde. Modelin basit veya karmaşık olması ise, anlatım sürecini kolaylaştırabilir ya da zorlaştırabilir.
Yazarın kullandığı model bana malum değil, fakat okuma sırasında bana şu mesele ayan oldu ki, anlatılanları anlamak için benim inşa etmem gereken model artık bende var ve bu model, mesleğim olan matematiğin yapısında mevcut. Şimdi bu yazıda gayemiz, kitabın bir kısmını anlamak için gerekli matematik yapıları gözler önüne sermek. Tabii bir fizikçi, bir biyoloji uzmanı veya bir edebiyatçı da benzeri modeller ortaya koyabilir. Ama sanırım matematik model bu “yarışmada”, meselenin özüne daha yakın olabilmesi itibariyle, “yarışmanın” daha başından belirgin avantajlara sahip durumda.
Öncelikle inanmak ve anlamak konularında eskiden var olan kanaatlerimizi, mezkûr kitaptaki genel düşüncelerin ışığı altında dile getirecek, daha sonra ise, atıfta bulunacağımız ayrı-ayrı düşüncelerle uygun matematik yapılar arasında bir paralellik kurmaya gayret edeceğiz.
Matematiğin felsefesi hakkında
Felsefe sözü kökeni itibarıyla “filo” (sevmek) ve “sofiye” (hikmet) gibi iki Yunan kökenli sözcükten oluşmuştur ve âdemoğullarının dünyayı kavrama yolundaki istek ve arzularını, çabalarını içerir. Bu anlamda çağdaş bilim dallarının, çalışma alanlarının hemen hepsinde felsefenin elemanlarına, tohum, çekirdek şeklinde de olsa rastlanılır diyebiliriz. Tesadüfi değildir ki, felsefenin Arapça’da bir diğer adı “ümmi-l ulum”, yani “ilimlerin annesi” olarak geçer. Sokrates’in meşhur deyimine göre, insanın esas gayesi “kendini derk etmekten (anlamaktan)” başka şey değildir. Aslında her insanoğlu dış dünyanın yansımasını da barındıran, zengin bir iç dünyaya sahip olduğundan, kendisini derk etme yolunda yürürken bir ölçüde dünyamızı da derk etmiş olur.
Çok değişik felsefi cereyanlar ve değişik felsefi kavramlar olmasına rağmen, felsefenin ana sorusu olan madde ve bilincin, maddi ve manevinin önceliği meselesinin çözümüne göre filozoflar materyalist ve idealist olarak iki büyük gruba ayrılmıştır ve bu ayrım Platon ve Aristoteles’in zamanına kadar uzanır. Bunların çatışması pek bitecek gibi gözükmüyor, çünkü tezlerin her ikisi güçlü ve arkalarında da büyük maddi-manevi kuvvetler durmaktadır. Tabii kimi zamanlar düalizm tezlerine dayanarak, bunları barıştırma, birleştirme çabaları da olmuştur, ama bugün de her iki taraf dimdik ayakta durmakta ve olası saldırıyı geri püskürtmek için sabırsızlanmaktadır.
Alfred Renyi’in Matematik Üzerine Diyaloglar kitabında da söylendiği gibi, her iki cephe de dış ve iç dünyamız arasında bir bağlantı, bir korelasyon olduğunun farkındadır ve kendi araç, gereç ve yöntemleriyle bu bağlantıyı yorumlamaya, nedenlerini aramaya gayret etmektedir. Bana göre asıl olan da budur. Beşer ve bilim tarihinde “son söz hakkını” sahiplenmek isteyenlerin akıbeti herkesin malumu. Einstein’in tabirince dersek, bunlar “İlahların kahkahaları altında” sahneden düşürülmüşlerdi.
Yorumlar, ütopyalar sadece felsefede değil, hemen her yerde mevcut. Bilim spiralinin her yeni halkası, bilim merdiveninin her yeni basamağı, bir önceki halka ve basamağı yorum, ütopya durumuna sokmakta ve kendisi de bir sonraki gelişmelerle ütopya olmaya aday. Fizikte atom teorisi, kuantum mekaniği, izafiyet teorisi gibi alanların gelişme sürecinin izlenmesi, bu sonuca varmamız için yeterli olacaktır diye düşünüyorum.
Matematiğin felsefesine geldiğimizde ise, bilmemiz gereken, burada da değişik akımların mevcut olduğu. Örneğin aşırı “sağcılar” diye nitelendirebileceğimiz Pisagorcular sayıların dünyayı idare ettiğine inanıyordu ve bu inanç o kadar güçlüydü ki, meşhur Pisagor teoreminin ispat olmasından dolayı 100 öküz kurban (hektakomba) edilmiştir. “Solcu” diyebileceğimiz akımın üyeleriyse matematiği dış dünyayla ilişkisi olmayan, tamamen kendine kapanmış ve yalnızca zekâ ürünü bir sanal dünya olarak algılar ve matematik yaşamlarını çok büyük zevkle burada sürdürürler, tıpkı bilimkurgu filmlerinde olduğu gibi. Ve bu “geçmişten, kökenden soyutlanma” devam etmektedir. Eskiden matematiğin araştırma objeleri dış dünyayla bağlantısı yalın gözle görülen, yoksun akılla sezilebilen objeler (geometrik figürler) idi, sonra sadece bu objelerle bağlı yeni daha soyut objeler (örneğin gruplar), daha sonra bunlar arasındaki bağlantılar (topolojiler) ve bunlar üzerinde işlemlerin (kategoriler) incelenmesi ön plana çıkarıldı ve ötekiler ihmal edilmeye başlandı. Bir bakıma Sofinin Dünyası’nda olduğu gibi; kitabın kahramanlarıyla iç içe geçip, gam ve kederine ortak olmaya başlamışken, işte tam bu sırada bunların gerçek insanlar değil, sadece yazarın bir fantezisinin ürünü olduklarını anlıyoruz. İş bununla bitse ne gam, daha sonra belli oluyor ki, sevmeye başladığımız kahramanları üreten yazarın kendisi de başka bir yazarın fantezisinin ürünü vs. Burada ipin uçunu iyice kaçırmış bulunuyoruz denilebilir.
Matematikte inanmak üzerine
Şuradan başlayalım, bir eğitimci olarak bizim temas ettiğimiz sözcük “inanmaktan” ziyade “inandırmaktır”; yani öğrencilerimizi anlattıklarımızın doğruluğuna inandırmaktır. Tabii ön koşul olarak, o şeyleri kendimizin anlaması ve anladıklarımıza da inanmamız şart. Bunsuz hiçbir eğitim mümkün olmaz. Bu bilgilere önceden hâkimdik; lakin mezkûr kitaptan anladık ki, bir şeyi anlatmaya başlamadan önce, onu anlatabileceğimiz konusunda bir inanca sahip olmak zorundayız ve bu inanç, tüm anlatım sürecinde bizi terk etmemeli. Onun bizi terk ettiği anda durumumuz barutu bitmiş top veya benzini bitmiş araba gibi oluyor neredeyse, yani hiçbir şey yapamaz hale geliyoruz. Sonuç olarak matematikte de inanç faaliyetin ön koşulu haline gelmekle, söylenildiği gibi “düşünmenin ilk atağı” olarak da algılanabilir.
Bir kâşif ve mucit olarak yola çıkmak istersek, inancın rolü bir derece daha artmış oluyor. Çünkü bu süreç katı karanlıkta veya sonsuz okyanusta bilinmeyen yeni bir şeyin arayışına çıkmaya benziyor ki, bu durumda dayanak noktamız güçlü bir inanç olur yalnızca. Bir mukayese gerekirse, durağan halde istenilen durumda dengemizi korumamız için üçayaklı olmak ne kadar makbul ise, yürüyen iki ayak ve bir inancımızın olması o kadar makbuldür diyebiliriz mecaz olarak. Ve de bu inancın sağlam, kuvvetli ve güçlü olması gerek. Sağlam olması, hasta olup bizleri yarı yolda bırakmaması için; kuvvetli olması, belirli ağırlıkları kaldırabilmesi için; ve nihayet güçlü olması bizi hedefe zamanında ulaştırabilmesi için gerekmektedir. İnanç, kâşif gemisinin yelkeni gibidir, yırtık, sökük olduğu durumda bizi bir yere götüremez, hatta ve hatta acımasız belirsizlikler okyanusunda mahvolmamıza da sebebiyet verebilir.
Tam burada eklememiz gereken önemli bir şey var, bu da inancın oluşması için kâşifte sezginin, bir önsezinin bulunması meselesidir. Sezgi ve inanç arasındaki sınır o kadar incedir ki, onu inancın çekirdeği diye de nitelendirebiliriz. Tabii daha sonra bu inancın gerekli özellikleri kazanabilmesi için muhakkak insanın bilinçli faaliyetine ihtiyaç duyulacaktır. Bir doğa bilimci için bu iş gözlem ve deneylerle, bir matematikçi için ise hesap kitapla yerine getirilecektir. İki ağaç parçasını ara vermeden ve de tamamen ona odaklanmış durumda birbirine sürterek ateş çıkarabilmemizi sağlayan da hakkında konuştuğumuz sağlam ve güçlü inanç olsa gerek. Oluşan ateşin ışığı karanlıkları yararak bizleri aydınlıklara çıkarır ve kimi durumlarda hedefe götüren yolu tüm ayrıntılarıyla görebilmemizi sağlar hatta.
Burada birkaç sözle odaklanma konusuna değinmek yerinde olur diye düşünüyorum. Meşhur Müslüman filozofu İbn Tufeyl, Daniel Defo’nun Robinson Crusoe’sundan nerdeyse 500 yıl önce aynı konuda (tek kişinin ıssız bir adadaki serüveni) kaleme aldığı Hayy bin Yakzan adlı ünlü eserinde, insanları dört gruba bölmektedir. Birinci gruptan olan insanlar içindeki “ışığı” ezik, pürüzlü metal kutu gibi her yana düzensiz bir biçimde serpmekte, bir diğer gruptakiler, tıpkı mutlak siyah cisim gibi, bu ışığı dışarıya hiç yansıtmamaktalar. Üçüncü grup üyeleri, sahip oldukları ışığı belli bir yönde paralel ışınlar şeklinde yönelterek diğer insanların yolunu bir ölçüde aydınlatmaktadır (örneğin eğitimciler ve ustalar). Dördüncü grubun insanları ise kendisine paralel ışınlar halinde ulaşan zekâ enerjisini araba farlarının aynasını anımsatan paraboloit ayna misali yansıtarak belli bir hedef üzerine odaklamakta ve kısa bir zamanda onu yakarak ateşten bir küreye dönüştürmektedir. İbn Tufeyl’e göre işte bunlar sistem kurucuları, rehberlerdir ki, büyük halk kitlelerini ayağa kaldırıp, belirli hedefe doğru götürme gücüne sahiplerdir.
Matematikteki inançla doğa bilimlerindeki inancın farkı
Şimdi matematikteki inançla, diğer bilimlerdeki inancın köklü farkına değinmemizin tam zamanı diye düşünüyorum. Öncelikle vurgulamamız gerekiyor ki, doğa bilimlerinde inançlarımız hiçbir halde tam olmuyor. Bu bizim zayıflığımızdan değil, bilimle doğanın karşılıklı ilişkisinden ileri gelen ilkesel karakterli bir olgu. Doğa olaylarının açıklanmasına hizmet etmesi gereken bilgilerimiz, bu olayların iyi veya kötü şekilde tasarlanmış modellerinden başka bir şey değildir ve bu modeller, tam olmaktan uzaktır. Ayrı-ayrı yeni buluşlar, belli bir bilim dalı panosuna uyum sağlaması gereken mozaik parçasından başka bir şey değildir. Bazı durumlarda yeni buluş genel manzaranın hiçbir bölgesine uymadığında, panomuzu söküp, yeni buluşun da yer alabileceği şekilde yeniden inşa etmemiz gerekebilir. Nitekim görelilik kuramının ortaya çıkmasından sonra, fizik bilim dalını yeniden inşa etmek zorunda kaldık.
Matematik bilgiler ise her zaman doğru ve nettir. Zaten “matematik” sözü de, Eski Yunanca kökeninde bu anlama gelir. Çünkü matematiğin bizim dışımızda bir şeyi yoktur, tamamen bizlere özgüdür, yani beşeri soyut düşüncenin ürünüdür. Oradaki bir hükmün doğru ve yanlışlığına karar verecek tek şey, mantığa dayalı “Ela-hazret İspat”tır! İspatlanmış hükümler, matematik ülkesinin pasaportuna sahip olmuştur denilebilir. Öteki tüm faraziler, varsayımlar, zanlar vb. de bu ülkede yaşam hakkına sahiptir, ama yalnız bir süreliğine. Daha sonra onlar ya pasaport edinecek, asıl vatandaş olacak veya doğru olmadığı anlaşıldığı anda da, sınırdışı edileceklerdir. Pasaport alma süresi, Rus matematikçi Perelman’ın çabaları sonucunda çözülen Poincare problemi için 100 yıl, İngiliz Andrew Wiles’in sekiz yıl boyunca inzivada, hücre çalışmaları sonucunda çözülen Fermat problemi içinse 350 yılı bulabilir.
Şimdi sanırım matematikte temel inançlara temas etmenin tam zamanı. Bilindiği üzere matematik, aksiyoma dayalı bir bilim dalı. Yani burada ilk kavramlar tanımsız ve ilk hükümler ispatsız olarak alınmaktadır. Yani Sait Bey’in de vurguladığı üzere, her bir aksiyom sistemi birer inanç sistemidir diyebiliriz. Bu sistemden beklenen, onun çelişkisiz, fazlalıksız ve tam olmasıdır yalnızca. Yani burada zıt hükümler yer almaz, hiçbir hüküm geride kalanlardan çıkarılamaz ve bu sistemde ifade edilen önermeler ya ispatlanabilmeli (pasaport verilmeli), ya da çürütülebilmelidir (sınırdışı edilmeli).
Fakat 1930’lu yıllarda bu alanda (matematiğin temelleri) önemli gelişmeler kaydolmuştur. Kısmen de bu gelişmelerden dolayı ün kazanmış Alman asıllı Avusturyalı matematikçi Kurt Gödel (1906-1978) ispat etmiştir ki; her aksiyoma dayalı sistem içerisinde öyle önermeler vardır ki, onların bu sistem içinde kalarak kanıtlanması veya çürütülmesi prensip olarak olanaksızdır. O halde onun doğru veya yanlış olmasının kabulü artık bize kalmıştır ve bu, yeni bir inanç meselesi olarak ortaya çıkmaktadır.
Son olarak matematikte inanç ve ispat konusunda birkaç örnek daha vermek istiyorum, yüz defa duymaktansa, bir defa görmenin daha iyi olacağı bir daha kanıtlanmış olsun. Örneklerden biri kendisine ve yaptıklarına dünyada hayranlık duyulan dahi Hint matematikçisi Sirinivasa Aiyangar Ramanujan’la (1887-1920) ilgilidir. Üniversitenin birinci sınıfında bırakılmasına rağmen, henüz 30 yaşını doldurmadan, kişisel çalışmalarından dolayı Cambridge Üniversitesi profesörlüğü ve Londra Kraliyet Akademisi üyeliği gibi şerefli unvanlara mahzar olabilmiştir bu zat. Ve ağırlığını koyarak dünya matematik merkezini Almanya Göttingen’den, İngiltere Cambridge’e “kaydırmayı” başarmış Harold Hardy ile birlikte “taksim problemi” denilen bir problem üzerine çalışmıştır. Bu problem, doğal sayıların kaç değişik biçimde toplananlara ayrılabileceği sorusuna yanıt aramakla bağlı olup, aynı zamanda bu bölünme sayılarının aritmetik özellikleri konusunu da içermektedir. Eğer ’le doğal sayısının toplananlara ayrılma sayısını işaretlersek,
olduğunu küçük sayılar için kolay, büyük sayılar içinse bir kadar zor olmakla saptayabiliriz. Tablodan da göründüğü gibi, ’in artmasıyla önce yavaş, sonra ise hızla artıyor. Misal için, 3.972.999.029.388 olduğu hesaplanmıştır.
Matematiksel ispatlara gereksinim duyulmasının esas sebebi, matematikte bir önermenin kapsamındaki obje sayısının sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla bu önermenin tüm objeler için geçeri olup olmadığını deneyler yaparak anlamak imkânsızdır. Gelbaum ve Olmsted’in Analizde Ters Örnekler kitabında da değinildiği gibi, biraz serbest ifade kullanırsak, matematik, matematiksel ispatlar ve zıt örneklerden oluşmuştur diyebiliriz. Yani uzun çalışmalar sonucu oluşan sezgiye veya deney sonuçlarına göre, doğruluğuna inandığımız bir önermeyi önce ispat etmeye çalışır, bunda başarılı olamayınca, bu tezi ona ters düşen örneklerle çürütmeye yöneliriz ki, bu da Luzitaniya namlı Moskova Üniversitesi matematik camiasında kullanılmış ve günümüzde de yararlanılan bir yöntemdir. Yine “Yüz defa duymaktansa, bir defa görmemiz daha iyi olur” tezinden yola çıkarak, bazı ispat yöntemleriyle tanışmaya çalışalım.
Direkt ispata ait bir örnek olarak, 3’den büyük herhangi bir asal sayının karesinin bir eksiğinin 24’e tam bölündüğünü ispat edelim. 1 ve kendisinin dışında çarpanları olmayan doğal sayılara asal sayılar deriz. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13 vs. Bunların 5’den başlayarak karelerinin 1 eksiği sırasıyla 24, 48, 120 ve 168 olmaktadır ve 24’e kalansız bölünür; ama asal sayılar sayısı sonlu olmadığından onların hepsi için bu önermenin doğru olduğunu kontrol edemeyiz. İşte bu zaman ispata ihtiyaç duyuyoruz ve bu, sonsuzluğu “kucaklamanın” tek yoludur. p > 3 asal sayısını alalım. Gösterelim ki, p2 – 1 sayısı 24’e tam bölünür. Bunun için onun 3 ve 8 sayılarına bölünmesini göstermek yeterli olacak, çünkü 3 ve 8 aralarında asaldır (ortak çarpanları yoktur) ve çarpımı da 24’tür. Hatırlatalım ki, üç ardışık doğal sayıdan bir tanesi 3’e tam bölünmek zorundadır. p > 3 asal olduğundan 3’e bölünmez. O halde onun sol ve sağ komşuları olan p -1 ve p +1 sayılarından biri 3’e tam bölünür ve buna göre onların çarpımı olan p2 – 1 sayısı da 3’e kalansız bölünür. Şimdi onun 8’e de bölündüğünü gösterelim. Asal sayılar 4n +1 veya 4n + 3 şeklinde ifade edilebildiğinden, örneğin p = 4n + 1 durumunda p2 – 1 = (p -1)(p +1) = 4n(4n +2) = 8n(2n +1) olmaktadır ve 8’e kalansız bölünür (8 çarpanı var). İkinci durumda da ispat benzer şekilde tamamlanır.
Yanlış önermenin (ispatlanamaz) ters örnekle nasıl çürütüldüğüne de bir göz atalım. Bir önermede deniyor ki, keyfi doğal sayının karesi ile kendisinin farkına 41 eklersek, sonuç asal sayı olur. Gerçekten 1, 2, 3, 7, 10 vs. sayılar için sonuçlar 41, 43, 47, 83 ve 131 olmaktadır ve bunlar asal sayılardır. Sanki önermemiz doğruymuş gibi düşünmeye başlıyoruz ki, 41 sayısı için 412 – 41 + 41 = 412 sonucu asal olmuyor ve bu ters örnek bizim umutlarımıza son vererek bu önermeyi çürütüyor. Ekleyelim ki, yanlışların zamanında çürütülmesi insan yaşamında da çok önemli konulardan biridir.
Matematikte anlamak üzerine
Bu bölüme bir şair ve bir matematikçinin bizim düşüncelerimizle sesleşen ve yeterince popülarite kazanmış sözleriyle başlamak istiyorum. Şair, meşhur Azeri şairi, benzersiz mizah ustası Mirza Alekber Sabir (1862-1911), matematikçi ise, The Hilbert Problem Book ve diğer klasik kitaplarıyla matematik camiasında, hem de bir pedagog gibi ün kazanmış Paul Halmos’tur (1916-2006). Sabir, Soru-cevap adlı şiirinde şöyle diyor:
– Görme! – Baş üste, yumarım gözlerimi.
– Dinme! – Mutiim, keserim sözlerimi.
– Bir söz işitme! – Kulaklarım bağlarım.
– Gülme! – Peki, sabah akşam ağlarım.
– Kanma! – Yapamam! Beni mazur tut,
Böylesi teklifi-meali unut.
Gabili- imkân mı olur kanmamak?
Tutuşmuş-nar içre olup yanmamak?
İlave edelim ki, şiirdeki “kanmak” sözü, Türkçe’deki “anlamak” sözünün yükünü taşımaktadır. Sanırım Sabir bu şiirinde meşhur “Düşünüyorum, öyleyse varım” lafının ötesine geçmiştir. Çünkü bence aslında düşünmek amaç olmasa gerek, o, son hedefimiz olan anlamak için bir araçtır yalnızca. Demek ki, hedeften vazgeçemeyiz ve ona ulaşmanın bir yolunu buluruz nasılsa.
Halmos ise şöyle demiştir: “Matematiği öğrenmenin (anlamanın) en güzel yolu, onu yapmaktan geçiyor”. Yani matematiği gerçek anlamda benimsemek için takip etmemiz gereken alternatifsiz yol, onu kendimizin parça-parça inşa etmesinden geçecektir.
Ekleyelim ki, 1960’lı yıllarda Azerbaycan edebiyatına yeni nefes, yeni abı-hava getirmiş yazarlardan biri olan Anar, 20. yüzyılın başlarında değişik yerlerde (Bakû, Tebriz) çıkardığı Molla Nasreddin dergisi ile birlikte Avrasya çapında meşhur olmuş Celil Memmedguluzade hakkındaki yeterince rağbet görmüş yazısını “Anlamak Derdi” diye adlandırmıştır.
Buradan da anlaşıldığı gibi, insanı insan yapan en temel unsur olayları anlamak, idrak etmektir. Zira gören, işiten, konuşan mahlûk anlamadıkça, canlı âlemin insanlıktan uzak bir bölgesine sürüklenir zamanla. Meselenin ilginç yanı şu ki, insanlar gitgide enerjilerinin daha fazlasını görmeye, işitmeye ve konuşmaya harcıyor. Anlamaya vakit ayırmazsak, en iyi durumda bir papağana dönüşürüz eninde sonunda.
Bunu test etmek için, basın ve yayında çok tartışılan bir konunun yerlerde nasıl tartışıldığına bir göz atmak yeterli olur. O zaman konuşulanların, televizyon ve gazetelerde izlediklerimizden pek farklı olmadığına şahit oluruz. Ve hatta hangi şahsin hangi kanalı seyrettiğini saptamak da pek zor olmaz. Ünlü Alman filozofu Schopenhauer (1788-1860) diyor ki, piyasada çok anlamsız fikirlerin dolaşmasının temel nedeni şu ki, herkes konuşmak istiyor, ancak düşünmek isteyen pek az. Aslına bakarsınız, toplum da (bilerek veya yönlendirilerek) gürültülü konuşmalara, düşünceli konuşmalardan daha fazla değer biçiyor. Henüz 13 yaşındayken iki gözünden kör olmasına rağmen, matematik dünyasında zirveye yükselmeyi başarmış Lev Pontryagin (1908-1988) bu konuda şöyle diyor: “Uzun bir süre kitap yazma deneyimime dayanarak diyebilirim ki, iki defa fazla enerji sarf etmekle, yazılmış kitabın hacmini iki defa azaltabiliriz. Fakat bu zaman da kitaptan edineceğimiz kâr, nerdeyse iki defa azalmış oluyor. Yani deyebiliriz ki, kitaptan edinilen kâr sarf olunan enerjinin karesi ile ters orantılıdır ve bence içeriği boş, kocaman kitapların piyasayı işgal etmesinin temel nedeni de işte bu olsa gerekir”.
Anlamak için gereken ilk şey, önce de belirttiğimiz gibi, olayı anlayabileceğimiz konusunda “ilk atak” niteliği taşıyan inançtır. İşte bu inancın saldığı “motor” bizim düşünme mekanizmamızı çalıştırır ki, bu çalışmanın sonucunda da kafamızda olayın ancak bize mahsus bir modeli oluşur. Anlamak, işte bu modelin oluşmasıdır. İşitilen ve görülene kendi düşüncelerimizi de kattığımızdan, bizim modelimiz, bize telkin edilmek istenen modelden farklı, hatta ve hatta onun tersi olabilir bazen.
Anlama meselesinde öne çıkan faktörlerden biri de anlamanın yoludur. Eğer anlamayı bir ev edinmeye benzetirsek; satın alınmasıyla, onu edinen kişinin kendisi tarafından inşa edilmesi çok farklıdır. Gerçi her ikisinde de edinilmiş evler, aşağı yukarı aynı düzeyde kullanılmak için yararlıdır. Fakat kendi inşa ettiğimiz ev hakkındaki bilgilerimizin çok daha ayrıntılı olmasının yanı sıra, gerektiği zaman aynı inanç ve anlayışla, kolayca yeni eklemeler yapabiliriz. Bilim edinmenin bu iki farklı yolu da, gelecek perspektifi açısından çok daha fazla önem taşımakla, daha farklı sonuçlara yol açacaktır. Bu arada, matematikte ve diğer alanlarda birilerinin anladığı şeyi yeniden inşa ederek anlamanın adı öğrenmek ise, kimsenin henüz anlamadığı şeyi inşa ederek anlamanın adı keşiftir.
Bilgi edinme, anlama (inşa etme) yolunda bir numaralı unsur, bizi daima destekleyen, neredeyse “kırbaçlayarak” rahatsız eden “arkadaşımız” meraktır diyebiliriz. Merak biten yerde yeni şeyler edinme de biter. Geçici ve zayıf merak eşliğinde edinilen bilgiler, ya hiç “doğmaz”, ya da sakat olur genelde. Nasıl zorla yedirilen yemek fazla yarar sağlamazsa, meraksız edinilen bilgi de kötü hazmedilir, kemiğe ve kana işlemeden, hemen hepsi kalıntı olarak dışlanır. Ekleyelim ki, merak kendi başına bir iş yapamaz, bilgiye ulaşmak için onun yanında (akabinde) azim ve sabrın da olması gerekmektedir. Mecazi olarak ifade edersek, bilgi edinmenin yolu, “çocuk merakı, genç azmi ve ihtiyar sabrından” geçer. Merakı da ayakta tutan, her şeyin bir nedeni, her yaratılışın bir hikmeti olduğuna olan derin inancımızdır bence.
Matematik bilgiler iki tür olur: objeler ve önermeler. Objelerin bazıları tanımsız kabul olunur ve bunlara ilk (temel) objeler denilir. Ötekilere türev objeler denilir ve onlar öncekileri kullanarak tanımlanırlar. Önermeler de iki türdür, ispatsız kabul olunanlara aksiyomlar (postulalar), ötekilere teoremler denilir. Bir aksiyoma dayalı sistem dahilinde, ona uyan yeni bir obje geliştirdiğimiz de buna icat, yeni önerme ispatladığımızda buna keşif deyebiliriz. Yeni objelerin inşası esasen, ispatlanamayan varsayımları çürütmek için düşünülmektedir ve bunlara ters örnekler denilir. Bunun en ünlü ve çok uygulama alanına sahip örneği, gücü “kontinyum” (c-continuous) olmanın yanı sıra, ölçüsü sıfır olan “Kantor kümesi”dir. Bu örnek ortaya çıkana kadar ölçüsü sıfır olan kümelerin gücü kontinyumun altında olmakla, “sayılabilir” (a- abzehlbar) olacağı varsayımı mevcuttu ve bu örnek o varsayımı çürütmüş oldu. Çürütülmemiş varsayımlar (hipotezler) ise her zaman ortada dolaşmakta ve kendi “olum veya ölüm” günlerini beklemekteler. Lakin onların gerek “olumu”, gerekse “ölümü”, varolan bir belirsizliğe son verilmesi açısından, matematiğin kendisi için her zaman “olumlu” olacaktır. Bazen bir belirsizliğe son verilmesi yolunda başka belirsizliklere de son verilir veya yeni belirsizlikler ve de onların “olum- kalım” meselesi ortaya çıkabilir. Matematikte yeni bilgiler edinmenin (inşa etmenin) yolu, işte bu yoldur. Bazen de (Gödel teoremi) sistem dahilinde ispatlanması ve çürütülmesi imkânsız olan önermeler ortaya atılır ki, bunlar da inşa edilen sistemde yeni dallanmalara neden olur. Bunların klasik örneği, analizde “kontinyum problemi”(gücü a ile c arasında olan küme var mı?), geometride ise ünlü “paralellik problemi”dir, ikincisi Öklit dışı geometrilerin yaranmasına neden olmuştur.
Matematikteki tüm bu gelişmelerde bizi doğru yola götüren çeşitli pusulalar vardır ki, kanımca bunlardan en önemlisi güzellik (sadelik) pusulasıdır. Çirkin şeylerin gerçek olma ihtimali bir hayli düşük olsa gerek, çünkü bu olay görünürde, her açıdan güzel inşa edilmiş ve muazzam bir harmoni içerisinde yoluna devam eden doğaya ters düşerdi. Güzelliğin, güvenirliğin garantisi ise simetridir diyebiliriz. “Anladığım kadarıyla fizikçilerin tüm apriori hükümlerinin kaynağı simetridir”- bu sözler, simetri alanında uzun yıllar söz sahibi olmuş ve hayatta olmamasına rağmen yine de söz sahibi olmaya devam eden, ender rastlanan matematikçi-pedagog Hermann Weyl’e aittir. Yani simetri doğru yolu bulmamıza yardımcı olan bir Ariadna ipi oluyor, öldürülen minotaur cahillik, kavuştuğumuz güzel ise bilgidir ve bu yolu tercih eden Tesey-insan kâmilleşme yolundadır… Dolayısıyla, simetri doğanın bir kusursuzluk, bir kalite mührüdür diyebiliriz. Ama bu mühür birimlere bir defaya mahsus olarak değil, sürekli olarak, “beşikten kabre kadar” vurulmaktadır. Yani simetri doğanın “sürekli kontrol aracıdır”.
Bazı özel yorumlar
Bu bölümde Sait Başer’in inanmak ve anlamakla ilgili bazı fikirlerinin matematik ve diğer doğa bilimlerindeki “yankılarına” değineceğiz.
“…yalın kat bir değerlendirme yapacak olursak, diyebiliriz ki, bu safhada akıl, beş duyu ve içgüdü verilerine dayanarak mukayese yapma melekesinin adı olmaktadır” (s.18).
Matematikte karşılaştırma çok önemlidir ve bilinmeyeni ona uygun olan, bilinen bir şeyle kıyaslayarak bulmaya çalışırlar. Örneğin ilk n tane doğal sayının kareleri toplamını, yine ilk n tane doğal sayıların kendi toplamıyla mukayesesinden, onların oranının (2n – 1)/3 olduğunu tespit edebiliriz ki, geriye bu tespitin tümevarım prensibi yöntemiyle ispatlanması kalır sadece. Sonuç olarak da ilk n tane doğal sayının karelerinin toplamı için formül bulmuş oluruz. Fakat karşılaştırma yaparken aşırılıktan kaçınmamız gerekmektedir. Bu hem karşılaştırılan objelerin sayısına, hem de karşılaştırılan örneğin iki objenin, kıyaslanan özelliklerinin sayısına aittir. Aksi halde oluşan karmaşık labirentten aklımızın yardımıyla eli dolu çıkmamız imkânsız olur. Bunun bir nedeni de böyle ortamlarda, yoğunlaşma- “kendini verme”- ve odaklanma zayıf olduğundan, her zaman akılın imdadına yetişen sezgi ve bilinçaltı mekanizmasının çalışabilme olasılığının düşük olmasıdır. İşte bu durumlar için denilmiş ki, “Akıllı düşününce, deli varıp nehri geçti”.
“Tekrarlarsak, bu noktada zihnin ilk teşkil ettiği anlam çerçevesi hüküm, tecrübelerde teyit edilen hükümler kavram, kavramların genelleşmesi ise bilgi dediğimiz yapıları kurmaktadır. Artık soyut alanda kendi ürettiği kavramları yeniden veri olarak alıp ikinci – üçüncü – dördüncü,…, n-ci yargılar üretmeye devam eder” (s.19).
Tam da bir geometri! Önce nokta, doğru, düzlem, arasında gibi soyut kavramlar üretiliyor ve bunlar arasındaki bazı ilişkiler ispatsız (tecrübeden yola çıkarak) tespit ediliyor. Daha sonra yeni (türev) objeler tanımlanmakla, onlar arasındaki bağıntıları tespit eden yargılar türetiliyor. Sayılar teorisinde de aynı süreç yaşanmıştır. Doğal sayılar değişik yollardan benimsendikten sonra, sırasıyla tam, rasyonel, irrasyonel, reel, karmaşık ve karmaşık ötesi sayılar türetilmiştir.
“…Yoğunlaşma – “kendini verme”. Düşünme ve öğrenme bununla orantılı saflık kazanmakta.” (s.22).
Denildiğine göre, namaz süresince ibadete yoğunlaşan Hz. Ali (r.a.), bedenindeki okun çıkarılmasından haberdar olmamıştır. Demek ki, yoğunlaşmanın “astar” diyebileceğimiz yönü, yoğunlaştığımız objenin dışındaki objelerden (maddi veya manevi) soyutlanma, sıyrılmadır. Matematikte de yalnızca işte bu maddi ve manevi inzivanın sonucunda sezgi mekanizması çalışmaya başlar ve bazı durumlarda, hatta en uygunsuz ortamlarda çözümü ortaya koyabilir. Ortaya konulan çözümün derinliği ise “özverinin” derecesiyle orantılı olarak tezahür eder.
“İnancın doğru veya yanlış olması öncelikle önem taşımıyor. Önemli olan insani eylemin inanç kaynağında ivme kazanmasıdır”. (s.27).
Nasıl ki manyetik alana giren parçacığın ivme kazanması için o parçacık hem elektrik yüklü, hem de hareketli olmalıdır, inanç alanına giren kişinin de ivme kazanması için belli bilgilere ve uygun amellere sahip olması gerekir. Kaynağını unuttuğum bir deyime göre, “Sürekli bilgi edinen sefih, sürekli düşünen ise deli olur”. Doğu kaynaklarında bunların birinci türüne bazen “kitap yüklü eşek” de denir. Sürekli düşünenlere gelince, aslında bunların önünde iki seçenek vardır: delilik ve dehalık. “Delilikle dehalık arasında sadece ince bir çizgi vardır” deyiminin bu kadar yaygın olması tesadüf değildir. İşte matematikçi Ramanujan ve büyük sistem kurucuları ikinci türdendir. Sanırım burada “kendini verme”, yoğunlaşma ve diğer faktörlerin yanı sıra, bedence sağlam olmanın da rolü küçümsenmeyecek derecede büyüktür.
“…Mesela alfabeye inanmakla onda bizatihi mevcut değeri kabul etmiyor, ona bu değeri yüklüyoruz. Böylece … onda farz ettiğimiz imkânları ufkumuza eklerken, kabullendiğimiz zaaflarla da kendimizi sınırlandırmış bulunuyoruz” (s.29).
Örneğin matematikte belli bir aksiyom sistemini kabullenirken, bir yandan bu sistemden ileri gelen edinebildiğimiz ve henüz edinemediğimiz “potansiyel bilgiler”, bir yandan “ufkumuza eklenerek” onu genişletirken, öte yandan, örneğin Öklit geometrisinde tüm üçgenlerin iç açıları toplamının 1800 olması gibi bir zorunluluk, bir sınırlama getiriyor. Buna göre bu sistem içerisinde kalarak bir küre yüzeyi üzerindeki üçgenleri inceleyemeyiz.
“Tabiatıyla güven duygusunun da tecrübeden neşet ettiği söylenebilir” (s.31).
Matematikte güven duygusu “tecrübeden neşet” ederek, bizleri güvendiğimiz şeyleri ispat etmeye ve bu yolda rastlanan zorluklara göğüs germeye motive eder. İspat neticesinde ise güvenin yerini mutlak gerçek alır ve artık bu konuda güvene gereksinim kalmamıştır. Courant ve Robbins’in Matematik Nedir? kitabındaki teşbihi ifadeyle, matematikte “güven duygusu hedefe giderken kullanılması gereken koltuk ağaçlarından başka bir şey değildir”.
“… ‘Bilincinde olduğunun bilincinde olan’ insanoğlu onu (dili-İ.Y.) öyle sürekli bir inançla kullanmaktadır ki, dil zımni bir matematik oluşturmakta, dilden soyutlanmış matematik gene tabiattan ayrı yeni bir tabiat hükmüne ulaşmaktadır” (s.36).
Evet, insanoğlu “bilincinde olduğunun bilincindedir”, fakat bunun nedeni hâlâ sır perdesi ardındadır ve İsviçreli fizikçi Ervin Schrödinger’in çok ünlü Fizikçiler Açısından Yaşam Nedir? kitabında da ifade etmek istediği gibi, bu perdenin insanlık tarafından ne zaman kaldırılacağı pek gözükmüyor.
Evet, gerçekten dilcilik ilminde matematik bir yapı mevcuttur, matematiğin özellikle istatistik bölümü, “matematik dilcilik” adı altında dilin çeşitli alanlarının (fonetik, morfoloji vs.) incelenmesinde kullanılmaktadır. Rusya’da bu işler 1960’lı yıllarda, dünyaca ünlü Rus matematikçisi Kolmogorov başkanlığında, özel araştırma merkezlerinde sürdürülürdü.
Evet, matematik artık nerdeyse kendine mahsus mecaz olarak dağları, dereleri, tepeleri, yaylaları, tarım alanları, değişik biçimde yapılanmış kentleri ve onları birleştiren çeşitli yolları olan bir dünya hükmündedir. Kimi matematikçiler güçlü mimarlar olarak yeni kentler inşa ederken, diğerleri eskilerin tamiratıyla, bir diğerleri ise yeni zirveler fethetmekle meşguller. Bazıları da kâşif pilotlar gibi yükseklerde dolaşarak, “tarım için uygun olan” öylesine verimli yeni alanlar bulurlar ki, kocaman bir matematikçiler ordusu için yeterince iş çıkmaktadır ortaya (Weyl, Klein, Hilbert, Stroyk vs. ).
“Kaotik bir yapıda ne biyoloji, ne botanik, ne anatomi, ne matematik … hasılı bir düzen (akıl) gerektiren hiçbir faaliyet mümkün değildir” (s.36).
İnsanlar ilk düzeni sözün asıl manasında göklerde bulmuşlardı. Fransız Poincare’ye (1854-1912) göre yıldızlar bize sadece gözle görülen kaba ışık değil, aynı zamanda evrenin düzeninden (kozmik akıl) haber getiren ve insanın idrak yolunu aydınlatan çok daha zayıf, ama bir o kadar da güçlü bir ışık göndermektedir. Zayıfın nasıl güçlü olabileceği meselesine gelirsek, bunu iki türlü yorumlayabiliriz. Maddiyatça zayıf olanın maneviyatça kuvvetli olmasının bir sakıncası olmasa gerektir ve hatta bunun yaygın bir olgu olduğu görülmektedir. İnsanın iç dünyasında, maneviyatında var olan bu kuvvet (inanç, azim, sabır) sonuç olarak maddi âlemde, onun fiziksel yaşamında muhteşem bir güce dönüşmektedir. Başka bir yorum ise, zayıf ve güçlü kavramlarının farklı kategoriler olmasına dayandırılabilir. Şöyle ki, zayıf kavramı cisimlere ivme kazandırabilen kuvvet kategorisine girdiği halde, güç kavramı sistemin iş görebilme kabiliyetini belirleyen enerji kategorisine girmektedir.
“Dolayısıyla inanç kurucuları büyük rehberlerdir… Böylece inandırılmak suretiyle insanda açığa çıkan enerji fikirlere, bilimlere, kurumlara, teknolojiye ve medeniyete dönüşmüştür”. (s.39).
Matematikte bir inanç sisteminin (matematik camiasının inanacağı) kurulması için sağlam bir çekirdeğin bulunması gerekir. Daha sonra bu çekirdek uygun ortamda, inananların da katkılarıyla kocaman, “gerçek” bir ağaca dönüşecektir. Örneğin cebri denklemler için çözüm formülleri arayışı sürecinde, Fransız Galois ve Norveç Abel’in bağımsız olarak buldukları çekirdek, gruplar teorisi ağacına, Amerikan matematikçisi Nash’ın bulduğu “Nash dengesi” çekirdeği ise, ekonomide kocaman bir denge teorisi ağacına dönüşmüş ve sonraları sahibine hak ettiği Nobel Ödülü’nü kazandırmıştır.
“Duyu, duygu ve fikir pencerelerinden açıldığımız dış dünya ve kurduğumuz ilişkiler bu üç melekemizi apayrı yapılardaymış gibi değerlendirmemizi zorunlu mu kılar? Bize göre kılmaz”. (s.47).
Duyu insanın dışa, duygu ise içe açılan penceresidir ve buradan edindiklerimiz düşüncede irdelenir. İlk aşamada düşünceye (akla) yer olmuyor. Düşünce yoğunlaştıkça duyu-duygu etkileri azalmaya başlar. Duyguların yoğun olduğu süreçte düşünerek doğru karar vermek çok zor olsa gerektir ki, “Kızgın haldeyken karar verme” deyimi yaygınlık kazanmıştır. Bu olayın fizikteki tezahürü Bohr’un (1885-1962) tamamlama ilkesi olarak ünlüdür. Öte yandan düşüncenin kendisinin de duyu ve duyguları harekete geçirme özelliği vardır ve bunun derecesi düşüncelerin yoğunlaşmasına bağlıdır. Düşünce yoğunlaşmasının belli mertebesinde, onun doğurduğu duyu-duygunun seviyesi, bu düşüncenin doğmasına yol açmış gerçek duyguların ötesine geçebilir hatta.
Matematik dünyasında da aynı şeyler baş göstermektedir. Önce bir tesadüf veya maksatlı arama sonucunda belirli bir duyu (yasaya benzer bir şey) alırız ki, bu da yeterince enerjiye sahip olduğunda (elektronu metalden koparabilen foton misali) duygularımızı harekete geçirebilir ve bu duygular bizi sürekli olarak rahatsız etmeye başlar. Bunlardan kurtulmanın yolu bu konu üzerine düşünmektir ki, bu süreç içerisinde de harcanan duyguların enerjisi olur. Ve eğer düşüncelerin önemli bir sonucu olursa, onun kendisi bizde yeni, daha üst düzeyde ve daha saf duygular yaratmak için yeterli olur. Aksi halde, zamanla duyguların etkisi azalır ve eski, huzurlu halimize döneriz.
KAYNAKLAR
1) Sait Başer, Toplumsal Aklı Anlamak, Ataç Yayınları, İstanbul, 2006.
2) İsmihan Yusubov, “Hayranlık duyduğumuz bir matematikçi-Ramanujan”, Bilim ve Ütopya 108, Haziran 2003.
3) İsmihan Yusubov, “Doğanın ‘kalite mührü’ simetri üzerine”, Bilim ve Gelecek, 1 Mart 2004.
