Babil tableti Plimpton 322, şimdiye kadar düşünüldüğünden daha üstün bir matematik mi içeriyor?

Sunuş

Plimpton 322 tabletinin içerdiği matematik, okuyacağınız haberde de geçtiği gibi, 70 yıldır matematikçiler ve bilim tarihçileri tarafından değerlendirilmeye, bilim tarihi içindeki yerine oturtulmaya çalışılıyor. O. Neugebauer, A. Sachs ve E. M. Bruins gibi uzmanların, Mezopotamya matematiğinin düzeyini inceledikleri ve Yunan matematiğine etkilerini araştırdıkları çok önemli eserleri var. Ord. Prof. Aydın Sayılı da, Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp adlı önemli eserinde, yukarıdaki uzmanların çalışmalarını derlemenin yanı sıra, önemli değerlendirmelerde de bulunuyor. Örneğin haberde söz edilen Plimpton 322 tabletine dair değerlendirmesi şu şekilde, “Mezopotamyalılarda ‘Pithagorcu triyadları’ (e.n. Pisagor üçlüleri) konusunda aritmetikle geometri birbirine yakın bir şekilde bağlı bulunmaktaydı. (…) Triyadlar (e.n. üçlüler) arasındaki ilişkinin geometri ile temellendiğinde şüphe olmasa gerektir. Fakat, ayrıca, bu listelerle çizelgelerin hazırlanmasında amaç, dik üçgenlerle, seksajesimal (60 tabanlı) rakamlarla tam olarak ifade edilebilecek kenar değer ve oranlarını hazır sonuçlar olarak elde bulundurmaktı. Böylece, burada, bizim trigonometri cetvellerimizin ilkel ve eksik bir örneği ile karşı karşıya bulunduğumuzu söyleyebiliriz.”

Akademik bir yayında yayımlanmasının yanı sıra, The Independent gibi gazetelerde haber olarak duyurulması nedeniyle, Mezopotamya matematiğine belli bir ilgiye de yol açan Daniel F. Mansfield, N. J. Wildberger’in çalışması ise, “Plimpton 322’nin oranlara dayalı özgün bir trigonometri içerdiği” değerlendirmesini yapıyor. Önümüzdeki sayılarda, Mansfiled ve Weldberger’in çalışmalarının, Historia Mathematica’da yayımlanan orijinal makalesine ulaşarak, daha önceki çalışmalardan ayrıldıkları noktaları daha iyi anlamak ve bu konuda daha ayrıntılı bir yayın yapmak niyetindeyiz.

Sydney’deki University of New South Wales’den (UNSW) biliminsanları, Babillilere ait 3700 yıllık meşhur kil tabletin amacını keşfetti. Dünyanın en eski ve en kesin trigonometrik tablosunun, antik dönemde matematikle ilgili metinleri kopyalamakla görevli yazmanlar tarafından büyük olasılıkla saray ve tapınakların nasıl imar edileceği, kanalların nasıl inşa edileceği gibi konularda hesaplama yapmak için kullanıldığı ortaya çıktı.

Yeni araştırma gösteriyor ki, Babilliler trigonometrinin (üçgenlerin incelenmesi) icadı konusunda, Yunanlılardan 1000 yılı aşkın daha erken davranmışlar ve yine araştırma açığa vuruyor ki, bu matematiksel incelik günümüze kadar saklı kalmış.

Plimpton 322 olarak adlandırılan bu küçük tablet 1900’lerin başında şu an güney Irak olarak bilinen bölgede Edgar Banks tarafından keşfedilmiş. Arkeolog, diplomat ve antika satıcısı olan Banks, Indiana Jones isimli kurmaca karakterin de dayandırıldığı kişi. Dört sütun ve 15 satır sayıdan oluşan ve dönemin çiviyazısının kullanıldığı tablet 60’lık sistemi temel alıyor.

“Plimpton 322, Pisagor üçlüsü olarak bilinen özel bir sayı örgüsünü içerdiği fark edildiğinden beri, yani 70 yılı aşkın süredir matematikçileri hayrete düşürmektedir” diyor, UNSW Bilim Fakültesi’nde matematik ve istatistik doktoru Daniel Mansfield. “Bu zamana kadar büyük bir gizem olan ise amacıydı: Antik dönemin yazmanları, niçin tabletin üzerindeki sayıların oluşturulması ve sıralanması gibi karmaşık bir görevi yürütüyorlardı? Çalışmamız ortaya koydu ki, Plimpton 322, dik üçgenlerin şekillerini açılar ya da daireleri kullanarak değil, oranlara dayalı özgün bir trigonometri aracılığıyla tarif ediyor. Bu şüphe götürmeyen bir dehayı kanıtlayan büyüleyici bir matematiksel çalışma. Tablet yalnızca dünyanın en eski trigonometrik tablosunu içermiyor, ayrıca bu, Babillilerin aritmetik ve geometriye dair oldukça farklı yaklaşımlarından ötürü, tam bir kesinliğe sahip tek trigonometrik tablo. Bu da demek oluyor ki tablet günümüz dünyasıyla epeyce bir alakalı. Babillilerin matematiği 3000 yıldır demode kalmış olabilir, fakat alan ölçümlerine, bilgisayar grafiklerine ve eğitime uygulanabilecek muhtemel pratiklere sahip. Bu, bize antik dünyanın yeni bir şeyler öğrettiği nadir örneklerden” diyor Dr. Mansfield.

Dr. Mansfield ve UNSW’li Doç. Dr. Norman Wildberger’in çalışması, Matematik Tarihi Uluslararası Komisyonu’na ait bir dergi olan Historia Mathematica’da yayınlandı.

Bir trigonometrik tablo, dik bir üçgenin kenarlarına ait bilinen bir oranın, bilinmeyen diğer iki oranın belirlenmesi için kullanımına izin verir. MÖ 120 yıllarında yaşayan Yunanlı astronom Hipparchus, daire üzerine kurulu “kirişler tablosu” olarak tanınan en eski trigonometrik tablosuyla, trigonometrinin babası kabul ediliyordu.

“Plimpton 322, Hipparchus’u 1000 yılı aşkın bir süre kadar önceliyor” diyor Dr. Wildberger. “Yalnızca modern matematik araştırması için değil, aynı zamanda matematik eğitimi için de yeni olanaklar açıyor. Plimpton 322 ile beraber, bizimkine kıyasla açıkça daha avantajlı, daha sade ve daha kesin bir trigonometri görüyoruz. Babillilere ait tabletin gizli bir hazinesi var, ama bu zamana kadar yalnızca bir kısmı çalışıldı. Matematik dünyası, bu antik ve oldukça incelikli matematiksel kültürün bize öğreteceği çok şey olduğuna dair gerçeğe yeni uyanıyor.”

Dr. Mansfield, UNSW’deki matematik öğrencilerine ilk yılları için materyal hazırlarken şans eseri Plimpton 322 hakkında bir şeyler okudu. Tabletin Dr. Wildberger’in “Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry” (“İlahi Oranlar: Rasyonel Trigonometriden Evrensel Geometriye”) adlı kitabının rasyonel trigonometrisiyle olan paralelliğini fark ettikten sonra, Dr. Mansfield ve Dr. Wildberger birlikte, Babillilerin matematiğini çalışmaya ve tabletin anlamına dair farklı tarihsel yorumları araştırmaya karar verdiler.

Tablet üzerindeki 15 satır, eğimleri giderek azalan 15 tane dik açılı üçgenden oluşan bir sekansı tarif ediyor. Tabletin sol köşesi kırık ve UNSW’li araştırmacılar, tabletin orijinalinde 6 sütundan oluştuğuna ve 38 satırda tamamlanmış olması gerektiğine dair sundukları yeni matematiksel delili daha önceki bir araştırmaya dayandırıyorlar.

Aynı zamanda yine bu araştırmacılar, bizim kullandığımız 10’luk sayı sistemi yerine, zaman ölçme sistemimize benzer bir şekilde 60 sayısına dayalı aritmetiği temel alan antik dönem yazmanlarının, tablet üzerindeki sayıları, matematiksel tekniklerini kullanarak nasıl oluşturmuş olabileceklerini de gösteriyorlar.

UNSW’li matematikçiler genişçe kabul görmüş olan görüşün de geçersiz olduğuna dair kanıt elde ettiler: Tablet yalnızca öğrencilerin ikinci dereceden problem çözümlerini kontrol etmek için öğretmene yardım edici bir araç değildi. “Plimpton 322, alanların ölçülmesi ya da sarayların, tapınakların ve basamaklı piramitlerin inşası için mimari hesaplamalar yapmak üzere kullanılabilecek güçlü bir araçtı” diyor Dr. Mansfield.

Antik Sümer Kenti Larsa’dan gelmiş olabileceği düşünülen tabletin tarihlemesi MÖ 1822 ile 1762 yıllarını kapsıyor. Tablet, New York’taki Columbia Üniversitesi’nin Nadir Kitaplar ve El Yazmaları Kütüphanesi’nde bulunuyor.

Bir Pisagor üçlüsü, a, b ve c şeklinde üç tane pozitif tam sayıdan meydana gelmektedir ve a²+b²=c² eşitliğine sahiptir. 3, 4, 5 tam sayıları çok bilinen bir Pisagor üçlüsü örneğidir, fakat Plimpton 322 üzerindeki değerler çok daha büyük. Örneğin; ilk satır 119, 120, 169 üçlüsüne referans vermektedir.

Pisagor üçlüsü ismi, bir hipotenüsün (dik açı karşısındaki çapraz kenar) karesinin diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olacağını öne süren Pisagor’un dik açılı üçgenler teorisinden türemiştir.

“60 tabanlı sayma sistemi, Babil trigonometri tablosunu tam bir kesinliğe ulaştırıyor”

Dr. Mansfield, Babillilerin 60 tabanlı sayma sisteminin, onlara, zorlu hesaplamaları günümüz matematikçilerinden nasıl daha kolay yapmalarında yardım ettiğini şöyle açıklıyor:

“Babillilerin aritmetik ve geometriye eşsiz yaklaşımı şu anlama gelmektedir: Onlarınki yalnızca dünyanın en eski trigonometrik tablosu değil, ayrıca kayıtlara geçmiş tam bir kesinliğe sahip tek trigonometrik tablodur. Niçin? Sonuç olarak hepsi kesirlerle alakalı. Bizler 10 tabanlı sayıyoruz ve bu sayının yalnızca 2 tam kesri var: Bunlardan biri sayının yarıya bölünmüş hali, yani 0,5, diğeri ise beşe bölünmüş hali, yani 0,2. Eğer bölmek istiyorsan bu bir problem. Örneğin, bir doların üçe bölünmüş hali 33 sent ve bölünemediği için artan bir sent. Babilliler ise, zamanı söylemek için kullandığımız sisteme benzer bir şekilde, 60 tabanlı sayıyordu. Bu da daha fazla tam kesir demek. Çokmuş gibi gelmese de, bu sayım şekli Babillilerin çok daha fazla bölümlendirme yapmasını sağladı. Bir saatin üçe bölünmüş hali 20 dakika, artansız, yani tam olarak. Babilliler bu sistemi kullanarak tam olmayan sayılardan tamamıyla kaçınarak hesaplama yapabildiler, böylece de bu sayıların çarpımı sonucunda yaşanabilecek hatalardan da kurtuldular.”

Kaynaklar

– http://www.independent.co.uk/news/science/babylonians-trigonometry-develop-more-advanced-modern-mathematics-3700-years-ago-ancient-a7910936.html

– http://popular-archaeology.com/issue/summer-2017/article/a-remarkable-ancient-babylonian-tablet-and-why-it-matters