Size uzatılan bir kâğıt parçası üzerinde şöyle yazıyor: “Bu kâğıdın arka yüzündeki önerme yanlıştır”. Kâğıdı çevirdiğinizde bu kez, “Bu kâğıdın arka yüzündeki önerme doğrudur” cümlesiyle karşılaşıyorsunuz. Kâğıdı uzatan kişiye kızarak veya tebessümle bakıp düşünmeye başladığınız an bu basit oyundaki çelişkinin hemen farkına varırısınız elbette. Çünkü ilk okuduğunuz cümle doğru ise sonradan okuduğunuz cümleye göre ilk okuduğunuz yanlış, eğer ilk okuduğunuz cümle yanlış ise sonradan okuduğunuz cümleye göre ilk okuduğunuz doğru. Sonuçta ilk okunan cümle doğru ise yanlış, yanlış ise doğru oluyor!
İngiliz matematikçi ve düşünür Bertrand Russell (1872-1970) otobiyografisinde yukarıdaki örneği vererek paradokslara takılıp kalmanın yetişkin bir kimse için zaman kaybı olduğunu düşündüğü sıralarda kendisinin keşfettiği bir paradoksla aylarca uğraştığından söz eder. İşte bu paradoks, formel mantığı altüst ederek, matematiğin derin bir krize sürüklenmesine, temellerinin değişmesine neden olur ve sonrasında Russell Paradoksu adını alır.
Paradokslar krizini anlatmaya Russell paradoksunun popüler bir örneği olan Berber paradoksuyla başlayalım. Bu paradoks da Russell tarafından ifade edilmiştir.
Berber Paradoksu. Köyün birinde bir berber varmış. Bu berberin dükkânının önünde asılı olan levhada şu söz yazıyormuş: “Bu köyde kendini tıraş etmeyen herkesi ben tıraş ederim, kendini tıraş edenlerin hiçbirisini tıraş etmem”. Gayet akla yatkın ve çok masum bir ifade, öyle değil mi? Elbette, kendi kendini tıraş edenler berbere gitmeyecek ve doğal olarak diğerlerinin tamamı da berbere tıraş olacaklar. Ama dikkatle bakılırsa şu sorular ortaya bir paradoks çıkarıyor: Berberi kim tıraş edecek? Bu berber ‘kendini tıraş edenler’ grubunda mı, yoksa ‘kendini tıraş etmeyenler’den mi? Eğer berber kendini tıraş ediyorsa, o zaman astığı levhaya göre berberin ‘kendini tıraş etmeyenler’ grubunda olduğunu düşünmemiz gerekir. Oysaki başlangıçta kendini tıraş ettiğini varsaymıştık! Eğer kendini tıraş etmiyorsa yine astığı o levhaya göre kendini tıraş etmesi gerekir. Bu sefer de kendini tıraş etmediğini varsaymıştık! O halde şu çelişkili cümleyi kurabiliriz: Berber kendi kendini tıraş eder ama aynı zamanda kendi kendini tıraş etmez! Bazı mantık oyunları dışında bu paradoksu çözmenin tek yolu “böyle bir berber olamaz” sonucuna varmaktır.
Berber paradoksunun bir benzeri de Yalancının Paradoksudur. Antik Yunan’da ortaya atıldığı bilinen ve bazı filozoflar tarafından Epimenides paradoksu olarak anılan bu paradoks “Ben size yalan söylüyorum” cümlesiyle ifade edilir. Eğer yalan söylüyorsa o zaman aslında gerçeği söylüyordur, eğer gerçeği söylüyorsa yalan söylüyordur! Böylesi ifadelerde bir şey kendisinden bahsediyorsa ortaya paradoks çıkıyor. Tıpkı Kataloglar Paradoksunda olduğu gibi.
Kataloglar Paradoksu. Bilindiği gibi yayınevleri yayımladıkları kitapların tanıtımının yapıldığı kataloglar yayımlarlar. Ayrıca bazı yayınevleri de katalogların tanıtımının yapıldığı kataloglar düzenlerler, yani katalogların katalogu. Bazı kataloglar kendilerine referans verir, yani kendi adını katalogun içine alır, bazılarıysa kendi adını içermez. Kendisine referans vermeyen (kendi adını içermeyen) tüm katalogların eksiksiz listesinin yer aldığı bir katalog yapıldığını düşünelim ve şu soruyu soralım: Bu katalogun içinde kendi adı olmalı mı? Kendi adı olursa, içinde kendine referans vermeyen katalogların listesi olduğundan kendi adı olamaz. Kendi adı olmazsa, yine katalogun türünden (kendine referans vermeyen kataloglar katalogu) dolayı kendi adının olması gerekir. Ki bir paradoksla karşılaşırız. Bu paradoksu da öncekinde olduğu gibi “olursa olmaz, olmazsa olur” sözcükleriyle özetleyebiliriz.
Mektuptaki paradoks ve trajedi…
Yıl 1902. Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russell’dan bir mektup alır. Russell henüz 30 yaşında bir matematikçidir, sonrasında iflah olmaz bir savaş karşıtı ve 20. yüzyılın büyük düşünürlerinden biri olacaktır. Frege, 54 yaşında muhteşem bir mantıkçıdır, orijinal bir mantık dili geliştirerek Aritmetiğin Temelleri adlı başyapıtıyla matematiğin temellerini derinlemesine irdelemiştir. Aritmetiğin Temelleri’nin ikinci cildini tamamlamış, baskı için matbaaya göndermiştir. Russell’dan gelen mektup Frege’ye kitabı baskıdayken ulaşmıştır. Russell mektubunda Aritmetiğin Temelleri’nin ilk cildinden övgüyle söz eder, ama aynı kitapta yer alan bir temel kuralın tutarsızlığını gösteren bir paradoksu açıklar. Frege, Russell’ın ne demek istediğini hemen anlar, mektubu okuyup bitirdiğinde şaşkın ve üzüntülüdür, çünkü emek emek ortaya çıkan, hayatını adadığı kuram bir anda çökmüştür. İlk iş olarak ikinci cildin baskısının durdurulması için matbaaya gider, matbaacı baskının iptal edilmesi isteğini “Kendi emeğine acımıyorsun, hiç olmazsa benimkine acı” diyerek reddeder. Sonunda Aritmetiğin Temelleri’nin ikinci cildi yayımlanır, ama bir ekle:
“Bir bilim insanının başına gelebilecek en talihsiz şey, çalışması bittikten sonra kurduğu yapının temellerinin sarsılmasıdır. Kitabımın ikinci cildi baskıdayken Sayın Bertnard Russell’dan aldığım mektupla ben de bu duruma düştüm.
Sayın Russell’ın paradoksunun gösterdiği gibi, koyduğum temel kuralın çökmesiyle benim aritmetiğim değil, bu anlamda her türlü aritmetiğin de olası temelleri sarsılmıştır”.
Aslında, Frege’nin inşasını yaptığı sistem son derece etkileyici ve üstün bir dehanın ürünü olarak kabul edilir. Aritmetiğin mantığa indirgenmesi çabası başarısız olsa da geliştirdiği yaklaşımın dilbilim ve felsefe alanında derin izler bıraktığı bilinmektedir.
Frege, aksiyom sistemindeki bu açığı gidermek için çok uğraşacak, başaralı olamayacaktır. Ama önce, yaşadığı hayal kırıklığını bir yana bırakarak, Russell’ın mektubunu altı gün sonra şu satırlarla yanıtlar:
“Sevgili Meslektaş, 16 Haziran tarihli ilginç mektubunuz için çok teşekkür ederim. Benimle çoğu konuda aynı düşüncede olmanıza ve çalışmamı ayrıntılarıyla tartışmak istediğinize sevindim. […] Bulduğunuz çelişki beni çok büyük şaşkınlığa (belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur) uğrattı, çünkü aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı. Durum öylesine ciddi ki, 5. kuralın yanlışlığı, salt öne sürdüğüm temeli sarsmakla kalmıyor, galiba aynı zamanda aritmetiğin sağlam bir temele dayandırılamayacağını da gösteriyor. […] Her durumda buluşunuz çok önemli (şimdilik bir müjde niteliği taşımasa da ) ve ileride mantıkta büyük ilerlemelere neden olabilir. […] Aritmetiğin Temelleri’nin ikinci cildi yakında çıkacak. Kitabın sonuna bulduğunuz çelişkiden söz eden bir ek yazacağım elbet. Keşke doğru bakış açısına sahip olsaydım. Saygılarımla, G. Frege” (Kaynak 1)
Russell, sonrasında Frege’nin bu tutumunu şu sözlerle anlatır: “Hayatımda tanık olduğum en büyük entelektüel dürüstlük göstergesi, Gottlob Frege’nin bulduğum paradoks karşısındaki tutumuydu. Bu neredeyse insanüstü bir davranış örneği; insanlar egemenlik kurma ve tanınma yolunda sığ çabalar harcamak yerine kendilerini yaratıcı yapıtlara ve bilgiye adarlarsa, insanın nelere kadir olabileceğinin dokunaklı bir göstergesiydi. Gerçeği her şeyin üstünde tutmak kadar büyük bir entelektüel dürüstlük olamaz.”
Russell’ın öne sürdüğü paradoks sadece Frege üzerinde değil matematik dünyasında da sarsıcı bir etki uyandırmıştır. 19. yüzyılın sonuna dek basitçe nesneler topluluğu olarak bilinen küme kavramı sorgulanmaya başlanmış, matematikte çelişki olur mu sorusu ortaya atılmıştır.
Bir paradoksun bu denli yıkıcı olmasına şaşırmamak gerekir, çünkü Antik Yunan’dan bu yana var olan; Zenon, Aritoteles gibi filozofların ortaya attığı birçok paradoks, matematik, felsefe ve bilim dünyasında çığır açıcı sonuçlar doğurmuştur. Russell Paradoksu da tam da böyle bir etki yaratmıştır.
Russell Paradoksu. Küme kavramını orta öğretim matematiğinden öğrendiklerimizle sezgisel olarak nesneler veya öğeler topluluğu olarak ifade edebiliriz. Bu öğeler birbirleriyle ilişkili olmak zorunda değildirler. Örneğin, Stefan Zweig’ın tüm eseleri, İsmail Dümbüllü’nün kavuğu, Pisagor Teoremi gibi nesne ve kavramların hepsi bir kümeye ait olabilir. Dolayısıyla her topluluk bir küme oluşturur, hatta tüm kümeler topluluğu da bir kümedir. Matematikçiler Russell Paradoksuna dek hiçbir sınırlama getirmeden her matematiksel nesne topluluğuna küme adını verdiler. Belli bir kümeye ait olan unsurlara da o kümenin elemanları (öğeleri) denildi.
Paradoksu açıklamadan önce şu soruyu soralım: Bir şey hem kümenin kendisi hem de elemanı olabilir mi? Tabii ki, orta öğretim matematiğinden öğrendiklerimizle bu soruyu “olamaz” diye yanıtlarız. Örneğin, tükenmez kalemler kümesi bir tükenmez kalem değildir. Doğru, ama burada duralım ve “tükenmez kalem olmayan her şey” kümesini düşünelim. Bu küme aynı zamanda kendisinin de elemanıdır, çünkü kendisi kesinlikle bir tükenmez kalem değildir. Bu durumda küme kendini de içermektedir. Benzer şekilde tüm kümeleri içeren küme de kendisinin elemanıdır, çünkü sonuçta o da bir kümedir.
Şimdi, “kendini içermeyen tüm kümelerin kümesine”, yani kendi kendinin elemanı olmayan tüm kümeleri eleman kabul eden kümeye bakalım. Bu kümenin adı K olsun. K kendini (yani K’yi) içerir mi, içermez mi? Tabii ki K, K’yi içermez, çünkü kendini içermeyen bir kümedir, ama o zaman K’nin tanımı gereği kendisinin elemanı olması gerekir, çünkü kendini içermeyen tüm kümeleri K’de toplamıştık. Tıpkı şu köy berberinin hikâyesinde olduğu gibi K kümesi, K’nin elemanıysa elemanı değildir, elemanı değilse elemanıdır! Bu bir paradokstur!
Sonra ne oldu?
Paradoksu devre dışı bırakmak için Russell ve Alfred North Whitehead ortaklaşa çalışarak tipler kuramını geliştirdiler. Bu kuram kümeleri derecelendiriyordu. Örneğin berberin köyündeki insanları kümelere ayırıp, bu kümeleri de kendi içlerinde derecelendirdiğimizi düşünelim ve “Sadece kendi kümenizden düşük derecedeki kümelerde yer alanlara tıraş olun” diye bir kural koyalım. Bu durumda, örneğin 4’üncü derecedeki kümede yer alanları 1., 2. veya 3. derecedekiler, 3. derecedeki kümede yer alanları 1. veya 2. derecedekiler tıraş edebilir. Böylece bir kümenin içinde yer alan kişilerin kendi aralarında tıraş olmayı yasaklamış olduğumuzdan kendini tıraş etmeyi de engellemiş oluyoruz, yani berberin kendini tıraş etmesi imkânsız hale gelmiş olduğundan berber paradoksu tipler kuramına göre çözülmüş oluyor!
Tipler kuramını birçok matematikçi paradoks sorununa getirilmiş yapay bir çözüm olarak gördü. Ayrıca, ek aksiyomlarla dallanıp budaklanan bir sistem olduğundan bu kuramla matematik yapmak matematikçilere zor geldi ve yaygınlaşamadı. Daha sonra tipler kuramı daha basit bir kuramla değiştirilse de asıl en etkili çözüm 1900’lerin ilk yarısında keşfedilen, ZFC adlı kümeler kuramı sayesinde gerçekleşti. Matematikçiler arasında ZFC üzerine bazı tartışmalar yapıldıysa da Russell Paradoksu tamamen ortadan kalktı.
Not: Son dört sayıda bu köşede yer alan yazılarla matematik tarihindeki krizleri anlatmaya çalıştım. “Paradokslar krizi!” bu dizinin son yazısıydı. Umarım meraklı okurun ilgisini çekmiştir.
Kaynaklar
1) Ali Nesin, Matematik ve Korku, Nesin Yayınları, 2016.
2) Gottlob Frege, Aritmetiğin Temelleri, Çev. H. Bülent Gözkan, Yapı Kredi Yayınları, 2008.
3) Mario Livio, Tanrı Matematikçi mi?, Altın Kitaplar Yayınevi, 2015.
4) Cemal Yıldırım, Matematiksel Düşünme, Remzi Kitabevi Yayınları, 1988.
