Karşınızdakinin sonucu görmesine izin verme den iki madeni parayı havaya atıyor ve ona sadece paralardan en az birinin yazı geldiğini söyleyip şu soruyu soruyorsunuz: diğer paranın yazı gelme olasılığı kaç?
Karşınızdakinin cevabı ne olabilir? Yıllardır, birçok kişinin bu soruya 1/2 cevabını verdiğine tanık oldum ve doğru sonucun 1/2 olmadığını söylediğimde de hep şiddetli bir itiraz fırtınasıyla karşılaştım. Oysa ki soruda havaya atılan bir madeni paranın yazı gelme olasılığı sorulmuyor, iki paradan en az birinin yazı gelmesi koşuluyla diğerinin yazı gelmesinden söz ediliyor.
Doğru cevap 1/3. İşte açıklaması: İki madeni paranın atılmasıyla 4 farklı olası sonuç ortaya çıkar: YY, YT, TY, TT. Yukarıdaki problemde paralardan en az birinin yazı geldiği söylendiğine göre TT seçeneği olası sonuçların içinde değildir. Dolayısıyla hesaplamamızda dikkate almamız gereken bir koşul var. Bu durumda kalan 3 seçenekten (YY, YT, TY) sadece biri YY olduğundan sorunun cevabı 1/3 olur.
Bu problemin bir çeşitlemesi de şöyledir: Bir kafeteryada kızıyla birlikte yemek yiyen bir matematikçiyle karşılaştığınızı varsayalım. Matematikçi, bir çocuğunun daha olduğunu (ikiz değiller) söylüyor ve şu soruyu soruyor: Diğer çocuğumun da kız olma olasılığı kaç? Ne cevap veririsiniz? Elbette, bu soruda da doğru cevap 1/2 değil 1/3 olur.
Matematikçinin çocuklarından en az birinin kız olduğunu ve ikiz olmadıklarını bildiğinizden sizin için olası seçenekler şunlardır: Büyük çocuk kız küçük çocuk kız, büyük çocuk erkek – küçük çocuk kız, büyük çocuk kız – küçük çocuk erkek. Bu üç seçenekten istediğimiz durum, büyük çocuk kız küçük çocuk kız olduğundan doğru yanıt 1/3 olur.
Olasılık kuramında koşullu olasılık başlığı altında ele alınan bu tür problemlerde salt sezgilerimizin peşinden gittiğimizde doğru olduğunu zannettiğimiz yanlış sonuçlara varıyoruz.
Cinsiyetin doğum günüyle ilgisi var mı?!
Kafeteryadaki matematikçiye dönelim ve size şu soruyu sorduğunu varsayalım: İki çocuğumun olduğunu söylemiştim. Birlikte yemek yediğim kızımın doğduğu gün Salı, diğer çocuğumun kız olma olasılığı kaç? Bu soruya belki şu tepkiyi vereceksiniz: “Kızınızın doğduğu günle diğer çocuğunuzun kız olma olasılığının herhangi bir ilişkisi yok ki, dolayısıyla bu soru önceki problemle aynıdır ve cevap yine 1/3 olur”. Maalesef bu çözüm doğru değildir, çünkü kız olduğunu bildiğimiz çocuğun doğum gününe ait bilgi diğer çocuğun da doğum gününü dikkate almamızı gerektiriyor. Aksi halde problem bir önceki probleme dönüşür ve “Salı günü doğan kız çocuğu” bilgisini kullanmamış oluruz. Bu durumda olası sonuçların sayısı artacağından problem öncekine göre daha karmaşıktır.
İşte çözüm: Önceki problemde olduğu gibi Salı günü doğan çocuğu diğer çocuktan küçük ve büyük olarak ele alıp iki ayrı durumu inceleyelim. Önce, Salı günü doğan kızın küçük çocuk olduğunu kabul edelim ve bu durumda büyük çocuğun kız ve erkek olması seçeneklerini inceleyelim. Eğer büyük çocuk kız ise haftanın herhangi bir günü doğacağı için 7 seçenek vardır. Aynı şekilde büyük çocuk erkekse yine 7 seçenek olacağından Salı günü doğan kızın küçük olduğunu varsaydığımızda toplam 7+7=14 seçenek olduğu görülür.
Yukarıda ifade ettiğimiz 14 seçeneği daha açık hale getirmek için aşağıdaki ikilileri kullanalım. (Salı günü doğan küçük kız ve Pazartesi doğan küçük kız cümlesini (SalKK,PztKK) ikilisiyle gösterelim. Diğer seçenekleri de benzer yolla göstereceğiz.) (SalKK, PztBK), (SalKK, SalBK), (SalKK, ÇarBK), (SalKK, PerBK), (SalKK, CumBK), (SalKK, CmtBK), (SalKK, PazBK), (SalKK, PztBE), SalKK, SalBE), (SalKK, ÇarBE), (SalKK, PerBE), (SalKK, CumBE), (SalKK, CmtBE), (SalKK, PazBE).
Şimdi de Salı günü doğan kızın büyük çocuk olduğunu varsayalım ve bu durumda da yukarıdaki gibi yine 14 seçenek oluşacaktır. Bu seçenekleri de (SalBK, PztKK), (SalBK, SalKK)… gibi ikililerle gösterebiliriz. Bu kez tümünü yazmayacağız.
Burada ilk 14 seçeneğin içinde yer alan (SalKK, SalBK) ikilisiyle, sonradan yazacağımız (SalBK, SalKK) ikilisinin aynı olduğuna dikkat edelim, çünkü bu ilkiler sıralı değil.
Bu durumda matematikçinin birlikte yemek yediği kızın doğum gününün Salı olması durumunda mümkün haller sayısı 14+14-1=27 olur.
Bu sonuçlardan bizim istediğimiz, yani diğer çocuğun da kız olmasına uyan hallerin sayısı
7+7-1=13’tür. Şöyle ki, Salı günü doğan kız çocuğun büyük veya küçük çocuk olmasından kaynaklı
7+7 seçenek var ve yine (SalKK, SalBK) ikilisi tekrar ettiği için1 çıkartırsak uygun haller sayısı 13.
O halde bulmak istediğimiz olasılık 13/27 olur. Bu sonuç 1/3’ten küçüktür ve öyle de olması gerekir, çünkü önceki probleme ek olarak matematikçinin birlikte yemek yediği kız çocuğunun Salı günü doğmuş olması bilgisi diğer çocuğun kız olma olasılığını önceki probleme göre küçültür.
Bu problem, zaman zaman sezgilerimizin ihanetiyle karşılaşabileceğimizi gösteren çarpıcı bir örnek olarak görülebilir.
