Öğrencilik hayatım boyunca sadece iki ders kitabının ilgimi çektiğini hatırlıyorum. Biri insan üreme sisteminin anlatıldığı biyoloji kitabıydı (!), diğeriyse lise son sınıfta okutulan matematik kitabı. Bu kitabı saklamışım, geçenlerde elime geçti, sayfalarının üzerine “Bu teoremi bir kez daha ispatla, önemli”, “Aralığa bak, sürekli mi?”, “Güzel bir örnek” gibi birçok not yazmışım. 40 yıl öncesinden söz ediyorum, ama aylarca bu kitapla hemhal olduğumu çok iyi anımsıyorum. İyi bir kitaptı, adeta konuşurdum onunla!
Kuşkusuz, günümüzde de internet ortamının olanaklarına rağmen ders kitapları hem öğrenci hem de öğretmen için hâlâ oldukça önemli.
Bir lise matematik ders kitabı nasıl olmalı? Bu soruya çok farklı yanıtlar verilebilir, ama isterseniz önce şu soruyu soralım: “İyi” bir matematik ders kitabının öğrenci üzerinde nasıl bir etkisi olabilir? Benim yanıtım kısaca şöyle: Kitapta matematiksel düşüncenin ipuçları verilerek, tanım ve kanıt hakkıyla ele alınabilirse, öğrenci matematiğin ezberlenmesi gereken kurallar ve yöntemlerden oluşmadığını anlayacaktır. Ayrıca, ele alınan kavramların tarihsel arka planına dikkat çekilirse, öğrenci öğrenmeye çalıştığı kavramların keşif süreci hakkında bilgi sahibi olacağından soyutlamanın zorluklarını aşması kolaylaşacaktır.
Ülkemizde yayımlanmış, yukarıdaki nitelikleri taşıyan az sayıdaki matematik ders kitapları arasında bence en önemli olanları Ali Nesin’in fen liseleri için yazmış olduğu kitaplardır. Yukarıdaki, “Bir lise matematik ders kitabı nasıl olmalı?” sorusunun cevabını merak eden okurun bu kitapları incelemesini öneririm. Bu yazıda Kümeler Kuramı I, Doğal Sayılar Yapısı, Tamsayılar Yapısı isimli kitaplardan seçtiğim birkaç kanıt, kavram ve tarihi bilgiyi paylaşmak istiyorum.
Usta matematikçi yazdığı önsözde “Ben bir yalancıyım” paradoksuna gönderme yaparak, “Paradoks gibi gelecek ama matematik anlatırken bir liseliye illa ki yalan söylenmeli” cümlesini kurarak yalanı asgariye indirmeye çalıştığını ve hiç olmazsa yalansız dolansız matematik için başvurulması gereken kaynakları gösterdiğini ifade ediyor. Burada sözü edilen yalan, “lise matematiğiyle” akademik düzeydeki matematik arasındaki farktan kaynaklanıyor.
Yalan ve matematiksel dürüstlük
Kümeler Kuramı I kitabının ilk cümlesi şöyle: “Birtakım nesnelerden oluşan topluklara matematikte küme adı verilir.” Aslında bu tanımlamanın doğru olmadığı kitabın 69’uncu sayfasında açıklanıp, öğeleri tüm kümelerden oluşan bir kümenin olamayacağının kanıtı yapılıyor ve şu notu okuyoruz: “[…] Demek ki herhangi bir küme tüm kümeleri öğe olarak içeremez, mutlaka bir küme dışında kalmak zorunda. Buradan da öğeleri tüm kümeler olan bir kümenin olamayacağı çıkar. Bu aslında bu kitabın en başında verdiğimiz küme kavramıyla çelişir, çünkü kitabın başında bir kümeyi herhangi bir topluluk olarak tanımlamıştık, dolayısıyla verdiğimiz küme tanımına göre tüm kümelerden oluşan bir küme olması lazım. Bu işte tam olarak Russell Paradoksu’dur. Sorun, kitabın en başında verdiğimiz küme tanımında. O tanım doğru olamaz. Okura yalan söyledik!”
Birçok lise ders kitabında küme “İyi tanımlanmış nesneler topluluğudur” diye tanımlanır, belki bir lise öğrencisi için bu açıklamanın yeterli olacağı düşünülebilir, ama aslında bu cümlenin doğru olmadığının açıklanmasının sağlıklı bir matematik öğretimi için gerekli olduğu inancındayım. Örneğin, Milli Eğitim Bakanlığı’nca yayımlanan 9’uncu sınıf matematik ders kitabında (Kaynak 4) Alman matematikçi Georg Cantor’un 1878 yılında yayımladığı makalesine atıfta bulunarak “Küme, iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğudur” cümlesi kurularak kümenin bu tanımı (!) nihai bir bilgi olarak verilmiş. Oysa gerçek bu değil! Kümeler Kuramı I’e göz atalım: “Cantor’un (matematiksel olduğunu hiç iddia etmediğimiz) küme tanımı şöyleydi: ‘Küme, algımızın ya da düşüncemizin açık ve net nesnelerinden oluşan bir topluluktur’. Oysa günümüzün matematiğinde küme kavramı ve bir kümenin öğesi olmak ilişkisi matematiksel olarak tanımlanmadan kabul edilmesi gereken kavramlar olarak kabul edilir. Matematiğin tüm kavramları bu iki kavrama dayandırılarak tanımlanabilir.”
Matematiksel düşünmenin ipuçları…
Birçok öğrencide yaygın olan görüş, matematiksel tanım ve kavramların bir “Tanrı buyruğu” gibi ortaya çıktığı doğrultusundadır. Oysa biliyoruz ki matematiksel yapı matematikçiler tarafından matematiğin işine nasıl geliyorsa, yani sonraki adım ve süreçlerde tutarsızlık yaratmayacak bir şekilde inşa edilmiştir. Örneğin yıllardır, 0! = 1 eşitliğine itiraz eden öğrenciler “İlk sıfır doğal sayının çarpımı neden sıfır değil hocam?” diye sorup bu eşitliğin kanıtlanmasını istemişlerdir ve onları “Matematiksel yapının tutarlılığı için 0! = 1 olarak tanımlanmıştır” cevabı pek tatmin etmez, çünkü matematiksel yapının inşası hakkında yeterince bilgi ve görüşe sahip değildirler. Ve elbette, bu eksiklik onların suçu değil, matematik öğretimindeki sorunlardan kaynaklanır. “Matematikte 0! = 1 neden bir tanım olarak kabul edilmiştir?” sorusunu Ali Nesin Tamsayılar Yapısı kitabında matematiksel yapının inşasına ait ipuçları vererek şöyle yanıtlıyor:
“[…] 34, dört tane 3’ü çarpmak anlamına gelir. 31, bir tane 3’ü çarpmak anlamına gelir. Dolayısıyla 30, sıfır tane 3’ü çarpmak anlamına gelir. Size sıfır tane 3 veriyorum, hadi çarpın bu 3’leri! Çarpamazsınız tabii, çarpacak 3 yok çünkü. Tanım gereği, sıfır tane sayının çarpımının sonucu 1’dir. Başka bir nedenden değil, tanımdan! Bu yüzden 30 = 1 olur. 5! de beş tane sayıyı çarpmak demektir:
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5
3! için 1’den 3’e kadar üç tane sayı çarpılır. 0! için 0 tane, yani hiç tane sayı çarpılmalı. Bir önceki paragrafta hiç tane sayının çarpımını 1 olarak tanımlamıştık. Demek ki 0! = 1 olmalı.”
Kümeler Kuramı I’de okuru oldukça şaşırtacak, ama matematiksel düşünmenin ipuçlarının verildiğine inandığım ilginç bir teorem kanıtlanıyor:
“Teorem. Boşkümenin her öğesi 1’e eşittir! Kanıtın püf noktası boşkümenin hiç öğe içermemesidir. Tanım gereği hiç öğe içermeyen boş kümenin her öğesi 1’e eşittir. Bunu kanıtlayalım. Diyelim ki savımız yanlış, yani diyelim boş kümenin her öğesi 1’e eşit değil… O zaman boşkümede 1’e eşit olmayan bir öğe vardır. Ama hani boşkümede hiç öğe yoktu? Hiç öğesi olmayan boşkümede 1’e eşit olmayan bir öğe olabilir mi? Elbette olamaz. Demek ki boşkümenin her öğesi 1’e eşittir!
Dikkat edin boşkümede 1’e eşit olan bir öğe var demiyoruz. Boşkümede öğe olmadığını biliyoruz tabii. Sadece boşkümenin her öğesinin 1’e eşit olduğunu söylüyoruz… Arada fark var…
[…] Boşkümenin her öğesi istediğimiz tüm özellikleri sağlar. Boşkümenin her öğesi sarıdır, yeşildir, uzundur ve aynı zamanda kısadır da. Hiç öğesi olmayan boşkümenin tüm öğeleri tüm özellikleri ve eşitlikleri sağlar. Bunu boşkümenin hiç öğesi olmamasına borçluyuz.”
Yukarıda kanıtlanan teorem, matematikte sezgilerimizin ihanetine uğrayabileceğimizin güzel bir örneğini gösteriyor. Öte yandan, “boşkümenin tüm öğeleri tüm özellikleri ve eşitlikleri sağlar” sonucunun matematiğin daha ileriki bölümlerinde (boşküme bağıntısının özellikleri gibi) önemli bir yeri olduğunu düşünürsek matematiksel tutarlığın ne olduğunu daha iyi anlayabiliriz. Daha doğrusunu söylemek gerekirse matematiği böylesi kitaplardan öğrenen bir lise öğrencisi matematiksel ufkuyla matematiğin özünü daha iyi kavrayacaktır.
Matematik tarihi
Matematik öğretiminde matematik tarihinin yeri ve gerekliliği tartışılmaz bir gerçek. Artık eskisi gibi değil, birçok matematik ders kitabı matematik tarihiyle ilgili bilgilere yer veriyor, fakat bu bilgilerin birçoğu maalesef yüzeysel ve ele alınan kavramlardan kopuk olduğundan öğrencilerin ilgisini çekemiyor. Ali Nesin kitaplarında “sadece matematiği değil, matematiğin keşif sürecini de anlatmalı, hatta belki de teoriden ödün verip keşif sürecini öne çıkarmalı” diyerek okuru adeta bir matematik tarihi şölenine davet ediyor. Öyle eklektik ve salt tarihsel bilgilere dayanarak değil, matematiğin insanlık tarihindeki gelişim sürecini kitapta işlenen konu bağlamında öğrenebilme şansına sahip olabiliyorsunuz.
Kümeler Kuramı I’den kümelerin kısa tarihinin anlatıldığı bir bölümü paylaşmak istiyorum.
“Var olduğundan beri insanoğlu ve insankızı matematikte olmasa da günlük yaşamında küme kavramıyla aşinaydı elbette, örneğin koyun sürüsü, buğday tarlası, kabile, bir sepet yumurta gibi sözler küme fikrinin çeşitli tezahürleridir. Ancak matematiksel anlamda kümenin oldukça yakın bir geçmişi vardır. Kümelerden açık açık ilk kez 1847’de şimdiki Çek Cumhuriyeti’nin başkenti Prag’da yaşamış olan matematikçi Bolzano (1781-1848) söz etmiştir. O zamanlar sonsuz sayıda öğesi olan kümelerin çelişki içereceğinden, yani matematikte çelişkiye yol açacağından korkuluyordu. Örneğin doğal sayılarla çift doğal sayıların
0 ↔ 0
1 ↔ 2
2 ↔ 4
3 ↔ 6
…
biçiminde n ↔ 2n kuralıyla eşleştirilebilmesi biliminsanlarını korkutuyordu (örneğin Galileo’nun ödü patlamıştı) ne de olsa çift doğal sayılar kümesinde doğal sayılar kümesinden daha az sayı olmalıydı, yarısı kadar! 19. yüzyılın sonlarına doğru, yani bundan 100 küsur yıl önce Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) sonsuz kümelerin üstlerine üstlerine gitmiş, onları anlamaya çalışmış, örneğin doğal sayılar ile çift doğal sayılar kümesinin (yukarıdaki eşlemeden dolayı) aynı sayıda öğesi olduğuna hükmetmiş ve bugünkü matematiksel anlamına çok yakın bir kümeler kuramını matematik camiasının ağır baskılarına karşı koyarak neredeyse tek başına geliştirmiştir. Nitekim zamanın birçok ünlü matematikçisi kümeler kuramını gereksiz bir uğraş olarak görmüştü. Kümeler kuramıyla gençlik gerçek matematikten uzaklaştırılıp, gereksiz ve eften püften düşüncelere yönlendiriliyor diye düşünülüyordu. Kümeler kuramını ciddiye alanlar matematiği getirisi olmayan bir alana sürüklemekle suçlanıyordu. O çağın en ünlü ve en etkin iki matematikçisi Alman David Hilbert ve Fransız Henri Poincaré matematiğin özüyle ilgili bu mücadelede ayrı cephelerde yer almıştır. Mücadeleyi Hilbert kazanmıştır; bugün kümeler kuramı matematikte merkezi bir konuma gelmiştir. Matematiğin klasik dallarının birçok önemli problemi çözümünü kümeler kuramında bulmuştur.
Kümeler kuramı varlığını sonsuz kümelere borçludur. Cantor’dan önce sonsuz kümelerin varlığından kuşkulanılıyordu, kuşkulanmayanlar da sonsuz kümlerle işlem yapmaya çekiniyorlardı ya da iki sonsuz küme arasında matematiksel olarak (öğeleri dışında) bir fark göremiyorlardı. Cantor 1874’te yayımladığı bir makalesinde iki sonsuz küme arasında (öğe sayısı açısından mesela) derin farklar olabileceğini göstererek matematikte bir çığır açmıştır. Kümeler kuramının gelişimi on yıllar boyunca matematik dünyasında matematiksel ve felsefi düzeyde sert tartışmalara, hatta bilimsel kavgalara neden olmuştur.”
Ali Nesin’in lise ders kitaplarından seçtiklerimden oluşan bu yazı “Bir lise matematik ders kitabı nasıl olmalı?” sorusuna yanıt olabildi mi? Bilemiyorum, ama meraklı okurun ve ilgili lise öğrencilerinin yukarıdaki sorunun yanıtını bu kitaplarda bulacağına eminim. Ayrıca, okullarda yapılan matematiğin yürek parçalayıcı halini düşünürsek böylesi matematik ders kitaplarına ve bu doğrultudaki bir müfredat programına ne denli ihtiyacımızın olduğu açıkça görülür sanırım.
Kaynaklar
1) Ali Nesin, Kümeler Kuramı I, Nesin Yayıncılık, 2017.
2) Ali Nesin, Doğal Sayılar Yapısı, Nesin Yayıncılık, 2017.
3) Ali Nesin, Tamsayılar Yapısı, Nesin Yayıncılık, 2017.
4) Mehmet Maviş, Güray Gül, Himmet Solaklıoğlu, Hakan Tarku, Fatih Bulut, Mahmut Gökşen, Matematik 9 Ders Kitabı, MEB, 2017.
