Yıllar önce okuduğum bir gazete haberiydi. ABD’deki Massachusetts Institute of Technology’de (MIT) öğrenim gören dört genç ve başlarında aynı üniversiteden bir profesör aylarca çalışarak “21” olarak da bilinen “blackjack” oyununun kazanma stratejisini geliştirirler. Sonrasında kendilerini kanıtlamak için sınav dönemleri dışında neredeyse her hafta sonu Boston’dan Las Vegas’a kumar seyahatlerine çıkarlar. Boston sınırları içindeyken MIT’nin mühendislik bölümünün öğrencisidirler, Las Vegas’ta ise anlı şanlı birer kumarbaz… Kumarhanelerin oyun sistemini alt üst ederek yüzbinlerce dolar kazanırlar, ta ki tanınana ve kâğıt saydıkları anlaşılana dek. Bu olaydan esinlenen, adı “21” olan güzel bir film vardır.
Yazının başlığını düzeltelim: Kumarhanede kazanılmaz! Nedeni çok basit elbette: Kumarhaneci kaybedeceği oyunu kumarhaneye koymaz. Belki yukarıdaki hikâyede olduğu gibi kâğıt saymayı başarabilen sıradışı bazı beyinler “kısa vadede” kazanabilir, ama sonrası kesinlikle hüsran… “21” gibi kazanma stratejisi oldukça karmaşık hesaplara dayanan bir oyunda başarılı olsanız bile kumarhane yöneticilerinin koyduğu kurallar yüzünden bu başarı sürekli olamaz.
Bu yazıda kumarhanede kazanılamayacağının matematiksel açıklamasını yapmaya çalışacağız.
Kumarhanelerde oynanan bütün oyunların oyuncu için matematiksel beklentisi negatiftir. Matematiksel beklenti bir oyunda bir oyuncunun ortalama ne kadar kazanacağını ya da kaybedeceğini gösteren bir sayıdır. Bir tür test cihazı gibi, eğer matematiksel beklentiyi gösteren sayı negatifse o oyunu “uzun vadede” kaybedeceksiniz demektir. Kumarhanelerin tümünde matematiksel beklenti sayısı oyuncu için pozitif değildir.
Matematiksel beklenti sayısını hesaplamak oldukça basittir. Bu hesabı yapabileceğimiz bir oyunu ele alalım. Bu oyunu kumarhaneye karşı oynamak akıllıca bir iş midir?
1) İki zarla oynanan bir oyun.
2) Zarlar birlikte atıldığında üst yüze gelebilecek sayıların toplamından elde edilecek sayılar arasında 7 dışındakileri aşağıdaki gibi iki kümeye ayırıyoruz.
A= {2,3,4,5,6}, B={8,9,10,11,12}
3) Kumarhaneye karşı oynayan oyuncu bu kümelerden birini seçiyor ve attığı zar toplamı seçimine uygun kümenin bir elemanıysa ortaya koyduğu paranın % 25 fazlasını geri alıyor.
4) Zarların toplamı seçimine uygun kümenin elemanı değilse veya toplam 7 ise oyuncu kaybediyor.
Oyuncunun her elde ortaya 10 lira koyduğunu varsayarsak böyle bir oyunu kumarhaneye karşı oynamak ister misiniz?
Sezgilerimiz oyuncunun kaybedeceğini söylüyor, ama bir de matematiksel beklenti hesabına başvuralım.
Matematiksel beklenti, kaybedilecek para miktarının kaybetme olasılığının çarpımıyla, kazanılacak para miktarının kazanma olasılığıyla çarpımının toplamıdır.
Bir çift zar atıldığında mümkün haller sayısının 36 olduğunu biliyoruz; üste gelen sayıların toplamının 2 olduğu bir tek durum var, o da (1, 1). Üste gelen sayıların toplamının 3 olduğu (1, 2) ve (2, 1) iki sonuç var. Aşağıdaki listede ilk sayı toplamın kaç olduğunu, parantez içindeki sayı ise 36 durum arasında bu toplamı veren kaç ikili olduğunu gösteriyor. Örneğin toplamı 3 olan iki ikili olduğunu 3(2) ile gösteriyoruz.
2(1), 3(2), 4(3), 5(4), 6(5), 7(6), 8(5), 9(4), 10(3), 11(2), 12(1).
Böylece ilk oyunda kumarhane 36 atışın 21’inde, oyuncu 36 atışın 15’inde kazanır. Her atış için ortaya 10 lira koyulduğuna göre beklenti sayısı aşağıdaki gibi hesaplanır.
(10+10×1/4)15/36 – 10×21/36=-5/8
Beklenti sayısı negatif çıktı, yani oyuncu ortaya 10 lira koymuşsa atış başına 5/8 lira (62,5 kuruş) kaybediyor. Bu oyun oynanmaz!
Bu oyunu oynar mısınız?
Bu kez, gelen tepkiler üzerine kumarhane yöneticileri yukarıda ele aldığımız oyunun kurallarında oyuncu lehine bazı iyileştirmeler yapıyorlar. Yeni ek kurallar şöyle:
1) Oyuncunun “zayıf” ve “güçlü” gibi iki konumu var, oyuna zayıf konumda başlıyor. Eğer yaptığı seçime uygun zar atarsa, yani A kümesini seçer ve zarların toplamını veren sayı bu kümenin elemanı olursa kazanıyor ve “güçlü atıcı” durumuna geçiyor; aksi halde “zayıf” konumda kalıyor.
2) Oyuncu “zayıf atıcı” iken zarların toplamı 7 gelirse kaybediyor, eğer “güçlü atıcı” konumundayken toplam 7 gelmişse ne kendisi ne de kumarhane kaybetmiş oluyor, bir sonraki el için güçlü atıcı olarak kalıyor.
3) Güçlü atıcıyken o eli kaybederse, yani A dediği halde B kümesinden bir toplamın gelmesi ya da bunun tersi olması durumunda tekrar zayıf atıcı konumuna geçiyor.
4) Oyuncu zayıf atıcıyken istediği kadar yüksek oynayabiliyor, ama güçlü atıcıyken zayıf atıcı olduğu durumdayken oynadığı en düşük miktardan daha yükseğini oynayamıyor.
5) Zayıf atıcı olarak oynayan kişi kazandığı zaman ortaya koyduğu her 10 lira için 10,5 lira alıyor. Güçlü atıcıyken kazandığı takdirde her 10 dolar için 12,5 lira alıyor.
Analizi daha zor bir oyun. Acaba kumarhaneye karşı oynayan oyuncunun beklenti sayısı pozitif mi? Hesaplayalım.
Oyuncunun zayıf ya da güçlü olarak iki konumda bulunabileceğini ve başlangıçta zayıf konumda olduğunu biliyoruz. İlk elde zayıf durumda kalma olasılığı 21/36, kazanma ve güçlü duruma geçme olasılığı 15/36’dır. Oyuncunun güçlü duruma geçtikten sonraki ilk elde konumunu koruma olasılığı 15/36, kaybetme ve dolayısıyla zayıf duruma geçme olasılığı 6/36’dır.
Güçlü durumdaki oyuncunun zayıf konuma geçme olasılığı 1/2’dir, çünkü güçlüyken 7 atıldığında durum değişmiyor. Ayrıca A ve B kümesinin eleman sayıları eşit olduğundan güçlüden zayıfa, güçlüden güçlüye geçiş olasılıkları eşit ve 1/2.
Oyuncunun zayıf durumda olması olasılığını P(z), güçlü durumda olması olasılığını da P(g) ile gösterelim.
P(z)+ P(g)= 1 (I)
olduğunu biliyoruz. Oyuncunun zayıf durumda olması olasılığını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
P(z)=21/36x P(z)+ P(g)x1/2 (II)
Bu denklemin ilk bölümünde zayıf durumda olan bir oyuncunun zayıf durumda kalma olasılığıyla P(z) çarpılıyor, ikinci bölümündeyse P(g) ile güçlüden zayıfa geçme olasılığı olan 1/2 çarpılıyor.
(I) ve (II) denklemleri birlikte çözülürse, P(z)=6/11, P(g)=5/11
bulunur.
Şimdi, zayıf ve güçlü durumda olma durumlarının (ki her oyuncu başlangıçta zayıf durumda) sırasıyla beklenti sayılarını hesaplayalım:
B(z)=15/36×10,5-21/36×10=-145,8
B(g)=1/2×12,5-1/2×10=125
Şimdi de oyunun beklenti sayısını hesaplayalım:
B(z)xP(z)+B(g)xP(g)=23
Oyunun beklenti sayısı pozitif çıktığından bu oyunu oynamak oyuncu için kazançlı olabilir, ama bu bizim kumarhanemizdeki (!) bir oyun. Hiçbir kumarhanede oyunun beklenti sayısı pozitif değildir. Bu yüzden bir kez daha yineliyoruz: Kumarhanede kazanamazsınız!
Analizi daha zor bir oyun
Oyuncu yazı ya da turadan birini seçtiğini açıklar ve parayı dokuz kez atar. Diyelim ki oyuncu yazıyı seçti. Oyun boyunca, yani her atış sonrası yazıların sayısı turaların sayısından daha fazlaysa oyuncu kazanır. Dokuz atışta yazıların sayısı turalardan fazlaysa kumarhane oyuncuya ortaya koyduğu her 10 lira için 60 lira ödüyor. Bu oyunun beklenti sayısı pozitif midir? Bu sorunun yanıtını gelecek sayıya bırakıyoruz.
Not: Yukarıda “Analizi daha zor bir oyun” başlıklı bölümde sorduğumuz “Bu oyunun beklenti sayısı pozitif midir?” sorusunu oyunun analizini yaparak 15.09.2016 tarihine kadar a_torun60@hotmail adresine gönderen ilk iki okurumuza Matematiğin (M)izahı isimli kitabımı memnuniyetle hediye edeceğim.
