Matematik ve estetik

İnancım matematiğin estetik yönünün güçlü olduğu. Bazıları için derin hazlar yaratan matematikte bu hazzı yaratan estetikten başka ne olabilir? Bazı öğrenciler kendi sezgileriyle matematiğin hazzını keşfediyor. Bu hazzı bazı öğrenciler seziyor ve duyuyorken büyük bir çoğunluk neden duymuyor? Bunun yanıtı bende çok net. Öğretimde matematiğin estetik yapısını ihmal ediyoruz. Hatta öğretenler olarak biz de çok farkında değiliz. Bilinsin ki bu yazıyı yazmak için araştırırken bile yepyeni heyecanlar duydum. Daha önce düşünmediğim… Ve şimdi düşünüyorum ki; matematiğin her konusu, her matematiksel ispat, her soru çözümü estetik içerikli olarak ele alınabilir.

Bilim için araç konumundayken matematik kaçınılmaz olarak daha katı bir görünüm alır. Her ne kadar uygulamada bazı güzelliklerden söz etsek de öğrenen açısından katı bir matematik uygulaması içindeyiz. Kanımca matematiğin içeriği bu katılıkla sınırlı değil. Matematiğin gizemli estetiğini uygulamalardan yola çıkarak aralamak, matematiğe karşı vefa duygusu olsa gerek. Öğrenene de bu estetik yansımalı…

Şiir gibi

Yıllar önce bir sınıfta matematik dersi işliyorum. İşlenen konu benim aktif olmamı gerektiriyor. En azından konunun içeriğini, ilişkilerini, gereğini kavratmam yönüyle. Her zaman olduğu gibi, ön konularla ilgili anımsatmalar, kavrayış için gerekli sezgiyi güçlendirme, merakı kışkırtma çalışmaları ile giriş yaptım. Bu ön çalışmaların ardından seri bir biçimde sezgiler gerçekliğe, merak duygusunun doyumu hoşluğa doğru yönelmeye başladı. İlgi yüksek. Öğrenciler pür dikkat ve sıkıntısız dinliyor, soruyor, not alıyor. Bir kız öğrencim yanında oturan arkadaşına “ders şiir gibi gidiyor yav” yorumunu yaptı. Duydum. Mutlu oldum elbette. İşler iyi gidiyordu. Aldığım onayla vermek istediğimi vermenin huzuruyla dersi bitirdim. Zil de çalmıştı. Çıktım. Çıkarken de bir başka öğrencinin “ders nasıl bitti anlamadım” yorumuyla karşılaştım. Ders başarılıydı.

“Şiir gibi” yorumunu sonradan düşündüm. Anlattığım konuda Escher’in tablolarını, altın oranı ya da Fibonacci sayılarını çağrıştıracak şeyler yoktu. Ama ders şiir gibiydi! Escher’den, Fibonacci’den özellikle söz ediyorum. Çünkü matematik ve sanat deyince akla gelen örnekler bunlar. Belki bir iki şey daha. Geometrik şekillerin ne kadar estetik olduğu, müzik aletlerinin ses titreşiminin oransal ilişkileri gibi basmakalıp örnekler…

Neydi “şiir gibi”nin sırrı?

Birincisi hazırlıklarım yeterliydi. Konuyu, işleniş süresini, yöntemimi, konunun ön girdilerini iyi planlamıştım. Planlama ilkem: Anlatacaklarımın anlaşılır olması ve öğrencilerin ilgisinin canlı tutulmasıydı. İkincisi sınıfa girdiğim andan itibaren öğrencilerin düşüncelerini özgürce söyleyebileceği ortamı yaratmıştım. Ki bu her ders için gerekliydi. Üçüncüsü o anlatım o sınıfa özgüydü. Aynı konu yan sınıfta hatta ertesi gün aynı sınıfta aynı şekilde anlatılamazdı. Bir ırmakta iki kez yıkanılamayacağı gibi. Dördüncüsü kazanımlar öncesi ön çalışma tartışmalı sorularla yürütülmüştü. Yani sezgileri güçlendirmek ve merakı kışkırtmak da tamamdı. Beşincisi belli kıvama gelen ders ortamında kazanımlar akıcı bir anlatımla verilmişti. Altıncısı kısa soru-cevapla kazanımların gerçekleştiği ölçülmüştü. Yedincisi ve de en önemlisi ben konuyu “heyecan” duyarak işlemiştim.

Neden bu etkinliği ayrıntılı bir biçimde aktardım. Elbette “ne kadar iyi yapıyorum” demek için değil. Bu benim işim. İyi yapmalıyım. Öğrenciye, matematiğe ve yaptığı işe saygı duyan her öğretmen aynı şeyleri yapar. Amacım birçok insanın “ben de yaparım” dediği öğretmenliğin “bildiğini aktarmakla” sınırlı olmadığını vurgulamak. Ama asıl vurgulamak istediğim bu da değil! “Şiir gibi” tepkisinin tek başına ses tonuna, dil kullanımına, anlatım akıcılığına bağlı olmadığı… Biraz daha ayrıntılı bakalım: Birincisi hemen her konu keşfedilmeyi bekleyen gizeme, her zaman şaşırtabilecek ilginçliğe ve güzelliğe sahiptir. İkincisi bu keşif eyleminde ortak üretimin dayanışması, işbirliği ve ortak aklın tekliği vardır. Üçüncüsü anlama eyleminin hazzı-estetiği vardır. Bu haz, duyguları okşayan öyle bir güzelliğe bürünür ki, öğrenciler zamanlarının boşa gitmediği duygusunu yaşar, bilginin kalıcılığı umudu artar.

Yani tek başına bir matematik dersi bile içinde matematiğin katılığı (!) dışında birçok duygusal öğeler taşımaktadır. Gizem, ilginçlik, güzellik, teklik, haz, estetik, kalıcılık gibi… Bu öğeler daha çok sanat ya da felsefede adı anılan kavramlardır. Bir matematik dersinde de yoğun yaşanan bu duyuşsal kavramlarla, matematiğin özü tartışıldığında daha yoğun karşılaşacağız. Bu nedenle matematiğin estetik yanını sindirmek, bilmek ve öğrenciye yansıtmak kaçınılmaz olsa gerek…

Ancak o zaman matematik öğretimi “ne işe yarar” direncinden kurtulur, “keşfetmenin hazzı”na dönüşebilir. Aradığımız da bu değil mi? Anlamlı ve öğrenilen matematik! Hele de okullarda yaptığımız işe tek başına “öğretim” değil, “eğitim-öğretim” diyorsak, matematiğin estetik özelliklerini nasıl yok sayarız? Heyecanın olduğu yerde estetik vardır. Uygulamaya baktığımızda, matematik öğretirken matematiğin estetik özelliklerini kullanıyor muyuz sorusuna verilecek yanıt ne yazık ki “evet” olmayacaktır. En azından bana göre öyle. Okullarda işlenen matematik “konunun öğretilmesi” ile sınırlı ele alınmaktadır. Karşılığında da haklı olarak öğrenci “ne işime yarayacak” tepkisi ile karşımıza çıkmaktadır.

Kaldı ki sorun sadece ülkemize has bir sorun da değil. Matematik Sanatı kitabında Jerry P. King bunu şöyle ifade ediyor:

“Hepimiz, az da olsa okul matematiğinin sıkıntısını çekmişizdir. Buna matematiği öğrenmeye değer bulduğumuz için, ya da Darwin’in yaratıkları gibi ortam elverişli olduğu için dayanmadık. Dayandık, çünkü seçme hakkımız yoktu. Uzun bir zaman önce birileri matematik bilmenin yararlı olduğuna ve eğer seçim bize bırakılırsa onu öğrenmek istemeyeceğimize karar vermişti. Bu yüzden, bizler de bir ortaokul sınıfında, karatahta karşısındaki sert sıralara oturmaya zorlanmıştık. Bu durumun eşyanın doğası gereği olduğuna, matematiğin ufak bir azınlık dışında kalan insanların sonsuza dek erişimleri dışında kalacağına inanmayı kabul etmiyorum. Halkın büyük bir bölümünün müziği, resmi, edebiyatı anlama ve haz duyma yetisine sahip olduğu; ancak doğuştan matematik özürlü olduğu düşüncesi bana kendini beğenmişlik, özür dileyicilik içeriyormuş ve düpedüz yanlışmış gibi geliyor. Açıkça görülüyor ki, matematiği bilimsel bir araç olduğunu vurgulayarak takdim etmenin en iyi yol olduğu düşüncesine dayalı olan günümüz matematik eğitim sistemi ile bu insanlara ulaşmayı başaramadık… Daha başlangıçta, öğrencilerimizi matematiğin, Poincare’nin ‘bizde bir tür estetik duygu geliştirmeye muktedir olan bu güzellik ve zarafet niteliği’ sözlerinde belirtilen özellikleriyle tanıştırmayı deneyebiliriz.”

Bu saptamalar ülkemiz matematikçilerine de yabancı değil. Yukarıda değindiğimiz saptamalarla da uyum içinde. Yazar matematiğin zarafet ve güzellik özelliklerinin ihmal edildiğini düşünüyor. Yazının devamında; “… yeni öğretim Poincare ve Papert doğrultusunda, önemli bir ‘estetik matematik’ bölümü içermelidir. Gidiş o yönde değildir. Matematik eğitiminin geleceği bilgisayarlar, el hesap makineleri ve video gösterimleri şeklinde, teknolojiye gittikçe artan bir bağımlılığa yönelmektedir. Amerikalı öğrencilerin azalan matematik yetenekleri ile teknolojinin okullara sokulması arasındaki açık bağıntıyı gören tek kişi her halde ben değilim…”

Bu da bizim üzerinde durduğumuz ve hatta matematik öğretimini daha da sorunlu hale getireceğini düşündüğümüz bir saptama. Çünkü yeni matematik programları ve yöntemleri hazırlanırken ülkemizde de “matematik öğrenme” teknolojiye pas edilmiş durumda. Somuta indirgemeyi teknolojiye kurban ederek… Matematik öğretiminde teknolojinin kullanımı tartışmasını sonraya bırakalım. Estetik, sanat ve matematik ilişkisini temellendirmeye çalışalım.

Estetik

Cengiz Gündoğdu, İnsancıl Yayınları’ndan çıkan Estetik Kalkışma adlı kitabında, estetik kalkışma nedir sorusunu şöyle yanıtlıyor: “İnsan soyunun dört alanda büyük kalkışması vardır. Taş yontması, Pratik Kalkışması’dır. Attığı taşın nasıl olup da düştüğünü bulması Bilimsel Kalkışması’dır. Yonttuğu taşın sapına gül yapması Estetik Kalkışması’dır. Yaşamın anlamını araması Felsefi Kalkışması’dır.

“İnsanın kalkışması gelişigüzellikten kurtulması, doğal varlıktan kültürel varlığa dönüşmesidir. Bu dönüşümün güzellik yasalarına uygun olmasına estetik denir. Estetikten yoksun bir dönüşüm, dönüşüm değil başkalaşımdır…

“Estetik yalnızca sanatla ilgili değildir. Estetik, yaşamın bütün alanlarını kapsar…

Gündoğdu bu dört kalkışmayı sanırım bir sıra gözeterek vermemiş. Belki insan taş yontmaya başlamadan da gül resmi yapıyordu. Hatta ilkel anlamda matematik bile… Bu nedenle estetiğin ve matematiğin gelişmesinde koşutluklar düşünülebilir. Matematiksel gelişimin seyrini Cengiz Gündoğdu’nun bilimsel ve felsefi kalkışması ile birlikte ele almak sanırım en doğrusu olacak. Yazar alıntının devamında estetik gelişmenin güzeli araması ve bulmasını ve bunun da küçük yaşlarda başladığını eklemiş. Bu beni de güzelliklerin ve niceliksel düşünmenin küçük yaşlarda geliştiği yaşanmışlıklara götürdü. İki yaşanmışlık…

Küçük oğlum anaokuluna gidecek yaşlarda. Ailece gezideyiz. Yolun sağ tarafında içerlikli bir pınar gördük. Çevresinde birkaç ağaç. Durduk soluk almak için. Elimizi yüzümüzü yıkadık. Pınarın suyu ile serinledik. Yaz sıcağına direnç. Laflıyoruz çevreyi gözleyip. Oğlum biraz hiddetli, “susun bi dakka” dedi. Döndük baktık yüzüne. Açıklama bekliyoruz… Hemşire ‘sus’u yapar gibi parmağı dudağında sessizce, “susun, sessizliğin sesini dinliyorum”. Sanki trans halinde. Sustuk, dinledik. Kendi adıma ben, yanımda akan pınarın şırıltısını, esen rüzgârla oluşan ağaçların hışırtısını ve yolun diğer yanında akan ırmağın çağıltısını duydum. Sessizliğin sesi bu muydu bilmem. Ama küçük adam duyduğundan emindi…

Aynı yıllar, yine aynı küçük adam. Okula gitmiyor ama saymayı seviyor, biliyor. Her çocuk gibi de algılamaya çalışıyor. Eve geldiğim bir gün kucaklaştık. Konuşurken “sen benim bir tanemsin” dediğimi sonradan anımsadım. Döndü bana önce bir parmağını uzatıp “baba bir mi çok”, sonra beş parmağını uzattı “beş mi çok?” Yanıt verdim; “elbette beş çok” yanıtı biliyorsun der gibi… Arkasından yeni bir soru geldi bana; “öyleyse beni severken neden beş tanemsin demiyorsun?” Ne yanıt verdiğimi anımsamıyorum. Önemli de değil. O anda benim çıkardığım sonuç önemliydi. Onun düşüncesinde, az ile çok kavramları ile bir ve beşin niceliksel değerleri arasındaki ilişki kurulmuştu. Kurulamayan, “bir tanem” deyişinin “biricikliği” idi. Cengiz Gündoğdu’nun dediği gibi, gerçek yaşamın bir ağacı, bir adamı, bir evi matematik dünyasında “1” sayısına, güzellik yasalarına uygun olarak da estetik bir değere “biricik” olmaya dönüşmüştü.

Sessizliğin sesindeki ses ahengini bulmak küçük adam için sanatsal algıydı. İkinci anlatıdaki “bir”in niceliksel algılanmasında sorun yoktu. O da tüm çocuklar gibi “bir”in, “iki”nin, “üç”ün gizemini sezmişti. Anlamaya çalışıyor, anladıkça anlamanın coşkusunu yaşıyordu. Ama “biricik”liğe dönüşen “bir”deki farklılaşmayı henüz algılayamamıştı. “Bir tanem” deyişindeki sevgiyi, güzelliği sezdiği halde. Ona göre yaşamdaki tek nesnelerin niceliksel ifadesi olan “bir” sayısı düşsel bir nesnesiydi. Ve bir başkalaşımdı. “Biricik”e geçmek ise ikinci bir başkalaşım. Hem de güzellemeye evrilen bir başkalaşım. Sanırım biraz çok gelmişti ona.

MATEMATİK VE SANAT

İnsan etkinlikleri içinde en çok tartışılan, üzerinde en çok yazı yazılan sanattır. Romanı, şiiri, müziği, resmi heykeli… ile. Çünkü sanat neredeyse tüm insanların kıyısından köşesinden olsa bile dokundukları bir etkinlik alanı. Gerek uygulayıcı ve daha çok da izleyici olarak. Yemek yapan kadın mutfağında şarkı mırıldanır. Sesi güzel olmasa da. Her evin duvarında bir resim, bir halı dokuma ya da kilim deseni mutlaka vardır. Beğenilere göre değişse de. Mahkûm, koğuşunda cüzdan üzerine boncuk işler. Af umudu olmasa da. Her berber dükkânının duvarını bir resim süsler. Birileri bunlara “bu da resim mi” dese de… Belki öyledir de. Ama kimse bana Ardeşen’in Tunca’sında, dağdan fışkıran suyun ağzına yapılan iki oluklu pınara sanat değildir demesin. Kimin yaptığı belli değil. Ama yapan aynı gövdeden çıkan bir çatal dal bulmuş, çatal dalı çakı ya da bıçakla özene bezene oymuş ve suyun çıktığı ağza yerleştirmiş. Hiçbir gereksinime dayanmayan, tamamen yaratıcılık eseri, ince ve hatta esprili bir eser… Gördüğünüzde önce şaşırıyorsunuz sonra içinizi bir hoşluk kaplıyor. O olukların her birinden akan su “iç beni” der gibi davetkâr… Beğenilsin ya da beğenilmesin. Bunların her biri insanın duygu dünyasındaki güzellik arayışlarının birer ürünü. Bunların her birinde seçicilik de bulursunuz, yaratıcılık da estetik de. En yoksul bile evini düzenlerken bir estetik yaratmak istemez mi? Nakışlı tek örtünün yeri evin başköşesi değil midir? Ya da tek köşesi! Ve de öyledir ki insanın güzellik arayışı, beşikteki işlemeyle başlar, mezar taşı işlemesine dek sürer. Yani sonuçta kesiksiz bir iç içelik vardır insanla sanat arasında. İşte belki de bu iç içelik nedeniyle sanat deyince bunlar gelmez akla. Daha seçkinci, daha yaygın kabul görmüş eserlerdedir gözümüz. Falan ressamın resmi, falan yontucunun heykeli, filan bestecinin müziği, şu mimarın eseri… gibi. Daha akademik bir tavırdır bu. Daha evrensel de denilebilir.

Nedir o zaman sanat? Nelere sanat eseri diyeceğiz? Oldukça tartışmalı… Bu tartışmalar bizim içeriğimizle ilgili değil. Ayrıca ben bu tartışmaya katılacak yetkinlikte de değilim. Üzerinde durduğumuz, sanat konusunda birleşilen genel kabuller ve bunların matematikle bağdaşıklığı. Sanatla ilgili özellikler deyince şunlar sıralanır: Soyutlama, seçicilik, yaratıcılık, teklik-biriciklik, kalıcılık, estetik, çoğulculuk. Yerine göre bunlara başka özellikler eklenir ya da çıkarılır. Bu özelliklerin çoğunlukla birbirini tamamladığı da söylenebilir. Örneğin sanat eserinin yaratılması bireyin seçiciliğine, yeteneğine bağlıyken, kalıcı olmasının çoğunluğun onayına, beğenisine bağlı olması gibi.

Sıraladığımız özelliklerin matematiğin özellikleriyle de büyük ölçüde uyum içinde olduğunu görmek matematikçiler için şaşırtıcı değildir. Ancak genel kanının bu yönde olmadığı da açıktır. Bu uyum gerçekten var mıdır? Bana göre vardır. Ama bu uyumu incelemeye başlamadan önce yapılan yaygın yanlışı yeniden anımsatalım. Bu yanlış; matematik ve sanat ilişkisi deyince birilerinin hemen Escher’in tablolarını, altın oranı, Fibonacci Sayılarını ya da doğadaki şekilleri kanıt olarak sunmasıdır. Escher matematiksel formları kullanarak eşsiz tablolar yapmıştır. Altın oran ya da Fibonacci sayıları doğada karşılık bulan önemli matematiksel kavramlardır. Estetik değerleri ve gizemleri şaşırtıcıdır. Diğer geometrik şekiller için de benzer şeyler söylenebilir. Ama bunları matematikte sanat olduğunun kanıtları biçiminde sunmaya itirazımız var. Bu sıralananlar ancak, yaşamın her alanında olan matematiğin sanatta da gözlemlendiğinin örnekleri olabilir. Benzer şekilde keman tellerinin çıkardığı eşsiz güzellikteki sesleri tellerin oranı ile açıklayıp “işte matematik işte sanat” demek de açıklayıcı değil. Eğer matematikte sanat tartışılacaksa ya da matematik ile sanat arasında bir koşutluk aranacaksa, bunu matematik ve sanatın davranışlarında ve işleyişlerinde aramak gerekir. Soyutlama, seçicilik, gizem, ilginçlik-ayrıcalık, güzellik, estetik, kalıcılık gibi sanat özelliklerinin matematikte ne kadar var olduğunu gözden geçirelim. Gelişim süreçlerini de karşılaştırarak…

Gelişim süreçleri paraleldir

Matematiğin ve sanatın tarihi insanlık tarihi kadar eskidir. Çünkü her ikisi de insanlaşma sürecinin yapı taşlarıdır. Mağara resimleri – taş yontuları sanatın, duvar çizikleri – geometrik figürler matematiğin tarihsel önceliklerinin kanıtlarıdır. En ilkel dönemlerde çizgiler biçimindeki çocuksu resimler perspektif gelişimi ile nasıl üç boyutlu resimlere evrildiyse, çentik biçimindeki ilk sayma çabaları da sonsuzu araştırmamıza yarayan modern sayılara kadar gelişti. Ayrıntılı incelendiğinde her iki seyrin şaşırtıcı benzerlikleri görülebilir.

Beslenme kaynakları gerçek dünyadır

Matematiğin de sanatın da beslenme kaynakları gerçek dünyadır. Bir başka deyişle gerçek dünyanın nesneleri ve nesneler arasındaki ilişki hem matematiğin hem sanatın itici gücüdür. Sanatçı gerçek dünyadaki bir taşı alır, kendi dünyasına taşır, yontar, insanı taşa işler. Ve de onu heykel olarak gerçek dünyaya geri gönderir. Gerçek dünyada o taş yoktur artık. Taşa işlenen insan da bir gün yok olur. Ama heykel gerçek dünyada yaşamaya devam eder.   Nesnelerin nicelikleriyle ilgilenen matematikçi de sanatçı gibi gerçek dünyanın nesnelerine gözünü diker. Örneğin birebir karşılaştırılabilen nesneleri alır kendi dünyasına. Yeni bir biçim verir ve adını koyar. “Üç” der örneğin. Gerçek dünyada olmayan, insan aklının geliştirdiği bir formdur üç. Ya da hareketli bir nesnenin hareketini ele alır matematik. Onlardan modeller üretir. Fonksiyon der adına, türev der, vektör der. Kendi nesnelerini üretir. Gerçek dünyada olmayan nesneler… Sanat ve matematik koşutluğunun belki de farkı budur. Heykel bir nedenle yok olabilir. O zaman öyle bir sanat eseri yoktur artık. Ama matematiğin üretimleri yaşam var oldukça varlığını sürdürmeye devam eder.

Soyutlama disiplinleridir

Nesneler dünyasında üç tane olma ilişkisi birebir karşılaştırma sonucudur. Üç sandalye – üç insan, üç kedi – üç fare, üç ev – üç ağaç – üç… gibi. Nesneler dünyasında sandalye var, insan, ağaç, kedi… var. Ama “üç” yok. Üç artık “3” olarak matematik dünyasında var. O dünyada ise sandalye yok, ağaç yok, insan yok… Nesneler dünyasında üç tane olma ilişkisi başlangıçta matematik dünyası ile de birebir ilişki içindedir.

Sanat da matematik de seçicidir

Dünyada birçok aşk yaşanır. Çoğunlukla da birbirine benzer aşklar. Sanatçı aşkı yazar. Yazdığı birbirine benzeyenler değildir ama… İlginç olandır, seçilmiş olandır. Paul ve Virginie’in aşkıdır yazdığı ya da Leyla ile Mecnun’un aşkı. Bülbülün sesi bestelere konudur. Karganın değil… Beste yapan o sesi seçer. Çünkü farklıdır, ilginçtir. Elbette bu saptamalar da tartışmalıdır. Döneme bağlı olarak beğenilerde farklılıklar olabilir. Kişilere ve toplumlara bağlı olarak da. Seçilenin farklılığı ve ilginçliğini tarihsel süreç ve kalıcılığı ile birlikte düşünmek gerek. Bir de evrenselliğiyle…

Matematik de kendi yapısı içinde ilginç olanı seçer. Matematik için cismin düşmesi değil, nasıl düştüğü ilginçtir. Düşerken hangi yolu izlediği, hangi şiddetle düştüğü ilginçtir. Onu inceler. Dünyanın küresel oluşu matematik için değil fizik için ilginçtir. Küreye benzer birçok cisim vardır ve bunlar diğerlerinden farklıdır. Matematik için ilginç olan küreye bezer cisimlerin niceliksel özellikleridir. Bu nedenle matematik kürenin yarıçapı, hacmi, alanı, kesitleri ile ilgilenir. Dünyanın hacmini veya alanını hesaplamak matematik için olsa olsa matematik öğrenmeyi “ilginç” hale getirme sorunudur.

Yaratıcılık üretim biçimleridir

Sanatçı gerçek yaşamdan nesneleri seçerken seçicidir. Ama seçtiğinin seçkinliği ile yetinmez. Ona kendi duygularını katar. Seçkini daha seçkin hale getirir. Paul ve Virginie’in aşkı seçkindir. Yazarın algısı daha da seçkindir. Yazarken duygularını katar aşka. Öyle katar ki, o aşka Paul de şaşar, Virginie de. Gerçek dünyadakinden daha idealdir. Ve de yeni aşklara gebe. Ve onun için “sanat” tır.

Matematikçinin seçtiği kare herhangi bir dörtgene göre ilginçtir. Bir anlamda da seçkin. Karenin kapladığı yüzey de ilginçtir. Matematikçi, alan ölçümü için bir kurgu ortaya koyar. Onu benzer dörtgenler için de uygular. Ortaya attığı kurgu kareyi aşar, kurama dönüşür. O kurgu yeni bir kavramdır artık. Eşsiz, yüce ve derde deva… Çünkü “kuram” tüm dörtgenlere, tüm çokgenlere uygundur.

Yaratılanlar tektir, güzeldir, mükemmeldir

Sanat eserinin mükemmelliği onun “eşsiz” oluşundandır. Eşsiz ve bulunmaz olduğu için tektir. Kurtuluş Savaşı ile ilgili birçok şiir yazılmıştır. Ama Nazım Hikmet’in “Kurtuluş Savaşı Destanı” tektir, biriciktir. Yazılanların en coşkulusu, en güzeli, en mükemmelidir. Çünkü kamunun beğenisine sunulmuştur, onaylanmış, kalıcı hale gelmiştir. Heyecan vericidir.

Matematikte de aynı konu birçok matematikçi tarafından incelenir, kuramlar oluşturulur. Bunların içinde en mükemmeli kabul görür. Kabul gören kuram kurala veya teoreme dönüşür. Diğerleri elenir. Sanattan farklı olarak en basit, en sade, en anlaşılır ve en şaşırtıcı olandır seçilen. Matematiksel mükemmelliğin temel ölçütü genel olarak “tutarlılık” ve “yararlılık”tır. En tutarlı, en yararlı olan tektir, “eşsiz”dir. En güzel olan da odur. Teklik ve güzellik sanat ve matematik için ortak yandır. Ama sanatsal güzellik için mükemmellik yeterli iken, matematiksel güzellik için tutarlılık ve yararlılık aranır. Biraz daha dolaylı biraz daha karmaşık… Belki biraz daha özenli. Yararlılığı bir anlamda “ciddilik” olarak alan büyük matematikçi G.H. Hardy, Bir Matematikçinin Savunması adlı kitabında; “Nasıl ki şiirde bile güzellik, bir ölçüde, içerdiği fikrin önemli olmasına bağlıysa, bir matematik probleminin ‘güzelliği’ de büyük ölçüde, onun ciddi oluşuna bağlıdır… Güzellik ilk sınavdır. Çirkin matematik için dünyada yer yoktur” der.

Hardy’nin çirkin matematikten kastı yukarıda sözünü ettiğimiz elenen kuramlardır. Elbette yanlışlananlar da elenir. Matematiksel güzelliği problemin ciddiliğinde araması ise, yine sözünü ettiğimiz tutarlılık ve yararlılık ilkesine karşılık gelmektedir. Bunun en güzel örneklerinden biri Kümeler Kuramı’nın kurucusu olan Cantor’un (1845-1918) sonsuzlukla ilgili çalışmasıdır. “Bütün parçasından büyüktür” ilkesini yadsıyan bu çalışma, basitliğin, sadeliğin, anlaşılırlığın güzel bir örneğidir. Ancak kuramın kalıcılığı sanatta olduğu gibi sadece güzelliğine bağlı değildir. Kalıcılığın nedeni yararlılığı ve tutarlılığıdır. Çünkü Cantor’un sonsuzlukla ilgili kuramı matematikte bir çığır açmış, analiz konularının gelişmesinin temel taşlarından biri olmuştur.

Evrensel etkinliklerdir

Gerek sanat gerekse matematik kitlelerin onayına açıktır. Kitlelerin beğenisini kazandığı ölçüde sanattır ya da matematiktir. O kitle tüm insanlıktır. Yerel motifler içerse de sanatın yurdu yoktur. Sanatçının da. Beethoven Çin’lidir, Arap’tır, Avrupa’lıdır… Matematik teoremlerinin matematikçilerin de yurdu yoktur. O da yeryüzünde yaşayan her insanın beğenisine, hizmetine açıktır. Yani evrenseldir. Gerek sanat gerek matematik eserler üretildikleri çağa da ait değildir. Çağın ipuçlarını verse de sonsuzdan gelip sonsuza giden insanlığın ortak mallarıdır. Mağaradaki resim ya da çetele, kilisedeki ikon, cami avlusundaki tasvir, Pisagor teoremi… Bunlar günümüzde de hâlâ taptaze eserlerdir. İnsanlık var olduğu sürece de kalıcılıklarını sürdüreceklerdir.

Matematiğin evrenselliğinin sanatta pek olmayan üstünlüğü ise, onun örgüsünde, bütünselliğindedir. Her ne kadar Yunan Matematiği, Hint Matematiği, Avrupa ya da İslam Matematiği denilse de biri diğerinin üstünde yükselmiştir. Birini aradan çektiğinizde, diğerleri boşlukta kalır.

Estetik eğitim araçlarıdır

Sanatın insanın, insanlaşma eğitiminin aracı olduğu bilinen gerçektir. Her ne kadar bir sarayın mimarisi muktedirin gücünü gösterse de, ya da zalimin gücünü simgeleyen resimler de olsa, yani her zaman “gül kokulu” olmasa da, sanat insanlaşma çabasının en güçlü aracıdır. İnsanda coşku, mutluluk, zarafet gibi estetik duygularını geliştirir.

Bu anlamda matematik de sanattan aşağı kalmaz. Matematik insanın yaşamı anlama-anlamlandırma yani insanlaşma çabasının en önemli araçlarındandır. Gökyüzündeki kuşun bir “an”daki kanat sesini duyarsın matematikle, dokunamadığın Merih’le birlikte dönersin uzayda, ışığın nasıl büküldüğünü gözlersin sonsuzlukta. Birçok matematik probleminin çözümünde ya da bir teoremin ispatında da yaşarsın sanattakine benzer hazzı, coşkuyu, güzelliği…

Yine bir farkla ki sanattan zevk almak çoğunlukla özel bir çaba gerektirmez. İzlemeyi, görmeyi, dinlemeyi bilmek yeter coşku duymak için. Matematik ise biraz çaba gerektirir. Matematiği anlama ve öğrenme çabası. Sunduğu eşsiz güzellikleri duyabilmeye değecek bir çaba. Bilenler için coşku duyulan, bilmeyenler için korkulan bir etkinliktir matematik…

Öyleyse yeni bir soru: Korkulan bir etkinlik olması yukarıdaki saptamalarla çelişmiyor mu? Matematik, sanatsal bir etkinlik ise neden korkulan bir etkinlik olsun? Siz bir öğrencinin, “resim ne işime yarayacak” veya “müzik ne işime yarayacak” dediğini duydunuz mu? İşte tartıştığımız bu fiili durum. Bir yanda yararlılık yanıyla sistemin öne çıkardığı bir anlamda “dayatılan” matematik. Diğer yanda estetik yanı ile güzellikleriyle “görmezlikten gelinen” matematik.

Yukarıda sıraladığımız bağdaşıklıklar arttırılabilir. Öte yandan itirazlar da olabilir. Çünkü her sanat eseri her insana aynı hazzı vermeyebilir. Anlık beğeniler farklı olabileceği gibi süreç içinde değişen algılar da “sanat eseri” algısında farklılaşmaya yol açabilir. O zaman şöyle bir sonuç çıkarmak sanırım doğru olacaktır: Bir esere dönemin koşullarını, anlayışını algılayarak bakmak gerek. Öyle ya… Üç boyutlu resme geçilmediği dönemlerde mağara duvarlarına çizilen çocukça resimlere ne demeliyiz? Yandan görünen bir resimde at üzerindeki adamın iki ayağının da görünmesine kibirle bakarsak, sanatın kalıcılığından söz edebilir miyiz? Matematikte de bugünkü gelişmişlik düzeyine göre geçmişte kullanılan birçok kabul ve yöntemin yetersiz hatta yanlış olduğunu biliyoruz. Örneğin Antik Yunan öncesi Mısır’da kenarları a,b,c,d ile gösterilen ABCD dörtgeninin alanı, A(ABCD) = (a+c) (b+d) / 4 formülü ile hesaplanıyordu. Dikdörtgen dışında diğer dörtgenler için yanlış olan bu formül süreç içinde düzeldi. Ama o günün gelişmişlik düzeyine göre o formül önemliydi. Aksini düşünmek “eskiler ne aptalmış” aptallığına düşmek olur.

Matematik ve sanat ilişkisi ile ilgili birçok araştırma ve tartışma vardır. Hatta matematiği doğrudan sanatın bir dalı olarak tanımlayan matematikçiler, bilim felsefecileri de vardır. Bu tartışmalar önemli ve çok yararlı. Çünkü matematik için “sanattır” diyenlerin de “sanat değildir” diyenlerin de birleştiği nokta; “matematiğin sanatsal değerinin güçlü” olduğudur.

Üzerinde durmamız gereken asıl nokta ise; matematik öğretiminde matematiğin estetik yönünün nasıl yansıtılacağı… Elbette bu yukarıdaki maddeler sıralanarak yapılamaz. Bu hiç gerçekçi değil. Yapılmalı ama nasıl? Nasıl yapılmalının yanıtı sanırım kendi geçmişimizde… Kendi matematik öğrenme serüvenimizde. Sık sık kendi matematik serüvenimi düşünürüm ve heyecan duyarım. Bu serüven ilk problem çözme yıllarına dek uzanır.

Bir problem çözümü, hele hele uzun uğraşılardan, uzun işlemlerden sonra sonuca ulaşmak çocuk yaşta bende ciddi hazlar uyandırıyordu. Bir futbol maçında en kritik anda gol atmak gibi. Bin yıllık bir heykeli görüp bin yıl önce bu heykelin kanlı canlı bir adam olduğunu düşünmek gibi. Beğendiğim bir kızın gözlerinin benim üzerimde olduğunu bilmek gibi… Kaç değişik kanal, kaç değişik haz. Ama hepsi insani, hepsi heyecan dolu. Problem çözmenin ötesindeki matematiği öğrendikçe duyduğum haz arttı. Bazılarını zor öğrensem de… Havaya attığım topun düşerken çizdiği yolu kâğıda dökmek ilginçti. Atarken hızlı, yükseldikçe yavaşlıyor, bir an duruyor sonra yükselirken yavaşlamasının tersine hızlanarak düşüyordu. Simetrik bir yol çizerek. Kaç kez istop oynamış, matematiği öğrenene kadar bunu fark edememiştim. İşte o yolu çizdim. Önce ilginç geldi sonra güzel. Mimar gibi kroki, ressam gibi resim çiziyordum. Heyecanla… Üç bacaklı masa yere daha sağlam basarmış. Denedim ve baktım ki gerçekten öyle. Önce şaşırdım sonra heyecan duydum. Ben niye düşünememişim? Merih’in benden ne kadar uzakta olduğunu bulabilirmişim. Hem de Merih’e hiç dokunmadan… Sanki büyücü gibiyim. Dudaklarımda bir gülümseme, muzaffer. Ve de bir otomobilin bir andaki hızını da bulabilirmişim… Muhteşem… Otomobil şoförünün bundan haberi bile yok.

Bir sonraki aşama bunları öğretmen olarak öğretmek. Daha doğru deyişle paylaşmak. Önceki akranlarımla yani öğrencilerimle. Onların duyduğu “heyecanı”, “gizemi parçalama” duygusunu, “başarmanın coşkusunu” yeniden yaşayarak. Taptaze kalan heyecanlar. Benden önce duyulan, benden sonra duyulacak coşkularla…

Sonra sorular sorular… Neden antik çağ öncesine dek gitmiş matematik yapma – matematik öğrenme tutkusu? Salt gereklilik salt yarar için olabilir mi? Öyle olsaydı hep sanatla birlikte öğrenilir miydi? Neden hep sanatla birlikte anılmış? Neden ilk saptanan öğretim programlarının dört disiplininden değişmez “bir”i olmuş? Neden suyun bileşenleri bilinmezden, gülün kokusu ayrıştırılamazdan öncesinde varmış? Hangi matematik, nasıl bir matematikmiş bu? Ne menem şeymiş matematiğin estetiği? Biraz yaşanmışlıklar, biraz örnek, biraz öneri…

‘ÖĞRENME’DE MATEMATİK ESTETİĞİ

Ulan Öklid

Teorem kanıtlamanın hazzını bir yaşanmışlıkla aktarayım. Matematik başarısının düşük olduğu bir sınıfta Metrik Bağıntıları işliyoruz. ABC dik üçgeninde BC hipotenüs, AH hipotenüse ait yükseklik olmak üzere; |AH|² = |HB|.|HC| (Birinci Öklid) eşitliğini ispatlamalarını istedim. Oldukça zayıf olan ve sanırım bu sınıfa değin hiçbir teorem ispatlamamış bir öğrencim biraz ürkek, “hocam ben bir şeyler yaptım ama… bakar mısınız” dedi. Gittim. Kullandığı bağıntılar ve gösterdiği benzerlik sonucu doğruydu. Teoremi kanıtlamıştı. “Güzel, sonucu bulmuşsun” diyerek kutladım. Şaşırdı. Gözü defterinde coşkuyla, “ulan Öklid, sen olmasan bu benim teoremim olacaktı” türü bir tepki verdi. O coşkuyla her rastladığı teoremi kanıtlama çabasına girdi. Güveni artmıştı.

Bir kanıt

İki’nin karekökü ‘nün irrasyonel olduğunun ispatı matematikçilerce bilinir. Bu ispatın güzelliği de… Teorem ispatına geçmeden, a ve b birer tamsayı, b 0 olmak üzere “a/b” biçiminde yazılan sayılara rasyonel sayı,  gibi sayılara ise irrasyonel sayı denildiğini anımsatalım. “Soru”nun nasıl “sorun” haline geldiğini de…

Öteden beri X² = 4 denkleminin çözümünün +2 veya -2 olduğu kolaylıkla söylenebiliyordu. Hatta X² = 4/9 denklemi de X= 2/3 olarak çözülüyordu. Ama iş X² = 2 denkleminin çözümüne gelince sorun başlıyordu. Çünkü karesi 2 olan sayı vardı ama rasyonel sayı kümesinde yoktu. Hatta 2 neyin karesidir sorusunun, sayılara tanrısal bir güç atfeden Pisagor Okulu’nda cinayete yol açtığı bile söylenir… Sonuçta’nin bilinen rasyonel sayı kümesinde tanımlı olmadığı düşünülüyor. Ama matematikte “olmadığını düşünmek” yetmediği için kanıtlama çabası başlıyor…

Teorem:   irrasyonel sayıdır.

Kanıt: nin a ile b aralarında asal (ortak böleni olmayan) ve “a/b” gibi bir rasyonel sayı olduğunu varsayalım.

= a/b ve a =  olur. Her iki yanın karesi alındığında; a² = 2b² olur ki, 2b² çift sayı olduğundan onun eşiti olan a² de çift sayıdır.

Karesi çift sayı olan sayı da çift sayı olacağı için “a” çift sayıdır. Ve a =2c biçiminde yazılabilir.

a² = 2b² ‘de “a” yerine “2c” yazılırsa; 4c² =2b² den b² =2c² olur ki, yukarıdaki gerekçe nedeniyle b² ve bağlı olarak da “b” çift sayı olmak zorundadır.

= a/b varsayımında “a” ve “b” çift sayı ise ortak bölenleri vardır ki, a ile b aralarında asal olamaz. Aralarında asaldır varsayımıyla çelişir. Öyle ise  rasyonel değil, irrasyonel sayıdır yargısına varırız.

Bu kanıttan alacağımız haz bir müzik parçasını dinlediğimizde alınacak hazla aynı değildir. Müziği dinler, dinlediğiniz anda duygusal hazlar yaşarız. Ancak  nin irrasyonel olduğunun ispatı anlık hazlar yaratmayabilir. ’nin yıllarca gizemini koruduğu, insanların akıllarını işgal ettiği ve hatta Pisagor Okulu’nda uğruna cinayet işlendiği bir sürecin sonucu olduğuyla birlikte düşünülmelidir. Ardından da insanları uzun süre düşündürmüş olan sorunun birkaç akıl ve kalem darbesiyle çözülebildiğini görmek gerek. İşte sorun burada. Yukarıdaki kanıt kadar önemli olan bu yaşanmışlık. Bunları bilmek öğrencilerin hakkı. İçine duyguyu, coşkuyu katmadığınız hiçbir bilgi kalıcı olmaz. Üstüne üstlük matematik bu duygu kışkırtmalarına çok müsait. Bunu bilmek ve yerine getirmek. Tek sorun bu.

Bir paradoksun yaptıkları

Paradokslar genellikle bir şeyin, gerçek dünyadaki davranışı ile matematik dünyasındaki davranışı arasındaki çelişkiler biçiminde tanımlanır. İlginç olduğu kadar da şaşırtıcıdır. Bu İlginçlik gazetecinin köpeği ısırması gibi bir ilginçlik değil, suyun içinde ateş yanması gibi olanaksız bir ilginçliktir. Karşımıza çıkıverdiği için değil, düşündükçe şaşkınlığımız artar. “Yahu düşündükçe kafayı yiyeceğim” denilen türden bir şaşkınlık. Anlık beklenmediklere değil derinlikli çelişkilere bağlı… Herkesin değil birilerinin bulduğu çelişkiler. Birilerinin bulduğu ama herkesin uğraşmaktan kendini alamadığı… Sabır isteyen, derinlikli düşünüş isteyen ve eğlenceli… Sonsuzluğu anlamaya çalışmak bunlardan biridir. Gerçek dünyada olduğu kadar matematik dünyasında da… Aşil Paradoksu en yaygın bilinenlerdendir.

Soru: Aşil ile kaplumbağa yarışacaklar. Aşil kaplumbağanın on katı kadar hızlı koşuyor. Biraz adalet için kaplumbağa yarışa 100 metre önden başlıyor. Aşil kaplumbağaya kaçıncı metrede yetişir?

Çözüm: Görünüşte zor soru değil. Ama hız yok, zaman yok. Arada 100 metrelik fark var. Bu fark adım adım kapanacak. Nasıl ve kaç metrede. Sanırım şekil üzerinde düşünmek en iyisi…

Aradaki fark yarış başladığında 100 metre. Aşil 100 metre koşup kaplumbağanın olduğu yere geldiğinde kaplumbağa 10 metre yol alır. Yani kaplumbağa 10 metre ilerde. Aşil 10 metre yol aldığında kaplumbağa 1 metre yol alır. Bu kez fark yine var ve kaplumbağa 1 metre önde… Sonra fark giderek azalır; 1/10 metre, 1/100 metre, 1/1000 metre… Ama kaplumbağa hep önde.

Soru kaç metre sonra yetişir idi. Ama bakıyoruz fark azalıyor ama hiç bitmiyor. Bitecek gibi de değil. Soru bir başka biçime dönüştü: “Aşil kaplumbağaya yetişir mi?”

Aradaki farkı bir kez daha gözden geçirelim:

100, 10, 1, 1/10, 1/100, 1/1000,…. Görünen o ki arada hep bir fark olacak ve Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

İşte itiraz: “Ne demek, geçer bile!” Oysa kâğıt üzerine yaptığımız tartışma bize geçmek bir yana yetişemeyeceğini gösterdi. İşte paradoks dediğimiz tam da bu. Kâğıt üzerindeki mantıklı tartışma gerçek hayatla çelişti. “Geçer bile” tepkisi, gerçek hayatın yazılı çizili olana tepkisi.

Bu tepki bizi; “1/∞ = 0” sonucuna götürür. Kâğıt üzerinde yaptığımız işlemde payda giderek büyümektedir. Bu değerin sonsuza değin büyüyeceğini öngörebiliriz. Yani yukarıdaki dizi;

100, 10, 1, 1/10, 1/100, 1/1000,…., 1/∞ biçimine dönüşecektir. Diğer yandan gerçek hayat bize, Aşil’in kaplumbağaya yetişeceğini göstermektedir. Yetişme anında aradaki farkın “0” olacağını biliyoruz. Öyle ise rahatlıkla “1/∞ = 0” sonucuna ulaşırız. Artık 1 yerine 2,3,4… gibi hangi doğal sayı gelirse gelsin sonucun “0” a eşit olacağı kolaylıkla söylenebilir. Bu sonucun söz olarak ifadesi “sıfırdan farklı bir sayının sonsuza bölümü 0’a eşittir” şeklindedir ki matematikte kapalı birçok kapının açılmasına yol açmıştır.

Bir çelişkiden yarattığımız önemli sonucu bir yana bırakalım ve asıl soruya geçelim: “Aşil kaplumbağaya kaçıncı metrede yetişir.” Soruyu bir başka biçimde şöyle sorabiliriz: Aşil kaplumbağaya yetiştiğinde kaç metre yol almıştır?

Yanıtın nasıl bulunacağı açık. Aradaki farkları toplarız olur biter. Ki farkları yukarıda söylemiştik. Yapılacak işlem matematiksel olarak;

“100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….. = ?” işlemi. İşte burada yine sorun var. Toplanacak sayılar sınır tanımıyor. Aldı başını gidiyor… Gel de topla. İş başa düştü.

100 + 10 +1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …….. = 111 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …. eşitliğini yazabiliriz.

Sorun biraz daha belli oldu. 111 işin kolay yanıydı. Ya “1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….” toplamı nasıl yapılacak?

Önce düzene koymalı yani biçimlendirmeli ve sonra birkaç akıllı hamle yapmalıyız. Bu toplama X demekle başlayalım.

X = 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ….  Hep 1/10’un katları. 1/10’dan sonrasını, “1/10” parantezine alalım.

X = 1/10 + 1/10.(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….) olacaktır. Parantez içindeki toplama “X” demiştik. Yerine koyalım.

X = 1/10 + 1/10.X olur ve bir oh çekeriz. “…..” dan kurtulduk! Artık işleme devam:

X = 1/10 + X/10; X – X/10 = 1/10; X.(1 – 1/10) = 1/10; 9X/10 = 1/10; 9X = 1 ve X = 1/9 olur ki aranan toplam; “111 + 1/9” dan “1000/9” olacaktır.

Şimdi bir soluk almayı hak ettik. Duralım ve kazanımlarımıza bakalım.

Birincisi; güzel bir akıl yürütmeyle (güzel diyorum çünkü yaşam gerçeğiyle bir çelişkiye son verdik) 1/∞ = 0 sonucuna ulaştık. Bu bizi; 3/∞ =0, (3/5)/∞ = 0, … gibi yani “sayı/sonsuz = 0” kalıcı genel sonucuna götürdü.

İkincisi; X = 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ….  İşleminde zarif bir hamle ile

X = 1/10 + 1/10.(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….) ve X = 1/10 + 1/10.X eşitliği ile X = (1/10)/(1-1/10) ile devam ettik. Yani sayılar sonsuza da gitse elimizden kurtulamadı.

Ama matematikçilerin iflah olmaz bir yanı vardır. Sürekli soru sorarlar kendilerine. Neden diye, niçin diye… “Acaba” da hep vardır kafalarının bir yerlerinde. Biri sormasa bir diğeri mutlaka sorar: Keramet, toplanacak sayıların “1/10”un kuvvetleri olmasında mı? Resmin güzelliği ağacın güzelliğine bağlıymış gibi!

Bu sorunun çözümü için matematiğin kullandığı yol “genelleme”dir. Yani her sayı için doğru olduğunu göstermek. Bunu gösterirsek kerametin “1/10”da olmadığı anlaşılacaktır. Aşağıdaki teoremin ispatıyla matematiğin dozunu biraz daha arttıralım.

Teorem: m R, 1/m + 1/m² + 1/m³ + 1/m⁴ + … = (1/m)/ (1-1/m) dir.

İspat: Eşitliğin sol yanına X diyelim.

X = 1/m + 1/m² + 1/m³ + 1/m⁴ +… biçimine dönüşür ve tüm terimler 1/m’nin katlarıdır. Bu kez azıcık farklı davranarak tüm terimleri “1/m” ortak çarpan parantezine alalım.

X = (1/m).( 1 + 1/m + 1/m² + 1/m³ + 1/m⁴ +…) olacaktır. İkinci parantezde “1/m + 1/m² + 1/m³ + 1/m⁴ +…” yerine değerini yani X’i yazarsak eşitlik,

X = (1/m).(1 + X) durumuna gelir. Devamla X = (1/m) + (X/m); X – (X/m) = 1/m olur. Sol yan X ortak çarpan parantezine alındığında;

X(1 – 1/m) = 1/m ve X = (1/m).(1/ (1 – 1/m) ) bulunur ki bulmamız gereken de buydu.

X = 1/9’u bulurken uygulanan zarif işlem, X = (1/m) . (1/(1-1/m)) genellemesine dönüştü ki bu genelleme çok yönlü kullanılacak anahtar gibidir. Bu elbette önemli. Ama adım adım, her satırda sektirmesiz yaptığımız işlemler daha mı az önemli. Her adım bir ahenk içermiyor mu? Önemli olan bunun farkında olmak ve daha da önemlisi bunu uygulattığımız öğrenci bu ahengi yaşıyor mu? Bunun için yeterli zaman ayırıyor muyuz? Yoksa bu hazzı yaşatmadan hemen başka bir soruya mı geçiyoruz. Sel önünden kütük kapar gibi… O zaman biz bu ispatı neden yaptık. Hani duygu, hani sabır, hani dikkat? Bu durumda, yanlış bir nota bir müzik parçasını nasıl eser olmaktan çıkarırsa, yanlış bir işlem de matematiği matematik olmaktan çıkarır. Matematik de bir sanat eserinin oluşumundaki gibi özen ister, duygu ister, saygı ve sabır ister. Bir serüven gibi… deme hakkımız olur mu?

Sanatçı eserini “beğenilsin” kaygısı ile yapmaz. İçsel bir dürtüdür sanatçı için eser yaratmak. Beğeni, eser ortaya çıktıktan sonraki bir durumdur. Elbette beğenilmenin bir hazzı vardır. Matematikçi de “beğenilsin” diye matematik yapmaz. Cahit Arf, “başlangıçta alkış almayı istedim. Aldım da. Alkış kısa sürede önemini yitirdi” der. Arf’ın bu söyleminde apaçık olan beğeni duygusuyla matematik yapmadığıdır. Söylemdeki daha gizemli ve bana göre daha önemli sonuç ise matematiğin biteviyeliği ve kışkırtıcılığıdır. Matematikte ulaşılan bir sonuç yeni sorulara, o sorular yeni sonuçlara gebedir. Sorularla, sonuçlarla bezeli bir süreç. Sürecin kendisidir güzel olan. Yukarıda örneklediğimiz gibi sorular sonuçları, sonuçlar soruları kışkırtır. Açmayı bekleyen yeni filizler hep vardır matematikte. Açtıkça açası gelir insanın…

Biz yukarıdaki süreci yeni bir soruyla sürdürelim. Verdiğimiz örnekler azalarak sonsuza giden sayılarla ilgili idi. Ya artarak sonsuza giden sayılarla ilgili benzer sonuçlara ulaşabilir miyiz? Bu kez doğrudan genellemeyle bakalım. Sorumuz sınırlı çokluklarla ilgili olsun.

Soru: a + a² + a³ + a⁴ + …………+ aⁿ toplamı aR için neye eşittir?

Çözüm: X = a + a² + a³ + a⁴ + …………+ aⁿ diyelim. Önceki örneklerde yaptığımıza benzer işlemler yapalım.

    X = a + a(a + a² + a³ + a⁴ + …………+ a^n-1) olur (I)

X = a + a² + a³ + a⁴ + ……… a^(n-1) + aⁿ den

X- aⁿ = a + a² + a³ + a⁴ + ……… a^(n-1) eşitliği yazılabilir. Bu eşitlik, (I) de yerine yazılırsa;

X = a + a(X – aⁿ) eşitliği elde edilir. Buradan:

X = a + a.X – a.aⁿ;  a.X – X = a.aⁿ – a X(a – 1) = a(aⁿ – 1) den

X = a.(aⁿ – 1)/(a – 1) veya X = (aⁿ⁺¹ – a)/(a – 1) elde edilir.

Görülüyor ki arayış bizi kesin ve yepyeni bir sonuca götürdü. Yeni arayışlarla yeni sonuçlar; devam… Bu kez işlemi sonsuza taşısak sonsuzu aydınlatabilir miyiz?

Sonsuzu ışıtmak

n    ∞ (n sonsuza gider) olduğunu düşünelim. Elde ettiğimiz bağıntının; X = ( – a )/ (a – 1) olacağı açıktır. Açıktır da, ( hatta tek başına ( ne olacak? Bizden çok önce de sorulmuş bu soru ve uzun süre sorun olmuş. Ve de imdada Cantor yetişmiş. Hem de çok duru, en süzme akıl biçimiyle… Soru da şöyle sorulmuş: “Bütün parçasından büyük müdür?” Yanıtı belli gibi: “Elbette büyüktür.” Bakalım…

1. Adım: “D” 1’den 100’e kadar doğal sayıları, “Ç”, 1’den 100’e kadar çift doğal sayıları göstersin. Çift doğal sayıların, doğal sayıların 2 ile çarpılarak elde edildiği açıktır. 2×1 = 2, 2×2 = 4, 2×3 = 6… gibi. Yani n ve 2n dir. Kümeler;

D = {1, 2, 3, 4,…………… 99, 100} ve  Ç = { 2, 4, 6, 8, …………… 98, 100} şeklinde yazılır. Şimdi bu iki kümeyi karşılaştıralım.

D = {1, 2, 3, 4, ……   49, 50, …..  99, 100}

 

Ç = { 2, 4, 6, 8, …………… 98, 100}

Görüldüğü gibi Ç (D kümesi Ç’yi kapsar) ve D kümesinin eleman sayısının Ç kümesinin eleman sayısından çok olduğu açık. Yani; bütün parçasından büyük.

2. Adım: Her iki kümeyi sonlu olmaktan çıkaralım. Sonsuza yürüsünler.

N= {1, 2, 3, 4, ……. , n, n+1, ……}

N_Ç= { 2, 4, 6, ……. , 2n, 2n+2, ……} Yine çift doğal sayıların “2n” le elde edildiği görülüyor.

Artık karşılaştırmak kolay.

 

N= { 1, 2, 3, 4, ……. , n,  n+1, ……}

N_Ç= { 2, 4, 6, ……. , 2n, 2n+2, ……}

Bu kadar. Basit bir eşleme. Her doğal sayının iki katı bir çift sayıdır. Öyleyse ne kadar doğal sayı varsa o kadar çift doğal sayı vardır. Kim diyebilir ki, doğal sayılar kümesinin alt kümesi olan çift doğal sayıların elemanı daha azdır diye? Ya da “bütün parçadan büyüktür” diye…

Cantor’un sonsuzlukla ilgili çalışmalarını okuduğumda hayran olmuştum. Sanki bir iki fırça darbesiyle tarihin heykelini yapar gibiydi. Bu kuram sayesinde sonsuzlukla ilgili bellediklerim anlam kazanmıştı. Elbette Cantor’un çalışması bu kadarla kalmamış. Sayılabilir sonsuz, sayılamaz sonsuz gibi yeni kavramlar ve kuramlar geliştirmiş. Bu kuramlar kümeler teorisini ortaya koymuş, özellikle fonksiyon analizine yepyeni anlamlar kazandırmıştır. En basit ve yaygın anlamda da; “∞ +5”, “∞ – 5”, “∞.5”, “∞ + ∞”, …, nın neden sonsuz olduğu, “3/∞”un neden “0” olduğu, “∞ – ∞”, “0.∞”, “∞/∞”, “0/0”ın neden belirsiz olduğu bu yolla anlamlı hale gelmiştir. Ve ben de şunu öğrenmiştim. Yukarıdaki özgün karşılaştırmayı yapmadan sonsuzla yapılan işlemler ve hele de belirsizlik gidermeye çalışmak beyhudeydi…

Çocuktan al haberi

Yakın zamanda yaşadığım bir olayda da, insan aklının çelişkilerinden olan azlık, çokluk kavramının bir çocuk aklı için bile ne denli düşünmeye değer olduğunu anladım. Torunum Sarp 4 yaşından küçüktü. Ziyaretlerine gittim. Diğer dedesi zaten yanlarındaydı. Nedenini anımsamadığım bir anda Sarp iki elini yana açıp; “yahu benim ne çok dedem oldu” dedi. Çocukların beklenmedik tepkileri bizleri hep şaşırtır. Hep beraber güldük. İki dede, çok dede… Biraz zaman geçti. Sarp sehpanın üzerindeki arabalarıyla oynuyor. En az 5-6 araba var. “Sarp” dedim. “Arabaların mı çok, dedelerin mi?” Bu kez o şaşırdı. Başını kaldırıp dedelerine sonra arabalarına baktı bir şey söyleyecek gibi oldu. Ama söylemedi. Belki de söyleyemedi. Gözlerime bakarak gülümsedi, arabalarıyla oynamaya devam etti. Sanırım iki ile sınırlı dede sayısıyla, 6 ile sınırlı olmayan arabalarının sayısını karşılaştırmak ona uygun görünmemişti.

Anımsadıklarım beni şimdi de çocukluğumdaki bir yaşanmışlığa götürdü. 8-10 yaşlarımda olduğumu anımsıyorum. Uzun bir tren yolculuğundayız, Orta Anadolu civarında. Akşam karanlığı bastığında kimseye ‘çaktırmadan’ koridora süzüldüm. Koridor boş. Zaten boş olmasını bekliyordum. Aklıma takılan soruya yanıt arıyorum.

Önceden yanıma aldığım tebeşirle yere bir çizgi çizdim ve olanca gücümle havaya doğru sıçradım. Nereye düşecektim? Umduğum gibi olmadı yine çizginin üstüne düştüm. Bir daha bir daha denedim. Bu arada birileri “deli mi bu” demesin diye gözüm sağda solda. Denemeler değişmedi. Hep çizginin üzerine düşüyordum. Oysa beklentim, ben havada asılı iken tren altımdan kayıp gitmeliydi. Olmamıştı. Merakımı gideremeden kompartımana girdim. Bana ayrılan yere kıvrılıp uyudum. Sabah uyandığımda ortalık aydınlanmıştı. Camdan dışarı baktım. Olağanüstü bir güzellik. Göz alabildiğine sapsarı başaklar. Ve de pırıl pırıl. Güneş görünmüyor ama ışıkları başakları yalıyor. Belli ki hafifçe de bir rüzgâr esiyor. Başaklar dalga dalga ışıklı ve gölgeli. Sanki bir el tarıyor gibi. Uzun süre gözlerimi ayırmadan izledim. Şu anda bile görüntü belleğimde… Ve heyecan verici…

Ne ilişkisi var söylediklerimin sanat ve matematikle? Sanırım burada ortak yan her ikisindeki olağanüstülük. Cantor’un sonsuzluğu ele almasında ve oluşturduğu kuramların birçok soruna çözüm getirmesindeki olağanüstülük. İnsan soyunun anlama ve anlamlandırma aşkındaki olağanüstülük. Doğanın deviniminin insan düşüncesinde yarattığı olağanüstülük… Dali’nin tablosunda atın (ya da yaratığın) ayağının insan boyunun kat kat fazla olmasındaki olağanüstülük. Mağara resimlerinde atın üzerindeki adamın attan çok daha büyük olmasındaki olağanüstülük… Dali mi doğru, mağara ressamı mı? Her ikisi de mi? Ressam benim gördüğüm atı resmetseydi sanat olur muydu? Matematikte de sanatta da her ikisinde de akıl ve duygu estetiğinin olağanüstülüğü yok mu?

Dâhilik şart mı?

İsmihan Yusubov’un Bilim ve Gelecek Kitaplığı’ndan çıkan Matematik Güzeldir adlı kitabında bir söyleyişi var: “Dâhilerin saçmalamaları da dâhicedir.” Büyük matematikçi olmak için dahi olmak gerektiği düşünülür. Bazı matematikçiler ise farklı düşünüyor; sabır, inat ve haz duyma matematikçi olmak için daha temel gereksinimdir diyorlar. Hangisi daha doğru emin değilim. Ama “matematik öğrenmek” için sabır ve haz duygusunun öncelikli olduğuna inanmışımdır. Dahi olmadığını bildiğim birçok öğrencinin çok ilginç yaklaşımlarla (dahice demiyorum) soru çözdüğünü hep gözlemişimdir. Beni bile şaşırtan…

Bir lise grubu ile problem çözümünde denklemleri kullanma çalışması yapıyoruz. Bir soru sordum:

Ali ile Ayşe’nin paralarının toplamı 600 lira. Ali Ayşe’ye 50 lira verirse, Ayşe’nin parası Ali’nin parasının iki katı olmaktadır. Başlangıçta Ali’nin kaç lira parası vardı? Sayılar bire bir böyle olmasa da soru bu kapsamdaydı. Soru lise öğrencisi için zor değil. Amacım denklem kullanımının gereğini vermek. Çözüm için beklediğim Ali’nin parasına x, Ayşe’nin parasına y denmesi ve x + y = 600 ile 2.(x-50) = y+50 denklem sistemiyle soruyu çözmeleri. Ya da Ali’nin parasına x, Ayşe’nin parasına 600-x denilerek, 2.(x-50) = 600-x+50 bir bilinmeyenli denklem kurup soruyu çözmeleri. Sorduktan 3-5 saniye sonra bir kız öğrencim; “250” yanıtını verdi. Kâğıt kalem kullanmamıştı. Yanına gittim. Nasıl çözdüğünü sordum. “Hocam para alışverişi olsa da olmasa da toplam para değişmiyor. Son durumda Ayşe’nin iki Ali’nin bir kat parası var. Toplamı üç kat. 600’ü 3’e böldüm 200 lira. 200, Ali’nin 50 lira vermiş hali. Demek ki 200+50=250 lirası varmış.”

Plânlarım alt üst oldu. Oysa ben iki ayrı denklemle iki bilinmeyenli denklemle sorunun çözümünü tartışacaktım. Ayrıca iki bilinmeyenli yerine bir bilinmeyenli denklemle… Öğrenci deyim yerindeyse beni de soruyu da açık düşürmüştü. Çözümü net, çözüm tam ve akıllıca. Öğrencinin Cahit Arf’ı bilmediğini sanmam. Ama Cahit Arf’ın “ben soru çözerken değişmezlerden yola çıkarım” söylemini bildiğini sanmıyorum.

Bir sorunun birden çok çözümü olduğu gibi bir teoremin de birden çok ispatı olabilir. Bazı ispatlar oldukça ilginçtir.

Ne güzel

Teorem: Sıfırdan farklı bir doğal sayı ile tersinin toplamı en az 2’dir.

Teoremi matematik dili ile yazarsak;

Teorem: nve nise n + (1/n) dir.

İspat: 1) Önermenin doğruluğunu göstermek

n + (1/n)  ise payda eşitlenerek (n² + 1)/n  ; n² + 1  ; n² – 2n + 1  dan

(n – 1)²  elde edilir. Bu önermenin “n” in 0’dan büyük bütün değerleri için doğru olduğu açıktır.

İspat: 2) nve n olduğu için,

n  n –  ;  (n – 1)² ;  n² – 2n +1  n² + 1  ve
n² + 1  de her iki yan “n” e bölünürse n + (1/n)  elde edilir.

Birinci ispat, verilen önermenin doğru olduğunu göstermek biçimindedir. Uygun her teoremin ispatında bu yol izlenebilir. İkinci ispat ise burada vurgulamak için yapılan ispattır. “n-1” in 0’dan büyük olduğu gerçeğinden başlayıp bir iki satırda (elbette doğru matematik işlemlerle) istenilen önermeyi elde ettik. Bu ispatın güzelliği, kullanılacak matematik önermeleri doğru seçmekte ve yöntemin sadeliğinde.

Fazla söze gerek var mı?

Bazı soruların çözümünde genel yöntemler kullanıldığı gibi şaşırtıcı çözümler de vardır. Basit ve kolay akla gelmeyen…

Soru: 500 takımın katıldığı tek elemeli şampiyonada, şampiyonu belirlemek için kaç maç yapılır?

Çözüm: Yapılacak nedirle başlayalım. Takımlar ikişer ikişer eşleşecek. Eşlenen takımlar maç

yapacak. Biri mutlaka elenecek. Kalanlar yeniden eşlenmeye devam edecek. Son maç

şampiyonu belirleyecek.

Maç sayısı toplamı: 250 + 125 + 62 + 31 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 499

Yukarıdaki gibi çizelge hazırlamasak da çözüm uzunca. Hep ikiye böleceksiniz, çıkaracaksınız ve sonunda toplayacaksınız. Takım sayısı tek olduğunda bir takımı bekletip uygun durumda ekleyeceksiniz… Çözüm için başka öneriler de olabilir.

Ama bir matematikçinin çözümü şu: 500 takımdan biri şampiyon olacak, 499’u elenecek. Her eleme bir maçla olacağından, maç sayısı elenen takım sayısına eşittir… Bu çözümün akılcılığına, inceliğine şapka çıkarmayacak biri olabilir mi?

Bazı aktarmalarla matematik ve sanat ilişkisini vurgulamaya çalıştım. Anlaşılmıştır ki inancım matematiğin estetik yönünün güçlü olduğu. Bazıları için derin hazlar yaratan matematikte bu hazzı yaratan estetikten başka ne olabilir? Bazı öğrenciler kendi sezgileriyle matematiğin hazzını keşfediyor. Bu hazzı bazı öğrenciler seziyor ve duyuyorken büyük bir çoğunluk neden duymuyor? Bunun yanıtı bende çok net. Öğretimde matematiğin estetik yapısını ihmal ediyoruz. Hatta öğretenler olarak biz de çok farkında değiliz. Bilinsin ki bu bölümü yazarken, yazmak için araştırırken bile yepyeni heyecanlar duydum. Daha önce düşünmediğim… Ve şimdi düşünüyorum ki; matematiğin her konusu, her matematiksel ispat, her soru çözümü estetik içerikli olarak ele alınabilir.