Büyük şairimiz Nazım Hikmet’in Bursa Cezaevi’ndeki ilk yıllarında cezaevi müdürü Hasan
Tahsin Akıncı’yla dost olduğunu, Akıncı’nın yağlı boya portresini yaptığını ve Kemal Tahir’e
yazdığı mektupta Akıncı’dan “İyi, namuslu bir insan” olarak söz ettiğini okuduğumda çok
şaşırmıştım.
Sonrasında, “Müdür de komünist oldu” şikâyetleri üzerine adeta, “Sen misin Nazım’a bu
kadar yakın olan” dercesine Akıncı’nın görevden alınışını okumuş, bu kez hiç şaşırmamıştım!
Merak etmeyin! Amacım bir edebiyat tarihi yazısı yazmak değil. Bu yazıda ele alacağımız
problemin kurgusunda tıpkı Hasan Tahsin Akıncı gibi mahkûmların yaşam koşullarının
iyileştirilmesi için çabalayan bir cezaevi müdürünün varlığı bana Nazım Hikmet’in Bursa
Cezaevi yıllarını hatırlattığı için Hasan Tahsin Akıncı’dan söz etmek istedim.
“Aaa… Gerçekten çok güzelmiş” diyeceğinizi umduğum probleme geçiyorum.
Cezaevi müdürünün planı: Bir cezaevi müdürü hücre cezasına çarptırılmış 8 mahkûmun
hücre cezalarının kaldırılması için Adalet Bakanlığı’na başvuruyor. Bakanlık bu talebi
reddetmekle birlikte matematiksel düşünme gücünü arttırmak (!) ve onlara şans tanımak
amacıyla cezaevi müdürüne aşağıdaki cevabı veriyor.
1) 8 mahkûm 1’den 8’e kadar olan sayılarla numaralandırılacak.
2) Cezaevi müdürünün odasında mahkûm sayısı kadar, yani 8 adet kutu yapılacak.
3) Kutular 1’den 8’e kadar numaralandırılacak.
4) Her kutuya rastgele bir şekilde bir mahkûmun numarasının yazılı olduğu kartlar
koyulacak.
5) Her mahkûm cezaevi müdürünün odasına birer birer girecek ve herhangi bir sırayla 4
kutuyu açma hakkına sahip olacak ve sonra açılan kutular kapatılıp odaya sıradaki
diğer mahkûm girecek.
6) Her mahkûm açılan kutuların herhangi birinde kendi numarasını bulursa tüm
mahkûmlar hücre cezasından kurtulacak! Eğer sadece bir mahkûm bile kendi
numarasını bulamazsa mahkûmların tümü hücre cezalarını çekmeye devam edecekler.
7) İlk mahkûm odaya girmeden önce tüm mahkûmlar en iyi stratejiyi belirleyebilmek için
kendi aralarındaki tartışmalarına müsaade edilecek; ancak sonrasında mahkûmların
hiçbirinin kendi aralarında iletişim kurmalarına izin verilmeyecek.
Bu koşullarda sizce mahkûmlar için en iyi strateji ne olmalıdır?
Kolay yanıtlanabilecek bir soru değil.
Önce her mahkûmun kutuları rastgele açtığını varsayalım ve her mahkûmun kendine ait
numarayı bulma olasılığını hesaplayalım.
Her bir mahkûm 8 kutudan 4’ünü açacağı için bir mahkûmun kendi numarasının yazılı olduğu kartı bulma olasılığı 1/2 ’dir. 8 mahkûmun da kendi numarasının yazılı olduğu kartı bulma olasılığı ’nin 1/2’nin 8 kez çarpımdan elde edilir:
(1/2)^8=1/256≅0,0039.
Mahkûmlar kutuları rastgele açarlarsa tümünün cezadan kurtulma olasılığı çok çok düşük: on binde 39.
Belki inanmayacaksınız ama öyle bir strateji var ki mahkûmların cezadan kurtulma olasılığı
yüzde 38 çıkıyor!
Mahkûmlara cezaevi müdürü (!) tarafından önerilen bu mükemmel stratejiye göre her
mahkûmun hangi kutuyu açacağına önceden karar vermesine gerek yok; çünkü mahkûmlar açtıkları kutulardan elde ettikleri bilgilere göre daha sonra açacakları kutuları belirliyorlar.
Bütün mahkûmlar bu adımı attığı için aynı dağılım oluşuyor ve herhangi birinin başarısı
diğerinin başarısından bağımsız olmuyor.
Artık dilimizin altındaki baklayı çıkaralım. Akıl dolu bir strateji:
1) Her mahkûmun açacağı ilk kutu kendi numarasıyla etiketlenmiş kutu olmalıdır.
2) Eğer o kutuda mahkûmun kendi numarası varsa başarılıdır, başka bir kutuyu açmasına
gerek yok.
3) Eğer o kutuda mahkûmun kendi numarası yoksa sonraki adımda kutuda bulunan
numarayla etiketlenmiş olan kutuyu açmalıdır.
4) Her mahkûm kendi numarasını buluncaya kadar 2’inci ve 3’üncü adımları tekrarlar
veya açmış olduğu 4 kutuda kendi numarasını bulamazsa başarısız olur.
Bu stratejinin her mahkûmun kendi numarasını bulma olasılığını nasıl yükselttiğini örneklerle açıklayalım. Mahkûmların numaralarının kutulara aşağıdaki gibi yerleştirildiğini varsayalım.
Yukarıdaki dağılımın açıklaması aşağıdaki gibi:
1 numaralı mahkûm ilk olarak kendi numarasıyla etiketlenmiş olan 1 numaralı kutuyu açar ve 7 sayısının bulunduğu kartla karşılaşır, ardından 7 numaralı kutuyu açar 5 numaralı kartla karşılaşır ve son olarak 5 numaralı kutuyu açarak başarılı olur.
2 numaralı mahkûm önce 2’yi sonra 4 ve son olarak 8 numaralı kutuyu açarak başarılı olur.
3 numaralı mahkûm önce 3’ü ve sonra da 6 numaralı kutuyu açarak başaralı olur.
4 numaralı mahkûm önce 4’ü sonra 8’i ve son olarak 2 numaralı kutuyu açarak başarılı olur.
5 numaralı mahkûm önce 5’i sonra 1’i ve son olarak 7 numaralı kutuyu açarak başarılı olur.
6 numaralı mahkûm önce 6’yı ve sonra da 3 numaralı kutuyu açarak başaralı olur.
7 numaralı mahkûm önce 7’yi sonra 5’i ve son olarak 1 numaralı kutuyu açarak başarılı olur.
8 numaralı mahkûm önce 8’i sonra 2’yi ve son olarak 4 numaralı kutuyu açarak başarılı olur.
Bu durumda bütün mahkûmlar başarılıdır ve hücre cezasından kurtulurlar. Ama bu stratejiyle başarısız oldukları durumlar da vardır. Örneğin 5 ve 8 numaralı kutulardaki kartların yerlerinin değiştirilmesiyle oluşan tablodaki gibi:
Sadece 6 numaralı mahkûmun başarılı olup diğerlerinin başarısız olduğu durumlardan biri de aşağıdaki gibidir.
Şimdi bu sonuçları analiz etmeye çalışalım.
Yukarıda ilk tabloda verdiğimiz örnekteki dağılımı aşağıdaki gibi sembolize edebiliriz.
(175), (248), (36).
Bu gösterimlerin matematiksel adının permütasyon döngüsü olduğunu belirtelim.
(175), (248), (36) gösterimi iki tane 3, bir tane 2 uzunluğundaki permütasyon döngüsünden oluşuyor.
Son tablodaki permütasyon döngüleri 7 ve 1 uzunluğundaki (1374582) ve (6)’dır.
Kutular yukarıdaki stratejiye göre açılırsa her mahkûm için daima kendi numarasıyla biten bir döngünün oluştuğu kolayca görülür.
Bütün mahkûmların başarılı olması için oluşan döngülerin uzunluklarının en çok 4 olması gerekir, aksi halde bir döngünün uzunluğunun 4’den büyük olması mahkûmların 4’den daha fazla kutu açmaları anlamına gelir ki bu da mahkumların başarısız olması demektir.
Stratejinin başarı olasılığı
Bu olasılığı hesaplayabilmek için 4 ve 4’ten küçük uzunluğa sahip döngülerin oluşma
olasılığını bulmalıyız. Ama bu hesabı yaparken karşımıza çıkacak olan 1, 2, 3 ve 4
uzunluğundaki döngülerin çeşitli kombinasyonlarını bulmanın zorluğunu aşmak için 4’ten
büyük uzunluktaki döngülerin oluşma olasılığını bulup 1’den çıkaracağız.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayılarının bir sıradaki sıralanışlarının sayısının
8×7×6×5×4×3×2×1 = 8!
olduğunu biliyoruz.
Şimdi 4’ten büyük uzunluktaki döngülerin oluşma olasılığına bakalım.
5 uzunluğundaki döngü sayısını bulabilmek için önce 8 sayı içinden herhangi 5 sayıyı kaç
farklı şekilde seçebileceğimizi hesaplamalıyız. Bu sayıyı kombinasyonla bulacağız:
(8¦5)=8!/(3!×5!)
Seçtiğimiz 5 sayıdan oluşturulabilecek döngülerin sayısı 4!’dir, çünkü döngü sonunda her mahkûm kendi numarasını bulacağından bu 5 sayıdan biri sabit kalıp diğer 4’ü sıralanmalıdır. Dolayısıyla 5 uzunluğundaki döngü sayısı
8!/(3!×5!)×4!×3!=8!/5
olur. Yukarıdaki işlemlerde ortaya çıkan çarpanının seçilen 5 sayı dışında kalan 3 sayının sıralanış sayısı olduğunu belirtelim.
Şimdi artık 5 uzunluğundaki döngülerin oluşma olasılığını hesaplayabiliriz:
(8!/5)/8!=1/5
Benzer şekilde 6, 7 ve 8 uzunluğundaki döngülerin oluşma olasılığı da sırasıyla 1/6, 1/7 ve 1/8 olarak bulunur.
Böylece 5’ten küçük döngülerin oluşma olasılığını hesaplayabiliriz:
1-1/5-1/6-1/7-1/8≅0,37.
Cezaevi müdürünün önerdiği döngü izleme stratejisini kullanan mahkûmlar şaşırtıcı bir şekilde % 37 olasılıkla başarılı oluyorlar. Ki bu sayı kutuların rastgele açılmasına karşılık gelen on binde 39 sayısından çok çok büyük!
Bu problem ilk kez 2003’te 100 mahkûm versiyonuyla Danimarkalı bilgisayar bilimcisi Peter Bro Miltersen tarafından kurgulanmış(1). Miltersen’in matematiğin kombinatorik alanında yer alan permütasyon döngülerinden esinlenerek oluşturduğu bu problemle çıkılan zihinsel yolculuktaki sürprizler, akıl dolu hamlelerin zarafeti bize matematiksel düşünmenin estetiği hakkında da fikir veriyor.
Ayrıca şu soruyu soramadan yazıyı sonlandırmayalım: Döngü izleme stratejisi optimal midir, yani en iyi strateji midir? Bu sorunun cevabı olumlu: 2006’da Eugene Curtin ve Max Warshauer sundukları kanıtla en iyi stratejinin döngü izleme stratejisi olduğunu göstermişler.(1)
KAYNAKLAR
1) https://en.wikipedia.org/wiki/100_prisoners_problem#Literature
2) https://www.mast.queensu.ca/~peter/inprocess/prisoners.pdf
Teşekkür: Beni bu problemden haberdar eden Doğu Can Güncü’ye teşekkür ederim.
