Doğru çözüme “doğru” diyememek!

Bir adam duvardaki bir tabloya bakarak şunları söyler: “ Ne kız, ne de erkek kardeşim var, ailenin tek çocuğuyum, ama resimdeki adamın babası, benim babamın oğlu.” Adamın baktığı portre kime ait?

Bu mantık bilmecesini, yazarları Marilyn vos Savant ve Leonore Fleischer olan Beyin Geliştirme isimli kitaptan alıntıladım. Marilyn vos Savant bu bilmeceyi Amerika’da yayımlanan Parade dergisindeki köşesinde sorar ve altına açıklama yapmadan sadece yanıtı yazar. Okurlarından, verilen yanıtın yanlış olduğunu belirten yüzlerce mektup alır. Müthiş bir “itiraz fırtınasıyla” karşılaşır. Okur mektuplarına göre doğru yanıt, adam kendi portresine bakıyordur. Ama Vos Savant, kendi verdiği yanıtın doğruluğunu savunur, okurlarına bilmeceyi bir kez daha çözmelerini önerir. Bir sonraki sayıda da çözümü şöyle açıklar:

“Portrenin karşısında konuşan adamı ‘John’, portredeki adamı ise ‘Bay X’ olarak adlandıralım ve cümleyi John’un ağzından bir kez daha söyleyelim: “Ben tek çocuğum ve Bay X’in babası, benim babamın oğludur.”

Problemin çözümünü John yapıyorsa şöyle düşünür: Peki benim babamın oğlu kim? Başka kardeşim olmadığına göre bu yalnızca ben olabilirim! O halde Bay X’in babası benim ve Bay X benim oğlum.”

Problemi biz çözüyorsak şöyle düşünürüz: John tek evlatsa ve Bay X’in babası, John’un babasının oğluysa, o zaman Bay X’in babasının John olması gerekir ve eğer Bay X’in babası John ise o zaman Bay X, John’un oğludur.”

Vos Savant her iki durumda da adamın kendi portresine değil, oğlunun portresine baktığını ayrıntılı bir şekilde açıklayarak yanlış düşünen yüzlerce okurunu ikna etmeyi başarır.

Dünyanın  “en zeki kadını” olarak adını Guinnes Rekorlar Kitabı’na yazdırmış olan Marilyn vos Savant bir magazin dergisi olan Parade’de “Marilyn’e Sorun” isimli köşesinde okurların merak ettikleri soruları yanıtlıyordu. Gelen soruların çoğu gündelik hayatla ilgili yukarıdaki mantık bilmecesi gibi sıradan sorulardı.

Bir gün,  Vos Savant’ın bir soruya verdiği yanıt, fırtınanın da ötesinde, adeta deprem etkisi yaratır. Binlerce eleştiri mektubu gelir. Vos Savant, bu kez, sadece okurlarının değil, hatırı sayılır birçok matematikçinin de şiddetli tepkisiyle karşılaşır.

Bir matematikçi şöyle yazar: “Profesyonel bir matematikçi olarak halkın matematik bilgisinin eksikliğinden çok rahatsızım. Lütfen hatanızı itiraf edin ve ileride daha dikkatli olun.” Başka bir matematikçi: “Bu ülkede yeterince matematik cahilliği var ve dünyanın en yüksek IQ’sunun bunu yaygınlaştırmasına ihtiyacımız yok. Utanın!”  Bir diğeri: “Hatanızı kabul ederseniz rezil bir durumun çözümüne yapıcı bir katkınız olur. Fikrinizi değiştirmeniz için kaç kızgın matematikçi gerekli?”

Bu problem, popüler matematik meraklılarının çok iyi bildiği ünlü Monty Hall problemidir. Geçmişi 1950’lere uzanır,  Marilyn vos Savant’ın 1990’da Parade’deki köşesinde yayımlamasıyla yeniden gündeme gelmiştir. Ali Nesin’in de Matematik ve Oyun isimli kitabında yer verdiği bu problemden habersiz meraklı okurların da olabileceğini düşünerek, burada bir kez daha ele almayı ve bunca gürültünün sonrasını da aktarmayı istiyoruz.

Monty Hall Problemi

Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Yarışmanın kuralları şunlar: Siz kapıyı seçtikten sonra, kapı hemen açılmaz. Kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu Monty Hall, şimdi geriye kalan iki kapıdan birini açmak zorundadır ve açacağı kapının ardında mutlaka bir keçi olacaktır. Eğer geriye kalan iki kapının ardında da keçi varsa, kapılardan birini rastgele seçecektir. Monty Hall ardında keçi olan kapıyı açtıktan sonra, size ilk seçiminizi değiştirip kalan kapılardan diğerini seçmek isteyip istemediğinizi soracaktır. Düşünün ki Kapı 1’i seçtiniz ve sunucu ardında keçi olan Kapı 3’ü açtı. Daha sonra size “Seçiminizi 2 numaralı kapıdan yana değiştirmek ister misiniz?” diye sordu. Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır?

Arabayı bulmak için yarışan yarışmacı kapılardan birini, diyelim ki 1’inciyi seçmiş olsun. Sunucu diğer kapılardan birini, diyelim ki 3’ü açar ve arkasında keçi vardır; yarışmacıya 1’inci kapı yerine 2’inciyi seçebileceğini söyler. Bu durumda yarışmacı arabayı kazanma olasılığını artırmak için seçimini değiştirmeli midir? Yoksa değiştirse de değiştirmese de fark etmez mi?

Marilyn vos Savant bu soruya yüzlerce matematikçiyi çileden çıkaracak “değiştirmelidir” yanıtını verir ve ilk olarak şu çözümü yapar: Yarışmacı kapılardan birini seçtiğinde, seçilen kapının ardında araba olma olasılığı 1/3’tür ve araba 2/3 olasılıkla diğer kapılardan birinin ardındadır. Sunucunun ardında keçi olan bir kapıyı açması, yarışmacıya seçtiği kapının ardında ne olduğuyla ilgili yeni bir bilgi vermez. O kapının ardında araba olma olasılığı hâlâ 1/3’tür. Sunucunun verdiği yeni bilgi, açılan kapının ardında araba olma olasılığının 0/3 olduğudur. Dolayısıyla araba 2/3 olasılıkla hâlâ açılmayan kapının ardındadır. Kapı seçimi değiştirilirse arabayı kazanma olasılığı 2/3’tür, bu nedenle yarışmacı seçimini değiştirmelidir.

9 Eylül 1990 tarihli köşesinde yayımladığı bu çözümün ardından itiraz mektupları yağmaya başlar. Kapı değiştirildiğinde kazanma olasılığının 2/3 değil, 1/2 olduğu savunulmaktadır. Marilyn vos Savant, gönderenler arasında birçok matematikçinin de bulunduğu bu mektupların bazılarını 2 Aralık 1990 tarihli köşesinde yayımlar ve tabloyla ikinci bir çözüm daha yapar: Yine yarışmacının ilk olarak 1’inci kapıyı seçtiğini varsayalım.

Değiştirmezse:

Değiştirirse:

Vos Savant, bu çözümün altına şöyle yazar: “Tablolar, yarışmacının seçimini değiştirmediğinde üç sonuçtan birinde, değiştirdiğinde ise üç sonuçtan ikisinde kazanacağını kanıtlıyor.”

Bu açıklama da tepkileri dindirmez. Vos Savant’ın çözümü tamamen doğrudur, ama birçok matematikçi sezginin oyununa gelmiş, doğru çözüme “doğru” diyememiştir. Vos Savant, 17 Şubat 1991’de bu konu üzerine yazdığı üçüncü köşe yazısında “Gerçeklik sezgiyle böylesine şiddetli bir çatışmaya girince insanlar sarsıldı.” diye yazar ve kendisine gelen binlerce mektubun yüzde doksanının verdiği çözüme karşı olduğunu belirtir. Gönderenin ismini de belirterek gelen mektuplardan alıntılar yapar.  Bu mektupların bazılarında asıl keçinin o olduğu ve kadınların matematiğe erkeklerden daha farklı baktıkları iddia edilir.

Vos Savant, sabırla, verdiği yanıtın doğruluğunu açıklamayı sürdürür, üçüncü ve son olarak başka bir yol daha dener: “Sunucu arkasında keçi olan kapıyı açtıktan sonra şovun sahnesine bir UFO’nun indiğini ve küçük yeşil bir kadının belirdiğini hayal edin. Sizin hangi kapıyı seçtiğinizi bilmeksizin, bu kadından açılmamış iki kapıdan birini seçmesi istenmiş olsun. Arabayı bulma olasılığı yüzde ellidir. Ancak bunun nedeni, asıl yarışmacıya sağlanan avantajı, yani sunucunun yardımını, bilmiyor olmasıdır. Eğer ödül 2’inci kapının arkasındaysa, sunucu 3’üncü kapıyı açar; eğer ödül 3’üncü kapının arkasındaysa 2’inci kapıyı açar. Dolasıyla kararınızı değiştirdiğiniz takdirde eğer ödül 2’inci veya 3’üncü kapının arkasındaysa kazanırsınız. Her iki durumda da kazanırsınız! Ama eğer kararınızı değiştirmezseniz, sadece ödülün 1’inci kapının arkasında olması durumunda kazanırsınız.”

Bu açıklamanın ardından tepkiler değişmeye başlar, itiraz eden birçok matematikçi yelkenleri suya indirir, sonucu kabul etmek zorunda kalır. Bu sonuç, elbette tüm matematikçileri hiçbir şekilde bağlamaz. Problemin olasılık teorisinde yer alan koşullu olasılık kavramıyla oldukça basit bir çözümü vardır ve bu çözüm Vos Savant’ın soruyu sormasından önce de bilinmekteydi.

Teslim etmek gerekir ki, Monty Hall problemi oldukça kafa karıştırıcıdır. Ama bu hikâyede bana en çarpıcı gelen olay, 20’inci yüzyılın en büyük matematikçilerinden Paul Erdös’ün doğru çözüme itiraz etmesidir.  Paul Erdös olasılık teorisiyle ilgili birçok önemli problemi çözüme kavuşturmuş ünlü bir matematikçidir. Ama Macar matematikçi Andrew Vazsonyi, Erdös’e problemi anlatıp, yanıtın kapıyı değiştirmek olduğunu söylediğinde çok şaşıracağı şu yanıtla karşılaşmıştır: “Hayır, bu imkânsız. Değiştirmekle değiştirmemek arasında hiçbir fark yok.”  Erdös, uzun bir süre doğru çözüme “doğru” diyememiş, hatta Vazsonyi’ye “Bana neden değiştirmek gerektiğini söylemiyorsun.” diye çıkışmış, ancak problemin bilgisayardaki simülasyonunu izledikten sonra yanlış düşündüğünü kabul etmiştir.

Basit bir mantık bilmecesinden tutun da karmaşık matematik problemlerine kadar, önümüze koyulan çözümü anlamak, en az problemi çözmek kadar emek ve çaba gerektiriyor. Zaman zaman bu da yetmiyor, sezgilerimizin oyununa gelerek matematiksel gerçeği gözden kaçırabiliyoruz, hem de bu işin uzmanı olsak bile. Bu bakımdan Monty Hall problemi ve Marilyn vos Savant’ın akıl dolu çabası oldukça ilginç ve öğretici.

Kaynaklar

1) Hoffman P, Yanlızca Sayıları Seven Adam, Çev. Kömürcü, D, Sistem Yayıncılık, 1999.

2) Vos Savant, M, Fleischer, L, Beyin Geliştirme, Çev. Şen, C, İm Yayınları, 2000.