Ana sayfa 159. Sayı Çetin ceviz bir problem: Asal ikizler

Çetin ceviz bir problem: Asal ikizler

Matematik Sohbetleri

211
PAYLAŞ

Ali Törün

Matematikte antik çağdan kalma çözülememiş bir problemdir asal ikizler hipotezi. Bir ortaokul öğrencisinin anlayabileceği basitlikteki bu önermeyi ya da olumsuzunu şimdiye kadar hiç kimse kanıtlayamadı. Asallar arasına gizlenmiş mucizevî birçok problemden en eskisi olan asal ikizler hipotezini şöyle açıklayabiliriz: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif tamsayılara asal sayı denildiğini biliyoruz. 1, teknik nedenlerden dolayı asal sayı kabul edilmez.

Yüzyıllardır matematikçileri uğraştıran hipotezi ifade etmeden önce ilk 16 asal sayıya göz atalım:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53.

Yukarıda bazı ardışık asalları koyu siyahla belirtmemizin nedeni aralarındaki farkın  olması. Şimdi, bu sayıları birer çift olarak yazalım:

(3- 5),(5-7),(11- 13),(17-19),(29-31),(41-43).

Aralarında 2 fark olan bu asal çiftlerin her birine asal ikizler denir. Yukarıda da görüldüğü gibi ilk asal sayı arasında  asal ikiz var. İlk  asal sayı arasında  asal ikizin olduğunu biliyoruz, hatta  ’den küçük asal sayılar arasında 808.675.888.557.436 kadar asal ikizin olduğu bilgisayarla hesaplanmış durumda. Asal ikiz hipotezi, sonsuz sayıda asal ikiz olduğunu iddia eder.

Yüzyıllardır yanıtlanamayan soru: Asal ikizler sonsuz sayıda mıdır?

Sonsuz sayıda asal sayı olduğunun kanıtı ilk olarak, yaklaşık 2300 yıl önce matematik dünyasının en güzellerinden biri olarak kabul edilen, çok yalın ve çok şık bir şekilde Öklid tarafından yapılmıştır. Ama yukarıdaki sorunun yanıtı henüz verilememiştir. Sezgilerimiz bize sonsuz sayıda asal ikiz olduğunu söyleyebilir, fakat matematikçiler için böylesi bir inancın hiçbir değeri yoktur, çünkü matematikçiler inanmaz, kanıtlar! Matematikte ikna değil, kanıt vardır.

Bilgisayarla 2016’da yapılan hesaplamalarda 808.675.888.557.436 basamaklı en büyük iki asaldan oluşan asal ikizin

olduğunu biliyoruz ve bundan sonra daha büyük asal ikizler bulunabilir, fakat sonrası için, yani sonsuz sayıda asal ikiz için bilgisayarlar bize hiçbir şey söyleyemez.

Ceviz kırılabilecek mi?

Matematiğin prensi olarak görülen Carl Friedrich Gauss, sayılar teorisini “matematiğin kraliçesi” olarak kabul eder. Gauss gibi birçok matematikçi onca hayal kırıklığına karşın sayılar kuramının esrarengiz dehlizlerinde dolaşmaktan kendilerini alamamışlardır. Asal ikizler hipotezi de yüzyıllar boyunca binlerce sayı kuramcısını uğraştırmış, ama kimse bu çetin cevizi kırmayı başaramamıştır.

Ünlü Alman matematikçi Edmund Landau, 1912’de Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde verdiği konferansta asal ikizler hipotezi konusunda kayda değer bir gelişmenin olmadığını ve belki de yakın gelecekte de olamayacağını belirtmiştir.

Matematikçiler, yaklaşık yüzyıldır problemin çözümünde çok önemli bir aşama olarak kabul edilen bir “altlimit” hesabıyla uğraşmıştır. Bu hesabı popüler bir matematik yazısında açıklamanın zorluğu yüzünden bu “altlimit” sonucunu ∆ ile gösterirsek, matematikçiler ∆=0 sonucuna ulaşmaya çalışmışlardır. 1940’ta Paul Erdös ∆<1, 1954’te Ricci ∆<15/16, 1986’da Maier ∆<0,2484…, 2004’te Goldston ve Yıldırım ∆<0,085786… ve sonunda Goldston, Pintz ve Yıldırım ∆=0 olduğunu göstermiştir. Matematik dünyasında Goldston, Pintz ve Yıldırım’ın (GPY) çalışmaları asal ikizler hipotezinin kanıtlanması yolunda bir kilometre taşı olarak kabul ediliyor. GPY, bu başarısıyla matematikte en prestijli ödüllerden biri olan ve daha önce Erdös, Langlands, Wiles gibi birçok ünlü matematikçiye verilen Cole Ödülü’nün sahibi olmuştur.

Yukarıdaki tarihlere dikkat edilirse ∆<1’in kanıtından ∆=0 kanıtına kadar 60 yıldan fazla bir zaman geçmiştir. Bu süre, matematiksel araştırmanın ne denli meşakkatli ve yoğun çabalar sonunda adeta bir bayrak yarışı gibi ortaya çıktığının çok çarpıcı bir örneği olsa gerek. Matematiksel araştırma, öyle bir anda gelen esin perisiyle ortaya çıkmıyor!

Goldston ve Yıldırım isimlerine dikkatinizi çekmek isterim. Her ikisinin de asal ikizler hipoteziyle çeyrek asırdan fazla bir süredir uğraştıklarını biliyoruz. Halen Boğaziçi Üniversitesi’nde öğretim üyesi olan Cem Yalçın Yıldırım, verdiği bir röportajda asal ikizler problemiyle lise yıllarında tanıştığını ve doktora sonrası bu problemle daha yoğun uğraştığını belirtiyor. Bir matematikçi için çeyrek asır boyunca azimle yaptığı çalışmaların ilk meyvesini almış olması büyük bir mutluluk olsa gerek!

2013’te matematik dünyasını adeta şok eden ilginç bir gelişme yaşanır. Çin asıllı Amerikalı matematikçi Y. Zhang, ikiz asalları değil ama aralarındaki fark 70 milyon olan asal çiftlerin sonsuz sayıda olduğunu kanıtlar. Bu sonucun asıl çarpıcı yanı Zhang’ın yıllarca iş bulamayan, motel, lokanta gibi yerlerde çalışmak zorunda kalmış bir matematikçi olmasıdır. Matematik çevrelerinden uzak, araştırmalarını izole bir şekilde sürdüren Zhang’ın böylesi önemli bir makaleye imza atmış olması matematikçiler arasında şaşkınlık yaratmıştır.

GPY’nin elde ettiği başarı ve Zhang’ın ulaştığı sonuçla oluşan heyecan sonrası, tanınmış matematikçi Terence Tao’nun girişimiyle 70 milyon sayısını küçülterek, mümkünse farkın 2 olduğu asal çiftlerin, yani asal ikizlerin sonsuz sayıda olduğunu kanıtlamak amacıyla birçok matematikçinin katıldığı bir imece projesi başlatılmıştır. Matematikçilerin işbirliğine ve bilgi paylaşımına açık, internet üzerinden yürütülen bu çalışmalar sayesinde fark, bilgisayar yardımıyla önce 4680’e düşürülmüş ve sonrasında genç matematikçi James Maynard, Goldston ve Yıldırım’ın 2000’lerin başında yayımladıkları ve hatalı olduğu anlaşılan makalesinden yararlanarak farkı 600’e indirmiştir. Son olarak imece projesiyle farkın 252’ye düştüğünü ve farklı hipotezler yardımıyla farkın 12’ye kadar indiğini biliyoruz.

Bütün bu gelişmeler asal ikizler probleminin beyaz bayrak sallayacağı günün çok da uzak olmadığını gösteriyor, fakat belki de çözüme birkaç yüzyıl sonra ulaşılacak. Ne var ki hiç önemli değil, çünkü en büyük zafer, matematikçilerin saygıdeğer çabalarının insanın insansallaşmasına yaptığı olağanüstü katkıdır!

Kaynaklar

– Terzioğlu, T, İkiz Asallar Sanısı ve Cole Ödülü, Matematik Dünyası, Sayı 98, 2014.
– Wikipedia
– Say, C, Bu yazıyla matematiği seveceksiniz, Odatv.com.