Birçok film ve kitaba konu olan hapishaneden kaçış hikâyelerinde “yok artık bu kadarı da mümkün değil” diyeceğimiz zekice yapılan planların mükemmel uygulamalarına tanık oluruz.
Bu bulmacada da iki mahkûm zekice bir plan yaparlarsa kurtulabiliyorlar. Bulmaca meraklısı cezaevi müdürüne “zekâlarını” kanıtlamaları gerekiyor.
Cezaevi müdürü iki mahkûma bulmacayı şöyle anlatıyor.
İçinizden biri odama geleceksiniz. Bir kâğıda dört hücreli bir kare çizeceğim.
Her hücreye bir madeni para koyacağım. Madeni paraları hücrelere rastgele yerleştireceğim, yani bazı madeni paralar tura bazıları yazı olacak veya hepsi tura veya hepsi yazı olacak. Odamdaki arkadaşınızın paraların yerleştirme düzeniyle ilgili hiçbir fikri olmayacak.
Örneğin paraların hücrelere yerleştirme seçeneklerinden biri şöyle olabilir:
Tüm madeni paraları yerleştirdikten sonra hücrelerden birini parmağımla göstererek işaret edeceğim. Bu “sihirli hücre” özgürlüğünüzün anahtarı olacak.
Sonrasında, odamdaki arkadaşınızın herhangi bir madeni parayı çevirme hakkı olacak, ama sadece bir madeni parayı çevirebilir, yani eğer o paranın üst yüzünde yazı varsa tura, tura varsa yazı yüzünü çevirebilir. Bir parayı çevirmek zorunda; kare üzerinde yapabileceği tek değişiklik budur.
Daha sonra o arkadaşınız arkasında hiçbir mesaj bırakmadan odamdan çıkacak diğer arkadaşınız gelecek ama bu arada aranızda hiç bir şekilde bilgi alışverişinde bulunmanıza, iletişim kurmanıza izin vermeyeceğiz.
Odaya sonradan gelen arkadaşınız kareye bakacak ve hangi hücrenin sihirli hücre olduğuna karar verecek. Sadece bir şansı var, kareye bakıp “Bu” diyerek sihirli hücreyi gösterecek.
Doğru tahmin ederse ikiniz de anında tahliye edileceksiniz, yanlış tahmin ederse maalesef ömür boyu tutsak kalacaksınız!
Oyunun şartlarını öğrendiniz şimdi size bir strateji belirlemeniz için iki saat süre veriyorum. İki saat sonra içinizden birini odama bekliyorum.
Strateji nedir?
Cezaevi müdürünün ağzından aktardığımız bu bulmacada mahkûmları kurtaracak stratejiyi bulabilir misiniz?
İlk bakışta çözümsüz gibi görünen bir bulmaca; çünkü cezaevi müdürünün hangi hücreyi işaret edeceği hakkında hiçbir fikrimiz yok ve bu durumda mahkûmların kurtulma olasılığı 1/4 oluyor ki bu olasılık pek yüksek değil. Ama tabii ki odaya ilk giren mahkûmun herhangi bir hücredeki parayı çevirme hakkının olması gibi önemli bir bilgi var elimizde ve çözümü bu bilgi üzerinden yapmalıyız.
Evet! Mahkûmların kurtulmasını kesinlikle sağlayan bir strateji var. Meraklı okurun çözümü okumadan o stratejiyi keşfedeceğine inanıyorum.
Çözüm: Problemi önce dört hücreli bir kare üzerinde değil de iki hücreli bir dikdörtgen üzerinde düşünelim. Bu durumda cezaevi müdürü paraları dört farklı şekilde düzenleyebilir: YY, TT, TY, YT.
Buradaki stratejiyi bulmak çok kolay, çünkü mahkûmlar şöyle bir anlaşmaya varabilirler: Eğer cezaevi müdürü soldaki hücreyi işaret etmişse o hücredeki paranın üst yüzü tura olsun, soldaki hücredeki para tura değil yazı ise o zaman cezaevi müdürü sağdaki hücreyi işaret etmiş demektir.
Bu durumda odaya ilk giren mahkûmun yapacağı tek şey eğer soldaki hücre işaret edilmişse o hücreyi tura, eğer sağdaki hücre işaret edilmişse o hücreyi yazı yapmak.
Şimdi, bulmacanın dört hücreli çeşitlemesine bakalım. Çözümde aynı fikri kullanacağız. Yukarıdaki stratejide mahkûmlar soldaki hücreyi “gösterge hücresi” olarak belirlemişlerdi, bu kez “gösterge hücre” sayısı 3 olmalı; çünkü odaya sonradan gelen mahkûm bu 3 hücredeki düzenlemeyi bilebilirse işaret edilen hücreyi belirleyebilir. Örneğin, 1, 2 ve 3 numaralı hücreleri “gösterge hücresi” olarak belirlediklerini varsayalım.
1, 2 ve 3 numaralı hücreler için 8 olası düzenleme yapılabilir: TTT, YYY, TTY, YYT, TYT, YTY, YTT, TYY.
Son derece şaşırtıcı ve çok hoş bir stratejiyle mahkûmlar kurtuluyor!
Özgürlüğün yolunu açan anlaşma şu şekilde: Eğer 1, 2 ve 3 numaralı hücrelerdeki paraların üst yüzleri TTT veya YYY ise 1 numaralı hücre işaret edilmiş, eğer 1, 2 ve 3 numaralı hücredeki paraların üst yüzleri sırasıyla TTY veya YYT ise 2 numaralı hücre işaret edilmiş demektir. Aynı şekilde 1, 2 ve 3 numaralı hücredeki paraların üst yüzleri sırasıyla TYT veya YTY ise 3 numaralı hücre işaret edilmiş, eğer 1, 2 ve 3 numaralı hücrelerdeki paraların üst yüzleri YTT veya TYY ise 4 numaralı hücre işaret edilmiş demektir.
Şimdi, şu sorular sorulabilir: Bu düzenlemeler mahkûmların kurtuluşunu garanti ediyor mu? Odaya sonradan giren mahkûmun bu düzenlemelerin herhangi birini oluşturma olanağı var mı?
Bu soruların cevabı kesinlikle olumlu; çünkü herhangi bir düzenlemeden diğerine sadece bir parayı ters çevirerek geçmek mümkün olabiliyor. Örneğin cezaevi müdürü 2 numaralı hücreyi işaret etmişken ilk 3 hücredeki düzenlemenin TYT olduğunu varsayarsak bu düzenleme 3 numaralı hücreyi gösterecektir. Bu durumda ilk mahkûmun yapması gereken tek şey 1 numaralı hücredeki parayı ters çevirip 2 numaralı hücrenin işaret edildiğini gösteren YYT düzenlemesini oluşturmaktır.
Yukarıdaki düzenlemelere dikkatli bakılırsa herhangi bir hücreyi gösteren düzenlemeden herhangi bir hücreyi gösteren diğer düzenlemeye sadece bir parayı ters çevirerek geçildiği görülecektir.
Ayrıca şu soru sorulabilir: İlk mahkûm odaya girdiğinde doğru bir düzenlemeyle karşılaştığında ne yapmalı? Tabii ki cevap iki hücreli çeşitlemedeki gibi çok basit: “Gösterge hücreleri” olan 1, 2 ve 3 ile hiçbir ilgisi bulunmayan 4 numaralı hücredeki parayı çevirmelidir.
Bu stratejinin arkasındaki matematiğin ne olduğunu ve bir satranç tahtasında (64 hücreli) aynı bulmaca için benzer bir stratejinin keşfini gelecek sayıya bırakıyorum.
Geçen sayıdaki problemlerin çözümü
Kullanışlı sayı. Rakamlarının sayı değerleri toplamı 5’in katı olan pozitif tamsayılara “kullanışlı sayılar” diyelim. Öyle iki kullanışlı sayı bulunuz ki bu sayıların büyüğü ile küçüğü arasındaki fark en az olsun.
Çözüm: Bu sayılar arasındaki fark en az 1 olabilir, bu sonuca uygun sayılar: 49999 ve 50000.
Yalancının kartı. 1, 16, 256 ve 1024 sayılarıyla numaralandırılmış 4 kart masaya numaralar görülmeyecek şekilde koyulup 4 kişiye rastgele dağıtılıyor. Bu dört kişinin üçü daima doğruyu biri ise daima yanlışı söylüyor. Sonra her biri bir cümle söyleyerek aşağıdaki sözleri dile getiriyorlar.
- Benim numaram tek sayı.
- Benim numaram üç basamaklı bir sayı.
- Benim numaram 256’dan küçük.
- Benim numaram 256’dan büyük.
Yalancının kartındaki numara hangisi?
Çözüm: Yalancıda 1 numaralı kart olduğunu varsayalım. Bu durumda yalancının ifadesi “Benim numaram üç basamaklı bir sayı” veya “Benim numaram 256’dan büyük” olmalı, ama bu kez diğer üç kişi daima doğruyu söylediklerinden 16, 256 ve 1024 sayıları içinde tek sayı olmadığından “Benim numaram tek sayı” ifadesini doğruculardan hiçbiri söyleyemeyeceği için yalancıda 1 numaralı kart olamaz.
Yukarıdaki akıl yürütmeyi 256 ve 1024 numaralı kartlar için de yaptığımız takdirde bu kartların da yalancıda olamayacağını görürüz. Yalancıda 16 numaralı kart vardır ve konuşma şu şekilde geçmiştir.
Yalan söyleyende 16 var ve ifadesi şu: Benim numaram tek sayı.
Doğru söyleyende 1 var ve ifadesi şu: Benim numaram 256’dan küçük.
Doğru söyleyende 256 var ve ifadesi şu: Benim numaram üç basamaklı bir sayı.
Doğru söyleyende 1024 var ve ifadesi şu: Benim numaram 256’dan büyük.
10 basamaklı sayı. Rakamları farklı ABCDEFGHIJ 10 basamaklı sayısı için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
A 1’e tam bölünüyor, AB iki basamaklı sayısı 2’ye tam bölünüyor, ABC üç basamaklı sayısı 3’e tam bölünüyor, ABCD dört basamaklı sayısı 4’e tam bölünüyor, ABCDE beş basamaklı sayısı 5’e tam bölünüyor, ABCDEF altı basamaklı sayısı 6’ya tam bölünüyor, ABCDEFG yedi basamaklı sayısı 7’ye tam bölünüyor, ABCDEFGH sekiz basamaklı sayısı 8’e tam bölünüyor, ABCDEFGHI dokuz basamaklı sayısı 9’a tam bölünüyor, ABCDEFGHIJ 10
basamaklı sayısı 10’a tam bölünüyor.
ABCDEFGHIJ 10 basamaklı sayısı kaça eşittir?
Çözüm: 2020’de COVİD-19 hastalığına yakalanarak yaşamını yitiren John Horton Conway tarafından hazırlanmış olan bu problemin çözümünde 3, 4 ve 8 gibi bazı basit bölünebilme kurallarını bilmek gerekiyor. Bu kurallardan kısaca söz edelim: Bir sayının 3’e tam bölünebilmesi için rakamlarının sayı değerleri toplamı 3’e tam bölünmelidir. Bir sayının 4’e tam bölünebilmesi için son iki rakamından oluşan sayı 4’e bölünmelidir. Aynı şekilde bir sayının 8’e tam bölünmesi için son üç rakamından oluşan sayı 8’e tam bölünmelidir.
Bir sayı 10 ile tam bölünüyorsa son rakamı 0 ya da 5’tir, ama 5 olamaz çünkü ABCDE 5’le tam bölünüyor. Bu yüzden J = 0, E = 5.
Bir sayı çift bir sayıyla tam bölünüyorsa o sayının da çift olması gerekir, bu yüzden B, D, F, H rakamları 2, 4, 6 ve 8 rakamlarıyla eşlenmeli. Dolayısıyla A, C, G, İ rakamları da 1, 3, 7 ve 9 ile eşlenmeli. ABCD sayısı 4’le bölündüğünden CD sayısı 4’e bölünür. Dolayısıyla CD sayısı 12, 16, 32, 36, 72, 76, 92 ve 96 sayılarından biri olmalı, yani D, 2 ya da 6 olabilir.
ABC ve ABCDEF sayıları 3’e bölünebildikleri için farkları da 3’e bölünür. O halde A+B+C+D+E+F–A–B–C = D+E+F toplamı da 3’e bölünür.
D’nin 2 ya da 6’ya eşit ve E = 5 olduğunu biliyoruz. D = 2 ise D+E+F toplamı 3’e tam bölündüğünden F = 8 olmalıdır. D = 6 ise D+E+F toplamı 3’e tam bölündüğünden F = 4 olmalıdır. Böylece DEF, ya 258 ya da 654 olmalıdır.
DEF = 258 ise F çift, G tek olduğundan 8’le bölünebilme kuralını kullanırsak GH’nin 16 veya 96 olabileceğini buluruz. Öte yandan G+H+İ toplamı 3’ün katı olduğundan GHİ = 963 olmalıdır. Bu yüzden B = 4 olmalı, ayrıca geriye kalan tek rakamlar sadece 1 ve 7 olduğundan A ve C rakamları da 1 ve 7’yle eşlenmeli, yani ilk 7 basamaklı sayı 1472589 veya 7412589 olmalıdır, ama bu sayıların ikisi de 7’yle bölünemez, yani DEF 258’e eşit
olamaz. O halde DEF sayısı 654’e eşittir.
DEF = 654 ise B = 8, GH 32 veya 72 olmalı. GHİ için olası değerler 321, 327, 723 veya 729’dur. Bu seçenekler için A ve C rakamları 5 dışındaki tek sayılar olan 1, 3, 7, 9’dan herhangi ikisiyle eşleşmelidir. Bu durum bize 7’ye bölünürlüğü kontrol edebilmemiz için olası sekiz sayı verir: 7896543, 9876543, 1896543, 1896547, 9816543, 9816547, 1836547 ve 3816547. Bu sayılardan sadece sonuncusu 7’ye bölünebilir.
O halde nihayet bulduk! 3816547290.
Dört parçaya ayrılan kare. Aşağıdaki dört seçeneğin tümünde kare şeklindeki bir kâğıdı dört parçaya ayırmanız isteniyor ama her bir parça aynı şekle sahip olmalı. Örneğin dört parçanın tümü üçgen veya tümü dörtgen olmalı. Ayrıca her seçenekte eş parça sayısı değişiyor.
a) Parçaların dördü de eş olmalı.
b) Parçaların sadece üçü eş olmalı.
c) Parçaların ikisi eş ve diğer ikisi de eş ama ilk ikisinden farklı olmalı.
d) Parçaların sadece ikisi eş olmalı.
Çözüm: a, b, c ve d şıklarının cevapları sırasıyla soldan sağa aşağıdaki gibi olmalı.
100 oyunu. İki oyuncuyla oynanan bir oyun. Sıfır sayısıyla başlanıyor. İlk oyuncu sıfıra 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından herhangi birini ekliyor ve sonra diğer oyuncu aynı rakamlardan herhangi birini mevcut sayıya ekliyor ve oyun, oyuncuların dönüşümlü olarak aynı rakamlardan herhangi birini eklemesiyle devam ediyor. 100 sayısına ulaşan oyuncu kazanıyor. Bu oyundaki kazanma stratejisi nedir?
Çözüm: Bu oyunda birinci oyuncunun kazanma stratejisi var. Eğer birinci oyuncu 2 sayısıyla başlar ve sonrasında 7’ye bölündüğünde 2 kalanını veren sayıları söylerse oyunu kazanır; çünkü bu şekilde en son 93 sayısını söyleyecektir ve rakibinin 100 sayısını söylemesini engelleyecektir. Meraklı okur birinci oyuncunun daima 7’ye bölündüğünde 2 kalanını veren sayıları söyleyebileceğini kolayca kanıtlayabilir.
Adil paylaşım. A, B ve C gibi üç kişi 40’ar lira vererek 120 liraya bir pasta alırlar. A pastayı üçe bölerek her bir parçanın aynı ağırlıkta olduğunu iddia eder. A’ya güvenmeyen B, pasta parçalarını yeniden tartar ve bu parçaların 30, 40 ve 50 lira değerinde olduğunu söyler. C her ikisine de güvenmez pasta parçalarını kendi terazisinde tartar ve B’den farklı bir sonuç elde eder.
Eğer üçü de tartımlarının doğru olduğunda ısrar ederlerse parçaları yeniden kesmeden nasıl paylaşmalılar ki her biri en az 40 liralık pasta aldığına ikna olsun?
Çözüm: C parçalardan en az birinin 40 lira olduğuna inanmak zorunda, çünkü aksi takdirde bu üç parçanın toplamı 120 lira olmazdı. B kalan iki parçanın 40 veya 50 lira olduğunu düşünerek bir parçayı alır. A da kalan son parçayı 40 lira değerinde olduğunu düşünerek alır.
Ek puan alma yöntemi. Bir öğretmen sınıfına aşağıdaki duyuruyu yapıyor. Son ödev notunuza 3 veya 9 puan ekleyeceğim. Notunuza 3 ya da 9 puandan hangisinin eklenmesini istiyorsanız bir kâğıda yazıp kâğıdı bana getirmenizi istiyorum. Hiç biriniz kimin hangi tercihte bulunduğunu bilemeyecek. Ancak küçük (!) bir kural daha var: Eğer sınıfın % 10’nundan fazlası 9 puan eklenmesini tercih ederse hiçbiriniz puan alamaz! Bu sınıftaki öğrencilerden biri olduğunuzu varsayalım. Tercihiniz ne olurdu, bu oyunun analizini nasıl yaparsınız? Elbette sınıf arkadaşlarınızın seçimini düşünerek karar vermeniz gerekiyor ve bireysel açgözlülük, ortak yıkım gibi kavramlarla ilişkili öznel bir
soru ama içinde matematiksel düşünmeyi de barındırıyor.
Çözüm: Bir öğrencinin vereceği kararın diğer öğrencilerin kararlarına bağlı olduğu bir problem. Can alıcı ayrıntı kaç öğrencinin 9’u seçtiğidir. % 10’dan fazla öğrenci 9’u seçerse hiçbir öğrenci puan alamıyor. O halde eğer siz sınıf arkadaşlarınız içinde % 10’dan az kişinin 9’u seçtiğinden emin olabiliyorsanız 9’u seçer ve kazanırsınız. Bireysel açgözlülük gibi “ahlaki” boyutları da olan bu problemi ele almamın nedeni matematiğin sosyoloji, psikoloji gibi disiplinlerle olan ilişkisine dikkat çekmek içindi. Ayrıca hiçbir öğrenci doğru karar veremeyeceği için bu sonucun Nash dengesine karşılık geldiği söylenebilir.
